Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Энциклопедичный YouTube

  • 1 / 5

    Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию . Обозначим последние μ {\displaystyle \mu } и σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} , соответственно. Пусть также

    . S n − μ n σ n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)} по распределению при ,

    где N (0 , 1) {\displaystyle N(0,1)} - нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением , равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n {\displaystyle n} величин, то есть X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

    n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) {\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

    Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри - Эссеена .

    Замечания

    • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n {\displaystyle n} независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N (n μ , n σ 2) {\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^{2})} . Эквивалентно, X ¯ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} имеет распределение близкое к N (μ , σ 2 / n) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n)} .
    • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна , сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив Z n = S n − μ n σ n {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}} , получаем F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R {\displaystyle F_{Z_{n}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb {R} } , где Φ (x) {\displaystyle \Phi (x)} - функция распределения стандартного нормального распределения.
    • Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
    • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей . Тем не менее в данном классическом случае это имеет место.

    Локальная Ц. П. Т.

    В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }} абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,

    f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 {\displaystyle f_{Z_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ,

    где f Z n (x) {\displaystyle f_{Z_{n}}(x)} - плотность случайной величины Z n {\displaystyle Z_{n}} , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

    Обобщения

    Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

    Ц. П. Т. Линдеберга

    Пусть независимые случайные величины X 1 , … , X n , … {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots } определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии : E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 {\displaystyle \mathbb {E} =\mu _{i},\;\mathrm {D} =\sigma _{i}^{2}} .

    Пусть S n = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} .

    Тогда E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 {\displaystyle \mathbb {E} =m_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu _{i},\;\mathrm {D} =s_{n}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}} .

    И пусть выполняется условие Линдеберга :

    ∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 { | X i − μ i | > ε s n } ] = 0 , {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[{\frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,\mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0,}

    где 1 { | X i − μ i | > ε s n } {\displaystyle \mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}} функция - индикатор.

    по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

    Ц. П. Т. Ляпунова

    Пусть выполнены базовые предположения Ц. П. Т. Линдеберга. Пусть случайные величины { X i } {\displaystyle \{X_{i}\}} имеют конечный третий момент . Тогда определена последовательность

    r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X i − μ i | 3 ] {\displaystyle r_{n}^{3}=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3}\right]} .

    Если предел

    lim n → ∞ r n s n = 0 {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0} (условие Ляпунова ), S n − m n s n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

    Ц. П. Т. для мартингалов

    Пусть процесс (X n) n ∈ N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что

    E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , {\displaystyle \mathbb {E} \left=0,\;n\in \mathbb {N} ,\;X_{0}\equiv 0,}

    и приращения равномерно ограничены, то есть

    ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C {\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb {N} \;|X_{n+1}-X_{n}|\leq C} τ n = min { k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n } {\displaystyle \tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right.\right\}} . X τ n n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {X_{\tau _{n}}}{\sqrt {n}}}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

    Продемонстрируем основные выводы Центральной предельной теоремы с помощью MS EXCEL : построим выборочное распределение среднего, рассчитаем стандартную ошибку и сравним значения, полученные на основе выборки, с выводами ЦПТ.

    стремится к нормальному распределению со средним значением μ и стандартным отклонением равным σ/√n

    Примечание : Про статистики и их выборочные распределения можно прочитать в статье .

    Покажем почему равно σ/√n.

    Каждое отдельное наблюдение X i в выборке имеет дисперсию σ 2 . Из , следует, что сумма независимых случайных величин в выборке , т.е. х 1 +х 2 …+х n , имеет дисперсию n*σ 2 , а стандартное отклонение этой суммы равно КОРЕНЬ(n) *σ. Чтобы найти стандартное отклонение среднего выборки нужно разделить стандартное отклонение суммы на n. В результате получим, что стандартное отклонение выборочного среднего равно σ/√n.

    Т.к. обычно стандартное отклонение исходного распределения, из которого взята выборка, неизвестно, то в расчетах вместо σ используют ее оценку s - стандартное отклонение выборки .

    Соответствующая величина s/√n, где n – размер выборки , имеет специальное название: Стандартная ошибка (Standard Error of the Mean , SE M ).

    Примечание : Термин SEM иногда также может использоваться для стандартного отклонения выборочного распределения среднего.

    Примечание : Хотя Стандартная ошибка является, по сути, стандартным отклонением , ее специальное название обусловлено стремлением подчеркнуть, что она показывает величину неопределенности выборочного среднего . Стандартная ошибка оценивает насколько выборочное среднее Х ср отличается от среднего значения μ исходного распределения. А термин стандартное отклонение обычно используют для обозначения величины изменчивости отдельных элементов выборки от среднего .

    Для применения ЦПТ необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

    • отдельные наблюдения в выборке должны быть независимыми;
    • наблюдения берутся из одной и той же генеральной совокупности , т.е. имеют одинаковое распределение с параметрами μ и σ;
    • размер выборки n должен быть «достаточно большим» (см. пояснения ниже).

    Примечание : Выборочное среднее является случайной величиной. Есливыполнены вышеуказанные условия, то Выборочное среднее распределено по нормальному закону . При этом не требуется, чтобы исходное распределение, из которого делается выборка , должно быть нормальным .

    Примечание : Несмотря, что отдельные значения x i подчиняются какому-то неизвестному нам закону распределения, процедура объединения многих значений для вычисления суммы или среднего , приводит к нормальному распределению (для которого мы умеем вычислять вероятности). Зачастую, имеет смысл говорить, является распределение нормальным или нет, только в отношении суммы или среднего .

    Примеры расчета вероятности в MS EXCEL с использованием ЦПТ

    Задача1 . Предприятие производит плавленые сырки. Номинальный вес сырка должен составлять 100 грамм. По естественным причинам, вес каждого сырка отличается от номинала. Из опыта известно, что средний вес сырка составляет 105г, а стандартное отклонение равно 15г. Чтобы избежать потери репутации фирмы вес сырка не должен быть слишком мал, но он не должен быть слишком велик, т.к. при этом увеличиваются расходы. Известно, что любую упаковку из 30 штук сырков отбраковывают, если средний вес сырка в ней меньше 95г и больше чем 110г. Какая часть упаковок будет отбракована при 100% контроле?

    Чтобы найти вероятность (долю отбракованных упаковок), мы должны знать распределение случайной величины - веса упаковки. Хотя мы не знаем формы распределения отдельного сырка (это распределение не обязательно нормальное ), но из ЦПТ нам известно, что вес упаковки будет распределен по нормальному закону . Осталось определить параметры этого распределения.

    Примечание : Хотя в ЦПТ сказано, что по нормальному закону распределено выборочное среднее , но очевидно, что выборочное распределение суммы также будет распределено по нормальному закону , но с другими параметрами.

    Из условий задачи мы знаем, что среднее значение веса упаковки сырков равно 30шт *105г . Мы также можем вычислить стандартное отклонение этого выборочного распределения .

    Стандартное отклонение известно только для сырка (15г ), но из (считаем, что веса сырков получаются случайным образом) можно вычислить Стандартное отклонение для упаковки:
    Var(x 1 +…+x 30)= Var(x 1)+…+ Var(x 30)=30* Var(x)

    Т.к. считаем, что все веса х i имеют одинаковое распределение, то случайную величину (вес сырка) обозначим просто х.

    Следовательно, стандартное отклонение упаковки сырков =15*КОРЕНЬ(30)

    Сначала определим вероятность, того что упаковка сырков будет весить менее 95*30г. В MS EXCEL это можно сделать с помощью формулы:
    =НОРМ.РАСП(95*30; 105*30; 15*КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)=0,013%

    Теперь определим вероятность того, что упаковка сырков будет весить больше 110*30г.
    =1-НОРМ.РАСП(110*30; 105*30; 15*КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)=3,395%

    Таким образом, отбраковано будет 3,395%+0,013%=3,407% продукции.

    Тот же результат можно получить при расчете через среднее значение одного сырка:
    =НОРМ.РАСП(95; 105; 15/КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)+ 1-НОРМ.РАСП(110; 105; 15/КОРЕНЬ(30); ИСТИНА)

    Задача2 . Из свойств нормального распределения можно ожидать, что примерно в 95% случаях выборочное среднее будет находиться в пределах 2-х стандартных ошибок от среднего генеральной совокупности (исходного распределения, из которого взята выборка ), т.е. в пределах:

    2*s/КОРЕНЬ(n)<μ<2*s/КОРЕНЬ(n)

    Например, пусть размер выборки n=30, среднее генеральной совокупности μ =0, а вычисленное на основе выборки стандартное отклонение s=5.

    В этом случае стандартная ошибка = 5/КОРЕНЬ(30)

    Покажем с помощью формулы MS EXCEL, что искомая вероятность действительно близка к 95%:
    =1-((1-НОРМ.РАСП(2*5/КОРЕНЬ(30);0;5/КОРЕНЬ(30);ИСТИНА))+ НОРМ.РАСП(-2*5/КОРЕНЬ(30);0;5/КОРЕНЬ(30);ИСТИНА))=95,45%

    Как работает ЦПТ при n=3 и n=10

    Для демонстрации выводов ЦПТ проведем «оценку нормальности» распределения выборочного среднего при n=3 и n=10.

    В качестве исходного распределения возьмем , описывающее вероятность выпадения определенной грани при бросании игральной кости.

    Как известно, среднее значение этого распределения =(1+6)/2=3,5 ; а стандартное распределение =КОРЕНЬ(((6-1+1)^2-1)/12)=1,708

    С помощью MS EXCEL произведем 100 серий по 3 броска кубика (n=3) и 100 серий по 10 бросков (n=10).

    Для каждой серии бросков (т.е. для каждой выборки ) будем вычислять выборочное среднее. Затем вычислим среднее Выборочных средних и стандартную ошибку . Убедимся, что в соответствии с ЦПТ , эти значения равны 3,5 и 1,708/КОРЕНЬ(n) , соответственно.

    Также построим , чтобы убедиться, что выборочное среднее распределено по , и для исходного равномерного распределения и распределения выборочного среднего.

    файле примера на листе ЦПТ Классик .

    При n=3 График проверки распределения на нормальность будет соответствовать прямой очень условно (сохраняется дискретность данных, унаследованная от исходного распределения), но для n=10 – соответствие нормальному распределению будет хорошим.


    Примечание : В качестве иллюстрации сравним графики проверки распределения на нормальность при n=3 и исходного , т.е. для n=1 (красные точки на рисунке ниже). Как видно на рисунке, значения, взятые из равномерного распределения, располагаются четко выраженными группами.

    Среднее и Стандартная ошибка Выборочного распределения среднего близки к расчетным значениям, предсказанным ЦПТ .

    Для n=10 видно, что разброс значений выборочного среднего (гистограмма слева) не имеет ничего общего с гистограммой, полученной на основе выборки из исходного равномерного распределения (гистограмма справа).

    Вывод : С помощью MS EXCEL мы продемонстрировали как работает ЦПТ : не смотря на то, что исходное распределение по форме не имеет ничего общего с нормальным , уже при небольшом n=10 выборочное среднее распределено по закону близкому к нормальному с тем же средним значением и со стандартным отклонением равным стандартной ошибке .

    На практике часто требуется определить размер выборки n, достаточный, чтобы распределение выборочного среднего было достаточно близко к нормальному. Очевидно, что асимптотическое приближение распределения выборочного среднего зависит от исходного распределения, из которого берется выборка (если исходное распределение имеет , то распределение выборочного среднего будет медленнее приближаться к нормальному с ростом n). На практике исходное распределение неизвестно, поэтому обычно предполагается, что размер выборки должен быть n=>30.

    Алгоритм решения задач с применением классической ЦПТ

    Вы проводите аудит крупного банка. Банковский служащий сообщил Вам, что средний депозит в банке составляет 200 долл., а стандартное отклонение равно 45 долл. Вам нужно убедиться в истинности информации, сообщенной менеджером, поэтому Вы решаете взять данные по случайным 50 депозитам.
    Дайте описание выборочного распределения среднего при n =50. Предполагая, что сообщенные менеджером характеристики распределения верны, вычислить вероятность, что рассчитанное Вами среднее значение выборки будет меньше 190 долл.

    СОВЕТ : Отличное изложение материала по данной теме приведено на сайте http://brownmath.com/swt/chap08.htm (англ.)

    Сначала дадим описание выборочного распределения среднего . Зачем нам это нужно? Дело в том, чтобы вычислить вероятность необходимо знать распределение вероятности. Т.е. нужно показать, что выборочное среднее распределено по нормальному закону.

    Напомним, что для того, чтобы описать любое распределение необходимо вычислить его среднее , разброс и форму .

    Форма распределения . Для того, чтобы решить задачу необходимо убедиться, что выборочное распределение среднего является нормальным (выполняются условия применимости ЦПТ). Как правило, для этого необходимо проверить 2 условия:

    • размер выборки не должен превышать 10% от генеральной совокупности ;
    • размер выборки достаточен, чтобы, несмотря на форму исходного распределения, распределение выборочного среднего было нормальным . Обычно достаточно, чтобы n было больше 30.

    Будем считать, что первое условие выполнено (пусть известно, что в банке более 1000 депозитов), соответственно, 50 депозитов составляет менее 10% от общего количества депозитов банка. Исходное распределение, скорее всего, будет смещенным влево, т.к. обычно большинство депозитов небольшого и среднего размера, а крупных депозитов гораздо меньше. Размер выборки является достаточно большим (50>30), чтобы гарантировать, что форма распределения выборочного среднего является близкой к нормальному распределению .

    Среднее . Среднее выборочного распределения , согласно ЦПТ , равно среднему исходного распределения, т.е. в нашем случае 200 долл.

    Разброс . Стандартное отклонение выборочного среднего (стандартная ошибка ), согласно ЦПТ, равна =45/КОРЕНЬ(50)=6,36 .

    Теперь переходим непосредственно к решению задачи. Сначала построим выборочного среднего N(200; 45/КОРЕНЬ(50)).

    Зеленая вертикальная линия соответствует х=190 долл.

    По условиям задачи мы взяли выборку из 50 депозитов и вычислили среднее этой выборки (Хср). Теперь рассчитаем вероятность того, что Хср будет меньше 190 долл. Это можно сделать с помощью формулы
    =НОРМ.РАСП(190; 200; 45/КОРЕНЬ(50); ИСТИНА)=0,058

    Таким образом, если Х ср, вычисленное по 50 депозитам, окажется меньше 190 долл., то, это может стать серьезным основанием для сомнений в истинности слов банковского служащего (утверждавшего, что средний банковский депозит равен 200 долл.), т.к. это является маловероятным событием (<6%).

    Расчеты приведены в файле примера на листе Задача .

    Примечание : Частой ошибкой при решении подобных задач является неправильное использование стандартного отклонения , т.е. когда вместо стандартной ошибки используют известное стандартное отклонение исходного распределения (45 долл.), которое не обязательно является нормальным . Но, даже если исходное распределение нормальное , то вычисленное значение вероятности (в нашем случае оно будет около 40%) всегда существенно выше правильного значения (примерно 6%). Это соответствует схеме расчета, если бы мы выбрали лишь 1 депозит (вместо 50) и попытались бы на основании его значения принять решение об истинности слов служащего банка.

    Резюме : Чаще всего на практике распределение, из которого делается выборка не известно (можно лишь предположить, что распределение банковских депозитов, скорее всего, скошено влево, т.к. обычно небольшие вклады составляют наибольшее количество). Но, не зная математического выражения для распределения, мы не можем оценить вероятность извлечь определенное значение из него. Именно в таких случаях нам помогает ЦПТ .

    Альтернативная формулировка ЦПТ

    Теперь рассмотрим как работает ЦПТ в случае, когда случайная величина является суммой случайных величин, распределенных по различным законам с различными средними и стандартными отклонениями .

    Если x 1 , x 2 , x 3 , … x n – случайные величины с известными значениями среднего μ i и стандартного отклонения σ i , и y= x 1 +x 2 +x 3 + … +x n , то распределение

    приближается к N (0;1) при n стремящемуся к бесконечности.

    Другими словами ЦПТ утверждает, что сумма n независимых случайных величин при достаточно большом n , будет распределена по нормальному закону со средним значением равным сумме средних значений этих случайных величин и дисперсией равной сумме их дисперсий , т.е. по закону

    Как и в случае классической ЦПТ , для демонстрации выводов ЦПТ используем MS EXCEL. В качестве исходных распределений возьмем 4 B(0,1; 20), 3 U и 3 ). В этой книге мы, о производящих функциях будем давать краткую информацию и некоторые применения к подсчёту числовых характеристик случайных величин.

    Краткие сведения об ошибке измерений. Известно, что при повторении измерений одного и того же объекта, выполненными одним и тем же измерительным прибором с одинаковой тщательностью (при одинаковых условиях) не всегда достигаются одинаковые результаты. Разброс результатов измерения вызван тем, что на процесс измерения влияют многочисленные факторы, которые не возможно и не целесообразно учитывать. В этой ситуации ошибку, возникающую при измерении интересующей нас величины часто можно рассматривать как сумму большого числа независимых между собой слагаемых, каждое из которых даёт лишь незначительный вклад в образование всей суммы. Но такие случаи приводят нас как раз к условиям применимости теоремы Ляпунова и можно ожидать, что распределение ошибки измеряемой величины мало отличается от нормального распределения.

    В более общем случае, ошибка является функцией большого числа случайных аргументов, каждый из которых лишь немного отличается от своего математического ожидания. Линеаризуя эту функцию, то есть, заменяя её линейной, опять приходят к предыдущему случаю. Накопленный опыт по статистической обработке результатов измерений действительно подтверждает этот факт в большинстве практических случаев.

    Аналогичные рассуждения объясняют появление нормального распределения в отклонениях параметров, определяющих выпущенную готовую продукцию (изделия), от нормативных значений при массовом производстве.

    Рассмотрим следующий пример.

    Пример 5. Независимые случайные величиныраспределены равномерно на отрезке . Найти закон распределения с.в.
    , а также вероятность того, что

    Решение. Условия ЦПТ соблюдается, поэтому с.в.имеет приближенно плотность распределения

    По известным формулам для м.о. и дисперсии в случае равномерного распределения находим: Тогда

    На основании формулы (26), находим (с учётом табличных значений функции Лапласа)

    Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой (ЦПТ).

    Пусть ξ 1, ξ 2 , …, ξ n , …– последовательность независимых случайных величин. Обозначим

    n η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. Говорят, что к последовательности ξ 1, ξ 2 , …, ξ n , … применима ЦТП,

    если при n → ∞ закон распределения η n стремится к нормальному:

    Суть ЦПТ: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения их суммы стремится к нормальному.

    Центральная предельная теорема Ляпунова

    Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточ-но большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практичес-ких приложений.

    Характеристические функции.

    Для доказательства центральной предельной теоремы используется метод характеристичес-ких функций.

    Определение 14.1. Характеристической функцией случайной величины Х называется функция

    g (t ) = M ( e itX ) (14.1)

    Таким образом, g (t ) представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины U = e itX , связанной с величиной Х . В частности, если Х – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения, то

    . (14.2)

    Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f (x )

    (14.3)

    Пример 1. Пусть Х – число выпадений 6 очков при одном броске игральной кости. Тогда по формуле (14.2) g (t ) =

    Пример 2. Найдем характеристическую функцию для нормированной непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону . По формуле (14.3) (использовалась формула и то, что i ² = -1).

    Свойства характеристических функций.

    1. Функцию f (x ) можно найти по известной функции g (t ) по формуле

    (14.4)

    (преобразование (14.3) называется преобразованием Фурье , а преобразование (14.4) – обратным преобразованием Фурье ).

    2. Если случайные величины Х и Y связаны соотношением Y = aX , то их характеристические функции связаны соотношением

    g y (t ) = g x (at ). (14.5)

    3. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: для

    Теорема 14.1 (центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагае-мых). Если Х 1 , Х 2 ,…, Х п ,… - независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием т и дисперсией σ 2 , то при неограниченном увеличении п закон распределения суммы неограниченно приближается к нор-мальному.


    Доказательство.

    Докажем теорему для непрерывных случайных величин Х 1 , Х 2 ,…, Х п (доказательство для дискретных величин аналогично). Согласно условию теоремы, характеристические функции слагаемых одинаковы: Тогда по свойству 3 характеристическая функция суммы Y n будет Разложим функцию g x (t ) в ряд Маклорена:

    , где при .

    Если предположить, что т = 0 (то есть перенести начало отсчета в точку т ), то .

    (так как т = 0). Подставив полученные результаты в формулу Маклорена, найдем, что

    .

    Рассмотрим новую случайную величину , отличающуюся от Y n тем, что ее дисперсия при любом п равна 0. Так как Y n и Z n связаны линейной зависимостью, достаточно доказать, что Z n распределена по нормальному закону, или, что то же самое, что ее характе-ристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона (см. пример 2). По свойству характеристических функций

    Прологарифмируем полученное выражение:

    где

    Разложим в ряд при п → ∞, ограничившись двумя членами разложения, тогда ln(1 - k ) ≈ - k .

    Где последний предел равен 0, так как при . Следовательно, , то есть - характеристическая функция нормального распределения. Итак, при неограниченном увеличении числа слагаемых характеристическая функция величины Z n неограниченно приближается к характеристической функции нормального закона; следова-тельно, закон распределения Z n (и Y n ) неограниченно приближается к нормальному. Теорема доказана.

    А.М.Ляпунов доказал центральную предельную теорему для условий более общего вида:

    Теорема 14.2 (теорема Ляпунова). Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, для которых выполнено условие:

    где b k – третий абсолютный центральный момент величины Х к , а D k – ее дисперсия, то Х имеет распределение, близкое к нормальному (условие Ляпунова означает, что влияние каждого слагаемого на сумму ничтожно мало).

    Практически можно использовать центральную предельную теорему при достаточно небольшом количестве слагаемых, так как вероятностные расчеты требуют сравнительно малой точности. Опыт показывает, что для суммы даже десяти и менее слагаемых закон их распределения можно заменить нормальным.