ДВИЖЕНИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

Как движется Земля и другие планеты в пространстве? Что ждет комету, залетевшую из глубин космоса в Солнечную систему? Многовековая история поиска ответов на эти и другие вопросы о движении небесных тел хорошо известна; для многих людей, внесших большой вклад в науку, именно интерес к астрономии, устройству большого мира, был первым толчком к познанию.

По закону всемирного тяготения сила притяжения, действующая между двумя телами, пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если поместить начало системы координат на одном из тел (размерами тел по сравнению с расстоянием между ними будем пренебрегать), математическая запись силы, действующей на второе тело, имеет вид (рис. 7.14)

Здесь G = 6,67∙10 -11 м 3 /кг∙с 2) - гравитационная постоянная.

Рис. 7.14. Выбор системы координат при решении задачи двух тел

Знак «минус» в формуле (7.20) связан с тем, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние г между телами.

Далее мы ограничимся лишь изучением взаимного движения двух тел. При этом возникает непростой вопрос: с какой позиции (в какой системе координат) изучать это движение? Если делать это из произвольного положения - например, наблюдатель с Земли изучает взаимное движение Солнца и планеты Юпитер - задача станет для нас слишком сложной. Ограничимся лишь простейшей ситуацией: рассмотрим движение одного из тел с точки зрения наблюдателя, находящегося на втором, т.е., например, движения планеты или кометы относительно Солнца, Луны относительно Земли, пренебрегая при этом относительно небольшими силами притяжения от всех прочих небесных тел. Разумеется, мы тем самым произвели ранжирование факторов, и наши последующие действия имеют отношение к реальности лишь в меру соблюдения определенных условий.

Уравнение, описывающее движение тела m в указанной системе координат, имеет вид

или в проекциях на оси х, у

Интересующая нас орбита сильно зависит от «начальной скорости» тела т и «начального расстояния». Мы взяли эти слова в кавычки, так как при изучении движения космических тел нет столь отчетливо выделенного «начального момента», как в ранее рассмотренных ситуациях. При моделировании нам придется принять некоторое положение условно за начало, а затем изучать движение дальше. Очень часто космические тела движутся практически с постоянной скоростью по орбитам, близким к круговым. Для таких орбит легко найти элементарное соотношение между скоростью и радиусом. В этом случае сила тяготения выступает в роли центростремительной, а центростремительная сила при постоянной скорости выражается известной из начального курса физики формулой mv 2 /r. Таким образом, имеем

Искомое соотношение.

Период движения по такой орбите

Заметим, что отсюда вытекает один из законов Кеплера, приведший Ньютона к открытию закона всемирного тяготения: отношение кубов радиусов орбит любых двух планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца, т.е. . Более точная формулировка дана ниже (так как реально орбиты планет не вполне круговые). Если соотношение (7.22) нарушено, то орбита не будет круговой. Выяснить, какой она будет, можно в ходе численного моделирования. Сведем (7.21) к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

(7.23)

В этой задаче особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять характерное расстояние от Земли до Солнца ρ = 1,496∙10 11 м, (так называемая, астрономическая единица), период круговой орбиты ,соответствующий этому расстоянию, скорость движения по ней , т.е. принять

После обезразмеривания получаем

(7.24)

Отметим замечательное обстоятельство: в безразмерных переменных уравнения вообще не содержат параметров! Единственное, что отличает разные режимы движения друг от друга - начальные условия.

Можно доказать, что возможные траектории движения, описываемые уравнениями (7.24) - эллипс, парабола и гипербола.

Рис. 7.15. Иллюстрация второго закона Кеплера

Напомним законы Кеплера, рис. 7.15.

1. Всякая планета движется по эллиптической орбите с общим фокусом, в котором находится Солнце.

2. Каждая планета движется так, что ее радиус-вектор за одинаковые промежутки времени описывает равные площади; на рисунке промежутки времени движения от A 1 к A 2 и от B 1 к B 2 считаются одинаковыми, а площади секторов F 1 A 1 А 2 и F 1 B 1 B 2 равны. Это означает, что чем ближе планета к Солнцу, тем у нее больше скорость движения по орбите.

3. Отношение кубов больших полуосей орбит двух любых планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца.

Уравнения (7.24) описывают движение не только планет, но и любых тел, попадающих в поле тяготения большой масcы. Так, в Солнечной системе существует огромное количество комет, движущихся по чрезвычайно вытянутым эллиптическим орбитам с периодами от нескольких земных лет до нескольких миллионов земных лет. Судьбы небесных тел, не являющихся постоянными членами Солнечной системы, а залетевших в нее издалека, определяютсяих скоростью- еслионадостаточно велика, то орбита будет гиперболической, и. облетев Солнце, тело покинет Солнечную систему, если нет - перейдет на эллиптическую орбиту и станет частью системы; пограничная между ними орбита - параболическая.

Все светила перемещаются по небу, совершая один оборот за сутки. Связано это с вращением Земли. Однако двигаются они по-разному. Для наблюдателя, находящегося на Северном полюсе, над горизонтом находятся звезды только северного полушария неба. Они вращаются вокруг Полярной звезды и не заходят за горизонт. Наблюдатель, находящийся на Южном полюсе, видит только звезды южного полушария. На экваторе могут наблюдаться все звезды, расположенные и в северном, и в южном полушариях неба.

Звезды бывают заходящими и восходящими на данной широте места наблюдения, а также невосходящими и незаходящими. Например, в России не видны звезды созвездия Южный Крест – это созвездие, на наших широтах невосходящее. А созвездия Дракона, Малой Медведицы – незаходящие созвездия. Прохождение светила через меридиан называется кульминацией. В верхней кульминации высота светила h максимальна, в нижней кульминации – минимальна. Промежуток между кульминациями светил равен 12 часам (половине суток).

Солнце, как и всякое другое светило, каждый день поднимается из-за горизонта в восточной стороне неба и заходит на западе. В полдень по местному времени оно достигает наибольшей высоты; нижняя кульминация случается в полночь. В полярных областях Солнце летом не заходит за горизонт, и его нижнюю кульминацию можно наблюдать. В средних широтах на протяжении года видимый суточный путь Солнца то сокращается, то увеличивается. Наименьшим он будет в день зимнего солнцестояния (приблизительно 22 декабря), наибольшим – в день летнего солнцестояния (приблизительно 22 июня). В дни весеннего и осеннего равноденствий (соответственно 21 марта и 23 сентября) продолжительность дня равна продолжительности ночи, т.к. Солнце находится на небесном экваторе: оно восходит в точке востока и заходит в точке запада.

Исходя из наблюдений движения Луны и анализируя законы движения планет, открытые Кеплером, И. Ньютон (1643-1727) установил закон всемирного тяготения. По этому закону, как вы уже знаете из курса физики, все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

здесь m 1 и m 2 - массы двух тел, r - расстояние между ними, а G - коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Его численное значение зависит от единиц, в которых выражены сила, масса и расстояние. Закон всемирного тяготения объясняет движение планет и комет вокруг Солнца, движение спутников вокруг планет, двойных и кратных звезд вокруг их общего центра масс.

Ньютон доказал, что под действием взаимного тяготения тела могут двигаться друг относительно друга по эллипсу (в частности, по кругу ), по параболе и по гиперболе . Ньютон установил, что вид орбиты, которую описывает тело, зависит от его скорости в данном месте орбиты (рис. 34).

При некоторой скорости тело описывает окружность около притягивающего центра. Такую скорость называют первой космической или круговой скоростью, ее сообщают телам, запускаемым в качестве искусственных спутников Земли по круговым орбитам. (Вывод формулы для вычисления первой космической скорости известен из курса физики.) Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли составляет около 8 км/с (7,9 км/с).

Если телу сообщить скорость, в раза большую круговой (11,2 км/с), называемую второй космической или параболической скоростью, то тело навсегда удалится от Земли и может стать спутником Солнца. В этом случае движение тела будет происходить по параболе относительно Земли. При еще большей скорости относительно Земли тело полетит по гиперболе. Двигаясь по параболе или гиперболе , тело только однажды огибает Солнце и навсегда удаляется от него.

Средняя скорость движения Земли по орбите 30 км/с. Орбита Земли близка к окружности, следовательно, скорость движения Земли по орбите близка к круговой на расстоянии Земли от Солнца. Параболическая скорость на расстоянии Земли от Солнца равна км/с≈42 км/с. При такой скорости относительно Солнца тело с орбиты Земли покинет Солнечную систему.

2. Возмущения в движении планет

Законы Кеплера точно соблюдаются только тогда, когда рассматривают движение двух изолированных тел под влиянием их взаимного притяжения. В Солнечной системе планет много, все они не только притягиваются Солнцем, но и притягивают друг друга, поэтому их движения не в точности подчиняются законам Кеплера.

Отклонения от движения, которое происходило бы строго по законам Кеплера, называются возмущениями. В Солнечной системе возмущения невелики, потому что притяжение каждой планеты Солнцем гораздо сильнее притяжения других планет.

Наибольшие возмущения в Солнечной системе вызывает планета Юпитер, которая примерно в 300 раз массивнее Земли. Юпитер оказывает особенно сильное влияние На Движение астероидов и комет, когда они близко к нему подходят. В частности, если направления ускорений кометы, вызванных притяжением Юпитера и Солнца, совпадают, то комета может развить столь большую скорость, что, двигаясь по гиперболе, навсегда уйдет из Солнечной системы. Были случаи, когда притяжение Юпитера сдерживало комету, эксцентриситет ее орбиты становился меньше и резко уменьшался период обращения.

При вычислениях видимого положения планет приходится учитывать возмущения. Теперь делать такие расчеты помогают быстродействующие электронно-вычислительные машины. При запуске искусственных небесных тел и при расчете их траекторий пользуются теорией движения небесных тел, в частности теорией возмущений.

Возможность отправлять автоматические межпланетные станции по желаемым, заранее рассчитанным траекториям, доводить их до цели с учетом возмущений в движении - все это яркие примеры познаваемости законов природы. Небо, которое по представлению верующих является обителью богов, стало ареной человеческой деятельности так же, как и Земля. Религия всегда противопоставляла Землю и небо и объявляла небо недосягаемым. Теперь же среди планет перемещаются искусственные небесные тела, созданные человеком, которыми он может управлять по радио с больших расстояний.

3. Открытие Нептуна

Одним из ярких примеров достижений науки, одним из свидетельств неограниченной познаваемости природы было открытие планеты Нептун путем вычислений - "на кончике пера".

Уран - планета, следующая за Сатурном, который много веков считался самой далекой из планет, была открыта В. Гершелем в конце XVIII в. Уран с трудом виден невооруженным глазом. К 40-м годам XIX в. точные наблюдения показали, что Уран едва заметно уклоняется от того пути, по которому он должен следовать с учетом возмущений со стороны всех известных планет. Таким образом, теория движения небесных тел, столь строгая и точная, подверглась испытанию.

Леверье (во Франции) и Адаме (в Англии) высказали предположение, что, если возмущения со стороны известных планет не объясняют отклонение в движении Урана, значит, на него действует притяжение еще неизвестного тела. Они почти одновременно рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, производящее своим притяжением эти отклонения. Они вычислили орбиту неизвестной планеты, ее массу и указали место на небе, где в данное время должна была находиться неведомая планета. Эта планета и была найдена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г. Ее назвали Нептуном. Нептун не виден невооруженным глазом. Так, разногласие между теорией и практикой, казалось, подрывавшее авторитет материалистической науки, привело к ее триумфу.

4. Приливы

Под действием взаимного притяжения частиц тело стремится принять форму шара. Форма Солнца, планет, их спутников и звезд поэтому и близка к шарообразной. Вращение тел (как вы знаете из физических опытов) ведет к их сплющиванию, к сжатию вдоль оси вращения. Поэтому немного сжат у полюсов земной шар, а более всего сжаты быстро вращающиеся Юпитер и Сатурн.

Но форма планет может изменяться и от действия сил их взаимного притяжения. Шарообразное тело (планета) движется в целом под действием гравитационного притяжения другого тела так, как если бы вся сила притяжения была приложена к ее центру. Однако отдельные части планеты находятся на разном расстоянии от притягивающего тела, поэтому гравитационное ускорение в них также различно, что и приводит к возникновению сил, стремящихся деформировать планету. Разность ускорений, вызываемых притяжением другого тела, в данной точке и в центре планеты называется приливным ускорением.

Рассмотрим для примера систему Земля - Луна. Один и тот же элемент массы в центре Земли будет притягиваться Луной слабее, чем на стороне, обращенной к Луне, и сильнее, чем на противоположной стороне. В результате Земля, и в первую очередь водная оболочка Земли, слегка вытягивается в обе стороны вдоль линии, соединяющей ее с Луной. На рисунке 35 океан для наглядности изображен покрывающим всю Землю. В точках, лежащих на линии Земля - Луна, уровень воды выше всего - там приливы. Вдоль круга, плоскость которого перпендикулярна направлению линии Земля - Луна и проходит через центр Земли, уровень воды ниже всего - там отлив. При суточном вращении Земли в полосу приливов и отливов поочередно вступают разные места Земли. Легко понять, что за сутки могут быть два прилива и два отлива.

Солнце также вызывает на Земле приливы и отливы, но из-за большой удаленности Солнца они меньше, чем лунные, и менее заметны.

С приливами перемещается огромная масса воды. В настоящее время приступают к использованию громадной энергии воды, участвующей в приливах, на берегах океанов и открытых морей.

Ось приливных выступов должна быть всегда направлена к Луне. При вращении Земля стремится повернуть водяной приливный выступ. Поскольку Земля вращается вокруг оси гораздо быстрее, чем Луна обращается вокруг Земли, то Луна оттягивает водяной горб к себе. Происходит трение между водой и твердым дном океана. В результате возникает так называемое приливное трение . Оно тормозит вращение Земли, и сутки с течением времени становятся длиннее (когда-то они составляли только 5-6 ч). Сильные приливы, вызываемые на Меркурии и Венере Солнцем, по-видимому, и явились причиной их крайне медленного вращения вокруг оси. Приливы, вызываемые Землей, настолько затормозили вращение Луны, что она всегда обращена к Земле одной стороной. Таким образом, приливы являются важным фактором эволюции небесных тел и Земли.

5. Масса и плотность Земли

Закон всемирного тяготения позволяет также определить одну из важнейших характеристик небесных тел - массу, в частности массу нашей планеты. Действительно, исходя из закона всемирного тяготения, ускорение свободного падения

Следовательно, если известны значения ускорения свободного падения, гравитационной постоянной и радиуса Земли, то можно определить ее массу.

Подставив в указанную формулу значение g = 9,8 м/с 2 , G = 6,67*10 -11 Н*м 2 /кг 2 , R =6370 км, найдем, что масса Земли М=6*10 24 кг.

Зная массу и объем Земли, можно вычислить ее среднюю плотность. Она равна 5,5*10 3 кг/м 3 . Но плотность Земли с глубиной возрастает, и, по расчетам, вблизи центра, в ядре Земли, она равна 1,1*10 4 кг/м 3 . Рост плотности с глубиной происходит за счет увеличения содержания тяжелых элементов, а также за счет увеличения давления.

(С внутренним строением Земли, изучаемым астрономическими и геофизическими методами, вы знакомились в курсе физической географии.)

Упражнение 12

1. Чему равна плотность Луны, если ее масса в 81 раз, а радиус в 4 раза меньше, чем у Земли?

2. Чему равна масса Земли, если угловая скорость Луны 13,2° в сутки, а среднее расстояние до нее 380 000 км?

6. Определение масс небесных тел

Ньютон доказал, что более точная формула третьего закона Кеплера такова:

где M 1 и М 2 - массы каких-либо небесных тел, a m 1 и m 2 - соответственно массы их спутников. Так, планеты считаются спутниками Солнца. Мы видим, что уточненная формула этого закона отличается от приближенной наличием множителя, содержащего массы. Если под M 1 =M 2 =Mпонимать массу Солнца, а под m 1 и m 2 - массы двух разных планет, то отношение будет мало отличаться от единицы, так как m 1 и m 2 очень малы по сравнению с массой Солнца. При этом точная формула не будет заметно отличаться от приближенной.

Уточненный третий закон Кеплера позволяет определить массы планет, имеющих спутников, и массу Солнца. Чтобы определить массу Солнца, будем сравнивать движение Луны вокруг Земли с движением Земли вокруг Солнца:

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они своим притяжением производят в движении соседних с ними планет, а также в движении комет, астероидов или космических аппаратов.

Упражнение 13

1. Определите массу Юпитера сравнением системы Юпитера со спутником с системой Земля - Луна, если первый спутник Юпитера отстоит от него на 422 000 км и имеет период обращения 1,77 сут. Данные для Луны должны быть вам известны.

2. Вычислите, на каком расстоянии от Земли на линии Земля - Луна находятся те точки, в которых притяжения Землей и Луной одинаковы, зная, что расстояние между Луной и Землей равно 60 радиусам Земли, а масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Со времен Античности и вплоть до XV в. считалось, что Земля неподвижна и находится в центре Вселенной. Н. Коперник и Г. Галилей одними из первых в Новое время высказали идею, что наша планета вращается вокруг Солнца. Эта концепция была встречена достаточно враждебно: Галилей даже был вынужден под давлением церкви публично отказаться от нее. Большое значение для будущего открытия законов движения имели наблюдения Т. Браге, который посвятил этому всю жизнь.

Однако он не сделал каких-либо выводов из своих наблюдений. Позднее работы Т. Браге попали к И. Кеплеру, который нашел простое объяснение наблюдаемым сложным траекториям, сформулировав три закона движения планет вокруг Солнца:

Планеты двигаются по эллиптическим орбитам вокруг Солнца;
планеты двигаются неравномерно: чем дальше планета находится от Солнца, тем она двигается медленнее, и наоборот: чем она ближе к Солнцу, тем двигается быстрее;
периоды обращения планет вокруг Солнца зависят от их удаленности от него: более удаленные планеты двигаются медленнее, чем те, которые расположены ближе к Солнцу.

Законы Кеплера описывали наблюдаемое движение планет, но не вскрывали причин, приводящих к такому движению. Теория гравитации И. Ньютона указала причину, обусловившую движение космических тел по законам Кеплера, правильно предсказала и объяснила особенности их движения, а также позволила в одних терминах описывать явления космического и земного масштабов. Ньютон нашел правильное выражение для гравитационной силы, возникающей при взаимодействии тел, сформулировав закон всемирного тяготения: между любыми двумя телами возникает сила притяжения, пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.

Законы Кеплера выполняются точно только в случае движения одного тела вблизи другого, обладающего значительно большей массой, и при условии сферичности этих тел. Даже при незначительных отступлениях от сферической формы орбита планеты представляет собой прецесси- рующий вокруг звезды эллипс. Скорость прецессии может быть рассчитана достаточно точно на основании законов Ньютона и оказывается максимальной для самой близкой к Солнцу планеты - Меркурия.

Согласно третьему закону Ньютона существует сила, действующая на звезду со стороны планеты. В случае, когда масса звезды значительно больше массы планеты, ускорение звезды пренебрежимо мало и ее можно считать неподвижной. Однако при наличии тел соизмеримых масс, притягивающихся друг к другу, возможно их устойчивое совместное движение вокруг общего центра масс. В случае движения планет вокруг звезды указанный эффект малозаметен, однако в космосе были обнаружены системы, совершающие описанное движение, - двойные звезды.

Основная масса Солнечной системы - около 99,8% - приходится на Солнце. Суммарная масса планет составляет только 0,13% от общей массы Солнечной системы. Из этих цифр следует, что законы Кеплера для движения планет в нашей системе должны соблюдаться очень хорошо. Существенные отклонения от эллиптических орбит могут возникать лишь в случае близкого пролета мимо одной из планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана или Нептуна.

Ньютоновский закон гравитации и законы Кеплера позволяют связать размеры орбит планет с периодами вращения, но не позволяют рассчитать сами орбиты. Еще в XVIII в. была предложена формула для радиусов орбит планет Солнечной системы: R n = (0,4 + 0,3 х 2 n) х R o , где п = 0, 1, 2, 3...; R o - радиус орбиты Земли. В отличие от законов Кеплера, это соотношение никак не следует из законов Ньютона и до сих пор не получило никакого теоретического объяснения. Не исключена возможность того, что данное соотношение представляет собой случайное совпадение. Однако орбиты известных на сегодняшний день планет удовлетворительно описываются этой формулой. Исключение составляет лишь значение п = 3, для которого на рассчитанной орбите планеты не существует. Вместо нее был обнаружен пояс астероидов - небольших по планетным масштабам тел неправильной формы.

Проблема эволюции Солнечной системы. В настоящее время не существует доказанной теории эволюции Солнечной системы. Весьма привлекательная теория совместного происхождения Солнца и планет из единого газового облака, сжавшегося под действием гравитационных сил, оказывается в противоречии с наблюдаемым неравномерным распределением вращательного момента между звездой и планетами. Обсуждаются модели происхождения планет в результате гравитационного захвата Солнцем тел, прилетающих из далекого космоса.

Известные на сегодняшний день свойства планет Солнечной системы позволяют разделить их на две группы. Первые четыре планеты земной группы характеризуются сравнительно малыми массами и большими плотностями слагающих их веществ. Они состоят из расплавленного железного ядра, окруженного силикатной оболочкой - корой. Планеты обладают газовыми атмосферами. Их температуры определяются главным образом расстоянием до Солнца и убывают с его увеличением. Начиная с Юпитера группа планет-гигантов в основном сложена из легких элементов - водорода и гелия. По мере приближения к центру планеты водород и гелий постепенно переходят из газообразного в жидкое и твердое состояния.

Предполагается, что в центральных областях давление столь высоко, что водород существует в металлической фазе, пока не наблюдавшейся на Земле даже в лабораторных условиях. Планеты второй группы обладают большим числом спутников. У Сатурна их число столь велико, что при недостаточном увеличении планета кажется опоясанной системой непрерывных колец.