МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: Финансы и кредиты

Отделение: Заочное

Группа: РФК1

Курсовая работа

По Дисциплине: Эконометрика

На Тему: Временные ряды. Тренды. Автокорреляция.

Студент:

Руководитель:

Проверил:

Москва 2005г.

Введение . 3

История возникновения эконометрики как науки .. 5

Временные ряды. 7

Процесс белого шума .. 12

Процесс скользящего среднего .. 18

Нестационарные временные ряды .. 20

Тренд и его анализ. 24

.. 25

Сглаживание временных рядов . 28

Заключение . 32

Литература .. 33

Введение

Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических

данных строятся, анализируются и совершаются математические модели

реальных экономических явлений.

Одним из важнейших направлений эконометрики является построение

прогнозов по различным экономическим показателям.

· факторы, формирующие циклические колебания ряда (например,

сравнению с летним);

· случайные факторы.

Очевидно, что реальные данные чаще всего содержат все три компоненты. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Если же временной ряд представлен как их произведение, то такая модель называется мультипликативной.

Под временным рядом (time series) понимается последовательность наблюдений значений некоторой переменной, произведенных через равные промежутки времени. Если принять длину такого промежутка за единицу времени (год, квартал, день и т. п.), то можно считать, что последовательные наблюдения x1, ..., xn произведены в моменты

t = 1, …, n.

Основная отличительная особенность статистического анализа временных рядов состоит в том, что последовательность наблюдений

x1, ..., xn рассматривается как реализация последовательности, вообще говоря, статистически зависимых случайных величин X1, ..., Xn, имеющих некоторое совместное распределение с функцией распределения

F(v1, v2, …, vn) = P{ X1 < v1, X2 < v2, ... , Xn < vn }.

Рассмотрим в основном временные ряды, у которых совместное распределение случайных величин X1, ..., Xn имеет совместную плотность распределения p(x1, x2, … , xn).

Чтобы сделать задачу статистического анализа временных рядов доступной для практического решения, приходится так или иначе ограничивать класс рассматриваемых моделей временных рядов, вводя те или иные предположения относительно структуры ряда и структуры его вероятностных характеристик. Одно из таких ограничений предполагает стационарность временного ряда.

Ряд xt, t = 1, …, n, называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если для любого m (m < n) совместное распределение вероятностей случайных величин X t1…… X tm такое же, как и для X t1+ш…… X tm + I, при любых t1,…, tm и I, таких, что 1 ≤ t1, … , tm ≤ n и 1 ≤ t1+ д., … , tm+ I≤ n.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины Xt не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики (если, конечно, они существуют), в том числе: математическое ожидание E (Xt) = Mи дисперсия D(Xt)= Ớ2.

Значение М. определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд xt, а постоянная Ớ характеризует размах этих колебаний.

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между случайными величинами Xt и Xt+ может быть измерена парным коэффициентом корреляции

font-size:14.0pt; line-height:150%">где

font-size:14.0pt; line-height:150%">Если ряд xt стационарный, то значение не зависит от t и является функцией только от ; мы будем использовать для него обозначение font-size:14.0pt; line-height:150%">font-size:14.0pt; line-height:150%">В частности,

font-size:14.0pt; line-height:150%">Соответственно, для стационарного ряда и значение коэффициента корреляции

font-size:14.0pt; line-height:150%">.jpg" width="41" height="26">

так что

font-size:14.0pt; line-height:150%">В частности, font-size:14.0pt; line-height:150%">Практическая проверка строгой стационарности ряда xt на основании наблюдения значений x1, x2, …, xn в общем случае затруднительна. В связи с этим под стационарным рядом на практике часто подразумевают временной ряд xt, у которого

font-size:14.0pt; line-height:150%">Ряд, для которого выполнены указанные три условия, называют стационарным в широком смысле (слабо стационарным, стационарным второго порядка или ковариационно стационарным).

Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным. В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, зависит от t. Ряд xt, t = 1, …, n, называется гауссовским, если совместное распределение случайных величин X1, ... , Xn является n-мерным нормальным распределением. Для

гауссовского ряда понятия стационарности в узком и в широком смысле совпадают.

В дальнейшем, говоря о стационарности некоторого ряда xt, мы (если не

оговаривается противное) будем иметь в виду, что этот ряд стационарен в широком смысле (так что у него существуют математическое ожидание и дисперсия). Итак, пусть xt – стационарный ряд c

font-size:14.0pt; line-height:150%">Поскольку в данном случае коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции (или просто автокорреляцией). По той же причине о ковариациях говорят как об автоковариациях..jpg" width="16" height="16">принято говорить об автокорреляционной функции font-size:14.0pt; line-height:150%"> Автокорреляционная функция безразмерна, т. е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут изменяться в пределах от 1 до +1; при этом ρ(0) = 1. Кроме того, из стационарности ряда xt следует, , так что при анализе поведения автокорреляционных функций обычно ограничиваются рассмотрением только неотрицательных значений font-size:14.0pt; line-height:150%">График зависимости font-size:14.0pt; line-height:150%"> xt – стационарный временной ряд и

c – некоторая постоянная, то временные ряды

xt и (xt + c) имеют одинаковые коррелограммы.

Если предположить, что временной ряд описывается моделью стационарного

гауссовского процесса, то полное описание совместного распределения случайных величин X 1, ..., X n требует задания n+1 параметров:

или https://pandia.ru/text/79/393/images/image026_1.jpg" width="199" height="22 src=">

Это намного меньше, чем без требования стационарности, но все же больше, чем количество наблюдений. В связи с этим, даже для стационарных

гауссовских временных рядов приходится производить дальнейшее упрощение модели с тем, чтобы ограничить количество параметров, подлежащих оцениванию по имеющимся наблюдениям. Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых простых по структуре временных рядов, которые, в то же время, полезны для описания эволюции во времени многих реальных экономических показателей.

Процесс белого шума

Процессом белого шума (“белым шумом”, “чисто случайным временным

рядом”) называют стационарный временной ряд xt, для которого

font-size:14.0pt; line-height:150%">Последнее означает, что при t ≠ s случайные величины Xt и Xs, соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, некоррелированы.

В случае, когда Xt имеет нормальное распределение, случайные величины X 1, ..., X n взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение N(0, 2), образуя случайную выборку из этого распределения, т. е. .

Такой ряд называют гауссовским белым шумом.

В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины

X1, ... ,Xn взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т. к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).

Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при t ≠ s случайных величин Xt и Xs. Это иллюстрирует приводимый ниже график смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с D(Xt) ≡ 0.04.

font-size:14.0pt; line-height:150%">В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике.

В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение εt.

В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу-Джонса в течение 1984 года (дневные данные).

График этого ряда имеет вид

font-size:14.0pt; line-height:150%">Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений xt (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума.

Процесс авторегрессии

Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом:

Xt = a Xt – 1 + εt, t = 1, …, n,

где εt – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и

дисперсию font-size:14.0pt; line-height:150%">X0 – некоторая случайная величина,

а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.

При этом

E(Xt) = a E(X t – 1),

так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E(Xt) = 0 для всех t = 0, 1, …, n.

Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt –2 + εt–1) + εt = a2 Xt–2 + a εt–1 + εt = … =

= a t X0 + a t –1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt,

Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1 ,

Xt–2 = a Xt–3 + εt–2 = a t–2 X0 + a t–3 ε1 + a t–4 ε2 + … + εt–2,

…

X1 = a X0 + ε1.

Если случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2,

…, εn, то отсюда следует, что

font-size:14.0pt; line-height:150%">Таким образом, механизм порождения последовательных наблюдений, заданный соотношениями

Xt = a Xt–1 + εt, t = 1, …, n,

порождает стационарный временной ряд, если a < 1 ; случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …,εn ;

font-size:14.0pt; line-height:150%">Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание. Однако ее можно легко распространить и на временные ряды yt с ненулевым математическим ожиданием , полагая, что

указанная модель относится к центрированному ряду

font-size:14.0pt; line-height:150%">Поэтому без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым средним.

Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса Xt (с нулевым математическим ожиданием), заметим, что для него

font-size:14.0pt; line-height:150%">и при значениях a > 0, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий ряда по сравнению с процессом белого шума. При a < 0 процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений.

Следующие два графика демонстрируют поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями авторегрессии ε

при a = 0.8 (первый график) и a = – 0.8 (второй график).

https://pandia.ru/text/79/393/images/image040_0.jpg" width="69" height="24">

Более того, статистические данные о поведении ряда до момента t = 0 могут

отсутствовать вовсе, так что значение x0 является просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд Xt уже не будет стационарным даже при a.

Процесс скользящего среднего

Еще одной простой моделью порождения временного ряда является процесс скользящего среднего порядка q (MA(q)). Согласно этой модели,

font-size:14.0pt; line-height:150%">При этом для обеспечения стационарности необходимо и достаточно, чтобы параметры по обсолютной величине был меньше еденицы (или, что то же, чтобы корень характеристического уравнения 1- font-size:14.0pt; line-height:150%">font-size:14.0pt; line-height:150%">Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс

Процесс Xt с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу процессов, характеризуется порядками p и q его AR и МA составляющих и обозначается как процесс ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving average). Более точно, процесс Xt с нулевым математическим ожиданием принадлежит классу ARMA(p, q), если

font-size:14.0pt; line-height:150%">где a(L) и b(L) имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q). Если процесс имеет постоянное математическое ожидание , то он является процессом типа ARMA(p, q), если

font-size:14.0pt; line-height:150%">Отметим следующие свойства процесса 

Процесс стационарен, если все корни уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного

круга z ≤ 1.

Если процесс стационарен, то существует эквивалентный ему процесс

font-size:14.0pt; line-height:150%">Если все корни уравнения b(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1

(условие обратимости), то существует эквивалентное представление

font-size:14.0pt; line-height:150%">Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(p, q) всегда можно

аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а

при выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка.

В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом.

Нестационарные временные ряды

В экономической практике принято рассматривать два основных типа нестационарных временных рядов:

Случайное блуждание (со сдвигом)

font-size:14.0pt; line-height:150%"> font-size:14.0pt; line-height:150%">Вторым основным типом является ряд вида:

Хt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image054_1.gif" width="13" height="15 src=">t

Такие ряды называются также временными рядами с детерминистическим трендом.



200


150


100


50


Рис. Нестационарный временной ряд с детерминистическим трендом.

Рассмотрим временной ряд со стохастическим трендом.

Yt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image054_1.gif" width="13" height="15 src=">t

Данное уравнение является частным случаем более общей модели

Yt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image053_1.gif" width="16" height="15 src="> Yt-1 + font-size:14.0pt; line-height:150%">В зависимости от значения font-size:14.0pt; line-height:150%">|а| < 1 - процесс является стационарным;

|а| font-size:14.0pt; line-height:150%">При |а| >1 процесс становится «взрывным», т. е. шок, произошедший в системе в момент времени t, будет иметь более сильное влияние на нее в момент времени t+1, еще более сильное – в момент t+2 и т. д.

На рисунке изображены процессы нестационарных временных рядов с коэффициентом >1. Рисунок A

font-size:14.0pt; line-height:150%">Показывает первые 250, а

Рисунок Б. – первые 450 неблюдений одного и того же процесса. . Видно, как с увеличением числа наблюдений усиливается

взрывной» характер процесса.

Рисунок Б.

180

160

140

120

100

80

60

40

20


О450

Аналогичные тенденции прослеживаются для процессов с коэффициентом < -1.

Такого рода процессы (а также процесс с коэффициентом = -1 редко соотвествуют экономическим данным, поэтому, как правило, основной упор делается на рассмотрении процессов, имеющих единичный корень, - т. е. случая, когда =1.

Тренд и его анализ.

Тренд или тенденция временного ряда – это несколько условное

понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную

составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может

быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд

временного ряда часто связан с действием физических законов или

каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще

говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или

временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть

(остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая

функция простого вида (линейная, квадратичная и т. п.), описывающая

“поведение в целом” ряда или процесса. Если выделение такого

тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме

тренда считается допустимым.

Для временного ряда уравнение линейного тренда имеет вид

font-size:14.0pt; line-height:150%"> При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени

значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об

отрицательном (тенденция убывания). При r, близких к нулю, иногда

говорят о боковом тренде. Как было сказано выше, для случая, когда

t=1,2,3,...n, имеем:

font-size:14.0pt; line-height:150%">однако на практике не стоит отдельно вычислять r и уX и только

потом подставлять их в уравнение тренда. Лучше прямо в формуле

тренда произвести сокращения, после которых она примет вид:

font-size:14.0pt; line-height:150%"> После выделения линейного тренда нужно выяснить, насколько он

значим. Это делается с помощью анализа коэффициент корреляции.

Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем

самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного)

может оказаться случайным, связанным со спецификой

рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при

анализе другого набора экспериментальных данных (для того же

временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка

намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой

знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.

Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

font-size:14.0pt; line-height:150%">где

font-size:14.0pt; line-height:150%">Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и font-size:14.0pt; line-height:150%"> font-size:14.0pt; line-height:150%">где

font-size:14.0pt; line-height:150%">Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в font-size:14.0pt; line-height:150%">рассматривается как указание на значимость корреляции с

соответствующим лагом.

Сглаживание временных рядов

Сглаживание временного ряда используется для удаления из него

высокочастотных компонент (которые обычно являются

несущественными, так как вызваны случайными факторами). Один из

простейших методов сглаживания - метод скользящих или подвижных

средних (MA в англоязычной нотации), он является одним из наиболее

старых и широко известных. Этот метод основан на переходе от

начальных значений временного ряда к их средним значениям на

некотором заданном интервале времени (длина которого называется

шириной окна). Этот интервал времени как бы скользит вдоль ряда, с

чем и связано название метода. В каждый момент этого скольжения мы

видим только часть ряда, чем и вызвана “оконная” терминология.

Полученный в результате такого сглаживания новый временной

ряд обычно ведет себя более регулярно (гладко), что связано с

удалением в процессе сглаживания резких случайных отклонений,

попадающих в окно. Сглаживание полезно применять даже в самом

начале исследования временного ряда, так как при этом часто

удается прояснить вопрос о наличии и характере тренда, а также

выявить сезонные колебания.

Несколько слов нужно сказать о сезонных колебаниях. Они

проявляются во многих временных рядах, в частности, в экономике,

метеорологии. Сезонными колебаниями называют все такие изменени,

которые соответствуют определенному (почти) строго периодическому

ритму (не обязательно равному одному году, как для обычных

сезонов), присущему Вселенной, природе или человеческой

деятельности. Такая периодичность может ярко проявляться в

процессах человеческой деятельности, например, в изменениях объема

перевозок местным транспортом в последние дни каждой недели или же

утром и вечером в течение каждого дня, в росте ошибок при

выполнении производственных операций по понедельникам и др. Но

наиболее типичные сезонные колебания связаны именно со сменой

сезонов года. Они затрагивают огромное число параметров жизни

человека (как современного, так и в древности). Обычно при

исследовании временных рядов стремятся выделить сезонные колебания

для того, чтобы их изолировать и изучить другие, более сложные

периодические компоненты.

Простейшее сглаживание методом MA с шириной окна 2m+1

производится по следующим формулам:

x*k=(xk-m+xk-m+1+...+xk+xk+1+...+xk+m)/2m+1.

Выбор ширины окна диктуется содержательными сображениями,

связанными с предполагаемым периодом сезонных колебаний или

с желательным исключением определенного рода высокочастотных

колебаний. На практике обычно при отсутствии сезонности ширину

окна берут равной 3, 5 или 7. Не рекомендуется брать окно шире,

чем в четверть числа анализируемых данных. Чем шире окно, тем

больше колебательных компонент будет исключено и тем более гладкий

вид полученного при сглаживании ряда. Однако при слишком больших

окнах полученный ряд уже значительно отличается от исходного,

теряются многие индивидуальные особенности и ряд все более

приближается к постоянному. Если взять ширину окна максимально

возможной (равной общему числу данных значений x1,x2,...), то

приходим просто к постоянной величине, равной среднему значению

всех этих xi.

Подвижные средние могут, к сожалению, искажать кратковременные колебания и порождать фиктивные гармонические

компоненты при гармоническом анализе временных рядов.

Имеются различные модификации метода MA. В некоторых из них

используются более сложные методы усреднения (с некоторыми весами

и др.), которые подчеркивают большую или меньшую значимость

отдельных слагаемых. Например, часто используемое экспоненциальное

сглаживание основано на приписывании больших весов непосредственно предшествующим значениям. Этот подход очень широко распространен в социологии, экономике и других дисциплинах.

В настоящее время метод MA (с различными модификациями)

реализован во всех статистических пакетах программ, а также в

многих специализированных программах, предназначенных для

обработки экономической и деловой информации.

Для случайных процессов тоже имеются разнообразные методы

сглаживания. Здесь число методов чрезвычайно велико, это связано с

тем, что усреднение может производиться с помощью интегрирования с

некоторой весовой функцией, которую можно выбирать достаточно

произвольно. Поэтому окно здесь задается не только своей шириной,

а и видом усредняющей функции. Правильный выбор окна представляет собой весьма непростую задачу, этому посвящена обширная литература. Прямоугольное окно (используемое в классическом варианте метода MA) имеет целый ряд недостатков, которые в классической теории рядов Фурье связывают с явлением Гиббса, в технике именуемом вытеканием мощности. При исследовании случайных процессов часто говорят не о сглаживании, а о фильтрации (или о коррекции, очистке спектра), причем в области высоких частот

говорят о применении фильтра высоких частот (ФВЧ), а в области

низких частот – о фильтре низких частот (ФНЧ). Такого рода

терминология принята, в частности, в теории распознавания сигналов

и, вообще, в теории связи.

Другой (терминологически, но не по существу) подход к

сглаживанию временных рядов и случайных процессов основан на

модификации спектра. Если в спектре ряда просто полностью удалить

высокочастотные компоненты, то получится новый ряд, который ведет

себя более регулярно. Такого рода вычисление возможны только при

наличии компьютера и специальной программы для работы с рядами и

преобразованиями Фурье. Эти программы входят в состав большинства

универсальных математических пакетов (Mathcad, Matlab, Maple,

Mathematica) и многих статистических пакетов.

Заключение

Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение

взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Становление и развитие эконометрики происходили на основе так называемой высшей статистики, когда в уравнение регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени. В ряде случаев это необходимо для отражения свойства оптимальности экономических переменных, т. е. наличия значений, при которых достигается минимальное или максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения в почву удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности, а по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение.

Описание экономических систем математическими методами, или эконометрика, дает заключение о реальных объектах и связях по результатам выборочного обследования или моделирования. Вместе с тем, чтобы сделать вывод о том, какие из полученных результатов являются достоверными, а какие сомнительными или просто необоснованными, необходимо уметь оценивать их надежность и величину погрешности. Все перечисленные аспекты и составляют содержание эконометрики как науки.

Таким образом, сердцевиной познания в экономике является эксперимент, предполагающий либо непосредственное наблюдение (измерение), либо математическое моделирование.

Литература

Основная:

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. . – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. . – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

3. Эконометрика в вопросах и ответах /учебное пособие, Москва 2005 . Изд-во Проспект, 208с.

4. , Путко: Учебник для вузов / Под ред. проф. . – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

5. , Пересецкий. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

6. Эконометрия / Москва «Финансы и статистика» 2001, -304с.

Анализ временных рядов позволяет изучить показатели во времени. Временной ряд – это числовые значения статистического показателя, расположенные в хронологическом порядке.

Подобные данные распространены в самых разных сферах человеческой деятельности: ежедневные цены акций, курсов валют, ежеквартальные, годовые объемы продаж, производства и т.д. Типичный временной ряд в метеорологии, например, ежемесячный объем осадков.

Временные ряды в Excel

Если фиксировать значения какого-то процесса через определенные промежутки времени, то получатся элементы временного ряда. Их изменчивость пытаются разделить на закономерную и случайную составляющие. Закономерные изменения членов ряда, как правило, предсказуемы.

Сделаем анализ временных рядов в Excel. Пример: торговая сеть анализирует данные о продажах товаров магазинами, находящимися в городах с населением менее 50 000 человек. Период – 2012-2015 гг. Задача – выявить основную тенденцию развития.

Внесем данные о реализации в таблицу Excel:

На вкладке «Данные» нажимаем кнопку «Анализ данных». Если она не видна, заходим в меню. «Параметры Excel» - «Надстройки». Внизу нажимаем «Перейти» к «Надстройкам Excel» и выбираем «Пакет анализа».

Подключение настройки «Анализ данных» детально описано .

Нужная кнопка появится на ленте.

Из предлагаемого списка инструментов для статистического анализа выбираем «Экспоненциальное сглаживание». Этот метод выравнивания подходит для нашего динамического ряда, значения которого сильно колеблются.

Заполняем диалоговое окно. Входной интервал – диапазон со значениями продаж. Фактор затухания – коэффициент экспоненциального сглаживания (по умолчанию – 0,3). Выходной интервал – ссылка на верхнюю левую ячейку выходного диапазона. Сюда программа поместит сглаженные уровни и размер определит самостоятельно. Ставим галочки «Вывод графика», «Стандартные погрешности».

Закрываем диалоговое окно нажатием ОК. Результаты анализа:


Для расчета стандартных погрешностей Excel использует формулу: =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(‘диапазон фактических значений’; ‘диапазон прогнозных значений’)/ ‘размер окна сглаживания’). Например, =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C3:C5;D3:D5)/3).



Прогнозирование временного ряда в Excel

Составим прогноз продаж, используя данные из предыдущего примера.

На график, отображающий фактические объемы реализации продукции, добавим линию тренда (правая кнопка по графику – «Добавить линию тренда»).

Настраиваем параметры линии тренда:

Выбираем полиномиальный тренд, что максимально сократить ошибку прогнозной модели.


R2 = 0,9567, что означает: данное отношение объясняет 95,67% изменений объемов продаж с течением времени.

Уравнение тренда – это модель формулы для расчета прогнозных значений.

Получаем достаточно оптимистичный результат:


В нашем примере все-таки экспоненциальная зависимость. Поэтому при построении линейного тренда больше ошибок и неточностей.

Для прогнозирования экспоненциальной зависимости в Excel можно использовать также функцию РОСТ.


Для линейной зависимости – ТЕНДЕНЦИЯ.

При составлении прогнозов нельзя использовать какой-то один метод: велика вероятность больших отклонений и неточностей.

Элементы временного ряда

Определение 1

Временной ряд – это расположенные последовательно в хронологическом порядке показатели, которые характеризуют развитие того или иного явления во времени.

Основные задачи эконометрического исследования временных рядов:

  • Прогнозирование будущих уровней динамических рядов;
  • Исследование взаимосвязей между временными рядами.

Характеристиками временного ряда являются:

  • Момент времени (конкретная дата) или период (год, квартал, неделя и т.д.), к которому относится статистическая информация;
  • Непосредственно статистические данные – уровни временного ряда.

Значение уровня ряда зависит от влияния на него всей совокупности возможных факторов, которые можно подразделить на группы:

  1. Группа факторов, формирующих главную тенденцию ряда (компоненту тренда);
  2. Группа факторов, формирующих циклические колебания в рядах (циклическую компоненту). Компонента может быть конъюнктурной, т.е. связанной с большими циклами в экономике, и сезонной, связанной с внутригодовыми колебаниями.
  3. Группа случайных факторов, отражающих влияние большого числа факторов, не относящихся к циклическим или трендовым.

Тип связи между компонентами определяет вид модели, которая может быть аддитивной (сумма компонент) и мультипликативной (произведение компонент).

Определение структуры временного ряда

Эконометрические модели в большинстве своем являются динамическими. Это значит, что причинно-следственные связи между переменными моделируются во времени, а исходные значения – временные ряды. Временным рядом $x_t$ является ряд значений отдельного показателя за несколько последовательных временных промежутков.

Все временные ряды $x_t$ состоят из следующих составляющих:

  • Тенденции, которая характеризует общую динамику исследуемого явления или процесса. Аналитическая тенденция – это некоторая функция времени, называемая трендом (T).
  • Периодической или циклической составляющей, которая характеризует периодические или циклические колебания анализируемого явления. Колебания – это отклонения фактических значений от значений тренда. Например, продажи некоторых товаров подвержены сезонным колебаниям. Сезонными колебаниями являются периодические колебания, имеющие отдельный и постоянный период, который равен годовому промежутку. Колебания конъюнктуры происходят в условиях больших экономических циклов, период таких колебаний как правило равен нескольким годам.
  • Случайной составляющей, являющейся результатом воздействия многих случайных факторов.

Чтобы определить состав компонентов в модели временного ряда, необходимо построить автокорреляционную функцию.

Автокорреляцией является корреляционная связь последовательных уровней одного и того же динамического ряда. Таким образом, автокорреляция представляет собой связь между рядами

$x_1, x_2, …, x_{n-1}, x_{1+l}, x_{2+l}, …, x_n$

где $l$ – это целое положительное число. Автокорреляция может изменяться коэффициентом автокорреляции (рисунок 1):

Рисунок 1. Формула расчета коэффициента автокорреляции. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Лаг – это сдвиг во времени, которые позволяет определить порядок коэффициента. Если $l = 1$, то коэффициент автокорреляции будет первого порядка, при $l = 2$ коэффициент автокорреляции будет второго порядка. Необходимо учитывать, что при увеличении лага на одну единицу, количество пар значений, с помощью которых рассчитывается коэффициент автокорреляции, снижается на 1. Рекомендуемым максимальным порядком коэффициента является $n/4$.

После расчета коэффициентом автокорреляции, определяется величина лага, при котором наиболее высокая автокорреляция, тем самым выявляется структура временного ряда:

  • При наиболее высоком значении коэффициента первого порядка в исследуемом ряду содержится только тенденция;
  • При наиболее высоком значении коэффициента порядка $l$, в ряду содержатся колебания с соответствующим периодом.

Если ни один из коэффициентов не оказался значимым, то можно сделать один из двух выводов:

  1. Ряд не имеет циклических колебаний и тенденции, а его уровень определяется только лишь случайной компонентой;
  2. Ряд имеет существенную нелинейную тенденцию, чтобы выявить которую необходимо осуществить дополнительный анализ.

Замечание 1

Вся последовательность коэффициентов разных порядков называется автокорреляционной функцией временных рядов. График зависимостей значений коэффициентов от величины лага - это коррелограмма.

Одномерный временной ряд

В общем смысле временной ряд – это однопараметрическое семейство случайных значений $y_t = y(t_i)$, числовые характеристики и закон распределения которых могут зависеть от $t$.

Временные ряды, которые характеризуют динамику исследуемого явления, имеют большое различие с перекрестными данными, представляющими в статистике экономические явления. Основными отличиями являются:

  • Значение каждого следующего уровня ряда напрямую зависит от значения предыдущего, другими словами, элементы ряда находятся в статистической зависимости. Например, численность населения государства в текущем году зависит от численности населения в прошлом.
  • Местоположение каждого элемента временного ряда четко определено и не может произвольно изменяться: каждый из выборочных показателей строго соответствует моменту времени его анализа.
  • Чем больше временной промежуток между уровнями ряда, тем большими будут различия в методике определения изучаемого показателя: функционирование одних факторов может прекращаться, а взамен образуются новые.

Все перечисленные особенности временных рядов обуславливают характерные только для них способы статистической обработки. Основными составляющими временного ряда являются: трендовая компонента, сезонная, циклическая и случайная.

Элементы временных рядов могут не представлять действие одновременно четырех факторов: при разных условиях применяются разные комбинации, однако, случайная компонента является обязательной для любых ситуаций.