Задачи на площадь круга

И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

d = 2r
D = 2R

Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

C = ¶d
C = 2¶r

Примеры
Дано: d = 100 см.
Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
Дано: d = 25 мм.
Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Секущая окружности и дуга окружности

Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

Примеры
Дано: r = 100 см
Площадь круга:
S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
Дано: d = 50 мм
Площадь круга:
S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

Таким образом, длину окружности (C ) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D ), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

C = πD = 2πR

где C - длина окружности, π - константа, D - диаметр окружности , R - радиус окружности.

Так как окружность является границей круга , то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

D = 3,5 · 2 = 7 (м)

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга :

S = πr 2

где S - площадь круга, а r - радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

7: 2 = 3,5 (см)

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2)

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S = π	D 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	= 38,465 (см 2)
	4		4		4		4

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π , а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

r = √S : π

следовательно радиус будет равен:

r ≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно. Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге. В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.

Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:

Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π .

Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π . В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.

§ 34. Длина окружности

Предварительное упражнение

Обтяните ниткой какой-нибудь круглый предмет (стакан, кастрюлю, решето) по окружности и, вытянув нитку, измерьте ее. Определите затем, во сколько раз длина окружности этого предмета больше ее диаметра.

На практике часто нужно бывает определять длину окружности. Чтобы заготовить, например, железную полосу для шины колеса, кузнецу нужно заранее знать длину этой полосы, т. е. длину окружности колеса. Всего проще в этом случае обтянуть обод колеса ниткой и затем, вытянув, измерить ее длину. Не всегда, однако, бывает удобно поступать так, а часто способ этот и вовсе неприменим: нельзя, например, найти по этому способу длину окружности, начерченной на бумаге.

Другой способ определения длины окружности состоит в том, что измеряют только диаметр и по нему узнают длину окружности, пользуясь следующим свойством окружности:

д л и н а в с я к о й о к р у ж н о с т и б о л ь ш е е е д и а м е т р а п р и м е р н о в 3,14 р а з а.

Если, например, длина диаметра 75 см, то длина окружности 75 ? 3,14 ? 240 см. Правило это справедливо для всякой окружности, как бы малы или как бы велики ни были ее размеры.

Проверяя правильность этого соотношения, непосредственным измерением (диаметра – масштабной линейкой, окружности – ниткой или лентой), мы получаем числа лишь более или менее близкие к 3,14. Несовпадение результатов объясняется ошибками измерения: очень трудно измерить совершенно точно диаметр и окружность, а потому нельзя поручиться за строгую точность их отношения, полученного таким способом. Но в математике существуют иные пути к нахождению этого отношения, которых мы изложить здесь не можем, но которые дают отношение длины окружности к диаметру с точностью, более чем достаточною для практических целей.

Число, показывающее, во сколько раз окружность длиннее диаметра (т. е. выражающее отношение длины окружности к диаметру), условились ради краткости обозначать греческою буквою (произносится: «пи»). Приближенно?= 3,14; более точные значения этой величины выражаются большим числом цифр после запятой. На практике в большинстве случаев достаточно пользоваться сейчас приведенным значением (= 3,14), которое поэтому нужно твердо запомнить. Итак,

о т н о ш е н и е д л и н ы в с я к о й о к р у ж н о с т и к е е д и а м е т р у р а в н о, т. е. 3,14 и л и 31/7.

Отсюда следует, что если диаметр окружности d , то длина ее С = ? ? d, или?d

(произносится: «пи дэ»).

Если радиус окружности R , то длина ее

С = 2R ?= 2?R («два пи эр»).

Пользуясь этими формулами, вычисляют длину окружности по ее диаметру или радиусу.

Наоборот, зная длину окружности, можно по тем же формулам вычислить ее диаметр или радиус:

Пусть, например, мы желаем определить поперечник дерева (т. е. диаметр его сечения). Измерив лентой окружность дерева, получаем, скажем, 86 см: это – длина окружности. Ее диаметр, т. е. поперечник, равен 86: 3,14 = 27 см.

Повторительные вопросы

Как определить длину окружности измерением? На чем основано нахождение длины окружности вычислением? – Чему равно отношение длины окружности к ее диаметру? Что условились обозначать буквою? – Чему равно? – Как определить длину окружности по диаметру? По радиусу? – Как определить диаметр по длине окружности? Радиус по длине окружности? Как выразить эти соотношения формулами?

Применения

39. Метр составляет 40 000 000-ю долю окружности земного шара. Найти радиус Земли.

Р е ш е н и е. Радиус найдем делением окружности на 2, т. е. на 6,28.

40 000 000: 6,28 = 6 370 000 метров.

40. Ведущее колесо паровоза делает в секунду 4 оборота. Диаметр колеса 1,3 м. Определить часовую скорость паровоза.

Р е ш е н и е. За один оборот колеса паровоз подвигается на 3,14 ? 1,3 м. Поэтому секундная скорость = 4 ? 3,14 ? 1,3, а часовая

4 ? 3,14 ? 1,3 ? 3 600 = 59 000 м = 59 км.

41. Пассажирский паровоз проходит в час 60 км. Диаметр ведущего колеса 2,1 м. Сколько целых оборотов делает колесо в секунду?

Р е ш е н и е. За один оборот колеса паровоз перемещается на 3,14 ? 2,1 = 6,6 м. Так как в секунду он подвигается на

60 000/3600 = 17 метров, то искомое число оборотов равно 17: 6,6, т. е. около 21/2.

42. Ленинград лежит в 25° к востоку от Гринвичского меридиана. Христиания – на том же параллельном круге на 11° восточнее Гринвичского меридиана. Радиус параллельного круга, на котором расположены эти города 3200 км. Определить взаимное расстояние этих городов по дуге параллельного круга.

Р е ш е н и е. Расстояние между названными городами в градусах равно 250° – 11° – 140°. Длина параллельного круга равна

2 ? 3,14 ? 3200 = 20 000 км. Длина 1° этого круга = 55 км. Искомое расстояние равно 770 км.

Цели урока.

Образовательные: - вывести формулу длины окружности, научиться применять ее при решении практических задач.

Воспитательные: - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Развивающие: - развитие логического мышления, умения делать выводы, зрительной памяти, математически грамотной речи, сознательного восприятия учебного материала.

Тип урока: урок изучения новых знаний.

Вид урока: комбинированный, с элементами исследования.

Оборудование: для практической работы нитка, линейка, 5 круглых предметов (шарик, яблоко, тарелка, стакан, мячик, шайба, апельсин и т.д.), калькулятор, циркуль, карточки с таблицей, карточки-задания,экран, мультимедийный проектор, компьютер.

Презентация в программе Microsoft Office Power Point 2000.

Структура урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости получаемых знаний и умений; сообщение темы, целей урока.

3. Практическая работа. Выводы.

4. Перенос приобретенных знаний, их первичное применение в новых или изменённых условиях, с целью формирования умений.

5. Элементы здоровьесберегающих технологий.

7. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости получаемых знаний и умений; сообщение учащимся цели предстоящей работы.

Сегодня на уроке мы с вами попробуем догадаться, как измерять длину окружности и познакомимся с одним из удивительных чисел математики – числом , а также научимся применять полученную формулу при решении практических задач.

Откройте тетради, запишите число и тему урока. (Слайд №1)

Прежде, чем мы приступим к нашей практической работе, давайте вспомним, что такое окружность, как она строится, что такое радиус и диаметр окружности. (Слайд №2)

Итак, сейчас каждый из вас в своей тетради должен будет построить чертеж под диктовку, а один ученик выполняет задание на доске.

Математический диктант.

Построить окружность с центром в точке О произвольного радиуса.
В этой окружности провести радиус ОВ.
Построить хорду АС таким образом, чтобы она пересекала радиус ОВ.
Построить диаметр АD.
Измерить и записать длину радиуса ОВ.
Измерить и записать длину диаметра АD.
Измерить и записать длину хорды АС.

При проверке диктанта повторяются определения окружности, радиуса, хорды и диаметра. Как вычислить длину диаметра окружности, зная ее радиус?

Проблемный вопрос: как измерить длину построенной окружности?

Проблемная задача: чтобы определить диаметр ствола дерева, лесник берет веревку и измеряет длину окружности ствола дерева. Как вы думаете, почему он так поступает? Какая связь между длиной окружности и ее диаметром? (Слайд №3)

На этот вопрос мы сейчас и попробуем найти ответ.

3. Практическая работа. (Слайд № 4)

У каждого из вас имеются на столе круглые предметы, нитки, линейки и карточки с таблицей.

Измеряемый предмет	Длина окружности, С, см	Диаметр окружности, D, см	Во сколько раз длина окружности больше, чем диаметр
1.
2.
3
4.
5.

Берем первый предмет, измеряем его по окружности ниткой, затем распрямляем ее и измеряем линейкой. Результаты запишем в таблицу, с помощью калькулятора вычисляем, во сколько раз длина окружности больше длины диаметра и заполняем последний столбик, округляя результат до сотых долей. Аналогично ребята заполняют еще 4 строчки таблицы. На экране таблица тоже заполняется учителем.

Сравнивая результаты, учащиеся делают вывод: длина окружности приблизительно в 3,1 раза больше, чем ее диаметр, . (Слайд № 5)

Учитель: Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой (читается: “пи”). Поэтому С= D.

Так как диаметр окружности вдвое больше ее радиуса, то длина окружности с радиусом r равна 2r (Слайды № 6, 7)

Ребята, запишите эти две формулы в тетради, обведите их в рамочки.

Вы, наверное, заметили, что значения в последнем столбце таблицы отличаются друг от друга на несколько знаков после запятой. Более точные подсчеты показали, что с точностью до десятитысячных 3,1416. Если значение округлить до сотых, то получим значение 3,14, а если до единиц, получим 3. (Слайд № 8)

Историческая справка. (Слайды № 9-15)

а) Учитель. Вернемся к задаче про лесника. Так чему же равен диаметр ствола этого дерева? Является ли это число точным? (Cлайд №16)

б) Устно вычислить диаметры стволов деревьев-гигантов у их оснований: а) эвкалипта, длина окружности которого 25 м; б) мамонтова дерева длина окружности которого 32 м. (Слайд №17)

в) По учебнику № 847 одновременно 3 ученика выполняют на доске, остальные в тетрадях по вариантам: 1 вариант – r = 24 см, 2 вариант – r = 4,7 дм, 3 вариант – r = 18,5 м.

г) № 849 – комментировано, с записью в тетрадях.

д) № 851- самостоятельно с последующей проверкой. (Слайд №18)

5. Физкультминутка. (Упражнения для мышц шеи, для глаз)

6. Самостоятельное выполнение учащимися заданий.

На парте у каждого ученика карточки-задания. Используя формулу длины окружности, заполнить таблицу. Число 3.

Ф.И. Вариант 1
R, см	1		5			1,25
D, см		2,2			10,62
C, см				12			15,6
Ф.И. Вариант 2
R, см		2			10,6
D, см	1			12			15,6
C, см			5,1			36,3

Ребята обмениваются таблицами, взаимопроверка по готовым ответам, выставляют оценки. (Слайд № 19)

7. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Устно ответить на вопросы:

1) Чему равно отношение длины окружности к диаметру?

2) Назовите формулы для нахождения длины окружности.

3) Чему равно число ?

Оценки за урок выставляются после проверки работы с таблицами, учитывая, ответы тех учащихся, которые отвечали в течение урока.

8. Домашнее задание. № 868, 882, 887. (Слайд № 20)

Преподавание математики ведется по учебнику Н.Я.Виленкин и др. Математика 6, М.: Мнемозина, 2007.