Цель урока:
- Ввести определение модуля числа, обозначение модуля числа. Учить находить модуль числа.
- Формирование у учащихся общеучебных умений, умения организовать себя, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль, самооценку.
- Развитие и обогащение речи учащихся.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Математический диктант.
Учащиеся пишут ответы на двух листах проложенных копиркой. Один лист сдают учителю на проверку, по второму листу сравнивают свои ответы с ответами учителя, заранее написанными на доске. Выставляют себе "+" за каждое верно выполненное задание. Подсчитывают количество "+" и выставляют себе оценку. За пять "+" оценка "5", за четыре "+" оценка "4" и т.д.
Данные для второго варианта даны в квадратных скобках.
3. Объяснение нового материала.
Построим координатную прямую; что нужно, чтобы такая прямая существовала? (начало отсчета, положительное направление, единичный отрезок).
Задание 1. Отметим на координатной прямой точки А(4), В(2), С(-6), К(-4). Найдем расстояние от начала отсчета до каждой из точки.
| точка | координата | отрезок | расстояние (в единичных отрезках) |
| А | 4 | ОА | 4 |
| В | 2 | ОВ | 2 |
| С | - 6 | ОС | 6 |
| К | - 4 | ОК | 4 |
Для такого расстояния придумано специальное название - модуль .
Модулем числа a называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(a).
Пишут: =4; =2,=6, =4. Читают: "Модуль числа 4 равен 4. Модуль числа -6 равен 6 и т.д. ".
Задание 2. С помощью шаблона координатной прямой найдите модули чисел 3; 2,5; 8.
, .
Числа 3; 2,5; 8 - какие? А их модули? Сделайте вывод. (Модуль положительного числа равен самому этому числу, т.е. если a - положительное, то =а).
Задание 3. С помощью шаблона координатной прямой найдите модули чисел -2;
Числа -2; -3; -4,2 - какие? А их модули? Сделайте вывод. (Модуль отрицательного числа равен числу ему противоположному, т.е. если a - отрицательное, то = - а).
А чему равен модуль нуля? =0. (Модуль нуля равен нулю.)
Задание 4. Для каждого числа из строки найдите модуль этого числа в столбце. Проведите стрелку от числа к модулю.
Числа 4 и -4; 3 и -3; 2 и -2; 1 и -1 - какие? А модули каждой пары чисел? Сделайте вывод. (Модули противоположных чисел равны. Модуль любого числа есть число неотрицательное).
Определение модуля можно записать так: 
4. Закрепление нового материала.
"Проверь себя".
Выполните задание и сделайте взаимопроверку.
-10 0 -1,28
Выполнить письменно.№ 934; 937(1 столбик); 938.
5. Итог урока.
- Что такое модуль числа?
- Может ли модуль быть отрицательным числом?
- Чему равен модуль нуля?
- Задумано отрицательное число, модуль которого равен 5. Какое число задумано?
- Задумано положительное число, модуль которого равен 8. Какое число задумано?
С учетом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы учащихся.
Литература.
- Виленкин Н.Я. и др. Учебник. Математика. 6 класс.
- Методические рекомендации для учителей и учащихся по теме "Положительные и отрицательные числа", ТГПИ, 1988 г.
- Шеврин Л.Н., А.Г. Гейн и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 кл.
На этом уроке мы поговорим о том, что число состоит из знака и количества. Кроме того, введём понятие модуля числа, которое будет обозначать количество, без учёта знака числа. Также обсудим свойства модуля и как с ним работать.
Положительные числа, натуральные, а затем и дробные мы ввели для указания количества: дерева, литра молока (рис. 1).
Рис. 1. Пример использования положительных чисел
Затем мы ввели отрицательные числа: например, . Теперь число, кроме количества, содержит еще и знак, который указывает, что нужно делать с этим количеством - добавить или отнять. То есть после того, как были введены отрицательные числа, мы можем сказать, что любое число состоит из количества (реально существующего) и знака (придуманного нами для упрощения записи арифметических действий).
Но иногда бывает важна только одна характеристика - количество, а знак нас не интересует.
Рассмотрим такой пример. Для таксиста важно, какой длины путь он преодолевает с пассажиром (рис. 2).
Рис. 2. Километраж
Ведь, если в конце поездки пассажира привозят обратно домой, это не означает, что он ничего таксисту не должен, так как он проехал какое-то расстояние с начала поездки (рис. 3).
Рис 3. Путь, проделанный такси
Пусть теперь такси может ездить только вдоль прямой (вправо или влево). У нас уже есть подходящая модель - координатная прямая (рис. 4).
Рис. 4. Аналогия с координатной прямой
Предположим, клиенты проехали км влево, затем км вправо, затем ещё км вправо, затем ещё км влево. В результате автомобиль отъехал на км влево от исходной точки: (рис. 5).
Рис. 5. Сколько проехала машина (считаем с помощью числовой прямой)
Но ведь путь, который проделало такси, значительно больше: км.
Для подсчёта пути мы складывали только количества, без учёта знака.
Ту часть числа, которая указывает на количество, называют абсолютным значением (или модулем числа) . То есть можно сказать и так: любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля). Если знак плюс, то для краткости его обычно не пишут.
Например, у числа знак минус и модуль , у числа , знак плюс и модуль (рис. 6).
Рис. 6. Из чего состоят противоположные числа
Пример: машина проехала км по дороге. Используем для этой ситуации математическую модель - числовую прямую. Машина из точки могла двигаться вправо или влево. Можно так и говорить: перемещение на км вправо, перемещение на км влево. Но у нас есть удобный инструмент, отрицательные числа. Поэтому короче мы можем говорить так: перемещение или перемещение (рис. 7).
Рис. 7. Возможные движения машины
Перемещение было разное, но удалился автомобиль от начальной точки (от ) на одно и то же расстояние - на км. Но - это и есть модуль (как для числа , так и для ).
То есть про модуль числа можно сказать и так: модуль - это расстояние от числа до нуля (на самом деле это определение более универсальное, но об этом вы узнаете в старших классах).
В физике два этих понятия так и называют:
- перемещение : для него важен результат - где были и где оказались в итоге;
- путь : здесь важно расстояние, которое мы прошли, и не важно, где мы оказались в итоге.
Так, если машина, двигалась из точки вправо км, а потом влево км, то она вернется в начальную точку. Перемещение равно , но путь равен км (рис. 8).
Рис. 8. Перемещение и путь
Перемещение от одной точки до другой изображают отрезком со стрелкой. Называют его вектором (рис. 1).
Рис. 9. Вектор
Здесь ситуация как с числами: есть количественная часть (длина) и есть направление (у числа их было всего два ( и ), а здесь направлений может быть бесконечно много).
Сам вектор обозначают со стрелкой сверху. Длину вектора называют модулем (помните, как и у числа: модуль - это количественная часть) и обозначают с прямыми скобками или просто как отрезок (рис. 2).
Рис. 10. Обозначение вектора и его длины
Если нам нужно попасть из одной точки в другую, мы не всегда можем пройти по прямой. Например, из точки мы движемся в точку , обходя газон, по которому ходить запрещено. То есть мы переместились два раза и. Итоговое перемещение (рис. 3).
Рис. 11. Перемещение
- это сумма двух перемещений :
. Для путей это не верно. Длина отрезка меньше суммы длин отрезков и : 
. Путь по прямой короче, чем в обход.
Все это можно записать одним неравенством: 
. Оно означает вот что: сумма двух перемещений - это итоговое перемещение. Его длина меньше, чем сумма длин каждого перемещения по отдельности: .
Подумайте, может ли здесь быть равенство, если по-другому будут расположены векторы перемещения? А противоположный знак, то есть знак ?
Рассмотрим такой пример. Человек гуляет с собакой, он движется из точки в точку по прямой, при этом собака движется еще из стороны в сторону, насколько позволяет поводок (рис. 4).
Рис. 12. Иллюстрация к примеру
(рис. 5).
Рис. 13. Перемещение человека
Перемещение собаки складывается из кусочков и тоже в итоге равно (рис. 6).
Рис. 14. Перемещение собаки
Но если складывать не перемещения, а пути, т.е. не векторы, а их модули, то окажется, что собака пробежала путь, в два или три раза больший. Собака, совершая одинаковое перемещение с хозяином, могла пробежать и в , и в раз больший путь, все ограничивается ее активностью.
Есть такая задача: измерение длины береговой линии. С перемещением от точки до точки вдоль берега все понятно. Это вектор (рис. 7).
Рис. 15. Перемещение
А вот путь складывается из кусочков (рис. 8). Тут вроде бы как с собакой: нужно сложить модули таких перемещений, векторов.
Рис. 16. Кусочки пути
Но если смотреть более точно, каждое такое перемещение складывается из еще более мелких перемещений. Путь сильно возрастает (рис. 9).
Рис. 17. Возрастание пути
Но это еще не все: если смотреть еще более точно, то и они делятся на маленькие перемещения. Береговая линия все более и более изрезана (рис. 10). И это никогда не заканчивается.
Рис. 18. Изрезанная береговая линия
То есть длину береговой линии не получается точно измерить таким образом.
Вот так получается, что, не отходя далеко от общего вектора перемещения, можно получить очень большой (как путь собаки) или даже бесконечный путь (как береговая линия).
Модуль числа договорились обозначать вертикальными скобками. Итак, модуль положительного числа равен самому числу , модуль отрицательного числа тоже равен , то есть противоположному числу: , .
Остался вопрос: чему равен модуль нуля? Расстояние от нуля до нуля равно нулю. Поэтому модуль нуля считать равным нулю: .
Итак, мы уже все знаем, чтобы дать более точное определение, что такое модуль числа.
Модуль числа
- это число, равное ему самому, если число положительное, противоположному числу, если оно отрицательное, и все равно какому (самому или противоположному), если число равно нулю. Пусть будет самому: 
.
Чтобы запись была короче, объединим первую и третью строчки. И определение теперь звучит так: модуль числа равен самому числу, если оно неотрицательное (положительное или ноль), и противоположному числу, если оно отрицательное: 
.
Это определение не объясняет суть, что такое модуль. Но мы про суть уже поговорили раньше. Оно является удобным инструментом для выполнения арифметических действий. Особенно пригодится это определение, когда мы будем решать уравнения с модулем.
Если отвлечься от задач про путь и перемещение, то нахождения модуля интересно еще вот чем. Раньше мы выполняли операции с двумя или несколькими числами. Например, брали два числа, складывали их, получали новое число, сумму: . Или сравнивали два числа: .
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Модуль числа Урок математики в 6 классе Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1 г.Суздаля» Учитель математики Плотникова Т.В.
0 1 F N R L A Какие из данных точек имеют противоположные координаты? Назовите координаты точек, отмеченных на координатной прямой. Какие числа называются противоположными? Среди данных чисел укажите пары противоположных чисел:
Найдите значения выражения: -(-(-(-1))) -(-(-(-(-1)))) -(-(-1)) Найдите значения выражения: -(-с), если с=2,3 ; -4 ¼ -(-(-а)), если а = -12,3 ; 7 ½ Каким будет число –в, если в – отрицательное число; в=0 ; в – число положительное.
0 0,1 М О Д У Л Ь 0 1,5 0,8 Для того, чтобы узнать тему нашего урока, укажите число, противоположное данному, а во второй таблице найдите букву, соответствующую этому числу. 0,8 0 1,5 О Ь М Д Л У
О 1 А В Какие координаты имеют точки А,В и С? 4 -3 Чему равно расстояние(в единичных отрезках) от начала координат до точек А, В и С? С -5 Число 5 – называют модулем числа - 5 , число 3 – модулем числа -3, число 4 – модулем числа 4. Определение: Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Обозначение: Например: Чему равен модуль числа 0? Почему?
Каким числом не может быть модуль числа? Чему равен модуль положительного числа? Чему равен модуль отрицательного числа? Чему равен модуль 0? |85|= 85 |-56|= 56 |0|= 0
Даны числа: 4 и - 4; 94 и - 94; - 42 и 42 Как называются эти числа? Найдите модуль каждого из чисел. |4|=4 и |-4|=4 |94|=94 и |-94|=94 |-42|=42 и |42|=42 Сравните эти модули. Какой вывод можно сделать? | -а |=|a|
Выполните самостоятельно №950 из учебника, а затем проверьте ответы: |81|=81 |-2 |=2 |1,3|=1,3 |-52|=52 |-5,2|=5,2 |0|=0 | |= |- |=
Найдите координаты точек А,В,С, изображённых на числовой оси и запишите расстояние от точек до начала отсчёта, используя знак модуля О 1 5 -5 -2 3 В С А К |-5|=5 |-2|=2 |3|=3 |5|=5
Выполните самостоятельно №95 2 из учебника, а затем проверьте ответы: |3,7|=3,7 |315,6|=315,6 |-7,8|=7,8 |0|=0 |-200|=200 |- ½|=½ |4¾|=4¾
Запишите все числа, имеющие модуль: а)26; |- 26 |= 26 | 26 |= 26 б) 5,7; |- 5,7 |= 5,7 | 5,7 |= 5,7 в) 3 ¼ ; |- 3 ¼|= 3 ¼ | 3 ¼|= 3 ¼ г) 0. | 0 |= 0
Найдите значение выражения: |-8|-|-5| |-10|*|-5| |240| : |- 80 | | -710 | + |- 290 | = 8 - 5 = 3 = 10 * 5 = 50 = 240: 80 = 3 = 710 +290 = 1000 Выполните самостоятельно №953(д-м)
Запишите числа в порядке возрастания их модулей: 6,4; -5,8; 3,9; -7,1; 0 0; 3,9; -5,8; 6,4; -7,1 Самостоятельно запишите числа в порядке убывания их модулей: 7,3; -4,5; 5,9; -8,1; 0 -8,1; 7,3; 5,9; -4,5; 0
Домашнее задание: п.28(определение) № 967, №969,№971
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1 г.Суздаля»
Учитель математики: Плотникова Т.В.
План-конспект урока математики в 6 классе
По теме «Модуль числа».
Цели урока:
- Повторить основные понятия по теме «Координаты на прямой. Противоположные числа».
- Ввести понятие «модуль числа».
- Закрепить новое понятие в ходе решения различных упражнений.
Ход урока:
I. Организационный момент.
I I . Проверка домашнего задания
(на прошлый урок были заданы № 944, № 949(б), № 947).
Обмен тетрадями.
I I I.Повторение изученного раннее. Введение нового понятия.
Ребята, запишите в тетрадях число, классная работа.
Задание №1(слайд №2):
Назовите координаты точек, отмеченных на координатной прямой.
Какие из данных точек имеют противоположные координаты?
Какие числа называются противоположными?
Среди данных чисел укажите пары противоположных чисел:
Задание №2:(слайд №3):
а) Найдите значения выражения:
-(-(-(-1))); -(-(-1)); -(-(-(-(-1))))
б) Найдите значения выражения:
-(-с), если с=2,3 ; -4¼
-(-(-а)), если а = -12,3 ; 7½
в) Каким будет число –в, если
В – отрицательное число;
В=0;
В – число положительное.
(Слайд №4):
Для того, чтобы узнать тему нашего урока, укажите число, противоположное данному, а во второй таблице найдите букву, соответствующую этому числу.
(слайд №5):
Какие координаты имеют точки А,В и С?
Чему равно расстояние(в единичных отрезках) от начала координат до точек А, В и С?
Число 5 – называют модулем числа - 5, число 3 – модулем числа -3, число 4 – модулем числа 4.
Определение: Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
(слайд №6):
Обозначение:
Например:
І5 І=5
І-5 І=5
І3 І=3
І-3 І=3
Чему равен модуль числа 0? Почему?
І0 І=0
(слайд №7):
Каким числом не может быть модуль числа?
Чему равен модуль положительного числа? Приведи пример.
Чему равен модуль отрицательного числа? Приведите пример
Чему равен модуль 0?
IV. Закрепление изученного:
1.(слайд №8):
Даны числа: 4 и - 4; 94 и - 94; - 42 и 42
Найдите модуль каждого из чисел.
|4|=4 и |-4|=4
|94|=94 и |-94|=94
|-42|=42 и |42|=42
Сравните эти модули.
Какой вывод можно сделать?
|-а|=|a| - запишите в тетрадь.
2. (слайд №9):
Выполните самостоятельно №950 из учебника, а затем проверьте ответы:
|81|=81 |-2 |=2
|1,3|=1,3 |-52|=52
|-5,2|=5,2 |0|=0
|8/9 |= 8/9 |-5/7 |= 5/7
3. (слайд №10):
Найдите координаты точек А,В,С, изображённых на числовой оси и запишите расстояние от точек до начала отсчёта, используя знак модуля
|-5|=5
|-2|=2
|3|=3
|5|=5
4. (слайд №11):
Выполните самостоятельно №952 из учебника, а затем проверьте ответы:
|3,7|=3,7 |315,6|=315,6
|-7,8|=7,8 |0|=0
|-200|=200 |-½|=½
|4¾|=4¾
5 . (слайд №12):
Запишите все числа, имеющие модуль: а)26; б)5,7; в)3¾, г)0
6. (слайд №13):
Найдите значение выражения:
|-8|-|-5|
|-10|*|-5|
|240|:|-80|
|-710|+|-290|
Выполните самостоятельно №953(д-м) (два ученика работают на переносных досках)
7. (слайд №14):
Запишите числа в порядке возрастания их модулей:
6,4; -5,8; 3,9; -7,1; 0
0; 3,9; -5,8; 6,4; -7,1
Самостоятельно запишите числа в порядке убывания их модулей:
7,3; -4,5; 5,9; -8,1; 0
8,1; 7,3; 5,9; -4,5; 0
a - это само это число. Число в модуле:
|а| = а
Модуль комплексного числа.
Предположим, есть комплексное число , которое записано в алгебраическом виде z=x+i·y , где x и y - действительные числа, которые представляют собой действительную и мнимую части комплексного числа z , а - мнимая единица.
Модулем комплексного числа z=x+i·y является арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа.
Модуль комплексного числа z обозначают так , значит, определение модуля комплексного числа можно записать так: 
.
Свойства модуля комплексных чисел.
- Область определения: вся комплексная плоскость.
- Область значений: }
