Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.
Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство a + b= b + а.
Пусть а -- число элементов в множестве А, Ь -- число элементов в множестве В и А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п(АU В) = п(В U А). По определению суммы п(ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел а и Ь.
Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).
Пусть а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п(А//)В) + п(С) = п((АUВUС).
Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А J(BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с -- a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.
Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.
И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный -- что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).
Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.
На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.
Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.
Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.
Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.
С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.
Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:
1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;
4+2+ 1 = 6+1 =7;
4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.
Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в последнем случае опираются па переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона переставили местами слагаемые 1 и 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 +2) =(4+ 1) + 2. И, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Запишем это правило, используя символы: Если а, Ь, с -- целые неотрицательные числа, то:
а) при а>с имеем, что (а+Ь) -- с = (а -- с)+Ь;
б) при Ь>с имеем, что (a+b) -- c==a + (b -- с);
в) при а>с и Ь>с можно использовать любую из данныхформул.
Пусть а >с, тогда разность а --с существует. Обозначим ее через р: а -- с =р. Отсюда а = р+с. Подставим сумму р+-с вместо а в выражение (а+Ь) -- с и преобразуем его: (а + 6) --с = (р + c+b) -- c = p+b+-c -- c = p+b
Но буквой р обозначена разность а --с, значит, имеем (а+Ь) -- -- с = (а -- с)+Ь, что и требовалось доказать.
Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с и AUB=0, СUА. Тогда {a+b) -- с есть число элементов множества (AUB)C, а число (а -- с)+Ь есть число элементов множества {АС)UВ. На кругах Эйлера множество (АUВ)С изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке.
Легко убедиться в том, что множество (АС)UВ изобразится точно такой же областью. Значит, (AUB)C = (AC)UB для данных
множеств А, В и С. Следовательно, п((АUВ)С) = п((АС)UВ)и (а + Ь)-- с -- (а -- с)+Ь.
Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».
Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, Ъ, с -- целые неотрицательные числа, то при а>Ь+с имеем а--(Ь+с) = (а -- Ь)--с.
Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.
Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:
5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.
Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:
/ способ. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22
// способ. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22
III способ. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22
Законы умножения
Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.
1. Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и Ъ справедливо равенство a*b = b*a.
Пусть а = п(А), Ь = п(В). Тогда по определению произведения а*Ь = п{А*В). Но множества А*В н В*А равномощны: каждой паре (а, Ь) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (Ь, а) из множества ВхА, и наоборот. Значит, п(АХВ) = п(ВхА), и поэтому a-b = n {AXB) = n (BXA) = b-а.
2. Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (а* Ь) *с = а* (Ь*с).
Пусть а = п(А), b = п (В), с = п (С). Тогда по определению произведения {a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b -c) = n (AX(BXQ). Множества (АхВ)ХС и А X {ВХ Q различны: первое состоит из пар вида ((а, Ь), с), а второе -- из пар вида (а, (Ь, с)), где аЈА, ЬЈВ, сЈС. Но множества (АХВ)ХС и АХ(ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п{(АХВ) *С) = п {А*(В*С)), и, значит, (а*Ь) *с = а* (Ь*с).
3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a +b) x c = ac+ be.
Пусть а -- п (А), Ь = п (В), с = п(С)и АUВ= 0. Тогда по определению произведения имеем (a+b) x c = n ((AUB) * C. Откуда на основании равенства (*) получаем п ((А UВ) * С) = п((А * С)U(В* С)), и далее по определению суммы и произведения п ((А * С)U(В* С)) -- = п(А*С) + п(В*С) = ас + Ьс.
4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a^b справедливо равенство (а -- Ь)с = = ас -- Ьс.
Этот закон выводится из равенства (АВ) *С = (А *С)(В*С) и доказывается аналогично предыдущему.
Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+Ь)с и (а -- Ь) с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас --be или
В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится» -- и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительный при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3* (5*2) и сравнить полученные результаты.
Приводятся случаи:
1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;
2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;
3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.
Первый из них основан на правиле порядка действий, второй -- на сочетательном законе умножения, третий -- на переместительном и сочетательном законах умножения.
Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.
Правила деления суммы на число и числа на произведение
Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел. Выбор этих правил определен содержанием начального курса математики.
Правило деления суммы на число. Если числа а и Ь делятся на число с, то и их сумма а + Ь делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+Ь на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и Ъ на с, т. е.
(а + Ь): с = а: с + b: с.
Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число т = а:с, что а = с-т. Аналогично существует такое натуральное число п -- Ь:с, что Ь = с-п. Тогда а+Ь = = c-m + c-/2 = c-(m + n). Отсюда следует, что а+Ь делится на с и частное, получаемое при делении а+Ь на число с, равно т+п, т. е. а:с+Ь:с.
Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.
Пусть а = п{А), Ь = п(В), причем АГВ=0. Если каждое из множеств А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение.
При этом если в каждом подмножестве разбиения множества А содержится а:с элементов, а в каждом подмножестве множества В содержится Ь:с элементов, то в каждом подмножестве множества А[)В содержится а:с+Ь:с элементов. Это и значит, что (а + Ь): с = а: с + Ь: с.
Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа Ъ и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел Ъ и с, достаточно разделить число а на b (с) и полученное частное разделить на с (Ь): а:(Ь * с) --(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказательство. Положим (а:Ь):с = х. Тогда по определению частного а:Ь = с-х, отсюда аналогично а -- Ь-(сх). На основании сочетательного закона умножения а = (Ьс)-х. Полученное равенство означает, что а:(Ьс) = х. Таким образом, a:(bc) = (a:b):c.
Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е.
a-(b:c) = (a-b):c.
Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.
Например, чтобы найти значение выражения (720+ 600): 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:
(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значение выражения 1440:(12* 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15:
1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.
Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекаются иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
22.10.15 Классная работа
Найдите длину отрезка АВ а b А В b а В А АВ= a + b АВ= b + a
11 + 16 = 27 (фруктов) 16 + 11 = 27 (фруктов) Изменится ли общее количество фруктов от перестановки слагаемых? Маша собрала 11 яблок и 16 груш. Сколько фруктов оказалось в корзинке у Маши?
Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « от перестановки слагаемых сумма не изменится » а + b = b + a Переместительный закон сложения
(5 + 7) + 3 = 15 (игрушек) Какой способ подсчета проще? Маша наряжала елку. Она повесила 5 елочных шаров, 7 шишек и 3 звёздочки. Сколько всего игрушек повесила маша? (7 + 3) + 5 =15 (игрушек)
Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых » (a + b)+с = a +(b+ с) Сочетательный закон сложения
Подсчитаем: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Учимся считать быстро!
Справедливы для умножения те же законы, что и для сложения? a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с)
b=15 а =12 c=2 V = (a · b) · c = a · (b · c) V = (12 · 15) · 2= =12 · (15 · 2)=360 S = a · b= b · a S = 12 · 15 = =15 · 12 =180
a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Переместительный закон умножения Сочетательный закон умножения
Подсчитаем: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Учимся считать быстро!
ТЕМА УРОКА: С чем сегодня на уроке работаем? Сформулируйте тему урока.
212 (1 столбик), 214(а,б,в), 231, 230 В классе Домашнее задание 212 (2 столбик), 214(г,д,е), 253
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка урока по математике в 5 классе "Законы арифметических действий" включает в себя текстовый файл и презентацию к уроку.На этом уроке повторяется переместительный и сочетательный законы, вводи...
Законы арифметических действий
Данная презентация полготовлена к уроку по математике в 5 классе на тему "Законы арифметических действий" (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович)....
Урок изучения нового материала с использованием ЭОР....
Законы арифметических действий
Презентация создана для визуального сопровождения урока в 5 классе по теме "Арифметические действия с целыми числами". В ней представлена подборка задач как для общего, так и для самостоятельного реше...
разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий
разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий№ п/пСтруктура аннотацииСодержание аннотации1231ФИО Малясова Людмила Геннадьевна2Должность, преподаваемый предмет Учитель ма...
§ 13. Законы арифметических действий - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)
Краткое описание:
Чтобы успешно справляться с решением разных математических выражений и уравнений, а особенно формулами, выраженными буквенно, когда существует несколько искомых, нам необходимо знать основные законы арифметических действий. Они созданы на основании повторяющихся ситуаций, связанных с математических действий и являются неизменными правилами, которые помогают нам решать математические задачи и справляться с разными примерами в математике.С некоторымы законами арифметических действий вы уже знакомились ранее и использовали в решении выражений. Это, например, закон перемещения слагаемых – при перестановке слагаемых, их сумма остается неизменной. Такие законы могут быть изображены буквенно или озвучены словесно в предложении. Как существуют законы сложения, так есть и закон умножения. Действия, которые с ними производят, различные, но правила совершения его одинаковы. Но правила меняются, когда речь идет о смешении действий сложения и умножения в одном выражении. Действие умножения сильнее и первое по порядку исполнения, как и действие, записанное в скобках. В выражении 5 10 + 6 (4+7), сначала стоит умножить между собой первые два числа, посчитать сумму в скобках и умножить ее на число перед скобками, и только потом считать сумму получившихся чисел. Также правильным будет в раскрытии скобок каждое число умножить на число перед скобками и потом посчитать их сумму. Вы можете использовать любой из вариантов при решении различных выражений. Предлагаем перейти к материалу учебника и подробнее рассмотреть этот материал с примерами, закрепив свои знания решением разных выражений и уравнений.
В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук».
Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:
1) всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);
2) сумма всегда определена однозначно;
3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: , так что скобки можно и вовсе опустить;
4) имеет место переместительный, или коммутативный закон:
5) имеет место закон монотонности: если , то .
Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.
Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:
1) всегда есть число;
2) произведение однозначно,
3) закон сочетательности:
4) закон переместительности:
5) закон монотонности: если , то
Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:
6) закон распределительности, или дистрибутивности:
Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;
согласно закону распределительности
В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе. Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положений, а также в применении заученных наизусть результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).
Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на Них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, - скажем, посредством физических измерений - лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно - это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту, оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим.
Во всяком случае, вы видите, что при «оценочных вычислениях» приходится постоянно пользоваться законами монотонности.
Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.
