>>Математика: Что такое математический язык
Что такое математический язык
Математики отличаются от «нематематиков» тем, что, обсуждая научные проблемы, говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Дело в том, что на математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном.
Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Слыша это, математик пишет (или говорит):
a + b = b + a.
Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий, иные символы. Запись а + b = b + а экономна и удобна для применения.
Возьмем другой пример. На обычном языке говорят: «Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а оставить без изменения». Математик осуществляет «синхронный перевод» на свой язык:
А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон:
a(b + c) = ab + ас.
Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и с , надо число а умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».
Во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математическом языке. А устная речь - это употребление специальных терминов, например: «слагаемое», уравнение , «неравенство», «график», «координата», а также различные математические утверждения, выраженные словами.
Говорят, что культурный человек, кроме родного языка, должен владеть хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен еще уметь говорить, писать, думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз убедимся в дальнейшем, «говорит» окружающая действительность. Этому и будем учиться.
Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Это не самое веселое занятие, интереснее сразу читать и говорить. Но так не бывает, придется набраться терпения и сначала изучить основы. Такие основы математического языка мы будем изучать с вами в главах 2-5. И, конечно, в результате такого изучения ваши представления о математическом языке
будут постепенно расширяться.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиМатематика 7 класс.
Тема урока:"Что такое математический язык".
Федоровцева Наталья Леонидовна
Познавательные УУД: формировать умение переводить математические словесные выражения в буквенные выражения и объяснять значение буквенных выражений
Коммуникативные УУД: воспитывать любовь к математике, участвовать в коллективном обсуждение проблем, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления. Регулятивные УУД: умение обработать информацию и переводить задачу с родного языка на математический. Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний, воспитывать ответственность и аккуратность.Работа с текстом. На математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется". Слыша это, математик пишет(или говорит) а +в = в +а. Он переводит высказанное утверждение на математический, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий, иные символы. Запись а + в = в + а экономна и удобна для применения. Возьмём другой пример. На обычном языке говорят: " Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения".
Математик осуществляет «синхронный перевод» на свой язык:
А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон:
Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и c, надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».
Во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математическом языке. А устная речь - это употребление специальных терминов, например: «слагаемое», «уравнение», «неравенство», «график», «координата», а также различные математические утверждения, выраженные словами.
Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Это не самое веселое занятие, интереснее сразу читать и говорить. Но так не бывает, придется набраться терпения и сначала изучить основы. И, конечно, в результате такого изучения ваши представления о математическом языке будут постепенно расширяться.
Задания. 1. Ознакомление. Прочитайте текст самостоятельно и запишите виды математического языка. 2.Понимание. Приведите пример (не из текста) устной и письменной речи в математическом языке. 3.Применение. Проведите эксперимент, подтверждающий, что математический язык, как и любой другой язык является средством общения, благодаря которому мы можем передать информацию, описать то или иное явление, закон или свойство.
4. Анализ. Раскройте особенности математической речи.
5.Синтез. Придумайте игру для 6-го класса "Правила действий с положительными и отрицательными числами". Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык.
«Как часто в обыденной жизни используются математические термины?»
В выступлениях Чубайса часто слышим мы слова
«Объединение субъектов, и энергетика цела»,
А какой-то строгий лидер постоянно говорит:
«Разделить пора Россию, вот тогда мы будем жить»
Президент Владимир Путин уверяет нас всегда:
«Поворота в прошлое не будет никогда!»
Вот и наши лидеры, убедились в том,
Говорят нередко математическим языком.
«В медицине без математического языка не обойтись».
В медицине градусы, параметры, давление.
Все, кто там работает, знают эти термины.
математический язык в школе
Учителя истории, и химии, и физики
Не могут не использовать язык математический.
Он нужен в биологии, там корень у цветочка есть,
Он нужен в зоологии, там много позвоночков есть,
И наши литераторы, читая биографию
Известного писателя, указывают даты все.
И ваши одноклассники, спрашивая время,
Не могут двух минут дожить до перемены.
в газетах используется математический язык:
Да, если откроешь наши газеты,
Они все-все в цифрах пестрят.
Оттуда узнаешь, бюджет убывает,
А цены растут, как хотят.
Математический язык на улице,на тренировках по футболу:
Язык математический используют всегда
Прохожие на улице «Как чувствуешь? Дела?»
«Работаю всё время, пять соток сад взяла,
Какое там здоровье, прожить бы года два».
И тренер по футболу на пацанов кричит:
«Вы набирайте скорость, мяч в центр уже летит.
Вывод сделаем такой с сегодняшнего уроке
Всем нам нужен язык математики, он очень убедительный.
Чёткий и конкретный он, строгий, однозначный,
Помогает в жизни всем решать свои задачи.
Это делает его очень привлекательным.
И, считаю, в нашей жизни он просто обязательны
Действия с отрицательными и положительными числам
Абсолютной величиной (или абсолютным значением) называется положительное число, получаемое от перемены его знака (-) на обратный (+) . Абсолютная величина -5 есть +5 , т. е. 5 . Абсолютной величиной положительного числа (а также числа 0 ) называется само это число. Знак абсолютной величины - две прямые черты, в которые заключается число, абсолютная величина которого берется. Например,
|-5| = 5,
|+5| = 5,
| 0 | = 0. Сложение чисел с одинаковым знаком. а) При двух чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий их знак. Примеры. (+8) + (+11) = 19; (-7) + (-3) = -10.
6) При сложении двух чисел с разными знаками из абсолютной величины одного из них вычитается абсолютная величина другого (меньшая из большей) а ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше. Примеры. (-3) + (+12) = 9;
(-3) + (+1) = -2. Вычитание чисел с разными знаками. одного числа из другого можно заменить сложением; при этом уменьшаемое берется со своим знаком, а вычитаемое с обратным.Примеры. (+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3;
(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11;
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;
(-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0;
Замечание. При выполнении сложения и вычитания, особенно когда имеем дело с несколькими числами, лучше всего поступать так: 1) освободить все числа от скобок, при этом перед числом поставить знак « + », если прежний знак перед скобкой был одинаков со знаком в скобке, и « - », если он был противоположен знаку в скобке; 2) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак + ; 3) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак - ; 4) из большей суммы вычесть меньшую и поставить знак, соответствующий большей сумме.
Пример. (-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2);
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 - 12 + 2;
17 + 2 = 19;
30 + 6 + 12 = 48;
48 - 19 = 29.
Результат есть отрицательное число
-29 , так как большая сумма (48) получилась от сложения абсолютных величин тех чисел, перед которыми стоили минусы в выражении -30 + 17 – 6 -12 + 2. На это последнее выражение можно смотреть и как на сумму чисел -30, +17, -6, -12, +2, и как на результат последовательного прибавления к числу -30 числа 17 , затем вычитания числа 6 , затем вычитания 12 и, наконец, прибавления 2 . Вообще на выражение а - b + с - d и т. д. можно смотреть и как на сумму чисел (+а), (-b), (+с), (-d), и как на результат таких последовательных действий: вычитания из (+а) числа (+b) , прибавления (+c) , вычитании (+d) и т. д. Умножение чисел с разными знаками При двух чисел умножаются их абсолютные величины и перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.Схема (правило знаков при умножении):
+
Примеры. (+ 2,4) * (-5) = -12; (-2,4) * (-5) = 12; (-8,2) * (+2) = -16,4.
При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей четно, и отрицателен, если число отрицательных сомножителей нечетно.
Примеры.
(+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = 7
(три отрицательных сомножителя);
(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7
(два отрицательных сомножителя).
Деление чисел с разными знаками
При одного числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго и перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные (схема та же, что для умножения).
Примеры.
(-6) : (+3) = -2;
(+8) : (-2) = -4;
(-12) : (-12) = + 1.
“Философия природы написаны величайшие книги, но понять ее сможет лишь тот кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики» Галилей.
Язык современной математики это результат ее длительного развития. В период своего зарождения до 6 века, до Новой эры математика не имела собственного языка. Но по мере формирования письменности появились математические знаки для обозначения некоторых натуральных чисел и натуральных дробей. Математический язык античного Рима включает дошедшую до наших времен систему обозначения целых чисел (I, II, III, IV…). В русском языке числа записывались с особым знаком. Первыми буквами алфавита обозначали единицы следующие 9 букв 10-ки, а последние 9 букв 100-ни. Для обозначения больших чисел славяне придумали оригинальный способ. 10000-тьма, 10 тем-легион, 10 легионов - леодр, 10 леодров - ворон, 10 ворон – колода. И более сего несть человеческому уму разумевати. Язык математики – это искусственный формальный языке со всеми его недостатками и достоинствами.
Математика изучает объекты свойства которых точно сформулированы. Не все что сказано на естественном языке точно. Квадрат первого сложенный с квадратом второго и с удвоенным произведением первого на второго есть квадрат сумы двух. Разработка искусственного языка символов и формул была величайшим достижением науки в значительной мере определившим дальнейшее развитие математики. Язык математики употребляется во многих науках: в естествознании для объяснения природных явлений.
Количественный анализ и формулировка, качественно установленных фактов, обобщений и законов конкретных наук.
Построение математических моделей и даже создание новых направлений таких как математическая физика, биология, лингвистика.
Математический язык очень точен. Преимущества количественного языка математики в сравнении с естественным языком состоит в том, что такой язык весьма краток и точен. Например если нам надо выразить интенсивность какого-либо свойства с помощью обычного языка нам нужно использовать несколько десятков прилагательных, а если математически мы выберем шкалу для сравнения или выберем единицу измерения, то все отношения можно перевести на точный количественный язык. Математический язык выполняет 2 функции:
С помощью математического языка точно формулируется количественные закономерности характеризующие исследуемые явления. Точная формулировка законов и научных теорий на языке математики дает возможность при получении из них следствий применить богатый математический и логический аппарат. При этом надо отметить что существует тесная связь между естественным языком которая описывает качественные характеристики и количественным математических языком, причем чем лучше мы знаем качественные особенности явлений тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы. Математический язык это универсальный язык специально предназначенный для краткой и точной записи различных явлений.
Он служит источником моделей алгоритмических схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих предмет естествознания. С одной стороны любая математическая схема или модель это упрощающаю идеализация исследуемого объекта или явления, но с другой стороны упрощение позволяет ясно и однозначно понять суть объекта или явления.
Математический язык применяется в: литературе(стихосложение), в музыке.
Математический язык дал начало языку математической логике. Язык математической логики стал символическим языком современной математики. Он возник тогда когда неудобства математического языка для нужд математики было окончательно понятно. Формализация математики привела к более ясному осознанию природы самой математики. К применению ее нечисловым и не пространственным объектам (гены, языки, программы и тд). До тех пор пока наши знания у некоторой конкретной области не могут быть переведены на формальный математический язык единообразным методом мы не сможем осознать исходные понятия и их свойства настолько чтобы применять математические методы. Основная задача языка математики: дать точное и удобное определение математического суждения, то есть дать такой язык который удовлетворял бы трем требованиям.
На него возможно перевести математические утверждения.
Он допускал бы сравнительно легкий перевод на обычный язык.
Записи на нем были бы компактны и удобны в обращении.
Сама математическая логика начинается со второй задачи неразрывно связанной с основной задачей языка математики. Вторая задача основная задача логической семантики которая заключается в следующем: дать четкое и однозначное истолкование суждений формального языка одновременно как можно более простое и как можно более близкое к естественному математическому понимаю.
Подготовить доклад: «Такой простой знак равенства»
Язык математической логики исторически первый точно определенный формальный язык. Он появился в конце 19 века в трудах итальянского математика Пеано и его учеников. Современную форму этому языку предали Рассел и Гильберт. Язык математической логики ялвяется базой формальных языков программирования, математической лингвистики и искусственного интелекта.
Математический язык является формальным языком людей изучающих точные науки. Считается, что он более краток и ясен, чем обычный, потому что оперирует точными понятиями, конкретен и состоит из логических высказываний с универсальными логическими символами.
История
Буквенные обозначения, которые применяются в алгебре, не использовались в древности, уравнения записывали в письменной форме. Первые сокращенные обозначения известных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта во II веке нашей эры. В XII веке стала известна в Европе «Алгебра» арабского астронома и математика Аль-Хорезми , переведенная на латинский язык. С этого времени появляются сокращенные обозначения для неизвестных. Когда в XVI веке Дель Ферро и Тарталья - итальянские математики - открыли правила для решения кубических уравнений, сложность этих правил потребовала усовершенствования существующих обозначений. Усовершенствование происходило в течение целого столетия. Французский математик Виета в конце XVI века ввел буквенные обозначения и для известных величин. Были введены сокращенные обозначения действий. Правда, обозначение действий еще долго выглядело у разных авторов согласно их представлению. И только в XVII веке благодаря французскому ученому Декарту алгебраическая символика приобрела вид очень близкий известному сейчас.
Знаки математического языка
Основными типами математического языка являются знаки объектов – это числа, множества, вектора и так далее, знаки отношений между объектами - «›», «=» и так далее. А также операторы или знаки операций , например, знаки «-», «+» , «F», «sin» и так далее. Сюда же необходимо отнести несобственные или вспомогательные знаки : скобки, кавычки и так далее.
Современная математика имеет в своем арсенале очень развитые знаковые системы, позволяющие отразить тончайшие оттенки мыслительного процесса. Культурный человек должен уметь говорить, писать, думать на математическом языке, поскольку это тот язык на котором «говорит» окружающая действительность. Знание математического языка дает богатейшие возможности для анализа научного мышления и всего процесса познания.
Пример
1. На обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Математическим языком это будет написанно как:
a + b = b + a .
Запись a + b = b + a экономна и удобна для применения.
2. Пример обратного перевода, на математическом языке записан распределительный закон:
a (b + c) = ab + ac .
Перевод на обычный язык: «Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c , надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».
Доклад на конференции в рамках «Дней науки»
(организатор — Фонд «Династия», СПб, 21−23 мая 2009 г.)
Вообразите Париж 20-х годов — столицу модернизма и мировой моды. Коко Шанель, вспоминая это время, рассказывает Полю Морану о Пикассо: «Я восхищалась его живописью, хотя не понимала ее. Но я находила ее убедительной, а это то, что я люблю. Для меня это как таблица логарифмов».
Вдумайтесь в эту удивительную параллель. Математика абстрактна, живопись Пикассо абстрактна; казалось бы, вот самое очевидное сходство между двумя непонятностями: «Девушка с обручем» (1919) и «Таблица логарифмов». Но Шанель выбирает другое слово: обе «убедительны», а убедительность — это то, что ее привлекает.
В рамках этого доклада, посвященного разным языковым аспектам содержания и формы математической деятельности, я постараюсь уделить специальное внимание этому качеству — «убедительности».
На личностном уровне убедительность доказательства, идеи, компьютерной симуляции зависит от предрасположенности математика к геометрическому или логическому мышлению, философских склонностей (возможно, неосознаваемых), наконец, ценностной установки.
В социальном плане в игру вступают крупномасштабные исторические обстоятельства, которые могут способствовать как поразительному расцвету математики, так и ее практическому исчезновению.
По понятным причинам историки математики обращаются к тем местам и временам, где математика создавалась или хотя бы принималась по наследству. Но очень интересно было бы пристально вглядеться в исторические обстоятельства ее неприятия, вплоть до (временного) ухода со сцены.
Развитие античной, главным образом греческой, математики в Европе прервалось по крайней мере на первую тысячу лет христианства. Ho еще до христианства практичные и воинственные римляне, создав высокую цивилизацию, интегрировали в нее греческую гуманитарную культуру, но не греческую науку. Даже очевидные военные приложения не смогли соблазнить их. Согласно Плутарху, при осаде Сиракуз римский генерал Марцелл тщетно призывал своих солдат не отступать перед «этим геометрическим Бриареем» (Архимедом), который со своими военными игрушками «превосходит сторуких гигантов мифологии!»
Впрочем, сам Архимед не считал свои инженерные свершения «приложением» своей математики: для его могучего ума они были отвлечением от математики, которого он предпочел бы избежать.
Скудное математическое наследие античного Рима включает дошедшую до наших дней систему обозначения целых чисел:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,…, L,…, C,…, D,…, M.
Поучительнее всего рассматривать ее как уникальную археологическую коллекцию следов архаического состояния математической мысли.
Единица I символизирует зарубку на посохе (не латинскую букву I — это позднее переосмысление). Усилие, уходящее на каждую зарубку, и занимаемое ею место на, скажем, пастушеской палке, заставляет переходить от тупой, но предельно систематической и потенциально бесконечно продолжимой системы обозначения чисел
I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII,. . .
к гораздо более непоследовательной (и не позволяющей уйти в бесконечность), но поначалу экономной и уютной системе скорее «имен», чем символов (так же в начальном отрезке прослеживаемой до зарубок):
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Короткие последовательности этих примарных символов интерпретируются с помощью сложения, иногда вычитания: 2009 = MMIX = M + M — I + X. Конечно, нуль не имеет имени. Ужас перед «отсутствием», «пустотой», глубоко укоренен в человеческой психологии. Еще Экклезиаст сказал: «Чего нет, того нельзя считать».
Невозможность обозначить нуль критически мешает развитию системы и превращению ее в позиционную.
Распространение позиционной системы записи чисел в Европе после выхода книги Леонардо Фибоначчи Liber Abaci (1202) было в сущности началом экспансии единственного действительно глобального мирового языка. Семантикой этого языка был счет чего угодно: зарубок, скота, кораблей, флоринов… Его ядерный синтаксис определялся универсальным правилом перевода абстрактного количества в позиционную (десятичную) запись и обратно. Наконец, его прагматика имела две стороны. Когда референтом текста, состоящего из чисел, был фрагмент внешнего мира, скажем торговля, важным связующим звеном между текстом и внешним миром становились синтаксические правила более высокого уровня. Знаменитый пример таких правил — система двойной бухгалтерии, кодифицированная Лукой Пачиоли в 1494 г.
Когда референтом числового текста служили данные научных, например астрономических, наблюдений, его прагматика могла быть связана с предсказанием, скажем, затмения или построением количественной модели Солнечной системы. В этом случае текст должен был подвергнуться алгоритмической переработке. Иными словами, он служит входом для некоторой программы, тогда как ее выходом становится новый числовой текст, опять имеющий референтом наблюдаемый мир.
Неоценимым достоинством позиционной системы была ее идеальная приспособленность к такой алгоритмической переработке, в частности простые и универсальные правила сложения и умножения, которым можно было научить школьников и клерков. Более сложные программы — инструкции клеркам — описывались на естественном языке как итерация элементарных алгоритмов с добавлением условных переходов («если дебит клиента NN превзойдет его кредит на ZZ флоринов, прекратить поставки»).
Язык программ очень долго существовал лишь как неформализованный поддиалект естественного языка с очень ограниченной (хотя критически важной) сферой применимости. Еще Алан Тьюринг, уже в XX в., мотивируя свою универсальную формализацию вычислимости, когда говорил «компьютер», подразумевал человека, механически следующего конечному списку лежащих перед ним инструкций.
Парадоксальный пример такой деятельности, ставший культурно-историческим памятником общецивилизационного масштаба, — 90 страниц таблиц натуральных логарифмов Джона Непера, опубликованные в его работе Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614 (интуиция Коко Шанель и здесь не обманула ее). Логарифмы были вычислены знак за знаком, вручную. Конечно, Непер соединял в одном лице роль творца новой математики и клерка-компьютера, следующего собственным инструкциям.
Тем поразительнее философское прозрение Лейбница, его знаменитое Calculemus!, постулирующее, что не только манипуляции с числами, но любое строгое и логически последовательное рассуждение, выводящее умозаключение из принятых посылок, должно быть сводимо к вычислению.
Нанесение на карту точных границ лейбницевского идеального мира, в котором рассуждение эквивалентно вычислению, истинность может быть формализована, но не всегда может быть формально удостоверена, где с предельной ясностью можно увидеть, как даже самая малая канторовская бесконечность (натуральных чисел) ускользает из объятий конечно порожденного языка, и было высшим достижением великих логиков ХХ в. (Гильберт, Черч, Гедель, Тар-ский, Тьюринг, Марков, Колмогоров…).
Центральное понятие этой программы, формальный язык, унаследовало основные черты как естественных языков (фиксируемых посредством алфавитной письменности), так и позиционной системы записи чисел и арифметики. В частности, любой классический формальный язык одномерен/линеен, состоит из дискретных символов, эксплицитно выражает базисные логические средства.
Любой реальный математический текст состоит из слов с вкраплениями формул. Формулы можно считать выражениями формального языка (он может меняться от статьи к статье, но часто представляет собой просто версию языка теории множеств).
Вопрос о том, как слова и символы делят между собой функцию передачи содержания, заслуживает отдельного обсуждения. Важнее всего, что слова адресуют работу людям, а не читающим автоматам; они же занимаются такими тонкостями, как выражение системы ценностей автора.
Формулы не всегда и не везде являются носителем смысла в ядерных фрагментах математического текста. По крайней мере со времени Евклида и до наших дней в школьных учебниках геометрии роль формул играют чертежи. Многие помнят рисунок квадрата, разделенного двумя линиями на два меньших квадрата и два прямоугольника. Этот чертеж иллюстрирует/заменяет/доказывает формулу (а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2 .
Гораздо интереснее — и гораздо менее известен — чертеж, иллюстрирующий античную теорему Паппа Александрийского (около 300 г. н. э.).
Пользуясь им, удобно проиллюстрировать, как геометрическое мышление математиков взаимодействует с формульным и формальным, причем на протяжении многих поколений.
Прежде всего — о содержании теоремы.
Начнем с плоского шестиугольника, на чертеже его вершины BXbCYc. (Он не обязан быть выпуклым, как на картинке! Вот первая ловушка чертежей — они часто заставляют принимать неосознанные ограничения.)
Любая пара противоположных сторон шестиугольника, скажем Bc и bC, определяет также промежуточную между ними диагональ XY. Продолжим эти две стороны и диагональ; может оказаться, что три прямые пересекутся в одной точке.
ТЕОРЕМА ПАППА. Если это свойство выполняется для двух пар противоположных сторон шестиугольника, то оно выполняется и для третьей пары.
Это удивительный результат. Прежде всего, трудно вообразить себе, как к нему можно было прийти. Он не принадлежит евклидовой геометрии: расстояния, длины и углы не играют в его формулировке и доказательстве никакой роли; не играет роли также группа эвклидовых движений плоскости. Единственные структурные отношения примитивны: плоскость состоит из точек; прямые — это некоторые подмножества точек; две прямые пересекаются ровно в одной точке; через две точки проходит одна прямая.
Только в XIX в. было понято, что теорема Паппа — центральный результат плоской проективной геометрии. Сначала это была геометрия обычной плоскости над вещественными числами. Потом открылось, что-то же верно для проективной плоскости над любым абстрактным полем; это поле, его законы композиции и аксиомы — всё восстанавливается по конфигурациям Паппа.
Наконец, ближе к концу XX в. оказалось, что эквивалентность теоремы Паппа с теорией коммутативных полей объясняется и обобщается в широком контексте теории моделей. Модель формального языка есть, попросту говоря, отображение этого языка в язык теории множеств вместе со стандартной интерпретацией последнего. Так смысл изысканного чертежа проявляется в сложной метаязыковой конструкции.
Чертежи не поддаются объединению в язык по многим причинам. Синтаксис чертежей прихотлив и не систематичен, синтаксические связи между ними сопротивляются формализации, чертежи обладают целостностью, которая утрачивается при анализе. Их функция в разных процессах передачи и хранения информации отличается от функции даже «синонимичных» языковых конструкций, они взывают к другому типу воображения, к право-полушарной интуиции.
Когда с развитием гомологической алгебры и теории категории во второй половине ХХ в. в математику стали внедряться «чертежеподобные» языковые конструкции, коммутативные диаграммы, должен был пройти некоторый период привыкания к ним.
На рис. 2 изображена такая диаграмма (вполне реалистическая: из работы Д. Борисова и автора, 2007 г.). Элементарной составляющей диаграммы является коммутативный квадрат. До эры категорий линейная языковая запись утверждения, выражаемого этим квадратом, почти исчерпывалась бы равенством h ◦ f = k ◦ g. Но это верно лишь с существенной оговоркой: f, g, h, k здесь — морфизмы в категории, и необходимо знать, из какого объекта в какой каждый морфизм «бьет».
Более того, в большой диаграмме на рис. 2 можно увидеть косые стрелки, вроде а. Такая стрелка изображает морфизм не в исходной категории, скажем C, где живут объекты, имена которых отмечают начала и концы стрелок. Она изображает морфизмы в категории морфизмов Mor C:
а: Id ◦ F"- F" ◦ G.
Точное содержание диаграммы можно передать лишь подробно откомментировав ее обычным линейным текстом, перемежающим слова и формулы. Но делает ли такой текст излишней самое диаграмму? Нет! (Я переписывался с коллегой по электронной почте, обсуждая вполне конкретный математический сюжет. В тексте e-mail, конечно, приходится обходиться словесными экивоками. Вдруг я получаю от своего корреспондента вопль души: «Диаграмму! Полцарства за диаграмму!»)
Ниже я намерен аргументировать точку зрения, согласно которой, развитие теории категорий, и в особенности гомотопической топологии, в течение последних десятилетий не только было существенным прогрессом конкретной области математики, но также способствовало осознанию и вербализации происходящего на наших глазах эпистемологического сдвига в том, что принято было называть «основаниями» математики.
Я должен оговориться: для меня «основания» лишены прескриптивной или нормативной функции. Я понимаю под «основаниями» плод работы математиков, которые склонны вглядываться в практику выбора задач, оформления доказательств и экспериментов, в ценностные ориентации живущих и ушедших поколении математиков.
Важнейшая социальная функция исследований, посвященных основаниям, состоит в поддержании диалога между «двумя культурами» (Ч.П.Сноу). Диалог этот начинается потому, что математика постоянно вызывает естественное философское беспокойство. Если не принимать буквально существование объективного, независимого от нас платоновского мира идей (а философы иногда готовы не принимать даже существования мира вещей и явлений), то придется признать, что математика есть просто плод высокотренированного воображения нескольких тысяч человек в каждом поколении.
Тогда, даже оставив на время заботу о критериях «истинности» математических утверждений, нельзя не поразиться упрямой устойчивости математического знания, его межпоколенческой и межцивили-зационной воспроизводимости.
Больше того, это знание не просто воспроизводится, как воспроизводятся тексты «Одиссеи», «Гильгамеша» или Евангелия. Оно развивается и обогащается, в последние 200 лет — с неслыханной прежде скоростью.
Возвращаясь к проблеме математического содержания «оснований математики» и его исторической эволюции за последние полторы сотни лет, я представлю ее следующим образом.
Исходным ментальным образом, общим для огромного большинства работающих математиков после, скажем, Второй мировой войны, является образ множества с дополнительной структурой: топологического пространства, группы, кольца, пространства с мерой…
На первых ступеньках это множество является чисто канторовской абстракцией: природа его элементов не важна, важно лишь, что они попарно различимы и мыслятся как объединенные в единое целое. На следующих этапах элементы нового множества могут быть открытыми подмножествами предыдущего, локальными функциями на нем и т. п.
Сам Кантор в минималистком вдохновении задал самые базисные вопросы о таких множествах, продемонстрировал бесконечную шкалу бесконечностей и оставил нескольким поколениям логиков задачу разбираться с онтологией и гносеологией этой шкалы.
Более прагматичное поколение, пережившее первую войну, построило на этом потенциально метафизическом фундаменте архитектурно современное и функционально эффективное здание работающей математики из индустриально производимых элементов под названием «структуры» в смысле Бурбаки.
Вопросы о шкале бесконечностей ушли для работающих математиков на задний план, но дискретные множества как основной строительный материал остались. Непрерывное стало надстройкой над дискретным.
Между тем, еще до Кантора некоторые проблемы со строительством из множеств даже элементарной арифметики были совершенно ясны. Если натуральные числа именуют количества палочек или любых конечных дискретных множеств,
I, II, III,. . .
то уже нуль как мощность пустого множества создает психологические проблемы, а отрицательные числа требуют или искусственной алгебры, или интерпретации в совершенно другом универсуме, скажем экономических отношений («долг»).
Вместе с тем, если исходным элементом интуиции считать непрерывное, а дискретное вводить как производную структуру, то целые числа получают удивительно естественное воплощение. Вообразите точку, движущуюся по плоскости. Пусть она выходит из какой-то начальной позиции, блуждает некоторое время, а потом возвращается назад, ни на момент не попадая, скажем, в начало координат. Вопрос: сколько раз она обойдет вокруг начала? Нетрудно дать точное определение этому целому числу: оно может быть нулем, положительным или отрицательным (обходы бывают по часовой стрелке, а бывают — против).
Более того, нетрудно понять, как обходы сначала в одну сторону, а потом в другую сокращаются (1 — 1 = 0): путь, состоящий из двух таких обходов, можно стянуть в точку, не задевая начала координат.
Так что же было вначале, дискретное или непрерывное? Конечно, это архетипический вопрос философии: ijoyoq, вероятно, символизирует дискретное, а х ао? — непрерывное.
Пользуясь метафорой из смежной профессии, этнографии, я сравнил бы эту ситуацию с теорией мифа по Леви-Строссу. Не без влияния Бурбаки Леви-Стросс сконструировал интерпретацию мифа как медиации оппозиции. Обдумывая его концепцию четверть века назад, я предположил эволюцию в обратном направлении: согласно этому взгляду, миф отмечает эпоху, когда осознание оппозиции («дискретного») рождалось из ментального хаоса. Так музыкальная нотация рождалась из самой музыки.
Способ вводить целые числа, который я набросал выше — считать количество обходов с учетом ориентации, которые делает замкнутый путь на плоскости вокруг начала координат, — начал свое существование как одна из самых ранних теорем гомотопической топологии.
Геометр, занимающийся гомотопической топологией, видит умственным взором бесконечномерные пространства, которые могут деформироваться и должны деформироваться вплоть до стягивания в одну точку. В конечном счете дискретность, которую тополог вычисляет и передает дискретным языком, сводится к «связным компонентам» этих пространств и производных от них пространств отображений.
В популярных изложениях математики, а теперь и в видеофильмах «узлы» в R 3 , или «выворачивание сферы наизнанку», используются, чтобы экстериоризировать такие приватные ментальные образы. Возможности этой экстериоризации как учебного средства ограничены, так же как ограничена возможность вообразить себя Святославом Рихтером, исполняющим Шуберта, посмотрев его интервью с Бруно Монсенжоном.
Поэтому я смогу лишь вкратце изложить свои впечатления об эпистемологическом сдвиге, динамику которого я различаю в основаниях математики.
Суть его состоит в том, что отношения между дискретным и непрерывным, между языком и воображением, между алгеброй и топологией инвертируются. Непрерывность, геометрическое воображение, топология медленно завоевывают место первичного математического материала.
Язык становится вторичным, подчиненным, его «внутренняя письменность» возвращается к архаичной иероглифической форме, и его материей делается комбинаторика геометрических образов. Сама эта комбинаторика нелинейна, многомерна, и уже на уровне своего зарождения новый язык смешивает синтаксис, семантику и прагматику способами, которые мы еще не начали философски осмыслять.
Коммутативные диаграммы категорного языка были предвестием такой эволюции. С проникновением в обиход поликатегорий, обогащенных категорий, А∞-алгебр и подобных структур мы начинаем говорить на языке, который в гораздо меньшей степени поддается экстериоризации, чем мы привыкли.
Очень убедительным для меня аргументом в пользу того, что эта перцепция — больше, чем моя частная иллюзия, было осознание параллельных процессов, происходящих на границе математики с теоретической физикой. Я имею в виду Фейнмановские интегралы, методы ренормализации и такие их приложения, как интеграл Виттена, вычисляющий инварианты узлов.
В заключение я хочу вернуться к теме, с которой начал, — проблеме убедительности математики и, более общо, современной науки.
Убедительность личного опыта, свидетельств очевидцев, отсылка к авторитетам и авторитетным текстам часто воспринимаются как полный список средств убеждения. Конечно, физики, химики, биологи добавляют к этому списку направленный эксперимент.
Но я бы хотел рассмотреть здесь то, что я назову «цивилизационным» аргументом, интуитивно угаданным Коко Шанель. Цивилизация предоставляет в наше распоряжение способы проверки истинности, которые не сводятся ни к апелляции к авторитетам, ни к личному опыту разбора длинных математических доказательств, ни к свидетельствам.
Готовясь к этому докладу, я вел обильную переписку по электронной почте. Возможность ее воспринимается почти всеми сейчас как нечто, само собой разумеющееся. Но ее сделал возможной такой уровень математики, выстроенной за 2 тыс. лет, полномасштабную убедительность которого ни мы сами, ни авторитетные для нас люди проверить не в состоянии. Математика верна кроме всего прочего и потому, что открытие уравнений Максвелла привело к технике передачи информации электромагнитными волнами, а Булева алгебра стала работать в вашем и моем ноутбуке.
Культура математического рассуждения в цивилизационном аспекте есть важнейшая форма объективации абстрактного математического знания, способ его передачи от поколения к поколению.
В личностном плане математическую культуру, культуру доказательства я сравнил бы с тренировкой музыканта — отработка точности мелких движений, пока они не станут автоматическими и смогут быть синтезированными, скажем, в «Сонату для скрипки соло» Баха. Кодификация формального языка с его компонентами логики и теории множеств была идеальным средством такой «отработки точных движений». Но если она сопровождается идеологической пропагандой вроде интуиционизма или конструктивизма, она становится философски зашоренной и цивилизационную ценность теряет.
