Что такое иррациональные числа? Почему они так называются? Где они используются и что собой представляют? Немногие могут без раздумий ответить на эти вопросы. Но на самом деле ответы на них довольно просты, хоть нужны не всем и в очень редких ситуациях

Сущность и обозначение

Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа.

Это множество обозначается как I. И, как уже ясно, эти значения не могут быть представлены в виде простой дроби, в числителе которой будет целое, а в знаменателе -

Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

Происхождение названия

Если ratio в переводе с латыни - это "дробь", "отношение", то приставка "ир"
придает этому слову противоположное значение. Таким образом, название множества этих чисел говорит о том, что они не могут быть соотнесены с целым или дробным, имеют отдельное место. Это и вытекает из их сущности.

Место в общей классификации

Иррациональные числа наряду с рациональными относится к группе вещественных или действительных, которые в свою очередь относятся к комплексным. Подмножеств нет, однако различают алгебраическую и трансцендентную разновидность, о которых речь пойдет ниже.

Свойства

Поскольку иррациональные числа - это часть множества действительных, то к ним применимы все их свойства, которые изучаются в арифметике (их также называют основными алгебраическими законами).

a + b = b + a (коммутативность);

(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

a + (-a) = 0 (существование противоположного числа);

ab = ba (переместительный закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивность);

a(b+c) = ab + ac (распределительный закон);

a x 1/a = 1 (существование обратного числа);

Сравнение также проводится в соответствии с общими закономерностями и принципами:

Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность соотношения) и. т. д.

Разумеется, все иррациональные числа могут быть преобразованы с помощью основных арифметических действий. Никаких особых правил при этом нет.

Кроме того, на иррациональные числа распространяется действие аксиомы Архимеда. Она гласит, что для любых двух величин a и b справедливо утверждение, что, взяв a в качестве слагаемого достаточное количество раз, можно превзойти b.

Использование

Несмотря на то что в обычной жизни не так уж часто приходится сталкиваться с ними, иррациональные числа не поддаются счету. Их огромное множество, но они практически незаметны. Нас повсюду окружают иррациональные числа. Примеры, знакомые всем, - это число пи, равное 3,1415926..., или e, по сути являющееся основанием натурального логарифма, 2,718281828... В алгебре, тригонометрии и геометрии использовать их приходится постоянно. Кстати, знаменитое значение "золотого сечения", то есть отношение как большей части к меньшей, так и наоборот, также

относится к этому множеству. Менее известное "серебряное" - тоже.

На числовой прямой они расположены очень плотно, так что между любыми двумя величинами, отнесенными к множеству рациональных, обязательно встречается иррациональная.

До сих пор существует масса нерешенных проблем, связанных с этим множеством. Существуют такие критерии, как мера иррациональности и нормальность числа. Математики продолжают исследовать наиболее значительные примеры на предмет принадлежности их к той или иной группе. Например, считается, что е - нормальное число, т. е. вероятность появления в его записи разных цифр одинакова. Что же касается пи, то относительно его пока ведутся исследования. Мерой иррациональности же называют величину, показывающую, насколько хорошо то или иное число может быть приближено рациональными числами.

Алгебраические и трансцендентные

Как уже было упомянуто, иррациональные числа условно разделяются на алгебраические и трансцендентные. Условно, поскольку, строго говоря, эта классификация используется для деления множества C.

Под этим обозначением скрываются комплексные числа, которые включают в себя действительные или вещественные.

Итак, алгебраическим называют такое значение, которое является корнем многочлена, не равного тождественно нулю. Например, квадратный корень из 2 будет относиться к этой категории, поскольку он является решением уравнения x 2 - 2 = 0.

Все же остальные вещественные числа, не удовлетворяющие этому условию, называются трансцендентными. К этой разновидности относятся и наиболее известные и уже упомянутые примеры - число пи и основание натурального логарифма e.

Что интересно, ни одно, ни второе не были изначально выведены математиками в этом качестве, их иррациональность и трансцендентность были доказаны через много лет после их открытия. Для пи доказательство было приведено в 1882 году и упрощено в 1894, что положило конец спорам о проблеме квадратуры круга, которые длились на протяжении 2,5 тысяч лет. Оно до сих пор до конца не изучено, так что современным математикам есть над чем работать. Кстати, первое достаточно точное вычисление этого значения провел Архимед. До него все расчеты были слишком приблизительными.

Для е (числа Эйлера или Непера), доказательство его трансцендентности было найдено в 1873 году. Оно используется в решении логарифмических уравнений.

Среди других примеров - значения синуса, косинуса и тангенса для любых алгебраических ненулевых значений.

Среди модельных животных (к которым, например, относятся мыши и шимпанзе) есть те, которые по праву могут считаться "супермоделями". Это голые землекопы , которые известны своими сверхспособностями.

К примеру, эти небольшие грызуны имеют и , а ещё они способны . Изучение этих способностей открывает перед медиками и генетиками много новых возможностей.

В 1825 году британский математик Бенджамин Гомпертц обнаружил, что риск смерти постепенно возрастает с возрастом; например, у людей он удваивается примерно каждые 8 лет после 30 лет. Этот закон распространяется на всех взрослых млекопитающих. По-видимому, голые землекопы - единственное исключение из правил.

Изучив записи о 3299 землекопах, команда выяснила, что после достижения зрелости в возрасте шести месяцев ежедневная вероятность смерти для них составляла один к десяти тысячам, и этот показатель сохранялся в течение всей жизни.

"Вероятность смерти у млекопитающих, таких как люди, лошади и мыши, среди прочих, увеличивается с возрастом в геометрической прогрессии, согласно закону Гомпертца. Наши исследования показывают, что голые землекопы не стареют таким же образом и их риск смерти не увеличивается даже в 25 раз после достижения репродуктивной зрелости", — рассказывает Буффенштейн.

По её словам, эти данные говорят о том, что именно землекопы могут подсказать людям .

Занимаясь поиском факторов, замедляющих старение, учёные выяснили, что у землекопов очень активно идут , а также высок уровень шаперонов - белков, которые помогают другим белкам восстанавливать свои структуры и выстраиваться в белковые комплексы.

Иными словами, эти грызуны "содержат свой дом в чистоте" - избавляются от "молекулярного мусора", а не накапливают его в течение жизни, поясняет Буффенштейн.

Впрочем, некоторые её коллеги пока что не спешат делать однозначные выводы. Дело в том, что выборка для наблюдений была очень мала: большинство животных в научных центрах либо умирает в ходе экспериментов, либо переезжает в другие лаборатории.

Рошель Буффенштейн, в свою очередь, отмечает, что самый пожилой землекоп из подопечных дожил до 35 лет, а общие данные наблюдений даже за теми грызунами, которые прожили по 15 лет, уже дают чёткую картину. По её словам, сотни крыс будет достаточно, чтобы доказать закон старения Гомпертца. В данном же случае речь идёт о трёх тысячах землекопов, но закон всё равно не доказан и не может быть доказанным на их примере в принципе.

Авторы отмечают, что потребуется больше долгосрочных исследований, чтобы изучить процессы старения суперживучих грызунов. Пока что самым логичным кажется предположение, что "возрастная черта", после которой их организм действительно начинает стареть, каким-то образом сдвинута в самый конец жизненной линии, а после определённого возраста у грызунов старение, напротив, набирает темпы.

Более подробно об исследовании грызунов-долгожителей рассказывается в статье , опубликованной в издании eLife.

Напомним, что "источником молодости" могут также послужить , и даже .

Задачи на совместную работу и производительность

Задачи этого типа содержат обычно сведения о выполнении несколь­кими субъектами (рабочими, механизмами, насосами и т.п.) некоторой работы, объём которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, изготовление деталей, рытьё тран­шей, заполнение через трубы водоёма и т.д.). Предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т.е. с постоянной для каждо­го субъекта производительностью. Так как величина выполняемой работы (или объём заполняемого бассейна, например) нас не интересуют, то объём всей работы. или бассейна принимается за единицу. Время t , требующееся для выполнения всей работы, и Р - производитель ность труда, то есть величина работы, сделанной за единицу времени, связаны

соотношением P = 1 /t .Полезно знать стандартную схему решения типовых задач.

Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за х часов, а другой - за у часов. Тогда за один час они выполнят соответственно 1/ x и 1/ y часть работы. Вместе за один час они выполнят 1/ x +1/ y часть работы. Следовательно, если они будут работать вместе, то вся работа будет выполнена за 1/ (1/ x + 1/ y )

Решение задач на совместную работу вызывает у учащихся трудности, поэтому при подготовке к экзамену можно начать с решения самых простых задач. Рассмотрим тип задач, при решении которых достаточно ввести только одну переменную.

Задача 1. Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

Решение. Пусть первый штукатур выполняет задание за x часов, тогда второй штукатур выполнит это задание за x +5 часов. За 1 час совместной работы они выполнят 1/ x + 1/( x +5) задания. Составим уравнение

6×(1/ x + 1/( x +5))= 1 или x ² - 7 x -30 = 0. Решив данное уравнение,получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый штукатур может выполнить работу за 10 часов, а второй - за 15 часов.

Задача 2 . Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них на выполнение всей работы потребовалось на 10 дней больше, чем другому?

Решение . Пусть первый рабочий тратит на всю работу x дней, тогда второй- (x -10) дней. За 1 день совместной работы они выполняют 1/ x + 1/( x -10) задания. Составим уравнение

12×(1/ x + 1/( x -10)= 1 или x ²- 34 x +120=0. Решив данное уравнение, получим x =30 и x = 4. Условию задачи удовлетворяет только x =30 .Поэтому первый рабочий может выполнить работу за 30 дней, а второй – за 20 дней.

Задача 3. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее,чем вторым?

Решение. Пусть первый трактор тратит на выполнение задания x дней, тогда второй – x + 5 дней. За 4 дня совместной работы оба трактора вспахали 4×(1/ x + 1/( x +5)) задания, то есть 2/3 поля. Составим уравнение 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 или x ² -7 x -30 = 0. . Решив данное уравнение, получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый трактор может вспахать поле за 10 часов, а второй - за 15 часов.

Задача 4 . Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч. Таня – 4 страницы за 0,5 , а Оля- 3 страницы за 20 минут. Как девочкам распределить 54 страницы текста между собой, .чтобы каждая работала в течение одного и того же времени?

Решение . По условию Таня печатает 4 страницы за 0,5ч, т.е. 8 страниц за 1ч., а Оля – 9 страниц за 1ч. Обозначив за Х часов- время, в течение которого девочки работали, получим уравнение

10Х +8Х+9Х =54, откуда Х= 2.

Значит, Таня должна напечатать 20 страниц, Таня-16 страниц, а Оля 18 страниц.

Задача 5. На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждом аппарате в отдельности, если известно, что при работе на первом для этого потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?

Решение. Пусть Х мин - время, которое требуется на выполнение копии на первом аппарате, тогда Х+30 мин- время работы на втором аппарате. Тогда 1/Х копии выполняет первый аппарат за 1 мин, а 1/ (Х+30) копии- второй аппарат.

Составим уравнение: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, получим X ²-10 X -600= 0. Откуда Х =30 и Х = - 20. Условию задачи удовлетворяет Х= 30. Получили: 30 мин - время, за которое первый аппарат сделает копию, 60 мин- второй.

Задача 6. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

Решение. Обозначив за Х дней- время, необходимое фирме А на выполнение заказа, тогда Х + 4 дней - время для фирмы В. При составлении уравнения необходимо учесть, что за 24 дня совместной работы будет выполнено не 1 заказ, а 5 заказов. Получим, 24× (1/ X + 1/( X +4)) = 5.Откуда следует 5 Х²- 28Х-96 = 0. Решив квадратное уравнение получаем, Х = 8 и Х = - 12/5. Первая фирма может выполнить заказ за 8 дней, фирма В – за 12 дней.

При решении следующих задач необходимо вводить более одной переменной и решать уже системы уравнений.

Задача 7 . Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй - за у часов. Из условия задачи имеем х = у -1. За 1 ч первый

рабочий выполнит 1/ x часть работы, а второй – 1/ y часть работы. Т .к. они работали вместе ¾ ч, то за это время они выполнили ¾ (1/ x + 1/ y )

часть работы. За 2и 1/4 ч работы второй выполнил 9/4× (1/ y ) часть работы. Т .к. вся работа выполнена, то составляем уравнение ¾ (1/ x +1/ y )+9/4×1/ y =1 или

¾ ×1/ x + 3 ×1/ y =1

решения у 1 = ч и у 2 = 4 ч. Первое решение не подходит (оба раб о чие только вместе работали ¾ ч!). Тогда у = 4 , а х = 3.

Ответ. 3 часа, 4 часа.

Задача 8. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен.

Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна.

За какое время из каждого крана в отдельно­сти может заполниться весь бассейн?

Решение. Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за х мин, а из второго - за у 1 мин. Первый кран заполняет часть бассейна, а второй . За 10 мин из первого крана заполнится часть бассейна, а за 20 мин из второго крана - . Т .к. бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение: . Аналогично составляем второе уравнение (заполняется на весь бассейн, а только его объема). Для упрощения решения задачи введём новые переменные: Тогда имеем линейную систему уравнений:

10u + 20v =1 ,

решение которой будет u = v = . Отсюда получаем ответ: x = мин, y =50 мин.

Задача 9 . Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй рабо­тал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся работу. Оба они выполнили только всей работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают её за 3 ч 36 мин?

Решение. Обозначим через х часов и у часов время, за которое вы­полняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда и

Те части работы, которые они выполняют за 1ч. Работая (по усло­вию) времени, первый выполнит часть работы. Останется невыполненной часть работы, на которую первый затра­тил бы часов. По условию второй работает 1 /3 этого времени. Тогда он выполнит часть работы. Вдвоём они выполнили только всей работы. Следовательно, получаем уравнение . Работая совместно, за 1 час оба сделают + часть работы. Так как по условию задачи они сделают эту работу за 3 ч 36 мин (то есть з a 3 часа), то за 1 час они сделают всей работы. Отсюда 1/ x + 1/ y = 5/18. Обозначив в первом уравнении , получим квадратное уравнение

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , корни которого равны t 1 =2/3 , t 2 =3/2. Так как неизвестно, кто работает быстрее, то рассматриваем оба случая.

а) t = => у = х. Подставляем у во второе уравнение: Очевидно, что это не является решением

задачи, так как вместе они делают работу больше чем за З ч.

б) t =3/2 => y =3/2 x . Из второго уравнения имеем 1/ x +2/3× 1/ x =5/18.Отсюда х=6, у =9.

Задача10. В резервуар поступает вода из двух труб различных диа­метров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 m 3 воды. Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м 3 воды, проработав на 5 ч дольше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но снача­ла работали обе трубы, подав 21 м 3 воды. А затем работала лишь боль­шая труба, подавшая еще 20 м 3 воды. Найти производительность каждой трубы.

Решение. В данной задаче нет абстрактного понятия "объем водо­ема", а указываются конкретные объемы воды, которые поступают по трубам. Однако методика решения задачи фактически остается прежней.

Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час х и у м 3 во­ды. Работая вместе, обе трубы подают х + у м 3 воды.

Следовательно, в первый день трубы работали 14/(x + y ) часов. Во второй день малая труба работала на 5 часов больше, т. е. 5+14/(x + y ) . За это

время она подала 14 м 3 воды. Отсюда получаем первое уравнение 14 или 5+14/( x + y )=14/ x . В третий день обе трубы вместе работали21/(x + y ) часов, а затем большая труба работала 20/ x часов. Суммарное время труб совпадает со временем работы первой трубы во второй день, т. е.

5+14/( x + y ) =21/( x + y )+ 20/ x . Так как левые части уравнения равны, то имеем . Освободившись от знаменателей, получаем однородное уравнение 20 x 2 +27 xy -14 y 2 =0. Разделив уравнение на y 2 и обозначив x / y = t , имеем 20 t 2 +27 t -14=0. Из двух корней этого квадратного уравнения (t 1 = , t 2 = ) по смыслу задачи подходит только t = . Следовательно, x = y . Подставив x в первое уравнение, находим y =5. Тогда x =2.

Задача 11. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за два дня. После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее первой в 5 раз. Сначала работала только первая бригада, а затем только вторая бригада, выполнив в полтора раза меньший объем работы, чем первая бригада. Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы, выполняемый первой брига­дой за один день, больше объема работы, выполняемого за один день второй бригадой?

Решение. Эту задачу удобнее решать, если привести выполняемую работу к одному масштабу. Если обе бригады вырыли, работая вместе, первую траншею за 2 дня, то, очевидно, вторую траншею (в пять раз длиннее) они вырыли бы за 10 дней. Пусть первая бригада вырыла бы эту траншею за х дней, а вторая - за у, т.е. за 1 день первая вырыла бы часть траншеи, вторая - за 1/ y , а вместе -1/ x +1/ y часть траншеи.

Тогда имеем . Бригады при рытье второй траншеи работали раздельно. Если вторая бригада выполнила объем работы m , то (по условию задачи) - первая бригада . Так как m + m = m равно объему всей работы, принимаемому за единицу, то m = . Следовательно, вторая бригада выкопала траншеи и затратила на это у дней. Первая бригада выкопала траншеи и затратила х дней. Отсюда имеем или х = 35- . Подставляя х в первое уравнение, приходим к квадратному уравнению 2у 2 - 95у +1050 = 0, корнями которого будут у 1 = и у 2 = 30. Тогда соответственно х 1 = и х 2 =15. Из условия задачи выбираем нужное: у = 30. Так как найденное значение относится ко второй траншее, то первую траншею (в пять раз короче) вторая бригада вырыла бы за 6 дней.

Задача 12. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объемом 340 м 3 . За час первый экскаватор вынимает 40 м 3 фунта, второй - на с м 3 меньше первого, а третий - на 2с больше первого. Сначала работали одновременно первый и второй экскаваторы, и выкопали 140 м 3 грунта. Затем оставшуюся часть котлована выкопали, работая одновременно, первый и третий экскаваторы. Определить значения с (0<с<15), при котором котлован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.

Решение. Так как первый экскаватор вынимает 40 м 3 грунта в час, то второй - (40-с) м 3 , а третий - (40+2с) м 3 фунта в час. Пусть пер­вый и второй экскаваторы вместе работали х часов. Тогда из условия задачи следует (40+40-с)х = 140 или (80-с)х = 140. Если первый и тре­тий экскаваторы работали вместе у часов, то имеем (40+40+2с)у = 340-140 или (80+2с)у - 200. Так как общее время работы равно 4 часам, то получаем для определения с следующее уравнение х + у = 4 или

Это уравнение равносильно квадратному уравнению с 2 -30с+ 200 = 0, решениями которого будут с 1 = 10 м 3 и с 2 = 20м 3 . По условию задачи подходит толь ко

с = 10 м 3 .

Задача 10. Каждому из двух рабочих поручили обработать одинако­вое количество деталей. Первый начал работу сразу и выполнил ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч на наладку приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч раньше первого. Извест­но, что второй рабочий через час после начала своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает производительность станка (т.е. количество обрабатываемых деталей за час работы)?

Решение. Это пример задачи, в которой не все неизвестные надо находить.

Обозначим время наладки станка вторым рабочим через х (по условию х>2). Пусть необходимо было обработать каждому по n деталей.

Тогда первый рабочий в час обрабатывает деталей, а второй деталей. Оба рабочих одинаковое число деталей обработали через час после начала работы второго. Это означает, что Отсюда получаем уравнение для определения х: х 2 -4х + 3-0 корнями которого будут х 1 = 1 и х 2 = 3. Т. к.

х > 2 , то необходимое значение - это х = 3. Следовательно, второй рабочий обра­батывает в час деталей. Т. к. первый рабочий в час обрабатывает

деталей, то отсюда находим, что приспособление увеличивает производительность труда в = 4 раза.

Задача 1 3. Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей. Сначала к работе приступил только один рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Когда 1/6 часть всех деталей была изготовлена, к работе приступил и третий рабочий. Работу они закончили одновременно, причем каждый изготовил одинаковое коли­чество деталей. Сколько времени работал третий рабочий, если извест­но, что он работал на два часа меньше второго и что первый и второй, работая вместе, могли бы изготовить все требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем это бы сделал бы третий, работая отдельно?

Решение. Пусть первый рабочий работал х часов, а третий - у часов. Тогда второй рабочий работал на 2 часа больше, т. е. у+2 часа. Каждый из них изготовил равное количество деталей, т. е. по 1/3 всех деталей. Следовательно, все детали первый изготовил бы за 3х часов, второй за 3(у+2) часов, а третий - за 3у часов. Поэтому первый изготовляет в час часть всех деталей, второй - и третий - .

Так как все трое за время совместной работы изготовили всех дета­лей, то получаем первое уравнение (все трое вместе работали у часов)

. (1)

Первый и второй, работая вместе, изготовили бы вместе все детали на 9 часов раньше, чем это сделал бы третий рабочий, работая один. Отсюда получаем второе уравнение

. (2)

Эти два уравнения легко приводятся к равносильной системе

Выражая из второго уравнения х и подставляя в первое уравнение, по­лучаем у 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Это уравнение разлагается на множители (y - 9)(у + 2) 2 = 0.

Т. к. у > 0, то уравнение имеет только один нужный корень у = 9. Ответ: у = 9.

Задача 14. В котлован равномерно поступает вода, 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов - за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?

Решение. Пусть объем котлована V m 3 , а производительность ка­ждого насоса - х м 3 в час. Вода в котлован поступает непрерывно. Т. к. неизвестно количество ее поступления, то обозначим через у м 3 в час - объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 часов отка­чают х = 120х воды. Это количество воды равно полному объему котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 часов. Весь этот объем равен V +12 y . Приравнивая эти объемы, составляем первое уравнение 120х = V + 12 y .

Аналогично составляется уравнение для 15 таких насосов: 15-6 x = V + 6 y или 90 x = V + 6 y . Из первого уравнения имеем V = 120х - 12у. Подставляя V во второе уравнение, получаем у = 5х.

Время, в течение которого будут действовать 25 таких насосов, неиз­вестно. Обозначим его через t . Тогда, учитывая условия задачи, по аналогии составляем последнее уравнение. Имеем 25 tx = V + ty . Под­ставляя в это уравнение у и V находим 25 tx = 120х -12 5х + t 5х или 20 tx = 60х. Отсюда получаем t = 3 часа. Ответ: за 3 часа.

Задача 15. Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выпол­нить всю работу за того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно?

Решение. Пусть всю работу, работая отдельно, первая, вторая и третья бригады выполняют соответственно за х, у и z дней. Тогда в день они выполняют часть работы. Преобразуя первое условие задачи в уравнение, считая, что весь объём работы равен единице, получаем

15 или

(1)

20 .

Так как вторая бригада вырабатывает 120% того, что делает первая (на 20% больше), то имеем или . (2)

Вторая и третья бригады выполнили бы всю работу за 1/ дней, а первая и третья – за 1/ дней. По условию первая величина равна

(3)