Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.
Отношение двух многочленов $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью . Если более точно, то это рациональная функция одной переменной (т.е. переменной $x$).
Рациональная дробь называется правильной , если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной .
Пример №1
Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.
- $\frac{3x^2+5\sin x-4}{2x+5}$;
- $\frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$;
- $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$;
- $\frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$.
1) Данная дробь не является рациональной, поскольку содержит $\sin x$. Рациональная дробь этого не допускает.
2) Мы имеем отношение двух многочленов: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Следовательно, согласно определению, выражение $\frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$ есть рациональная дробь. Так как степень многочлена в числителе равна $2$, а степень многочлена в знаменателе равна $9$, то данная дробь является правильной (ибо $2 < 9$).
3) И в числителе, и в знаменателе данной дроби расположены многочлены (разложенные на множители). Нам совершенно неважно, в какой форме представлены многочлены числителя и знаменателя: разложены они на множители или нет. Так как мы имеем отношение двух многочленов, то согласно определению выражение $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ есть рациональная дробь.
Дабы ответить на вопрос о том, является ли данная дробь правильной, следует определить степени многочленов в числителе и знаменателе. Начнём с числителя, т.е. с выражения $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для определения степени этого многочлена можно, конечно, раскрыть скобки. Однако разумно поступить гораздо проще, ибо нас интересует лишь наибольшая степень переменной $x$. Выберем из каждой скобки переменную $x$ в наибольшей степени. Из скобки $(2x^3+8x+4)$ возьмём $x^3$, из скобки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ возьмём $(x^4)^9=x^{4\cdot9}=x^{36}$, а из скобки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ выберем $x^7$. Тогда после раскрытия скобок наибольшая степень переменной $x$ будет такой:
$$ x^3\cdot x^{36}\cdot x^7=x^{3+36+7}=x^{46}. $$
Степень многочлена, расположенного в числителе, равна $46$. Теперь обратимся к знаменателю, т.е. к выражению $(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)$. Степень этого многочлена определяется так же, как и для числителя, т.е.
$$ x\cdot (x^2)^{15}\cdot x^{10}=x^{1+30+10}=x^{41}. $$
В знаменателе расположен многочлен 41-й степени. Так как степень многочлена в числителе (т.е. 46) не меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 41), то рациональная дробь $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ является неправильной.
4) В числителе дроби $\frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$ стоит число $3$, т.е. многочлен нулевой степени. Формально числитель можно записать так: $3x^0=3\cdot1=3$. В знаменателе имеем многочлен, степень которого равна $6\cdot 4=24$. Отношение двух многочленов есть рациональная дробь. Так как $0 < 24$, то данная дробь является правильной.
Ответ : 1) дробь не является рациональной; 2) рациональная дробь (правильная); 3) рациональная дробь (неправильная); 4) рациональная дробь (правильная).
Теперь перейдём к понятию элементарных дробей (их ещё именуют простейшими рациональными дробями). Существуют четыре типа элементарных рациональных дробей:
- $\frac{A}{x-a}$;
- $\frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
- $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть
Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.
Задача состоит в следующем: заданную правильную рациональную дробь представить в виде суммы элементарных рациональных дробей. Решению этой задачи и посвящён материал, изложенный на данной странице. Для начала нужно убедиться, что выполнено следующее условие: многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Каждой скобке вида $(x-a)$, расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{A}{x-a}$.
- Каждой скобке вида $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\frac{A_3}{(x-a)^3}+\ldots+\frac{A_n}{(x-a)^n}$.
- Каждой скобке вида $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q < 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Каждой скобке вида $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Если же дробь неправильная, то перед применением вышеизложенной схемы следует разбить её на сумму целой части (многочлен) и правильной рациональной дроби. Как именно это делается, разберём далее (см. пример №2 пункт 3). Пару слов насчёт буквенных обозначений в числителях (т.е. $A$, $A_1$, $C_2$ и тому подобные). Буквы можно использовать любые - на свой вкус. Важно лишь, чтобы эти буквы были различными во всех элементарных дробях. Чтобы найти значения этих параметров применяют метод неопределённых коэффициентов или метод подстановки частных значений (см. примеры №3, №4 и №5).
Пример №2
Разложить заданные рациональные дроби на элементарные (без нахождения параметров):
- $\frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}$;
- $\frac{x^2+10}{(x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)}$;
- $\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$.
1) Имеем рациональную дробь. В числителе этой дроби расположен многочлен 4-й степени, а в знаменателе многочлен, степень которого равна $17$ (как определить эту степень детально пояснено в пункте №3 примера №1). Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то данная дробь является правильной. Обратимся к наменателю этой дроби. Начнём со скобок $(x-5)$ и $(x+2)^4$, которые полностью подпадают под вид $(x-a)^n$. Кроме того, имеются ещё и скобки $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$. Выражение $(x^2+3x+10)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=3$; $q=10$, $n=1$. Так как $p^2-4q=9-40=-31 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=\frac{A}{x-5}+\ldots $$
Полученный результат можно записать так:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22. $$
Тогда дробь $\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ представима в иной форме:
$$ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =\frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)}{x^3-2x^2+4x-8}+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}. $$
Дробь $\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ является правильной рациональной дробью, ибо степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 3). Теперь обратимся к знаменателю данной дроби. В знаменателе расположен многочлен, который нужно разложить на множители. Иногда для разложения на множители полезна схема Горнера , но в нашем случае проще обойтись стандартным "школьным" методом группировки слагаемых:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\\ 3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot(x^2+4)} $$
Применяя те же методы, что и в предыдущих пунктах, получим:
$$ \frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot(x^2+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} $$
Итак, окончательно имеем:
$$ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} $$
Продолжение этой темы будет рассмотрено во второй части.
Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.
1. Применение формул сокращенного умножения
Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,
Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом
2. Вынесение общего множителя за скобку
Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,
Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.
Общим множителем может быть и многочлен в скобках:
При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .
В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…
3. Способ группировки
Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.
4. Использование сразу нескольких способов
Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.
Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
На данном уроке будут рассмотрены различные способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Фактически, мы вспомним те методы, которые уже были изучены ранее. Это и вынесение общего множителя за скобки, и группировка слагаемых, и применение формул сокращённого умножения, а также выделение полного квадрата. Все эти методы применяются при сложении и вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы вспомним все вышеперечисленные правила, а также разберём примеры на применение этих правил.
Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где - многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две алгебраические дроби: .
Каков алгоритм наших действий?
1. Сократить или упростить каждую из дробей.
2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.
Эти действия требуют разложения на множители многочленов .
Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.
Пример 1. Упростить: .
Решение:
Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, - вынести общий множитель за скобки.
В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые можно вынести за скобки.
.
Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:
При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То есть: 
.
Ответ: .
Пример 2. Упростить: .
Решение:
По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно вынести за скобку .
Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:
.
Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.
Однако они отличаются знаком.
Для этого воспользуемся равенством: . Отсюда получаем: . Получаем:
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух дробей.
Пример 3. Упростить: .
Решение:
Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся формулой сокращённой умножения. Получаем:
Ответ: .
Давайте вспомним: что же такое многочлен? - это сумма одночленов. А одночлен - это произведение степеней переменных и чисел.
Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 4. Разложить на множители: .
Пример 5. Разложить на множители: .
В последнем примере общий множитель - двучлен.
Способ 2. Группировка.
Пример 6. Разложить на множители: .
Решение:
Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть общие множители.
В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие и . Получаем: . Мы видим, что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака. Получаем: .
Ответ: .
Способ 3. Формулы сокращенного умножения.
Перечислим основные формулы сокращённого умножения:
1. - разность квадратов;
2. - квадрат суммы (разности);
3. - разность кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы);
Сумма кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности).
Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их в реальных задачах.
Пример 7. Разложить на множители: .
Пример 8. Разложить на множители: .
Решение:
Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос: как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже найти удвоенное произведение. В данном примере: . То есть, в роли . Получаем: .
Ответ: .
Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко. Чаще используются комбинированные методы.
Способ 4. Выделение полного квадрата.
Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.
Пример 9. Разложить на множители: .
Решение:
Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум слагаемым. Действительно, квадрат первого - - у нас уже есть. Значит, второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение первого выражения на второе. То есть: 
. Значит, если в роли из формулы квадрата разности выступает , то в роли должна выступать . Для применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение выражения. Получаем.
Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.
Простые дроби имеют название элементарных дробей.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Дроби различают:
- A x - a ;
- A (x - a) n ;
- M x + N x 2 + p x + q ;
- M x + N (x 2 + p x + q) n .
A , M , N , a , p , q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.
При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.
Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C
Пример 1
Произвести разложение дроби вида - 2 x + 3 x 3 + x .
Решение
Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.
Применим деление углом. Получаем, что
Отсюда следует, что дробь примет вид
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен - 2 x + 3 x 3 + x .
Алгоритм метода неопределенных коэффициентов
Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:
- Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x 3 + x = x x 2 + 1 для упрощения выносят х за скобки.
- Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.
Рассмотрим на нескольких примерах:
Пример 2
Когда в знаменателе имеется выражение вида (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа A x - a + B x - b + C x - c + D x - d , где a , b , c и d являются числами, A , B , C и D – неопределенными коэффициентами.
Пример 3
Когда знаменатель имеет выражение (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3 , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:
A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c
где имеющиеся a , b , c являются числами, а A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 - неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.
Пример 4
Когда знаменатель имеет вид типа x 2 + p x + q x 2 + r x + s , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа P x + Q x 2 + p x + q + R x + S x 2 + r x + s ,где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P , Q , R и S – определенными коэффициентами.
Пример 5
Когда знаменатель имеет вид x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2 , количество множителей значения не имеет также, как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида
P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
где имеющиеся p , q , r и s являются числами, а P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , R 1 , R 2 , S 1 , S 2 - неопределенными коэффициентами.
Пример 6
Когда имеется знаменатель вида (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа
A x - a + B 3 x - b 3 + В 2 x - b 2 + В 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 , где A , B и C являются неопределенными коэффициентами.
Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что
2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x (x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)
Когда х отличен от 0 , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.
- Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
A + B = 0 C = 2 A = - 3 - Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
- Производим запись ответа:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1
Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид
2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.
Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:
x - a x - b x - c x - d .
Пример 7
Произвести разложение дроби 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x .
Решение
По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что
x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)
Квадратный трехчлен x 2 - 5 x + 6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:
x 1 + x 2 = 5 x 1 · x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Запись трехчлена может быть в виде x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .
Тогда изменится знаменатель: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)
Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2
Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)
После упрощения придем к неравенству вида
2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)
Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х = 0 , х = 2 и х = 3 .
Если х = 0 , получим:
2 · 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B · 0 · (0 - 2) + C · 0 · (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6
Если x = 2 , тогда
2 · 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B · 2 · (2 - 2) + C · 2 · (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2
Если x = 3 , тогда
2 · 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B · 3 · (3 - 2) + C · 3 · (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Ответ: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 · 1 x + 8 3 · 1 x - 3 + 1 2 · 1 x - 2
Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.
Пример 8
Произвести разложение выражения x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 на простейшие дроби.
Решение
По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3
Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3
Приравняем числители и получим, что
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х = 1 , х = - 1 и х = 3 . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:
5 = - 16 A ⇒ A = 5 16
Если х = - 1
15 = 128 B ⇒ B = - 15 128
157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8
Отсюда следует, что нужно найти значения C 1 и C 3 .
Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128
Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C 1 и C 3 . Теперь необходимо решить систему:
25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11
Первое уравнение дает возможность найти C 1 = 103 128 , а второе C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 · 103 128 = 293 32 .
Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 · 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3
Примечание
При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме - прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Вариантов разложения - бесконечное количество.
Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:
Упростить:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х 5 - x 4 = 0
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться... Вот по порядочку и начнём.)
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
a(b+c) = ab+ac
Или, в более общем виде:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
В левой части а - общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
ах+9х
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
ах+9х=х(
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:
Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак "+"! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!
Как так!? - слышу возмущённый глас народа - А в скобках!?)
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть - получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)
х(а+9)=ах+9х
Получилось.)
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками... Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Разложить на множители:
3ах+9х
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
3ах+3·3х
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:
3ах+3·3х=3х(а+3)
Разложили.
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
3ах+9х=х(3а+9)
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.
Продолжаем развлечение?)
Разложить на множители выражение:
3ах+9х-8а-24
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е... Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету... Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же... Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
3ах+9х-8а-24
Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но... Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых - нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )
это будет ошибкой. Справа - уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да...)
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
(3ах+9х)=3х(а+3)
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
(8а+24)=8(а+3)
Всё наше выражение получится:
(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)
Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но... В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком - это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :
3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Добавлю, что группировка - процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь - не падать духом!)
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких...
Упростить:
В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель... Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Пишем результат разложения в числитель дроби:
По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:
Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения - просто нет.
Пример с уравнением:
Решить уравнение:
х 5 - x 4 = 0
Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:
х 4 (x-1)=0
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое... Стало быть:
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно - решать будем точно так же. По кусочкам. Например:
(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0
Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа - ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Решить уравнение:
Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:
lg 4 x=0
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
