Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a n , d, n
Найти: a 1
Эта математическая программа находит \(a_1\) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_n, d \) и \(n \).
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности
, число a 2 - вторым членом последовательности
,
число a 3 - третьим членом последовательности
и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности
, а натуральное число n - его номером
.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \(a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \(1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)
Арифметическая прогрессия
Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \(365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.
Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.
Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .
Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической
прогрессией
, если для всех натуральных n выполняется равенство
\(a_{n+1} = a_n+d, \)
где d - некоторое число.
Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .
По определению арифметической прогрессии имеем:
\(a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\(a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \(n>1 \)
Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.
Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной
формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например,
для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической
прогрессии
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии
.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.
Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\(S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)
Так как \(a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых
членов арифметической прогрессии
:
\(S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.
Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .
Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .
См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение транспонированной матрицы A T .
- Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
- Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
- Определение алгебраических дополнений.
- Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
- Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
- Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.
Пример №1
. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:
| A -1 = 1 / 10 |
|
| A -1 = |
|
Другой алгоритм нахождения обратной матрицы
Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.- Находим определитель данной квадратной матрицы A .
- Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
- Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
- Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .
Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .
На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.
Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Урок: Приведение дробей к общему знаменателю
Повторение. Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.
Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
1. Приведите дробь к знаменателю 35.
Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.
2. Приведите дробь к знаменателю 18.
Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.
3. Приведите дробь к знаменателю 60.
Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.
4. Приведите дробь к знаменателю 24
В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.
Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три - это дополнительный множитель для первой дроби, а два - для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.
Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо
Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
а) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 3. Приводим дроби к знаменателю 24.
б) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.
в) Привести к общему знаменателю дроби и .
Общий знаменатель - 24. Дополнительные множители, соответственно, - 2 и 3.
Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Привести к общему знаменателю дроби и .
Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби - это 14. Дополнительный множитель для второй дроби - 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
Можно скачать книги, указанные в п.1.2. данного урока.
Домашнее задание
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
Домашнее задание: №297, №298, №300.
Другие задания: №270, №290
На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.
Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Урок: Приведение дробей к общему знаменателю
Повторение. Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.
Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
1. Приведите дробь к знаменателю 35.
Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.
2. Приведите дробь к знаменателю 18.
Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.
3. Приведите дробь к знаменателю 60.
Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.
4. Приведите дробь к знаменателю 24
В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.
Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три - это дополнительный множитель для первой дроби, а два - для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.
Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо
Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
а) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 3. Приводим дроби к знаменателю 24.
б) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.
в) Привести к общему знаменателю дроби и .
Общий знаменатель - 24. Дополнительные множители, соответственно, - 2 и 3.
Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Привести к общему знаменателю дроби и .
Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби - это 14. Дополнительный множитель для второй дроби - 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
Можно скачать книги, указанные в п.1.2. данного урока.
Домашнее задание
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
Домашнее задание: №297, №298, №300.
Другие задания: №270, №290
Материал этой статьи объясняет, как найти наименьший общий знаменатель и как привести дроби к общему знаменателю . Сначала даны определения общего знаменателя дробей и наименьшего общего знаменателя, а также показано, как найти общий знаменатель дробей. Дальше приведено правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены примеры применения этого правила. В заключение разобраны примеры приведения трех и большего количества дробей к общему знаменателю.
Навигация по странице.
Что называют приведением дробей к общему знаменателю?
Теперь мы можем сказать, что такое приведение дробей к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей данных дробей на такие дополнительные множители, что в результате получаются дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель, определение, примеры
Теперь пришло время дать определение общего знаменателя дробей.
Иными словами, общим знаменателем некоторого набора обыкновенных дробей является любое натуральное число, которое делится на все знаменатели данных дробей.
Из озвученного определения следует, что данный набор дробей имеет бесконечно много общих знаменателей, так как существует бесконечное множество общих кратных всех знаменателей исходного набора дробей.
Определение общего знаменателя дробей позволяет находить общие знаменатели данных дробей. Пусть, к примеру, даны дроби 1/4 и 5/6 , их знаменатели равны 4 и 6 соответственно. Положительными общими кратными чисел 4 и 6 являются числа 12 , 24 , 36 , 48 , … Любое из этих чисел является общим знаменателем дробей 1/4 и 5/6 .
Для закрепления материала рассмотрим решение следующего примера.
Пример.
Можно ли дроби 2/3 , 23/6 и 7/12 привести к общему знаменателю 150 ?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос нам нужно выяснить, является ли число 150 общим кратным знаменателей 3 , 6 и 12 . Для этого проверим, делится ли 150 нацело на каждое из этих чисел (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел , а также правила и примеры деления натуральных чисел с остатком): 150:3=50 , 150:6=25 , 150:12=12 (ост. 6) .
Итак, 150 не делится нацело на 12 , следовательно, 150 не является общим кратным чисел 3 , 6 и 12 . Следовательно, число 150 не может быть общим знаменателем исходных дробей.
Ответ:
Нельзя.
Наименьший общий знаменатель, как его найти?
В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует наименьшее натуральное число , которое называют наименьшим общим знаменателем. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.
Определение.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.
Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.
Так как является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.
Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к знаменателей этих дробей. Разберем решение примера.
Пример.
Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28 .
Решение.
Знаменатели данных дробей равны 10 и 28 . Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28 . В нашем случае легко : так как 10=2·5 , а 28=2·2·7 , то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140 .
Ответ:
140 .
Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения
Обычно обыкновенные дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Сейчас мы запишем правило, которое объясняет, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю состоит из трех шагов:
- Во-первых, находится наименьший общий знаменатель дробей.
- Во-вторых, для каждой дроби вычисляется дополнительный множитель, для чего наименьший общий знаменатель делится на знаменатель каждой дроби.
- В-третьих, числитель и знаменатель каждой дроби умножается на ее дополнительный множитель.
Применим озвученное правило к решению следующего примера.
Пример.
Приведите дроби 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.
Решение.
Выполним все шаги алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Сначала находим наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел 14 и 18 . Так как 14=2·7 и 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .
Теперь вычисляем дополнительные множители, с помощью которых дроби 5/14 и 7/18 будут приведены к знаменателю 126 . Для дроби 5/14 дополнительный множитель равен 126:14=9 , а для дроби 7/18 дополнительный множитель равен 126:18=7 .
Осталось умножить числители и знаменатели дробей 5/14
и 7/18
на дополнительные множители 9
и 7
соответственно. Имеем и 
.
Итак, приведение дробей 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю завершено. В итоге получились дроби 45/126 и 49/126 .
