Определение . Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n A раз.
Число n A называется частотой события А , а отношение
называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.
Свойства относительной частоты
Относительная частота события обладает следующими свойствами.
1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.
2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.
3. Частота достоверного события равна 1, т.е.
4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то
Частость обладает свойством , называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n ) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р .
Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n .
Вероятность события А обозначается символом Р (А ) или р (А ). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.
Согласно данному определению
Свойства статистической вероятности
1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.
2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.
3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.
4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то
Классическое определение вероятности
Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А , называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А , w А .
Определение . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.
Свойства «классической» вероятности
1. Аксиома неотрицательности : вероятность любого события А неотрицательна, т.е.
Р (А ) ≥ 0.
2. Аксиома нормированности : вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:
3. Аксиома аддитивности : вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то
Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).
Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:
Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными , и тогда Р (А·В ) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:
Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми .
Полезный алгоритм
При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.
1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.
2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А , вероятность которого необходимо найти.
3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.
6. Следуя классическому определению вероятности, определить
При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w , а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.
Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, относительная частота события А определяется формулой
где m - число появлений события, n-общее число испытаний.
Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта͵ а относительную частоту - после опыта.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало {тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в случае если опытным путем установлена относительная частота͵ то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.
Пример 1. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления ʼʼгербаʼʼ. Результаты нескольких опытов приведены в табл.
Относит.частоты незначит. Отклоняются от числа 0,5, причём чем меньше, чем больше число испытаний.
В случае если учесть, что вер-ть появления ʼʼГʼʼ при бросании монеты=0,5, то вновь убеждаемся, что относит. Частота колеблется около вер-ти.
Наиболее слабая сторона классич. Опр-я вер-ти состоит в том, что оч.часто невозможно представить результат испытания в виде сов-ти элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элемент.соб-я равновозможными. По этой причине наряду с классич. Определением вер-ти используют и др.
Размещено на реф.рф
опр-я вер-ти В частности, статистическое:
В качестве статистической вер-ти события принимают относит. частоту или число близкое к ней.
При этом и опр-е статистич.вер-ти имеет свои ʼʼ-ʼʼ. К примеру, неоднозначность статистич.вер-ти. Так в рассмотренном примере в кач-ве вер-ти события можно принять не только 0,5, но и 0,5069, и 0,5016 и т.д.
Понятие ʼʼгеометрическая вер-ть ʼʼ сост. в след:
Путь в область G бросается наудачу точка. Выражение ʼʼбросается наудачуʼʼ принято понимать в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области G. Вер-ть попасть в какую-л. часть области G пропорциональна мере этой части (длина, площадь, объём) и не зависит от ее расположения и формы.
Т.о. если g – часть области G, то вер-ть попадания в обл-ть g по определению= Р(g)= мера g/мераG. Заметим, что здесь пр-во Ω всех элементарных исходов представляет собой сов-ть всех точек области G и значит состоит из бесконечного множества элементарных событий=>понятие ʼʼгеом. Вер-тьʼʼ можно рассматривать как обобщение понятия ʼʼклассич. Вер-тьʼʼ на случай опытов с бесконечным числом исходов.
Задача о встрече . Реш-е: Обозначим через х и у моменты прихода лиц А и В. Встреча состоится, в случае если |х-у|≤10.
В случае если изображать х и у как декартовы координаты на пл-ти, то все возможные исходы изобразятся точкой квадрата со сторонами 60.
10≤у-х≤10
Задача Бюффона . Реш-е: введём обозначения: х – расстояние от середины иглы до ближайшей параллели;
φ – угол, составляющий этой параллелью с иглой.
Положение иглы полностью опр-ся заданными определенными значениями х и φ. Причем х Є(0;а), φЄ(0;π). Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами а и π.
Т.о. данный прямоугольник можно рассмотреть как фигуру G, точки к-рой представляют из себявсе возможные положения середины иглы. Очевидно, эта площадь фигуры = πа.
Найдём фигуру g, каждая точка к-рой благоприятствует интересующему нас событию, ᴛ.ᴇ. каждая точка фигуры может служить серединой иглы, к-рая пересекает параллель.
Игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии: х≤l·sinφ
Т.е. если середина иглы попадает в любую из точек фигуры, заштрихованной на рис(2). Т.о. заштрихованную фигуру можно рассматривать как g. Найдём её площадь:
Ответ: 2l/аπ
Относительная частота. Устойчивость относительной частоты - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Относительная частота. Устойчивость относительной частоты" 2017, 2018.
Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, имеющие место в массовых однородных испытаниях (МОИ).
Испытание – это комплекс каких-либо условий, действий.
МОИ – это такие испытания, которые теоретически могут быть продолжены до бесконечности (учёба, соц.опросы, подбрасывание монеты).
Исход испытания – возможный результат испытания.
Событие – это абстракция исхода испытания (произошло явление в МОИ или нет).
НАПР., подбрасывание монеты – испытание, а появление «орла» - событие.
Событие принято обозначать большими лат. буквами A, B, C.
ВИДЫ СОБЫТИЙ:
1. Достоверным называется событие, которое произойдёт при любом исходе испытания.
2. Невозможное – не произойдет ни при каком исходе испытания.
3. Случайное – может произойти в результате испытания или нет.
НАПР., Подбрасывается игральный кубик.
Событие А – число очков не > 6: достоверное.
Событие В – число очков > 6: невозможное.
Событие С – от 1 до 6: случайное.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1. Равновозможные – такие, для которых сущ-вуют равноправие отдельных исходов испытания.
НАПР., извлечение короля, туза, дамы, валета из колоды карт.
2. Единственновозможные - такие, если в испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.
НАПР., В семье 2 детей: А – 2 мальчика, В – 2 девочки, С – 1 м. и 1 д.
Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.
Комбинаторика – наука о соединениях. Под соединением понимают любую совокупность элементов некоторого множ-ва.
НАПР., множ-во студентов, сидящих в аудитории.
Все соединения делятся на 3 группы:
1)Размещения. Р-ми из n эл-тов по m () называются такие соед-я, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком соединения эл-тов, либо тем и другим вместе.
Аnm = n!/(n-m)!
Задача. Сколько различных 2значных чисел можно составить из множ-ва цифр {1;2;3;4}, причем так, чтобы цифры числа были различными.
А из 4 по 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12
2) Сочетания. Сочетаниями из n эл-тов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом эл-тов (порядок следования не важен)
С из n по m = n!/m!*(n-m)!
Задача. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить путевки в санаторий Уссури.
C из 30 по 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.
3) Перестановки (Pn). Перестановками из n эл-тов называются такие соединения, которые включают в себя все n эл-тов и отличаются друг от друга только порядком их соединения.
Задача. Скольким числом способов можно расставить в шеренгу 6 курсантов на плацу.
ПРАВИЛО СУММЫ – если объект а может быть выбран из множ-ва различными s способами, а объект b – различными r способами, тогда выбор одного из эл-тов a или bar может быть осуществлен различными r+s способами.
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ – если объект а может быть выбран различными s способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран различными r способами, тогда выбор пары эл-тов может быть осуществлен различными r*s способами (а и b = r*s).
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).
СВОЙСТВА В-ТИ:
1) В-ть достоверного события = 1.
Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.
P(D) = m/n = n/n = 1/
2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.
P(D) = m/n = 0/n = 0/
3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0 0 Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1. Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний. В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после. УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты. Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A). СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.
