На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.
Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:
Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:
Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.
Итак, вынесем общий множитель за скобки:
;
Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.
Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:
Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:
Вынесем общие множители в группах:
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:
;
Распишем выражение подробно:
Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:
Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:
Формула квадрата суммы(разности);
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:
Распишем выражение:
Итак, первое выражение это , а второе .
Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:
Свернем полный квадрат суммы:
Преобразуем полученное выражение:
Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:
Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 - разложить на множители:
Найдем выражения, которые стоят в квадрате:
Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:
Прибавим и отнимем удвоенное произведение:
Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::
Распишем по формуле разности квадратов:
Пример 2 - решить уравнение:
;
В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :
У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:
Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:
Применим формулу разности квадратов:
Итак, имеем уравнение
Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
Ответ: или
;
Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.
x называ-
1.2.3. Использование тождеств сокращенного умножения
Пример. Разложить на множители x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Разложение многочлена на множители с помощью его корней
Теорема. Пусть многочлен P x имеет кореньx 1 . Тогда этот многочлен можно разложить на множители следующим образом:P x x x 1 S x , гдеS x – некоторый многочлен, степень которого на единицу меньше
значения поочередно в выражение для P x .Получим, что приx 2 вы-
ражение обратится в 0, то есть P 2 0 , что значитx 2 – корень много-
члена. Разделим многочлен P x наx 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x 2412x 24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x3 x4
1.3. Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде a b 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
Квадратным трехчленом относительно переменной величины ется выражение вида
ax 2 bx c , гдеa ,b иc – заданные числа, причемa 0 . | |||||||||||||
Преобразуем квадратный трехчлен ax 2 bx c следующим образом. | x 2 : |
||||||||||||
коэффициент | |||||||||||||
Затем выражение b x представим в виде 2b x (удвоенное произведение
x ):a x | ||||||||||||||||
К выражению, стоящему в скобках прибавим и вычтем из него число
являющееся квадратом числа | В результате получим: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечая теперь, что | Получим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Выделить полный квадрат. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 2 4x 5 2x 2 2x 5 | 2 x 2 2x 1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 a 2,
1.4. Многочлены от нескольких переменных
Многочлены от нескольких переменных, как и многочлены от одной переменной можно складывать, умножать и возводить в натуральную степень.
Важным тождественным преобразованием многочлена от нескольких переменных является разложение на множители. Здесь применяются такие приемы разложения на множители, как вынесение общего множителя за скобку, группировка, использование тождеств сокращенного умножения, выделение полного квадрата, введение вспомогательных переменных.
1. Разложить на множители многочлен P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. Разложить на множители P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Применим способ группировки
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4 x3 y5 x z.
3. Разложить на множители P x ,y x 4 4y 4 . Выделим полный квадрат:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Свойства степени с любым рациональным показателем
Степень с любым рациональным показателем обладает свойствами:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1 , |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
где a 0;b 0;r 1 ;r 2 – произвольные рациональные числа.
1. Выполнить умножение 8 | x 3 12x 7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 x 23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Разложить на множители | a 2x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Упражнения для самостоятельного выполнения
1. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения. 1) a 52 ;
2) 3 a 72 ;
3) a nb n2 .
4) 1 x 3 ;
3 y 3 ; | |||||
7) 8 a 2 8a 2 ;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) a 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Вычислить, используя тождества сокращенного умножения:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Доказать тождества:
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Разложить на множители следующие многочлены:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48;
14) 15 ax 3 45ax 2 45ax 15a ;
15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Вычислить наиболее простым способом:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Найти частное и остаток от деления многочлена P x на многочленQ x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .
7. Доказать, что многочлен x 2 2x 2 не имеет действительных корней.
8. Найти корни многочлена:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Разложить на множители:
1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Решить уравнения, выделяя полный квадрат:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Найти значения выражений:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Вычислить:
16 0,25 | 16 0,25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением :
Метод искусственного преобразования числителяПример 1 Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее. Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт. Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто . В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней). Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя . Пример 3 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Начинаем подбирать числитель. Алгоритм подбора числителя примерно такой: 1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : . 2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на : 3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же : 4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого: 5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом: Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем: Таким образом: Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал. Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю. Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда. Пример 4 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробейПереходим к рассмотрению следующего типа дробей. На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле . Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом: Пример 5 Пример 6 Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой . Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие: Пример 7 Пример 8 Найти неопределенный интеграл: Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте. Метод выделения полного квадратаИнтегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата , который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков . На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения: Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо . Пример 9 Найти неопределенный интеграл Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус). Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя: Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать: Теперь можно применить формулу : После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет. Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так: Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь Пример 10 Найти неопределенный интеграл: Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока Пример 11 Найти неопределенный интеграл: Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем! Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить: Тут получилась формула , применяем: ВСЕГДА
выполняем на черновике проверку: Чистовое оформление примера выглядит примерно так: Усложняем задачу Пример 12 Найти неопределенный интеграл: Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка». (1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки. (2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами. (3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку» (4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем. (5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже. (6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают. (7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно: Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений. Пример 13 Найти неопределенный интеграл: Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока. Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы , но она рассчитана на весьма подготовленных студентов. Подведение числителя под знак дифференциалаЭто заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;) Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю). То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы? 1156, , 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
Представления и свойстваКвадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел : 1: Ещё один способ представления квадрата натурального числа: 1: Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). Единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным. Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами. В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:
Геометрическое представление
Отрывок, характеризующий Полный квадратКаратаев замолчал, радостно улыбаясь, глядя на огонь, и поправил поленья.– Старичок и говорит: бог, мол, тебя простит, а мы все, говорит, богу грешны, я за свои грехи страдаю. Сам заплакал горючьми слезьми. Что же думаешь, соколик, – все светлее и светлее сияя восторженной улыбкой, говорил Каратаев, как будто в том, что он имел теперь рассказать, заключалась главная прелесть и все значение рассказа, – что же думаешь, соколик, объявился этот убийца самый по начальству. Я, говорит, шесть душ загубил (большой злодей был), но всего мне жальче старичка этого. Пускай же он на меня не плачется. Объявился: списали, послали бумагу, как следовает. Место дальнее, пока суд да дело, пока все бумаги списали как должно, по начальствам, значит. До царя доходило. Пока что, пришел царский указ: выпустить купца, дать ему награждения, сколько там присудили. Пришла бумага, стали старичка разыскивать. Где такой старичок безвинно напрасно страдал? От царя бумага вышла. Стали искать. – Нижняя челюсть Каратаева дрогнула. – А его уж бог простил – помер. Так то, соколик, – закончил Каратаев и долго, молча улыбаясь, смотрел перед собой. Не самый рассказ этот, но таинственный смысл его, та восторженная радость, которая сияла в лице Каратаева при этом рассказе, таинственное значение этой радости, это то смутно и радостно наполняло теперь душу Пьера.
– A vos places! [По местам!] – вдруг закричал голос. Депо, и пленные, и обоз маршала остановились в деревне Шамшеве. Все сбилось в кучу у костров. Пьер подошел к костру, поел жареного лошадиного мяса, лег спиной к огню и тотчас же заснул. Он спал опять тем же сном, каким он спал в Можайске после Бородина. Калькулятор онлайн.
Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, т.е. делает преобразование вида: |