Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.
Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.
Разновидности
Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:
- встречное движение;
- вдогонку;
- движение в противоположном направлении;
- движение по реке.
Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.
Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.
Движение навстречу
Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.
Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.
Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.
Второй способ
Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.
Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.
Движение в противоположном направлении
Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"
Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:
- Путь первого зайца: 40*2=80 км.
- Путь второго зайца: 45*2=90 км.
- Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.
Но возможен и другой вариант.
Скорость удаления
Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.
Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.
Движение вдогонку
Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"
Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.
Выводы
Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:
- при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
- если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
- если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.
Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?
Течение
Здесь могут встречаться опять же:
- задачи на движение навстречу друг другу;
- движение вдогонку;
- движение в противоположном направлении.
Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.
Пример задачи на движение по реке
Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.
Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.
Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);
120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;
Решаем уравнение:
Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.
Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.
Урок математики в 4-ом классе.
Тема урока:
«Решение задач на движение в противоположных направлениях».
Цели урока:
Научить решать задачи на движение в противоположных направлениях;
Научить составлять обратные задачи на движение в противоположных направлениях;
Совершенствовать вычислительные навыки;
Развивать внимание, память и логическое мышление;
Формировать навыки работы в малых группах;
воспитывать ответственное отношение к учебному труду.
Оборудование:
учебник «Математика 4 класс» (под ред. М.И. Моро), интерактивная доска, презентация «Движение в противоположных направлениях», карточки с величинами и карточки для работы в парах, таблица «Движение».
Ход урока:
1.Организационный момент.
- Добрый день, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке царицы наук – МАТЕМАТИКЕ. Я желаю, чтобы урок принес вам радость общения с друг другом и чтобы каждый ушел с урока с весомым багажом знаний. А теперь улыбнитесь и пожелайте друг другу успешной работы.
2.Устный счет.
а) Игра «Найди лишнее» :
Вам нужно выбрать те величины, которые используются
в задачах на движение.
Кг, км, т, с, км/ч, см, сут, м, ц, ч, мин, м/мин, км/c, м/с, дм
(на доске карточки).
п/о км, с, км/ч, м, ч, мин, м/мин, км/с, м/с
б) – На какие 3 группы можно разделить данные единицы измерения?
п/о Единицы скорости, времени и расстояния.
Для решения каких задач мы используем эти величины?
п/о Для решения задач на движение.
Умеете ли вы решать такие задачи?
Сейчас проверим.
в) Задачи на движение:
Слайд 2
«Улитка ползет со скоростью 5 м/ч. Какое расстояние она преодолеет за 4 ч?»
Слайд 3
«Черепаха за 10 мин проползет 40 м. С какой скоростью ползет черепаха?»
Слайд 4
«Верблюд передвигается по пустыне со скоростью 9 км/ч. За какое время он пройдет 54 км?»
Слайд 5
«Заяц за 3 ч пробегает 72 км. С какой скоростью бежит заяц?»
Слайд 6
«Голубь летит со скоростью 50 км/ч. Какое расстояние пролетит голубь за 6 ч?»
Слайд 7
«Орел летит со скоростью 30 м/с.
За какое время он пролетит 270 м?»
п/о - 20 м; 4 м/мин; 6 ч; 24 км/ч; 300 км; 9с.
3.Сообщение темы и целей урока:
Сегодня мы продолжаем работу с задачами на движение
и познакомимся с новым видом задач «Движение
в противоположных направлениях».
4.Объяснение нового материала.
Откройте учебники на странице 27, найдите № 135 и прочитайте первую задачу.
Слайд 8
«Из поселка вышли одновременно два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 ч?»
5 км/ч 4 км/ч
Км
- Что известно? Что нужно найти? Как находим расстояние?
п/о Известны скорости и время. Найти надо расстояние. Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время.
- Чтобы найти расстояние, что находим 1-ым действием?
п/о Скорость удаления.
- Записываем решение.
Слайд 9
9 ∙ 3 = 27 (км) – расстояние
Ответ: расстояние – 27 километров.
- Прочитайте вторую задачу.
Слайд 10
«Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км?»
5 км/ч 4 км/ч
27 км
- Что известно? Что нужно найти? Как находим время?
п/о Известны скорости и расстояние. Найти надо время. Чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость.
- Чтобы найти время, что находим 1-ым действием?
п/о Скорость удаления.
Записываем решение.
Слайд 11
п/о 5 + 4 = 9 (км/ч) – скорость удаления
27: 9 = 3 (ч)
Ответ: время – 3 часа.
- Прочитайте третью задачу.
Слайд 12
«Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 ч расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со средней скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход?
5 км/ч? км/ч
27 км
Что известно? Что нужно найти? Как находим скорость?
п/о Известны расстояние, одна из скоростей и время. Найти надо вторую скорость. Чтобы найти неизвестную скорость, надо от общей скорости отнять известную.
- Чтобы найти неизвестную скорость, что находим 1-ым действием?
п/о Скорость удаления.
- Записываем решение.
Слайд 13
п/о 27: 3 = 9 (км/ч) – скорость удаления
9 – 5 = 4 (км/ч)
Ответ: скорость – 4 километра в час.
- Похожи ли эти задачи?
п/о Это задачи на движение в противоположном направлении.
- Чем отличаются эти задачи?
п/о Если в задаче № 1 неизвестно расстояние, то в задаче № 2 оно дано. Но известное в задаче № 1, станет неизвестным в задаче
№ 2.
- Как называются такие задачи?
п/о Обратные.
Слайд 14
5.Физкультминутка.
Руки в стороны – в полет (руки в стороны)
Отправляем самолет,
Правое крыло вперед (поворот вправо)
Левое крыло вперед (поворот влево)
Раз, два, три, четыре (прыжки на месте)
Полетел наш самолет.
6.Первичное закрепление материала.
Прочитайте задачу № 143 на стр. 28.
«Два лыжника вышли из поселка одновременно и пошли в противоположных направлениях. Один из них шел со средней скоростью 12 км/ч, а другой – 10 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 44 км? Какое расстояние пройдет за это время каждый лыжник?»
Что в задаче известно?
п/о Направление, скорость и общее расстояние.
Что нужно узнать?
п/о Время движения и расстояние, которое пройдет каждый лыжник.
Выполним чертеж к этой задаче.
12 км/ч 10 км/ч
Км? км
44 км? ч
Если расстояние и время у этих лыжников общее. Что нужно узнать первым действием?
п/о Общую скорость.
Подумайте, как будет называться такая скорость, если при встречном движении мы говорим о скорости сближения?
п/о Скорость удаления.
Верно. Находим скорость удаления, т. е. На сколько километров удалятся друг от друга лыжники за 1 час.
Зная расстояние и скорость, как узнать время?
п/о Нужно расстояние разделить на скорость удаления.
Зная время и скорость каждого лыжника, мы можем узнать расстояние, которое проехал каждый лыжник. Как это сделать?
п/о Нужно скорость умножить на время.
Запишите решение этой задачи.
п/о 1) 12 + 10 = 22 (км/ч) – скорость удаления
2) 44: 22 = 2 (ч) – время
3) 12 ˑ 2 = 24 (км) – 1 лыжник
4) 10 ˑ 2 = 20 (км) – 2 лыжник
Ответ: через 2 часа, 24 км и 20 км.
7.Работа над пройденным материалом.
а) Работа в парах:
Какой ряд быстрее решит примеры?
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
п/о 80, 4, 200, 800, 40.
б) Работа по учебнику: № 138 (самостоятельная работа).
1 вариант – 1 строка
10000 – 2178 ∙ 6: 4 + 267 =10000 – 13068: 4 + 267 = 10000 – 3267 +267 = 6733 + 267 = 7000
240 ∙ 3 + 4540: 20 = 720 + 227 = 947
2 вариант – 2 строка
487 ∙ 8 + 45270: 3: 10 = 3896 + 15090: 10 = 3896 + 1509 = 5405
560: 7 + (3820 – 850) = 80 + 2970 = 3050
в) Задача на смекалку (устно), беседа о ПДД (дополнительное задание).
«Из школы вышли два ученика и пошли в разные стороны. Первый шел со скоростью 2 м/мин, а второй – 3 м/мин. Через сколько минут расстояние между ними будет 10 метров?»
п/о Решение: 1) 2 + 3 = 5 (м/мин) – скорость удаления
2) 10: 5 = 2 (мин)
Ответ: через 2 минуты расстояние между ними будет 10 метров.
Когда ребята шли из школы домой, то они должны были соблюдать правила дорожного движения.
Что вы им посоветуете?
(Ответы детей.)
8.Итог урока:
Что нового узнали на уроке? Чему научились?
п/о Научились решать задачи на движение в противоположных направлениях.
С какой скоростью движутся объекты при движении в противоположных направлениях?
п/о Объекты движутся со скоростью удаления.
Самооценка.
Как вы считаете хорошо ли вы усвоили материал сегодняшнего урока? Если да, то встаем, а если не очень – поднимаем правую руку.
На последующих уроках мы с вами продолжим работу над задачами на движение.
(Выставление оценок.)
Домашнее задание:
стр. 27 № 136.
- Спасибо за урок. Урок окончен.
Индивидуальная работа по карточкам
1 вариант. ВЕЛИЧИНЫ:
1. Переведи в метры 45 км 40м = __________м
2.Сколько метров в 1/2 части километра? ______м
3.Подчеркни: что больше 190 минут или 3 часа?
2 вариант. ВЕЛИЧИНЫ:
1. Переведи в метры 35 км 600м = _________ м
2.Сколько метров в 1/4 части километра? _______м
3.Подчеркни: что больше 130 минут или 2часа?
1 ряд
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
2 ряд
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
3 ряд
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
кг км т с км/ч см сут м ц ч мин м/мин км/c м/с дм Слайд 2
Улитка ползёт со скоростью 5 м/ч. Какое расстояние она преодолеет за 4 ч? 5 ∙ 4 = 20 (м)
Черепаха за 10 мин проползёт 40 м. С какой скоростью ползёт черепаха? 40: 10 = 4 (м/мин)
Верблюд передвигается по пустыне со скоростью 9 км/ч. За какое время он пройдёт 54 км? 54: 9 = 6 (ч)
Заяц за 3 ч пробегает 72 км. С какой скоростью бежит заяц? 72: 3 = 24 (км/ч)
Голубь летит со скоростью 50 км/ч. Какое расстояние пролетит голубь за 6 ч? 50 ∙ 6 = 300 (км)
Орёл летит со скоростью 30 м/с. За какое время он пролетит 270 м? 270: 30 = 9 (с)
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ? На каком расстоянии друг от друга будут п ешеходы через 3 часа? 5 км / ч 4 км / ч
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1) 5 + 4 = 9 (км / ч) – СКОРОСТЬ УДАЛЕНИЯ 2) 9 х 3 = 27 (км) Ответ: 27 километров.
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 27 км С какой скоростью шел второй пешеход? 5 км / ч?
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1) 27: 3 = 9 (км / ч) – СКОРОСТЬ УДАЛЕНИЯ 2) 9 – 5 = 4 (км / ч) Ответ: 4 километра в час.
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 27 км Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км? 5 км / ч 4 км / ч
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1) 5 + 4 = 9 (км / ч) – СКОРОСТЬ УДАЛЕНИЯ 2) 27: 9 = 3 (ч) Ответ: через 3 часа.
Девиз :
Всегда в движении,
Всегда в пути,
Ошибки с собой,
Мой друг не бери!
- Повторение.
- Самостоятельная работа № 1.
- Проверка.
- Индивидуальная работа:
- Подведение итогов урока.
а) Исправление ошибок:
- работа с коррекционными карточками;
- самопроверка по образцу;
- самостоятельная работа № 2 с самопроверкой по
образцу;
б) Дополнительное задание (с самопроверкой по
образцу).
I. Повторение.
Над какой темой мы с вами работаем?
(Решение задач на одновременное встречное движение и одновременное движение в противоположных направлениях).
1) Какие алгоритмы необходимо повторить?
2) Приготовьте сигнальные карточки.
| Решить | Красный | Желтый | Зеленый |
| Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу. Скорость 1-го – 12 км в час, скорость 2-го – 15 км в час. Чему равна скорость сближения? | 27 км/час | 185 км/час | |
| Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из 2-х поселков со скоростями 10км/час и 12 км/час и встретились через 2 часа. Каково расстояние между поселками? | 4 км | 44 км | 24 км |
| От пристани одновременно в противоположных направлениях отошли две моторные лодки со скоростями 10 км/час и 14 км/час. Чему равна скорость удаления? | 140 км/час | ||
| Из поселка одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода со скоростями 3 км/час и 4 км/час. Через сколько часов расстояние между ними будет 21 км? | 5 часов | 3 часа | 6 часов |
3) Проверка.
Подводим итог. Где ошиблись? Какой алгоритм надо повторить?
Физминутка.
Руки в стороны поставим,
Правой левую достанем.
А потом наоборот
Будет вправо поворот,
Раз – хлопок, два – хлопок,
Повернись еще разок!
Раз – два – три - четыре,
Плечи выше, руки шире!
Опускаем руки вниз
И за парты вновь садись.
Самостоятельная работа № 1 (5 минут)
Для тех, кто выполнит задание раньше, дополнительное задание учебник стр. 106 № 5 (а), (б).
По звонку колокольчика заканчиваем работать.
Задание самостоятельной работы № 1.
Из 2-х поселков одновременно навстречу друг другу вышли 2 пешехода и встретились через 2 часа. Скорость 1-го – 5 км/час, скорость 2-го – 4 км/час. Чему равно расстояние между поселками?
От пристани одновременно в противоположных направлениях отошли 2 парохода. Скорости пароходов 30 км/час и 20 км/час. Через сколько часов расстояние между ними будет 150 км?
Выполнили самостоятельную работу.
III. Проверка.
Сначала проверяем ответы, фиксируем в таблице в
| Алгоритмы | Коррекция | ||||
Задача № 1 |
№ 1 | № 1 | Оранжевый | ||
| № 2 | № 2 | Желтый | |||
Задача № 2 |
№ 3 | № 3 | Салатовый | ||
| № 4 | № 4 | Розовый | |||
Ставим “+”, если верно и “?”, если нет.
Ответы к самостоятельной работе № 1:
| 18 км |
| 3 часа |
Сигнальная карточка: зеленая – правильно, красная – ошибка.
У кого нет ошибок?
Верный ответ означает, что вы правильно решили? (Нет)
IV. Индивидуальная работа
Проверим по подробному образцу на экране.
На какие алгоритмы были задания?
Так ли рассуждали?
Где допустили ошибку и на каком этапе?
Магниты оранжевый, желтый, салатовый, розовый дети прикрепляют к тем алгоритмам, где ошиблись.
Встали, у кого нет ошибок и в подробном разборе.
Какая цель вашей работы? (Продолжить работать по дополнительному заданию)
Встали, кто допустил ошибки.
Ошибки, допущенные:
на алгоритме № 1 – оранжевая карточка,
на алгоритме № 2 – желтая карточка,
на алгоритме № 3 – салатовая карточка,
на алгоритме № 4 – розовая карточка.
Возьмите карточки.
Гимнастика для глаз.
Глазки вверх, вниз, вправо, влево.
Мы глазами водим смело.
Вниз, вверх, влево, вправо.
Это вовсе не забава.
Ты глаза зажмурь, открой.
Я задам вопрос простой.
Можно рисовать глазами?
Это мы проверим сами.
Мы квадратик нарисуем.
Змейку, только небольшую.
Треугольник тоже можно,
Только очень осторожно.
Самостоятельная работа № 2
Прочитайте задание на карточках и приступайте к выполнению.
Оранжевая карточка.
Желтая карточка.
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из поселков и встретились через 2 часа. Скорость сближения- 17 км/час. Чему равно расстояние между поселками?
Салатовая карточка.
Розовая карточка.
Решили, проверили, исправили свои ошибки, зафиксировали свои результаты в табличке.
Кто выполнял дополнительное задание, проверьте решение по карточкам.
У кого вообще не было ошибок (зеленый).
Кто работал с коррекционными карточками? Удалось исправить ошибку? (Зеленый).
Где нам встретятся задачи, которые решали? (В контрольной работе).
С каким результатом уйдете домой?
Домашнее задание: стр. 106 № 4.
Приложение 1
Ошибки, допущенные на алгоритме
№ 1 – оранжевая карточка
Два пешехода вышли одновременно из 2-х поселков навстречу друг другу. Скорость 1-го пешехода - 7 км/час, 2-го – 3 км/час. Чему равна скорость сближения?
7 + 3 = 10 (км/час)
Ответ: 10 км/час – скорость сближения пешеходов
№ 2 – желтая карточка
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из поселков и встретились через 2 часа. Скорость сближения - 17 км/час. Чему равно расстояние между поселками?
17 х 2 = 34 (км)
Ответ: 34 км – расстояние между поселками.
№ 3 – салатовая карточка
Из города одновременно в противоположных направлениях вышли 2 пешехода со скоростями 5 км/час и 3 км/час. Чему равна скорость удаления?
5 + 3 = 8 (км/час)
Ответ: 8 км/час – скорость удаления пешеходов
№ 4 – розовая карточка
Из поселка одновременно в противоположных направлениях вышли 2 лыжника. Скорость удаления равна 18 км/час. Через сколько часов расстояние между ними будет 36 км?
36 / 18 = 2 (часа)
Ответ: через 2 часа расстояние между лыжниками будет 36 км.
Дополнительное задание.
Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.
Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.
Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.
Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .
Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.
Рассмотрим таблицу.
Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .
Примеры решения задач.
Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.
Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.
Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.
То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .
Рассмотрим другие задачи.
Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях
)
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.
Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ:
встретятся через 2 ч.
Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:
Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.
1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
Задача 1.
Машина и автобус выехали с автостанции одновременно в противоположных направлениях. Скорость автобуса в два раза меньше скорости автомобиля. Через сколько часов расстояние между ними будет 450 км, если скорость автомобиля 60 км/час?
Решение:
- 2) 60 + 30 = 90 (скорость автобуса и автомобиля вместе)
- 3) 450: 90 = 5
- Выражение: 450: (60: 2 + 60) = 5
- Ответ: через 5 часов.
Задача 2.
Из города на дачу выехал велосипедист со скоростью 12 км/час. Дорога на дачу заняла 6 часов. На сколько изменилась скорость велосипедиста на обратном пути, если он затратил на него 4 часа?
Решение:
- 1) 12 * 6 = 72 (расстояние от города к даче)
- 2) 72: 4 = 18 (скорость обратного пути велосипедиста)
- 3) 18 - 12 = 6
- Выражение: (12 * 6: 4) - 12 = 6
- Ответ: скорость велосипедиста увеличилась на 6 км/час.
Задача 3.
Два поезда одновременно начали движение в противоположных на правлениях. Один двигался со скоростью на 30 км/час меньше, чем другой. На каком расстоянии друг от друга поезда будут через 4 часа, если скорость другого поезда 130 км/час?
Решение:
- 1) 130 - 30 = 100 (км/час скорсть второго поезда)
- 2) 130 + 100 = 230 (скорость двух поездов вместе)
- 3) 230 * 4 = 920
- Выражение: (130 - 30 + 130) * 4 = 920
- Ответ: расстояние между поездами через 4 часа будет 920 км.
Задача 4.
Такси двигалось со скоростью 60 км/час, автобус в 2 раза медленнее. Через сколько времени между ними будет 360 км, если они движутся в разных направлениях?
Решение:
- 1) 60: 2 = 30 (скорость автобуса)
- 2) 60 + 30 = 90 (скорость автобуса и такси вместе)
- 3) 360: 90 = 4
- Выражение: 360: (60: 2 + 60) = 4
- Ответ: через 4 часа.
Задача 5.
Два автомобиля выехали из автопарка одновременно в противоположных направлениях. Скорость одного 70 км/час, другого 50 км/час. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?
Решение:
- 1) 70 + 50 = 120 (скорость двух автомобилей вместе)
- 2) 120 * 4 = 480
- Выражение: (70 + 50) : 4 = 480
- Ответ: через 4 часа между автомобилями будет 480 км.
Задача 6.
Два человека в одно и тоже время вышли из поселка в разных направлениях. Один двигался со скоростью 6 км/час, скорость другого была 5 км/час. Сколько часов понадобится чтобы расстояние между ними стало 33 км?
Решение:
- 1) 6 + 5 = 11 (скорость двух человек вместе)
- 2) 33: 11 = 3
- Выражение: 33: (6 + 5) = 3
- Ответ: через 3 часа.
Задача 7.
Грузовой и легковой автомобили отправились от автостанции в разных направлениях. За одно и тоже время грузовик проехал 70 км, а легковой автомобиль 140 км. С какой скоростью двигался легковой автомобиль, если скорость грузовика 35 км/час?
Решение:
- 1) 70: 35 = 2 (часа затратил на дорогу грузовик)
- 2) 140: 2 = 70
- Выражение: 140: (70: 35) = 70
- Ответ: скорость легкового автомобиля 70 км/час.
Задача 8.
Два пешехода вышли из турбазы в противоположных направлениях. Скорость одного из них 4 км/час, другого 5 км/час. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов?
Решение:
- 1) 4 + 5 = 9 (общая скорсть пешеходов)
- 2) 5 * 9 = 45
- Выражение: (4 + 5) * 5 = 45
- Ответ: через 5 часов между пешеходами будет 45 км.
Задача 9.
Два самолета одновременно вылетели в противоположных направлениях. Скорость одного из самолетов 640 км/час. Какая скорость другого самолета, если через 3 часа расстояние между ними было 3630 км?
Решение:
- 1) 640 * 3 = 1920 (км пролетел один самолет)
- 2) 3630 - 1920 = 1710 (км пролетел другой самолет)
- 3) 1710: 3 = 570
- Выражение: (3630 - 640 * 3) : 3 = 570
- Ответ: скорсть второго самолета 570 км/ч
Задача 10.
Два крестьянина вышли из одного поселка одновременно в противоположных направлениях. Один двигался со скоростью 3 км/час другой 6 км/час. Какое расстояние будет между крестьянами через 5 часов.
Решение:
- 1) 3 + 6 = 9 (скорость двух крестьян вместе)
- 2) 5 * 9 = 45
- Выражение: 5 * (3 + 6) = 45
- Ответ: через 5 часов между крестьянами будет 45 км.
