1. Определение личностной мотивации учащихся. Для продолжения образования, для саморазвития и интеллектуального роста необходимо прилежно и осознанно учиться и заботиться о своем здоровье. 2. Выход на понятие «параметр». Параметр – величина, характеризующая основные свойства изменения системы или явления. (толковый словарь)
В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами. Пример: Решить задачу с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.
Х у х у a > 0 a 0, (2 корня) 0 a 0, (2 корня)"> 0 a 0, (2 корня)"> 0 a 0, (2 корня)" title="х у х у a > 0 a 0, (2 корня)"> title="х у х у a > 0 a 0, (2 корня)">
Х ууууу хох
2. при уравнение примет вид, и имеет корень х =0. 3. при находим корни уравнения по формуле Ответ: при корней нет; при один корень х =0. при два корня 1. левая часть уравнения неотрицательна при любом значении неизвестной х,. при решений нет. х у 0 у = а «СМОТРИ!» 1 способ (аналитический) 2 способ (графический)
У При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение? Запишем уравнение в виде: х Построим графики функций: Ответ: а =3 и подвижную прямую у = а. а
При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? х у Построим график По рисунку видим при и прямую у = а. решений нет. а Ответ:
(Графический способ решения задач с параметром) Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) =0 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс 3. «Считываем» нужную информацию Схема решения: !!!
3 Ответ: 1 корень " title="Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а. 1 35-2 1 х а -5 3 1 корень, а3 Ответ: 1 корень " class="link_thumb"> 15 Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а х а корень, а3 Ответ: 1 корень при a 3 2 корня при а=-5, а=3 3 корня при 1 3 Ответ: 1 корень "> 3 Ответ: 1 корень при a 3 2 корня при а=-5, а=3 3 корня при 1 3 Ответ: 1 корень " title="Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а. 1 35-2 1 х а -5 3 1 корень, а3 Ответ: 1 корень "> title="Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а. 1 35-2 1 х а -5 3 1 корень, а3 Ответ: 1 корень ">
Х у у При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня? х у х
1)При а = 3, вершина прямого угла; Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня. Исходное уравнение равносильно совокупности В ыражая параметр а, получаем: Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня в 3 случаях х а а 1 = 3 а 2 = ? а 3 = ? Тогда а = = 5. Ответ. 8. 2) При x 4, а 2 = 5 а 3 а 3
4, а 2 = 5 а 3 а 3">
Уравнения с параметрами:графический метод решения
8-9 классы
В статье рассматривается графический метод решения некоторых уравнений с параметрами, который весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a .
Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a ?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a . График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.
Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
Из чертежа видно, что:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x 1,2 = д 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.
если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.
Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 – 2| x | – 3 | = a в зависимости от параметра a ?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 – 2| x | – 3 | и y = a .
График функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).
Из чертежа видно:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | четыре общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 4, то два корня;
если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня;
если a = 3, то пять корней;
если 3 < a < 4, то шесть корней.
Задача 3. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a ?
Решение. Построим в системе координат (x; y)
график функции
но сначала представим ее в виде:
Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.
Графики функций пересекаются в одной точке при a
>
– 1; значит, уравнение (1) при этих значениях
параметра имеет одно решение.
При a = – 1, a = – 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня.
При – 2 < a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
если a > – 1, то одно решение;
если a = – 1, a = – 2, то два решения;
если – 2 < a < – 1, a < – 1, то три решения.
Замечание. При решении уравнения (1) задачи 3
особо следует обратить внимание на случай, когда a
= – 2, так как точка (– 1; – 1) не принадлежит
графику функции но принадлежит графику функции y = | x |
+ a
.
Перейдем к решению другой задачи.
Задача 4. Сколько корней имеет уравнение
x + 2 = a | x – 1 | (2)
в зависимости от параметра a ?
Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем
данного уравнения, так как равенство 3 = a
·
0 не может быть верным ни при
каком значении параметра a
. Разделим обе
части уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | №
0), тогда уравнение (2) примет вид В системе
координат xOy построим график функции
График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
если a Ј – 1, то корней нет;
если – 1 < a Ј 1, то один корень;
если a > 1, то два корня.
Рассмотрим наиболее сложное уравнение.
Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение
a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
имеет три решения?
Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение (3) примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение (3) имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Рассмотрим случай, когда a № 0.
Перепишем уравнение (3) в следующем виде: a x 2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a < 0.
В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = a x 2 . График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a x 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
Уравнение (3) будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y=a x 2 .
Пусть x 0 - абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = a x 2 . Уравнение касательной имеет вид
y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).
Запишем условия касания:
Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.
Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = a x 2 + px + q, то уравнение a x 2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение a x 2 = – x + 1 (a № 0). Дискриминант уравнения
Задачи для самостоятельного решения
6. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a ?
1) | | x | – 3 | = a ;
2) | x + 1 | + | x + 2 | = a ;
3) | x 2 – 4| x | + 3 | = a ;
4) | x 2 – 6| x | + 5 | = a .
1) если a <0, то корней нет; если a =0, a >3, то два корня; если a =3, то три корня; если 0<a <3, то четыре корня;
2) если a <1, то корней нет; если a =1, то бесконечное множество решений из отрезка [– 2; – 1]; если a > 1, то два решения;
3) если a <0, то корней нет; если a =0, a <3, то четыре корня; если 0<a <1, то восемь корней; если a =1, то шесть корней; если a =3, то три решения; если a >3, то два решения;
4) если a <0, то корней нет; если a =0, 4<a <5, то четыре корня; если 0<a < 4, то восемь корней; если a =4, то шесть корней; если a =5, то три корня; если a >5, то два корня.
7. Сколько корней имеет уравнение | x + 1 | = a (x – 1) в зависимости от параметра a ?
Указание. Так как x = 1 не является корнем
уравнения, то данное уравнение можно привести к
виду .
Ответ: если a Ј –1, a > 1, a =0, то один корень; если – 1<a <0, то два корня; если 0<a Ј 1, то корней нет.
8. Сколько корней имеет уравнение x + 1 = a | x – 1 |в зависимости от параметра a ?
Построить график
(см. рисунок).
Ответ: если a Ј –1, то корней нет; если – 1<a Ј 1, то один корень; если a >1, то два корня.
9. Сколько корней имеет уравнение
2| x | – 1 = a(x – 1)
в зависимости от параметра a ?
Указание. Привести уравнение к виду
Ответ: если a Ј –2, a >2, a =1, то один корень; если –2<a <1, то два корня; если 1<a Ј 2, то корней нет.
10. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a ?
Ответ: если a Ј 0, a і 2, то один корень; если 0<a <2, то два корня.
11. При каких значениях параметра a уравнение
x 2 + a | x – 2 | = 0
имеет три решения?
Указание. Привести уравнение к виду x 2 = – a | x – 2 |.
Ответ: при a Ј –8.
12. При каких значениях параметра a уравнение
a x 2 + | x + 1 | = 0
имеет три решения?
Указание. Воспользоваться задачей 5. Данное
уравнение имеет три решения только в том случае,
когда уравнение a
x 2 + x + 1 = 0 имеет одно
решение, причем случай a
= 0 не удовлетворяет
условию задачи, то есть остается случай, когда
13. Сколько корней имеет уравнение
x | x – 2 | = 1 – a
в зависимости от параметра a ?
Указание. Привести уравнение к виду –x |x – 2| + 1 = a
в зависимости от параметра a ?
Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.
Ответ: если a <0, a >2, то два корня; если 0Ј a Ј 2, то один корень.
16. Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от параметра a ?
Указание. Построить графики левой и правой
частей данного уравнения. Для построения графика
функции найдем
промежутки знакопостоянства выражений x + 2 и x:
Ответ: если a >– 1, то одно решение; если a = – 1, то два решения; если – 3<a <–1, то четыре решения; если a Ј –3, то три решения.