Не все школьники, а тем более взрослые, знают, что теорема косинусов напрямую связана с теоремой Пифагора. Точнее сказать, последняя является частным случаем первой. Этот момент, а также два способа доказательства теоремы косинусов помогут стать более знающим человеком. К тому же практика в выражении величин из исходных выражений хорошо развивает логическое мышление. Длинная формула изучаемой теоремы обязательно заставит потрудиться и посовершенствоваться.

Начало разговора: введение обозначений

Эта теорема формулируется и доказывается для произвольного треугольника. Поэтому ею можно воспользоваться всегда, в любой ситуации, если даны две стороны, а в некоторых случаях три, и угол, причем необязательно между ними. Каким бы ни был вид треугольника, теорема сработает всегда.

А теперь про обозначение величин во всех выражениях. Лучше сразу договориться, чтобы потом несколько раз не пояснять. Для этого составлена следующая таблица.

Формулировка и математическая запись

Итак, формулируется теорема косинусов следующим образом:

Квадрат стороны любого треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих же сторон на косинус угла, лежащего между ними.

Конечно, оно длинное, но если понять его суть, то запомнить будет просто. Можно даже представлять себе чертеж треугольника. Наглядно всегда проще запоминать.

Формула же этой теоремы будет выглядеть так:

Немного длинно, но все логично. Если немного внимательнее посмотреть, то можно увидеть, что буквы повторяются, значит, и запомнить ее несложно.

Распространенное доказательство теоремы

Поскольку она справедлива для всех треугольников, то можно выбрать для рассуждений любой из видов. Пусть это будет фигура со всеми острыми углами. Рассмотрим произвольный остроугольный треугольник, у которого угол С больше, чем угол В. Из вершины с этим большим углом нужно опустить перпендикуляр на противоположную сторону. Проведенная высота разделит треугольник на два прямоугольных. Это потребуется для доказательства.

Сторона окажется разделенной на два отрезка: х, у. Их нужно выразить через известные величины. Та часть, которая окажется в треугольнике с гипотенузой, равной в, выразится через запись:

х = в * cos А.

Другая будет равна такой разности:

у = с - в * cos А.

Теперь нужно записать теорему Пифагора для двух получившихся в результате построения прямоугольных треугольников, принимая за неизвестную величину высоту. Эти формулы будут выглядеть так:

н 2 = в 2 - (в * cos А) 2 ,

н 2 = а 2 - (с - в * cos А) 2 .

В этих равенствах стоят одинаковые выражения слева. Значит, их правые части тоже будут равны. Это просто записать. Теперь нужно раскрыть скобки:

в 2 - в 2 * (cos А) 2 = а 2 - с 2 + 2 с * в * cos А - в 2 * (cos А) 2 .

Если здесь выполнить перенос и приведение подобных слагаемых, то получится начальная формула, которая записана после формулировки, то есть теорема косинусов. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы через векторы

Оно гораздо короче предыдущего. И если знать свойства векторов, то теорема косинусов для треугольника будет доказана просто.

Если стороны а, в, с обозначить соответственно векторами ВС, АС и АВ, то справедливо равенство:

ВС = АС - АВ.

Теперь нужно выполнить некоторые действия. Первое из них — это возведение в квадрат обеих частей равенства:

ВС 2 = АС 2 + АВ 2 - 2 АС * АВ.

Потом равенство нужно переписать в скалярном виде, учитывая то, что произведение векторов равно косинусу угла между ними на их скалярные значения:

ВС 2 = АС 2 + АВ 2 - 2 АС * АВ * cos А.

Осталось только вернуться к старым обозначениям, и снова получится теорема косинусов:

а 2 = в 2 + с 2 - 2 * в * с * cos А.

Формулы для других сторон и всех углов

Чтобы найти сторону, из теоремы косинусов нужно извлечь квадратный корень. Формула для квадратов одной из других сторон будет выглядеть так:

с 2 = а 2 + в 2 - 2 * а * в * cos C.

Чтобы записать выражение для квадрата стороны в , нужно в предыдущем равенстве заменить с на в , и наоборот, и под косинусом поставить угол В.

Из основной формулы теоремы можно выразить значение косинуса угла А:

cos А = (в 2 + с 2 - а 2) / (2 в * с).

Аналогично выводятся формулы для других углов. Это хорошая практика, поэтому можно попробовать написать их самостоятельно.

Естественно, что запоминать эти формулы нет необходимости. Достаточно понимания теоремы и умения вывести эти выражения из ее основной записи.

Исходная формула теоремы дает возможность найти сторону, если угол лежит не между двумя известными. К примеру, нужно найти в , когда даны величины: а, с, А . Или неизвестна с , зато есть значения а, в, А .

В этой ситуации нужно перенести все слагаемые формулы в левую сторону. Получится такое равенство:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Перепишем его немного в другом виде:

с 2 - (2 * в * cos А) * с + (в 2 - а 2) = 0.

Можно легко увидеть квадратное уравнение. В нем неизвестная величина - с , а все остальные даны. Поэтому его достаточно решить с помощью дискриминанта. Так будет найдена неизвестная сторона.

Аналогично получается формула для второй стороны:

в 2 - (2 * с * cos А) * в + (с 2 - а 2) = 0.

Из других выражений такие формулы тоже легко получить самостоятельно.

Как без вычисления косинуса узнать вид угла?

Если внимательно посмотреть на формулу косинуса угла, выведенную ранее, то можно заметить следующее:

  • знаменатель дроби - всегда положительное число, потому что в нем стоит произведение сторон, которые не могут быть отрицательными;
  • значение угла будет зависеть от знака числителя.

Угол А будет:

  • острым в ситуации, когда числитель больше нуля;
  • тупым, если это выражение отрицательное;
  • прямым при его равенстве нулю.

Кстати, последняя ситуация обращает теорему косинусов в теорему Пифагора. Потому что для угла в 90º его косинус равен нулю, и последнее слагаемое исчезает.

Первая задача

Условие

Тупой угол некоторого произвольного треугольника равен 120º. О сторонах, которыми он ограничен, известно, что одна из них больше другой на 8 см. Известна длина третьей стороны, это 28 см. Требуется найти периметр треугольника.

Решение

Сначала нужно обозначить одну из сторон буквой «х». В таком случае другая будет равна (х + 8). Поскольку есть выражения для всех трех сторон, можно воспользоваться формулой, которую дает теорема косинусов:

28 2 = (х + 8) 2 + х 2 - 2 * (х + 8) * х * cos 120º.

В таблицах для косинусов нужно найти значение, соответствующее 120 градусам. Это будет число 0,5 со знаком минус. Теперь полагается раскрыть скобки, соблюдая все правила, и привести подобные слагаемые:

784 = х 2 + 16х + 64 + х 2 - 2х * (-0,5) * (х + 8);

784 = 2х 2 + 16х + 64 + х 2 + 8х;

3х 2 + 24х - 720 = 0.

Это квадратное уравнение решается через нахождение дискриминанта, который будет равен:

Д = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Поскольку его значение больше нуля, то уравнение имеет два ответа-корня.

х 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

х 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Последний корень не может быть ответом задачи, потому что сторона обязательно должна быть положительной.

Глагол - это часть речи, обозначающая действие. Глаголы изменяются по числам, лицам и временам. Кроме того, они имеют спряжения, виды и наклонения. В русском языке выделяют три основные формы времени глагола: прошедшее, настоящее и будущее. Поговорим подробнее о том, как разобраться во временах глагола.

Определяем вид глагола

Глаголы бывают совершенного и несовершенного вида. Совершенные глаголы указывают на то, что действие уже сделано (или будет сделано) и результат достигнут. К таким глаголам подходит вопрос “что сделать?”. У совершенных глаголов выделяют всего два времени: прошедшее и будущее.

Несовершенные глаголы могут быть в прошедшем, настоящем и будущем времени. Они отвечают на вопрос “что делать?”.

Глаголы прошедшего времени

Основными признаками того, что глагол относится к прошедшему времени, являются:

  • суффикс -л; (шел, летел)
  • окончания -а(женский род), -о(средний род) и -и(множественное число). У глаголов мужского рода в прошедшем времени нет окончания. Пример: играл, играла, играло, играли.

Чтобы понять, что глагол стоит в прошедшем времени, к нему, в зависимости от рода и числа, нужно подставить следующие вопросы:

  • для совершенной формы: “что делал?” (м. р.), “что делала?” (ж. р.), “что делало?” (ср. р.), “что делали?” (мн. ч.);
  • для несовершенной формы: “что сделал?” (м. р.), “что сделала?” (ж. р.), “что сделало?” (ср. р.), “что сделали?” (мн. ч.).

Глаголы настоящего времени

В настоящем времени глагол отражает действие, происходящее в момент речи. Общий определяющий вопрос таких глаголов:

  • в единственном числе - “что делает?”;
  • во множественном числе - “что делают?”.

Как уже отмечалось выше, в настоящем времени могут быть глаголы только несовершенного вида.

Окончание глагола в настоящем времени будет зависеть от того, к 1-ому или 2-ому спряжению он относится.

Окончания глаголов первого спряжения

Единственное число: -у, -ю (первое лицо); -ешь (второе лицо); -ет (третье лицо). Пример: несу, несешь, несет; читаю, читаешь, читает

Множественное число: -ем, -ём (первое лицо); -ете, -ёте (второе лицо); -ут, -ют (третье лицо) Пример: несём, несёте, несут; читаем, читаете, читают.

Окончания глаголов второго спряжения

Единственное число: -у, -ю (первое лицо); -ишь (второе лицо); -ит (третье лицо). Пример: лежу, лежишь, лежит; строю, строишь, строит.

Множественное число: - окончания -им (первое лицо); -ите (второе лицо); -ат, -ят (третье лицо). Пример: лежим, лежите, лежат; строим, строите, строят.

Глаголы будущего времени

Глаголы в будущем времени отражают действие, которое планируется сделать или действие, которое будет сделано в будущем. Определяющие вопросы для единственного числа глаголов:

  • совершенный вид: “что будет делать?”;
  • несовершенный вид: “что сделает?”.

Вопросы для множественного числа глаголов:

  • совершенный вид: “что будут делать?”;
  • несовершенный вид: “что сделают?”.

У несовершенных глаголов в будущем времени появляется одна интересная особенность - они превращаются в сложные глаголы. К инфинитиву добавляется глагол “быть” в подходящей форме. Например: буду гулять, будем бегать, будут играть.

Окончания глаголов совершенного вида первого спряжения

Единственное число: -у, -ю (первое лицо); -ешь, -ёшь (второе лицо); -ет, -ёт (третье лицо). Пример: отнесу, отнесёшь, отнесёт; прочитаю, прочитаешь, прочитает.

Множественное число: -ем, -ём (первое лицо); -ете, -ёте (второе лицо); -ут, -ют (третье лицо). Пример: отнесём, отнесёте, отнесут; прочитаем, прочитаете, прочитают.

Окончания глаголов совершенного вида второго спряжения

Единственное число: -у, -ю (первое лицо); -ишь (второе лицо); -ит (третье лицо). Пример: полежу, полежишь,полежит; построю, построишь, построит.

Множественное число: - окончания -им (первое лицо); -ите (второе лицо); -ат, -ят (третье лицо). Пример: полежим, полежите, полежат; построим, построите, построят.

Глагол – это выражение действия. Категория времени – это выражение того, как относится действие к моменту речи. Принято выделять три формы времени. Чтобы определить отношение глагола к настоящему, будущему или прошедшему времени, обычно достаточно задать вопрос. Но есть формы глаголов, которые необходимо анализировать глубже. Выделим некоторые особенности – они помогут различить временные формы.

Настоящее время
Эта категория используется, чтобы обозначить некое действие:
  • происходящее в конкретный момент, т.е. момент речи (я читаю книгу );
  • совершающееся регулярно (я читаю книги );
  • происходящее постоянно (я работаю строителем ).
К такому глаголу подходит вопрос «что делает?».

Часто глагол в настоящем времени используется в переносном значении, выражая ближайшее будущее. Мы уезжаем завтра. Интересно применение глаголов настоящего времени в художественных текстах, рассказывающих об исторических событиях, что придает повествованию особую живость. Швед, русский – колет, рубит, режет .

Формы глаголов в настоящем времени являются синтетическими (состоят из одного слова), различия определяются изменением самого глагола по лицам и числам. Я бегу, ты бежишь, он (она, оно) бежит. Мы сидим, вы сидите, они сидят.

  • Могут упоминаться факты без указания длительности действия. Для этого служат глаголы несовершенного вида («что делал?»). Я посещал лекции.
  • Если имеется в виду действие, закончившееся к моменту речи, или описываются действия, сменявшие друг друга – это глагол совершенного вида («что сделал?»). Я посетил лекции, пообедал и поехал на встречу.
  • Если к глаголу присоединяется частица было, это указание на действие, которое не совершилось или которому помешали в прошлом. Я хотел было уйти, но меня упросили остаться.
Глагол в прошедшем времени формируется на основе инфинитива (неопределенной формы). Например, у инфинитива делать основа – «дела-». Чтобы получилась форма прошедшего времени, к основе присоединяются:
  • суффикс -л- (делал – это форма мужского рода, имеющая нулевое окончание);
  • для женского рода добавляется окончание -а (делала ); для среднего рода – окончание -о (делало ); для множественного числа – окончание -и , общее для всех родов (делали ).
Но «правило суффикса -л-» относится далеко не ко всем глаголам прошедшего времени. Существуют и глаголы других типов:
  • глаголы, основы которых (в инфинитиве и в настоящем времени) заканчиваются на з и с (ползти – полз, нести – нес );
  • глаголы с окончанием основы на г и к (в настоящем времени), с инфинитивом на -чь (берегу – беречь – берег, пеку – печь – пек );
  • глаголы, в инфинитиве которых есть сочетание -ере- , а в настоящем времени его нет (тереть – тру – тер );
  • глагол расти, который в прошедшем времени имеет особую форму рос;
  • глаголы типа скрести, грести, основа которых в прошедшем времени совпадает с основой настоящего (скребу – скреб, гребу – греб );
  • глаголы состояния с суффиксом -ну- , в прошедшем времени не имеющие этого суффикса (исчезнуть – исчез, гибнуть – погиб ).
Есть особые отглагольные формы (без -ну- ), которые обозначают какое-либо моментальное действие в прошлом. Девочка прыг через порог. Глядь – молока нет. Он бултых в воду. Сравните: прыгнула, глянул, бултыхнулся .

Бывают формы со значением внезапности действия, которые на первый взгляд не относятся к прошедшему времени. Дело в том, что такие глаголы по форме идентичны глаголам совершенного вида единственного числа в повелительном наклонении. Он возьми да приди в самое неподходящее время. Сравните: взял да пришел . Через такие формы может быть выражена желательность действия, которое не было совершено. Приди ты тогда раньше, ты застал бы его дома. Сравните: если бы ты пришел раньше .

В художественной речи могут встречаться формы, которые используются для обозначения повторяющегося действия, происходившего давно и в течение некоторого времени. Это – категория давнопрошедшего времени. Я часто с ними за столом сиживал . В жизни такого не видывал .

Будущее время
Эта категория служит для обозначения действия, которое совершится уже после момента речи (я прочитаю книгу, я буду писать стихи ). В несовершенном виде («что буду делать?») будущее время имеет аналитическую, составную форму – глагол «быть» плюс инфинитив. Синтетическая, простая форма («что сделаю?») прочитаю образуется только путем словоизменения.

Глагол в простом будущем времени может выражать время без отношения к моменту речи, приобретая следующие значения:

  • непрерывно повторяющееся действие (то остановится, то снова помчится );
  • обычное в прошлом действие (нет-нет да выглянет в окно );
  • внезапное, стремительное действие в прошлом (он как закричит ).
Как можно заметить, чаще всего нетрудно определить время глагола, задав к нему соответствующий вопрос, но есть и более сложные формы. Чтобы распознать их, нужно лишь проанализировать их на предмет указанных особенностей.