Es – в немецком языке является местоимением. В каких случаях оно используется вы узнаете из сегодняшней заметки.

В начале стоит рассказать, что местоимение es очень часто заменяет какое-то слово или даже словосочетание. Вот посмотрите:

1. Es – используется при замене существительного среднего рода (с артиклем das) – которое было до этого названо.


Das Hemd gefällt mir. Es ist wirklich sehr schön. – Рубашка мне нравится. Она действительно очень красивая.

Kennst du das Buch? Hast du es schon gelesen? – Ты знаешь эту книгу? Ты её уже прочитал?

2. Заменяет прилагательное. При этом стоит после глагола, и никогда – на первом месте в предложении.

Anna liest viel und ist sehr intelligent . Ihr Bruder ist es nicht. – Анна читает много и очень образованна. А её брат – нет (не образован).

3. Может заменять и целую фразу:

Manchmal lese ich Bücher in anderen Sprachen . Aber ich mache es leider nicht oft genug. – Иногда я читаю книги на других языках. Но я делаю это не достаточно часто.

Местоимение ES – важная часть предложения

Местоимение ES является очень нужным в безличных предложениях. В русском мы может составлять подобные предложения без использования чего-либо, например: Весна. Поздно. В немецком предложениях всегда обязателен субъект. Поэтому на помощь спешит маленький, но удаленький – ES.

Es ist spät. – Поздно.

Es ist Herbst . – Осень.

Es ist schon 10 Uhr. – Уже 10 часов.

Кроме упомянутого случая, местоимение es является необходимым:

1. При описании явлений природы это маленькое слово оказывается очень нужным:

Es schneit. – Идет снег.

Es regnet. – Идет дождь.

Es taut. – Тает.

Es blitzt. – Сверкает молния.

Перечень погодных слов и выражений ищите

2. В следующих фразах , которые начинают какое-либо повествование или монолог/ диалог, тоже используется местоимение ES:

Es geht um… – Речь идет о…

Es gibt.. . – Существует…

3. В обороте : es ist

Es ist schön, dich mal wieder zusehen. – Приятно, снова тебя видеть.

4. Во фразах о состояниях человека :

Wie geht es Ihnen? – Как ваши дела?

Es geht mir gut . – У меня всё хорошо.

Es tut sehr weh. – Очень больно.

Сюда же можно отнести и следующие примеры, так как они описывают ощущения и впечатления человека:

Es schmeckt wirklich gut . – Действительно очень вкусно.

Es duftet hier so gut nach frischem Brot. – Здесь так приятно пахнет свежим хлебом.

5. С глаголами, которые описывают какой-то звук. Например: klingen, klopfen, läuten.

Es klingelt an der Tür. – В дверь звонят.

6. В таких оборотах как:

Es schwer haben – трудно

es leicht haben – легко

es eilig haben – торопиться

es ernst meinen – говорить серьезно (без шуток)

Ich kann jetzt nicht mir dir telefonieren. Ich habe es eilig . – Я не могу сейчас с тобой разговаривать. Я тороплюсь.

А еще

Если в предложении есть субъект, то ES – употреблять – в принципе – не нужно, но иногда оно может появляется в некоторых текстах, и даже в разговоре.

Es kommen heute endlich meine Eltern zu Besuch . – Сегодня, наконец, мои родители придут в гости. Хотя проще было бы сказать:

Heute kommen endlich meine Eltern zu Besuch.

В разговорной речи местоимение es может становится еще короче: Schmeckt es dir? – Schmeckt´s dir?

Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение синуса и косинуса




|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x


График функции косинус, y = cos x


Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

y = sin x y = cos x
Область определения и непрерывность - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Область значений -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности



;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные


;

Формула Эйлера

{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения , для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

  1. Метод замены переменной и подстановки

    2. Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

    Используя формулы приведения получим:

    2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

    Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

    2y 2 – 3y + 1 + 0

    Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2

    Теперь идем в обратном порядке

    Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

  2. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

    3. Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

    Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

    sin x + cos x – 1 = 0

    Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

    sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

    Делаем разложение на множители:

    2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

    2sin(x/2) * = 0

    Получаем два уравнения

  3. Приведение к однородному уравнению

    4. Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

    а) переносят все его члены в левую часть;

    б) выносят все общие множители за скобки;

    в) приравнивают все множители и скобки к 0;

    г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

    д) решают полученное уравнение относительно tg.

    Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

    Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

    3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

    sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

    Делим на cos x:

    tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

    Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

    y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3

    Отсюда находим два решения исходного уравнения:

    x 2 = arctg 3 + k

  4. Решение уравнений, через переход к половинному углу

    5. Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

    Переходим к x/2:

    6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

    Пререносим все влево:

    2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

    Делим на cos(x/2):

    tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

  5. Введение вспомогательного угла

    6. Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

    где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

    Обе части уравнения разделим на :

    Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

    cos * sin x + sin * cos x = С

    или sin(x + ) = C

    Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

    х = (-1) k * arcsin С - + k, где

    Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

    Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

    В этом уравнении коэффициенты:

    а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

Концепция решения тригонометрических уравнений.

  • Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x = a
    • tg x = a; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Ответ: х = π/4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: х = π/12 + πn.

  • Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите решение на единичной окружности.

      • Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
      • Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
        • Метод 1.
      • Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
      • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
        • Метод 2.
      • Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
      • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
      • Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.

    • При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.

    Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

    Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.

    По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.

    Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

    1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
    2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
    3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

    Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

    I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

    Схема решения

    Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

    Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

    cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

    sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

    tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

    ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

    Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

    Пример.

    2 cos(3x – π/4) = -√2.

    Решение.

    1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

    2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

    3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

    3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

    x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

    x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

    Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

    II. Замена переменной

    Схема решения

    Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

    Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

    Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

    Шаг 4. Сделать обратную замену.

    Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

    Пример.

    2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

    Решение.

    1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

    2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

    2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.

    3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

    t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.

    4) sin (x/2) = 1.

    5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

    x = π + 4πn, n Є Z.

    Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

    III. Метод понижения порядка уравнения

    Схема решения

    Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

    sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

    cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

    tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

    Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

    Пример.

    cos 2x + cos 2 x = 5/4.

    Решение.

    1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

    2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

    3/2 · cos 2x = 3/4;

    2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

    x = ±π/6 + πn, n Є Z.

    Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

    IV. Однородные уравнения

    Схема решения

    Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

    a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

    или к виду

    б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

    Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

    а) cos x ≠ 0;

    б) cos 2 x ≠ 0;

    и получить уравнение относительно tg x:

    а) a tg x + b = 0;

    б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

    Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

    Пример.

    5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

    Решение.

    1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

    5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

    sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

    2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

    3) Пусть tg x = t, тогда

    t 2 + 3t – 4 = 0;

    t = 1 или t = -4, значит

    tg x = 1 или tg x = -4.

    Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

    Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

    V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

    Схема решения

    Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

    Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

    Пример.

    sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

    Решение.

    1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

    2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

    2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

    sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

    Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

    Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

    В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

    Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

    Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.

    С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.

    Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.

    Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
    Чтобы получить помощь репетитора – .
    Первый урок – бесплатно!

    blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.