I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. С Дано: ABC, А 1 В 1 С 1, Доказать: А В Доказательство: С 1 1). А 1 ABC В 1 А 1 В 1 С 1

4). С Было дано Мы доказали, что и А В тогда С 1 AB = A 1 B 1 Треугольники подобны по определению. А 1 В 1

II признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Дано: ABC, Доказать: А 1 В 1 С 1, ABC А 1 В 1 С 1 и применим 1 Доказательство: докажем, что признак подобия треугольников С 1 А 1 С В 1 А В

С С 1 В 1 А 1 1). Рассмотрим 1= А 1, ABC 2 А В 1 2 ABC 2, у которого 2= В 1. А 1 В 1 С 1 по двум углам С 2 Тогда АС = АС 2 по условию

С С 1 В 1 А В 1 2 2). ABC = АВС 2 В = 2, по двум сторонам и углу между ними 2= В 1 = С 2

III признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Дано: ABC, Доказать: А 1 В 1 С 1, ABC Доказательство: А 1 В 1 С 1 докажем, что и применим 2 признак подобия треугольников С С 1 А 1 В 1 А В

Доказать что https://pandia.ru/text/78/069/images/image161_1.gif" width="127" height="24 src=">.

2.С помощью теоремы

«Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника то такие треугольники подобны»

(выражающей признак подобия треугольников по двум углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

3.С помощью теоремы

«Если два треугольника подобны то стороны в них лежащие против равных углов будут пропорциональны»

(выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами https://pandia.ru/text/78/069/images/image165_1.gif" width="128 height=21" height="21">.

п.2 Решение некоторых задач по планиметрии.

Задание 1

В треугольнике https://pandia.ru/text/78/069/images/image167_1.gif" width="127" height="21 src=">.

2..gif" width="377" height="24"> при условии что .

2.С помощью теоремы

«Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники будут конгруэнтны»

(выражающе признак конгруэнтности двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам) установить отношение между треугольниками при условии что .

1.С помощью теоремы

«Если два треугольника конгруэнтны то в них против равных сторон лежат равные углы»

(выражающей отношение между углами в конгруэнтных треугольниках) установить отношение между сторонами .

2.С помощью определения

«Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, называется параллелограммом»

(выражающего определение параллелограмма) определить вид четырехугольника https://pandia.ru/text/78/069/images/image175_1.gif" width="156 height=24" height="24">.

3.С помощью теоремы

«Если четырехугольник является параллелограммом то в нем противоположные стороны равны»

(выражающей отношение между противоположными сторонами в параллелограмме) установить отношение между сторонами .

4.Установить отношение между сторонами при условии что

Задание 2

В треугольнике https://pandia.ru/text/78/069/images/image179_1.gif" width="105 height=24" height="24"> пересекаются в точке .

1..gif" width="140" height="21 src=">.

Алгоритм управления решением:

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то сумма острых углов в нем равна »

(выражающей связь между углами в прямоугольном треугольнике) установить связь между углами .

1.С помощью теоремы «Если острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равен острому углу другого прямоугольного треугольника то такие прямоугольные тругольники будут подобны» (выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу) установить отношение между прямоугольными треугольниками .

2.С помощью теоремы (выражающей свойство сторон в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами .

4.С помощью теоремы «Если угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника, а стороны угла в первом треугольнике соответственно пропорциональны сторонам угла во втором треугольнике то такие треугольники будут подобны»

5.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то углы лежащие против пропорциональных сторон будут равны между собой»

(выражающей отношение между углами в подобных треугольниках) установить отношение между углами при условии что .

1. С помощью теоремы «Если острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равен острому углу другого прямоугольного треугольника то такие прямоугольные тругольники будут подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу) установить отношение между прямоугольными треугольниками .

2.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны, лежащие против равных углов будут пропорциональны»

(выражающей отношение между сторонами в двух подобных треугольниках) определить отношение между сторонами .

3.Определить связь между пропорциями .

4. С помощью теоремы «Если угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника, а стороны угла в первом треугольнике соответственно пропорциональны сторонам угла во втором треугольнике то такие треугольники будут подобны»

(выражающей признак подобия двух треугольников по двум сторонам и углу между ними) установить отношение между треугольниками при условии что .

5.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то против пропорциональных сторон лежат равные углы»

(выражающей отношение между углами в двух подобных треугольниках) установить отношение между углами при условии что

6.Установить отношение между углами при условии что .

Задание 3

В равнобедренном треугольнике проведена медиана к боковому ребру ..

1..gif" width="64" height="21 src=">.Вычислить длину стороны треугольника и его площадь.

Алгоритм управления решением:

1.Ввест следующие обозначения в :

Основание треугольника; https://pandia.ru/text/78/069/images/image205_1.gif" width="119 height=24" height="24">;

1.С помощью теоремы «Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой то эти прямые параллельны»

(выражающей признак параллельности прямых) установить отношение между прямыми https://pandia.ru/text/78/069/images/image207_1.gif" width="67" height="24 src=">.

3.С помощью теоремы «Если отрезок соединяет середины боковых сторон треугольника то он параллелен основанию треугольника и длина его равна половине длины основания»

(выражающей свойство средней линии треугольника) установить отношение между отрезками https://pandia.ru/text/78/069/images/image209_1.gif" width="33" height="23 src=">.gif" width="68" height="24"> при условии что .

6.С помощью теоремы «Если в треугольнике проведены две медианы то они пересекаются в одной точки и делят друг друга на части https://pandia.ru/text/78/069/images/image214_1.gif" width="80" height="24 src="> при условии что .

7.С помощью теоремы «Если треугольник равнобедренный то в нем равны углы при основании»

(выражающей свойства углов при основании равнобедренного треугольника) установить отношение между углами .

8.С помощью теоремы «Если угол является внешним к треугольнику то его величина равна сумме двух величин углов треугольника, которые не являются смежными к этому углу»

(выражающей свойство внешнего угла треугольника) установить отношение между углами https://pandia.ru/text/78/069/images/image218_1.gif" width="220" height="21 src="> при условии что .

10.С помощью теоремы «Если в любом треугольнике сложить величины всех его углов то сумма будет равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) найти величины углов треугольника при условии что .

1.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов»

(выражающей связь гипотенузы и катетов в прямоугольном треугольнике) установить отношение между отрезками .

2..gif" width="207 height=44" height="44">.

3..gif" width="57" height="21"> при условии что .

Ответ: 2..gif" width="152 height=27" height="27"> через точку , лежащую на гипотенузе , проведен перпендикуляр https://pandia.ru/text/78/069/images/image002_96.gif" width="35" height="21"> в точке и продолжение катета (в сторону вершины ) в точке . .

Доказать что https://pandia.ru/text/78/069/images/image233_1.gif" width="106" height="24">.

2..gif" width="136 height=24" height="24">.

3.С помощью теоремы «Если угол одного прямоугольного треугольника равен соответствующему углу другого прямоугольного треугольника то эти треугольники подобны»

4.С помощью теоремы «Если два треугольника подобны то стороны лежащие против равных углов пропорциональны»

(выражающей отношение между сторонами в подобных треугольниках) установить отношение между сторонами при условии что .

5..gif" width="200 height=24" height="24">.

6.С помощью теоремы «Если треугольник прямоугольный то в нем квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов»

(выражающей связь между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике) установить отношение между сторонами .

7..gif" width="145 height=24" height="24">.

8. С помощью теоремы «Если угол одного прямоугольного треугольника равен соответствующему углу другого прямоугольного треугольника то эти треугольники подобны»

(выражающей признак подобия прямоугольных треугольников по равному острому углу) установить отношение между треугольниками .

9.С помощью теоремы «Если два подобных треугольника имеют равную сторону, лежащую против равного угла то они конгруэнтны»

(выражающей связь между конгруэнтностью и подобием треугольников) установить отношение между треугольниками при условии что .

Задание 5

В треугольнике https://pandia.ru/text/78/069/images/image110_3.gif" width="35 height=20" height="20"> и биссектрисы соответственно углов .

Доказать что https://pandia.ru/text/78/069/images/image248_1.gif" width="287" height="24 src=">.

2..gif" width="84 height=21" height="21">.

3.С помощью теоремы «Если на сторонах угла отложены отрезки так что на каждой из сторон сохраняется пропорциональность отрезков и если концы отрезков соединены соответствующим образом прямыми то эти прямые параллельны»

(выражающей свойство прямых, соединяющих пропорциональные отрезки) определить отношение между при условии что .

Дан параллелограмм https://pandia.ru/text/78/069/images/image253_1.gif" width="71" height="24 src="> - верхняя и нижняя стороны соответственно)..gif" width="125" height="24"> соответственно.

Доказать что треугольник https://pandia.ru/text/78/069/images/image257_1.gif" width="35" height="21">.gif" width="20 height=21" height="21">

1.С помощью теоремы «Если в двух треугольниках имеются две соответственно равные стороны и углы, заключенные между этими сторонами равны то токие треугольники будут конгруэнтны»

(выражающей признак конгруэнтности треугольников по двум сторонам и углу между ними) определить отношение между треугольниками при условии что .

2.С помощью теоремы «В конгруэнтных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны»

(выражающей связь между сторонами и углами в конгруэнтных треугольниках) определить отношение между сторонами и также между парами углов при условии что .

3.С помощью теоремы

4.Найти сумму величин углов при условии что .

5..gif" width="405 height=24" height="24">.

Задание 6

В треугольнике https://pandia.ru/text/78/069/images/image110_3.gif" width="35 height=20" height="20"> к стороне так что

Доказать что https://pandia.ru/text/78/069/images/image271_0.gif" width="256 height=24" height="24"> при условии что .

2.С помощью теоремы «Если в треугольнике сложить величины всех углов то сумма равна »

(выражающей свойство углов в треугольнике) найти сумму величин .

3..gif" width="283 height=24" height="24">.

Задание 7

В треугольнике https://pandia.ru/text/78/069/images/image276_0.gif" width="33" height="20">.gif" width="35 height=20" height="20"> , пересекающая среднюю линию в точке .

Доказать что https://pandia.ru/text/78/069/images/image251_1.gif" width="68" height="24 src=">.

2.С помощью теоремы «Если две параллельные прямые пересечь третиьей то будут образованы пары равных углов разного вида»

(выражающей отношение между углами, образованными при пересечении двух параллельных прямых третьей) определить отношение между углами при условии что

3.Определить отношение между углами при условии что .

4.С помощью теоремы «Если в треугольнике два угла равны то этот треугольник равнобедренный»

(выражающей признак равнобедренности треугольника) определить отношение между отрезками https://pandia.ru/text/78/069/images/image282_0.gif" width="139 height=21" height="21">.

5.С помощью теоремы «Если в треугольнике медиана проведенная к некоторой стороне равна половине этой стороны то медиана проведена из вершины прямого угла»

(выражающей свойство медианы в прямоугольном треугольнике) определить величину угла https://pandia.ru/text/78/069/images/image284_0.gif" width="161 height=24" height="24">.

Задание 8

В квадрате https://pandia.ru/text/78/069/images/image110_3.gif" width="35" height="20 src="> - нижнее основание) диагонали пересекаются в точке . Биссектриса угла персекает диагональ в точке и сторону в точке ...) проведен отрезок . .

Для того чтобы рассчитать в треугольнике все возможные показатели, необходимо, как минимум, иметь данные о его сторонах. Зная два угла и сторону а, можно найти остальные две стороны и угол, построив высоту в таком треугольнике. (рис. 76.1) Высота разделит произвольный треугольник на два прямоугольных, в которых катетами будет высота и часть известной стороны x или y, а гипотенузами – неизвестные стороны a и b. Кроме того, что мы задаем известную сторону a, как сумму двух катетов x и y, тригонометрия полученных треугольников, определяет высоту с одной стороны как произведение y на тангенс β, а с другой стороны как произведение x на тангенс γ. Приравнивая эти выражения друг к другу, можно составить систему уравнений, из которых могут быть найдены части x и y, а затем неизвестные стороны первоначального треугольника a и b. {█(x+y=a@y tan⁡β=x tan⁡γ)┤{█(x=a-y@y(tan⁡β+tan⁡γ)=a tan⁡γ)┤{█(x=a-y@y=(a tan⁡γ)/(tan⁡β+tan⁡γ))┤ b=x/cos⁡γ , c=y/cos⁡β h_a=y tan⁡β

Можно также найти сразу две другие высоты треугольника, опущенные на стороны b и c соответственно. (рис. 76.2) h_b=a sin⁡β h_c=a sin⁡γ

Третий угол можно найти, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. α=180°-β-γ

Теперь, зная все стороны, углы и высоты, можно найти все остальные параметры треугольника. Вычислить периметр можно, сложив все три стороны, а площадь – умножив половину любой стороны на опущенную на нее высоту. P=a+b+c S=(ah_a)/2

Если провести в треугольнике медианы, то каждая из них разделит сторону, на которую она опущена, на две равные части. Для того, чтобы вычислить медиану в треугольнике, необходимо знать все три стороны. Формула медианы заключается в том, чтобы сложить удвоенные квадраты двух нетронутых сторон, отнять квадрат стороны, на которую опущена медиана, извлечь из этого выражения квадратный корень и разделить его на два. (рис. 75.1) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2)/2 m_a=√(2b^2+2c^2-a^2)/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2

Чтобы найти биссектрисы треугольника, которые делят пополам его углы, также необходимо знать все три стороны треугольника. Формула биссектрисы выглядит немного сложнее, чем формула медианы, но достаточно проста в расчетах. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)

Средняя линия треугольника – это прямая, проведенная параллельно одной из его сторон. Ее особенность заключается в том, что она делит стороны на которые опирается на две равные части, и сама равна половине стороны, ей параллельной. (рис.75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2

Также в произвольном треугольнике через стороны можно найти радиус окружности, которую можно вписать в треугольник или описать около него. Радиус вписанной окружности будет начинаться в точке пересечения биссектрис треугольника и опускаться на любую из сторон под прямым углом. Радиус описанной окружности начинается в точке пересечения медиатрисс треугольника и заканчивается в любой из его вершин. (рис. 75.5, 75.6) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 88. ТРИ ПРИЗНАКА ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А"В"С / A = / А" ; / В = / B". 1
Доказать, что /\ АВС /\ А"В"С (черт. 367).

____________________
1 В подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами.

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. / C = / С".

Отложим от вершины В, например, на стороне АВ треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А"В". Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили /\ MBN, который подобен /\ ABC (§ 87). Но /\ MBN = /\ А"В"С", так как / В =/ В" по условию теоремы; сторона MB = A"B" по построению; / BMN = / A" (/ BMN и / А" порознь равны одному и тому же / А).

Если /\ MBN /\ AВС, то /\ А"В"С" /\ ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны .

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А"В"С" AB / A"B" = BC / B"C" и / В =/ В"

Требуется доказать, что /\ ABC /\ А"В"С" (черт. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А"В". Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC (§ 87).
Докажем, что /\ MBN = /\ А"В"С". В этих треугольниках / В =/ В" по условию теоремы, MB = А"В" по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В"С, составим пропорцию AB / MB = BC / BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: AB / A"B" = BC / B"C" . В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,
т. е. В"С" = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А"В"С".
Так как /\ MBN /\ А"В"С" , то, следовательно, и /\ А"В"С" /\ АВС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А"В"С" AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" (черт. 369).

Требуется доказать, что /\ ABC /\ А"В"С"

Для доказательства отложим на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ = А"В". Из точки М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику AВС. Следовательно, AB / MB = BC / BN = AC / MN .

Докажем, что /\ MBN = /\ А"В"С". Для доказательства сравним две пропорции
AB / MB = BC / NB и AB / A"B" = BC / B"C" . В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т.е. BN = В"С".
Сравним ещё две пропорции: AB / MB = AC / MN и AB / A"B" = AC / A"C" . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. МN = А"С".
Оказалось, что три стороны /\ BMN равны трём сторонам /\ А"В"С", а именно:
MB = А"В"; BN = В"С" и MN = А"С".
Следовательно, /\ MBN = /\ А"В"С", а /\ ABC /\ А"В"С" С.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Упражнения.

1. В двух подобных треугольниках ABC и А"В"С" стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 20 см, 18 см и 15 см. Сторона А"С" треугольника А"В"С" равна 10 см. Чему равны стороны А"В" и В"С"?

2. Треугольники ABC и А"В"С" подобны. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ABC соответственно равны 20 см, 15 см и 12 см. Коэффициент подобия треугольников равен 2,5. Вычислить периметр треугольника А"В"С". (Два решения.)