Гладкость функции. Отрывок, характеризующий Гладкая функция. Приближение аналитическими функциями

Точек ее дифференцпруемости плотно на нем и имеет континуума. Существуют непрерывные, гладкие на числовой прямой функции, не дифференцируемые . Г. ф. имеет производную в каждой точке локального экстремума и, в силу этого, для гладких непрерывных функций остаются справедливыми основные теоремы дифференциального исчисления - теоремы Ролля, Лагранжа, Коши,

Дарбу И др. В. Ф. Емельянов.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

Или непрерывно дифференцируемая функция это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Основные сведения Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет… … Википедия

Гладкая функция - функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, непрерывны. Это означает «гладкость порядка r.» …

гладкая функция - Функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, непрерывны. Это означает «гладкость порядка r». Тематики экономика EN smooth function … Справочник технического переводчика

Кусочно гладкая функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, дифференцируемая на каждом из интервалов, составляющих область определения. Формальное определение Пусть заданы точки смены формул. Как и все кусочно… … Википедия

- ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки. Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

Гладкая функция, обладающая нек рыми специальными свойствами. М. ф. возникают и используются в Морса теории. Пусть гладкое гильбертово полное (относительно нек рой римановой метрики) многообразие (напр., конечномерное), край к рого является… … Математическая энциклопедия

Кусочно заданная функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. Формальное определение и задание Пусть заданы точки смены формул … Википедия

1) P. ф. в т е о р и и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х р я д о в функция, введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. ) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрич. рядом. Пусть дан ряд (*) с ограниченными… … Математическая энциклопедия

Обобщение понятия гладкая функция, включающее гладкие, выпуклые, кусочно линейные функции. Определение Функция называется полугладкой если в каждой точке существует подмножество линейных операторов такое что для любой последовательности … Википедия

Сплайн-функция - кусочно гладкая функция, используемая для выравнивания временных рядов. Применение С. ф. вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется тенденция, направление ряда. С. ф. помогает… … Экономико-математический словарь

На всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.

Основные сведения [ | ]

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} имеет непрерывные производные всех порядков до r {\displaystyle r} включительно (производная нулевого порядка - сама функция). Такие функции называются r {\displaystyle r} -гладкими . Множество r {\displaystyle r} -гладких функций, определённых в области , обозначается C r (Ω) {\displaystyle C^{r}(\Omega)} . Запись f ∈ C ∞ (Ω) {\displaystyle f\in C^{\infty }(\Omega)} означает, что f ∈ C r (Ω) {\displaystyle f\in C^{r}(\Omega)} для любого r {\displaystyle r} , такие функции называют бесконечно -гладкими (иногда под гладкими функциями подразумевают именно бесконечно-гладкие). Иногда также используется запись f ∈ C ω (Ω) {\displaystyle f\in C^{\omega }(\Omega)} или f ∈ C a (Ω) {\displaystyle f\in C^{a}(\Omega)} , которая означает, что f {\displaystyle f} - аналитическая .

Например, C 0 (Ω) {\displaystyle C^{0}(\Omega)} - множество непрерывных на Ω {\displaystyle \Omega } функций, а C 1 (Ω) {\displaystyle C^{1}(\Omega)} - множество непрерывно-дифференцируемых на Ω {\displaystyle \Omega } функций, то есть функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Приближение аналитическими функциями [ | ]

Пусть область Ω {\displaystyle \Omega } открыта в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} и f ∈ C k (Ω) {\displaystyle f\in C^{k}(\Omega)} , 0 ⩽ k ⩽ ∞ {\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty } . Пусть { K p } {\displaystyle \{K_{p}\}} - последовательность компактных подмножеств Ω {\displaystyle \Omega } такая, что K 0 = ∅ {\displaystyle K_{0}=\varnothing } , K p ⊂ K p + 1 {\displaystyle K_{p}\subset K_{p+1}} и ⋃ K p = Ω {\displaystyle \bigcup K_{p}=\Omega } . Пусть { n p } {\displaystyle \{n_{p}\}} - произвольная последовательность положительных целых чисел и m p = min (k , n p) {\displaystyle m_{p}=\min(k,\;n_{p})} . Наконец, пусть { ε p } {\displaystyle \{\varepsilon _{p}\}} - произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция g {\displaystyle g} , определённая в Ω {\displaystyle \Omega } такая, что для всякого p ⩾ 0 {\displaystyle p\geqslant 0} выполнено неравенство

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) < ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

где ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}} обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости , то есть максимума модуля на множестве K p + 1 ∖ K p {\displaystyle {K_{p+1}\backslash K_{p}}} ) производных функции f − g {\displaystyle f-g} всех порядков от нуля до m p {\displaystyle {m_{p}}} включительно.

На всём множестве определения.

Основные сведения

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости $r$ имеет непрерывную производную порядка $r$. Множество таких функций, определённых в области $\backslash Omega$ обозначается $C^r(\backslash Omega)$. $f\backslash in\; C^\backslash infty(\backslash Omega)$ означает, что $f\backslash in\; C^r(\backslash Omega)$ для любого $r$, а $f\backslash in\; C^\backslash omega(\backslash Omega)=C^a(\backslash Omega)$ означает, что $f$ - аналитическая .

Например, $C^0(\backslash Omega)$ - множество непрерывных на $\backslash Omega$ функций, а $C^1(\backslash Omega)$ - множество непрерывно-дифференцируемых на $\backslash Omega$ функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера , которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция $f$ принадлежит классу $C^\{r,\backslash ;\backslash alpha\}$, где $r$ - целое неотрицательное число и , если имеет производные до порядка $r$ включительно и $f^\{(r)\}$ является гёльдеровской с показателем $\backslash alpha$.

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера» , используется термин «показатель Липшица».

Приближение непрерывно-дифференцируемых функций аналитическими

Пусть $\backslash Omega$ открыто в $\backslash R^n$ и $f\backslash in\; C^k(\backslash Omega)$, $0\backslash leqslant\; k\backslash leqslant\backslash infty$. Пусть $\backslash \{K\_p\backslash \}$ - последовательность компактных подмножеств $\backslash Omega$ такая, что $K\_0=\backslash varnothing$, $K\_p\backslash subset\; K\_\{p+1\}$ и $\backslash bigcup\; K\_p=\backslash Omega$. Пусть $\backslash \{n\_p\backslash \}$ - произвольная последовательность положительных целых чисел и $m\_p=\backslash min(k,\backslash ;n\_p)$. Наконец, пусть $\backslash \{\backslash varepsilon\_p\backslash \}$ - произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует $\backslash R$-аналитическая функция $g$ в $\backslash Omega$ такая, что для всякого $p\backslash geqslant\; 0$:

См. также

Напишите отзыв о статье "Гладкая функция"

Отрывок, характеризующий Гладкая функция

Когда Николушку уводили, княжна Марья подошла еще раз к брату, поцеловала его и, не в силах удерживаться более, заплакала.
Он пристально посмотрел на нее.
– Ты об Николушке? – сказал он.
Княжна Марья, плача, утвердительно нагнула голову.
– Мари, ты знаешь Еван… – но он вдруг замолчал.
– Что ты говоришь?
– Ничего. Не надо плакать здесь, – сказал он, тем же холодным взглядом глядя на нее.

Когда княжна Марья заплакала, он понял, что она плакала о том, что Николушка останется без отца. С большим усилием над собой он постарался вернуться назад в жизнь и перенесся на их точку зрения.
«Да, им это должно казаться жалко! – подумал он. – А как это просто!»
«Птицы небесные ни сеют, ни жнут, но отец ваш питает их», – сказал он сам себе и хотел то же сказать княжне. «Но нет, они поймут это по своему, они не поймут! Этого они не могут понимать, что все эти чувства, которыми они дорожат, все наши, все эти мысли, которые кажутся нам так важны, что они – не нужны. Мы не можем понимать друг друга». – И он замолчал.

Маленькому сыну князя Андрея было семь лет. Он едва умел читать, он ничего не знал. Он многое пережил после этого дня, приобретая знания, наблюдательность, опытность; но ежели бы он владел тогда всеми этими после приобретенными способностями, он не мог бы лучше, глубже понять все значение той сцены, которую он видел между отцом, княжной Марьей и Наташей, чем он ее понял теперь. Он все понял и, не плача, вышел из комнаты, молча подошел к Наташе, вышедшей за ним, застенчиво взглянул на нее задумчивыми прекрасными глазами; приподнятая румяная верхняя губа его дрогнула, он прислонился к ней головой и заплакал.
С этого дня он избегал Десаля, избегал ласкавшую его графиню и либо сидел один, либо робко подходил к княжне Марье и к Наташе, которую он, казалось, полюбил еще больше своей тетки, и тихо и застенчиво ласкался к ним.
Княжна Марья, выйдя от князя Андрея, поняла вполне все то, что сказало ей лицо Наташи. Она не говорила больше с Наташей о надежде на спасение его жизни. Она чередовалась с нею у его дивана и не плакала больше, но беспрестанно молилась, обращаясь душою к тому вечному, непостижимому, которого присутствие так ощутительно было теперь над умиравшим человеком.

Князь Андрей не только знал, что он умрет, но он чувствовал, что он умирает, что он уже умер наполовину. Он испытывал сознание отчужденности от всего земного и радостной и странной легкости бытия. Он, не торопясь и не тревожась, ожидал того, что предстояло ему. То грозное, вечное, неведомое и далекое, присутствие которого он не переставал ощущать в продолжение всей своей жизни, теперь для него было близкое и – по той странной легкости бытия, которую он испытывал, – почти понятное и ощущаемое.