Уравнение парной регрессии .

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Система нормальных уравнений.

a n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x 2 = ∑y x

Для наших данных система уравнений имеет вид

12a + 1042 b = 1709

1042 a + 91556 b = 149367

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9, a = 64.21

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.9 x + 64.21

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β i , а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции

Ковариация .

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.9 x + 64.21

1.3. Коэффициент эластичности .

Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации .

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах .

Индекс корреляции .

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции r xy = 0.79.

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции :

1.6. Коэффициент детерминации.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R 2 = 0.79 2 = 0.62

Для оценки качества параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

2. Оценка параметров уравнения регрессии.

2.1. Значимость коэффициента корреляции .

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H 1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку t крит двусторонней критической области. Если t набл < t крит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |t набл | > t крит - нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим t крит:

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 y = 53.63 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S y = 7.32 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S a - стандартное отклонение случайной величины a.

S b - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.

(a + bx p ± ε)

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X p = 107

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx i ± ε)

t крит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

t крит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии .

(b - t крит S b ; b + t крит S b)

(a - t крит S a ; a + t крит S a)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k 1 =1 и k 2 =10, F табл = 4.96

И корреляция

1.1. Понятие регрессии

Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных у и х

вида y = f (x ),

где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия описывается уравнением: y = a + b × x +e .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примеры регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но ли-

нейных по оцениваемым параметрам:

· полиномы разных степеней

· равносторонняя гипербола:

Примеры регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:

· степенная

· показательная

· экспоненциальная

Наиболее часто применяются следующие модели регрессий:

– прямой

– гиперболы

– параболы

– показательной функции

– степенная функция

1.2. Построение уравнения регрессии

Постановка задачи. По имеющимся данным n наблюдений за совместным

изменением двух параметров x и y {(xi ,yi ), i=1,2,...,n} необходимо определить

аналитическую зависимость ŷ=f(x) , наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач):

– спецификация модели (определение вида аналитической зависимости

ŷ=f(x) );

– оценка параметров выбранной модели.

1.2.1. Спецификация модели

Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости:

– графический (на основе анализа поля корреляций);

– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии D ост или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных

моделей регрессии (метод перебора).

1.2.2. Оценка параметров модели

Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷx при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.

В случае линейной регрессии параметры а и b находятся из следующей

системы нормальных уравнений метода МНК:

(1.1)

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой

(1.2)

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x , y ) → (x’ , y’ ), система нормальных уравнений имеет

вид (1.1) в преобразованных переменных x’ , y’ .

Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения .

Гиперболическая регрессия :

x’ = 1/x ; y’ = y .

Уравнения (1.1) и формулы (1.2) принимают вид

Экспоненциальная регрессия:

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = lny .

Модифицированная экспонента : , (0 < a 1 < 1).

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = ln │y – К│.

Величина предела роста K выбирается предварительно на основе анализа

поля корреляций либо из качественных соображений. Параметр a 0 берется со

знаком «+», если y х > K и со знаком «–» в противном случае.

Степенная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = ln x ; y’ = ln y .

Показательная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = x ; y’ = lny .

https://pandia.ru/text/78/146/images/image026_7.jpg" width="459" height="64 src=">

Парабола второго порядка :

Парабола второго порядка имеет 3 параметра a 0, a 1, a 2, которые определяются из системы трех уравнений

1.3. Оценка тесноты связи

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент

парной корреляции rxy для линейной регрессии (–1 ≤ r xy ≤ 1)

и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии

Имеет место соотношение

Долю дисперсии, объясняемую регрессией , в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации r2xy (для линейной регрессии) или индекс детерминации (для нелинейной регрессии).

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать

показатель (коэффициент, индекс) детерминации R 2 либо среднюю ошибку аппроксимации.

Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение

расчетных значений от фактических

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если

значение не превышает 10–12 %.

1.4. Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов,

коэффициента детерминации

Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с

помощью F -критерия Фишера.

F- критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение

фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F- критерия

Фишера.

F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной

дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных.

Для линейной регрессии m = 1 .

Для нелинейной регрессии вместо r 2 xy используется R 2.

F табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m , k2 = n – m – 1 (для линейной регрессии m = 1) и уровне значимости α.

Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу

при условии, что она верна. Обычно величина α принимается равной 0,05 или

Если F табл < F факт, то Н0 -гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл > F факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции применяется

t- критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого

из показателей.

Согласно t- критерию выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия t факт для оцениваемых коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента

корреляции определяются по формулам

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t- статистики

t табл и t факт принимают или отвергают гипотезу Но.

t табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n– 2 и уровне значимости α.

Связь между F- критерием Фишера (при k 1 = 1; m =1) и t- критерием Стьюдента выражается равенством

Если t табл < t факт, то Но отклоняется, т. е. a, b и не случайно отличаются

от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл > t факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или https://pandia.ru/text/78/146/images/image041_2.jpg" width="574" height="59">

F табл определяется из таблицы при степенях свободы k 1 = 1, k 2 = n –2 и при

заданном уровне значимости α. Если F табл < F факт, то признается статистическая значимость коэффициента детерминации. В формуле (1.6) величина m означает число параметров при переменных в соответствующем уравнении регрессии.

1.5. Расчет доверительных интервалов

Рассчитанные значения показателей (коэффициенты a , b , ) являются

приближенными, полученными на основе имеющихся выборочных данных.

Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов.

Доверительные интервалы определяют пределы, в которых лежат точные значения определяемых показателей с заданной степенью уверенности, соответствующей заданному уровню значимости α.

Для расчета доверительных интервалов для параметров a и b уравнения линейной регрессии определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:

Величина t табл представляет собой табличное значение t- критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при степени свободы k = n –2 и заданном уровне значимости α.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

https://pandia.ru/text/78/146/images/image045_3.jpg" width="188" height="62">

где t γ – значение случайной величины, подчиняющейся стандартному нормальному распределению, соответствующее вероятности γ = 1 – α/2 (α – уровень значимости);

z’ = Z (rxy) – значение Z- распределения Фишера, соответствующее полученному значению линейного коэффициента корреляции rxy .

Граничные значения доверительного интервала (r– , r+ ) для rxy получаются

из граничных значений доверительного интервала (z– , z+ ) для z с помощью

функции, обратной Z- распределению Фишера

1.6. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной

регрессии

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения уp , которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии

соответствующего (прогнозного
) значения x p

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ уpmin, уpmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения https://pandia.ru/text/78/146/images/image050_2.jpg" width="37" height="44 src=">

и затем строится доверительный интервал прогноза , т. е. определяются нижняя и верхняя границы интервала прогноза

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под парной регрессией?

2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?

3. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?

4. Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии?

5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае линейной регрессии?

6. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае гиперболической, показательной регрессии?

7. По какой формуле вычисляется линейный коэффициент парной корреляции r xy ?

8. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?

9. Как вычисляется индекс корреляции?

10. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?

11. Как проверяется значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов?

12. Как строится доверительный интервал прогноза в случае линейной регрессии?

Лабораторная работа № 1

Задание.1 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1):

1. Вычислить линейный коэффициент парной корреляции.

2. Проверить значимость коэффициента парной корреляции.

3. Построить доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции.

Задание. 2 На основании данных табл. П1 для соответствующего варианта (табл. 1.1):

1. Построить предложенные уравнения регрессии, включая линейную регрессию.

2. Вычислить индексы парной корреляции для каждого уравнения.

3. Проверить значимость уравнений регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения.

4. Определить лучшее уравнение регрессии на основе средней ошибки аппроксимации.

5. Построить интервальный прогноз для значения x = x max для линейного

уравнения регрессии.

Требования к оформлению результатов

Отчет о лабораторной работе должен содержать разделы:

1. Описание задания;

2. Описание решения лабораторной работы (по этапам);

3. Изложение полученных результатов.

Таблица П1

Исходные данные к лабораторным работам № 1, 2

Наличие предметов длительного пользования в домашних хозяйствах по регионам Российской Федерации (европейская часть территории без республик Северного Кавказа) (по материалам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств; на 100 домохозяйств; штук)

Наиболее простой с точки зрения понимания, интерпретации и техники расчетов является линейная форма регрессии .

Уравнение линейной парной регрессии , где

a 0 , a 1 - параметры модели, ε i - случайная величина (величина остатка).

Параметры модели и их содержание:


Уравнение регрессии дополняется показателем тесноты связи. В качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который рассчитывают по формуле:

или .

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации . Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

где

.

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, неучтенных в модели, факторов.

После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка его адекватности и точности.Эти свойства модели исследуются на основе анализа ряда остатков ε i (отклонений расчетных значений от фактических).

Уровень ряда остатков

Корреляционный и регрессионный анализ проводится для ограниченной по объему совокупности. В связи с этим показатели регрессии, корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенной модели.

Проверка адекватности модели заключается в определении значимости модели и установление наличия или отсутствия систематической ошибки.

Значения у 1 соответствующие данным х i при теоретических значениях а 0 и а 1 , случайные. Случайными будут и рассчитанные по ним значения коэффициентов а 0 и а 1 .

Проверка значимостиотдельных коэффициентов регрессии проводится по t-критерию Стьюдента путем проверки гипотезы равенстве нулю каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют, насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных величин. Для соответствующих коэффициентов регрессии применяют соответствующие формулы.

Формулы для определения t- критерия Стьюдента

где

S a 0 ,S a 1 - стандартные отклонения свободного члена и коэффициента регрессии. Определяются по формулам

где

S ε - стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка оценки), которая определяется по формуле

Расчетные значения t-критерия сравнивают с табличным значением критерия t αγ , .которое определяется при (n — k — 1) степенях свободы и соответствующем уровне значимости α. Если расчетное значение t -критерия превосходит его табличное значение t αγ ,то параметр признается значимым. В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе - критерия Фишера , которому предшествует дисперсионный анализ.

Общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части - «объясненную» и «необъясненную»:

Общая сумма квадратов отклонений;

Сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);


- остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 35 ( - число наблюдений, - число параметров при переменной ).

Таблица 35 - Схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используют F-критерий Фишера . В случае парной линейной регрессии значимость модели регрессии определяется по следующей формуле: .

Если при заданном уровне значимости расчетное значение F -критерия с γ 1 =k, γ 2 =(п - k - 1) степенями свободы больше табличного, то модель считается значимой, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки (выполнения предпосылок метода наименьших квадратов — МНК) осуществляется на основе анализа ряда остатков. Расчет случайных ошибок параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции производят по формулам

,

Для проверки свойства случайности ряда остатков можно использовать критерий поворотных точек (пиков). Точка считается поворотной, если выполняются следующие условия: ε i -1 < ε i > ε i +1 или ε i -1 > ε i < ε i +1

Далее подсчитывается число поворотных точек р. Критерием случайности с 5 % уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства:

Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа, заключенного в скобки. Если неравенство выполняется, то модель считается адекватной.

Для проверки равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю вычисляется среднее значение ряда остатков:

Если = 0, то считается, что модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

Если ≠ 0, то проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю математического ожидания. Для этого вычисляют t -критерий Стьюдента по формуле:

где S ε — стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка).

Значение t -критерий сравнивают с табличным t αγ . Если выполняется неравенство t > t αγ , то модель неадекватна по данному критерию

Дисперсия уровней ряда остатков должна быть одинаковой для всех значений х (свойство гомоскедастичности ).Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность .

Для оценки гетероскедастичности при малом объеме выборки можно использовать метод Гольдфельда—Квандта , суть которого заключается в том, что необходимо:

Расположить значения переменной х в порядке возрастания;

Разделить совокупность упорядоченных наблюдений на две группы;

По каждой группе наблюдений построить уравнения регрессии;

Определить остаточные суммы квадратов для первой и второй групп по формулам: ; , где

n 1 - число наблюдений в первой группе;

n 2 - число наблюдений во второй группе.

Рассчитать критерий или (в числителе должна быть большая сумма квадратов). При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности критерий F расч будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы γ 1 =n 1 -m, γ 2 =n - n 1 - m) для каждой остаточной суммы квадратов (где m — число оцениваемых параметров в уравнении регрессии). Чем больше величина F расч превышает табличное значение F- критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществляют с помощью d-критерия Дарбина—Уотсона . Он определяется по формуле:

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним d 1 и верхним d 2 критическими значениями статистики Дарбина—Уотсона. Возможны следующие случаи:

1) если d < d 1 , то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков;

2) если d 1 < d < d 2 (включая сами эти значения), то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод. Необходимо использовать дополнительный критерий, например первый коэффициент автокорреляции:

Если расчетное значение коэффициента по модулю меньше табличного значения г 1кр, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается;

3) если d 2 < d < 2, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию;

4) если d> 2, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле d′= 4 - dи сравнивать с критическим значением d′, а не d.

Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределенияможно осуществить с помощью R/S - критерия, который определяется по формуле:

где S ε — стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка). Расчетное значение R/S - критерия сравнивают с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения), и если значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае гипотеза принимается

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать индекс корреляции (коэффициент множественной корреляции).

Формула определения индекса корреляции

где

Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от ее среднего значения. Определяется по формуле:

Сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией. Определяется по формуле:

Остаточная сумма квадратов отклонений. Вычисляется по формуле:

Уравнение можно представить следующим образом:

Индекс корреляции принимает значение от 0 до 1. Чем выше значение индекса, тем ближе расчетные значения результативного признака к фактическим. Индекс корреляции используется при любой форме связи переменных; при парной линейной регрессии он равен парному коэффициенту корреляции.

В качестве меры точности модели применяют точностные характеристики: Для определения меры точности модели рассчитывают:

- максимальная ошибка - соответствует отклонению расчетному отклонению расчетных значений от фактических

- средняя абсолютная ошибка - ошибка показывает, насколько в среднем отклоняются фактические значения от модели

- дисперсия ряда остатков (остаточная дисперсия)

где - среднее значение ряда остатков. Определяется по формуле

- средняя квадратическая ошибка . Представляет собой корень квадратный из дисперсии: , чем меньше значение ошибки, тем точнее модель

- средняя относительная ошибка аппроксимации .

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%.

Если модель регрессии признана адекватной, а параметры модели значимы, то переходят к построению прогноза.

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины независимой переменной х прогн.

Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю, поэтому рассчитывается доверительный интервал прогноза с большой надежностью.

Доверительные интервалы прогноза зависят от стандартной ошибки, удаления х прогн от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α. Доверительные интервалы прогноза рассчитывают по формуле: или

где

t табл - определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы γ=n-k-1.

Пример13 .

По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи (таблица 36).

Таблица 36 - Связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи

Расходы на продукты питания, , тыс. руб. 0,9 1,2 1,8 2,2 2,6 2,9 3,3 3,8
Доходы семьи, , тыс. руб. 1,2 3,1 5,3 7,4 9,6 11,8 14,5 18,7

Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции (рисунок 8).

По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию.

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 37.

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии . Для этого воспользуемся формулами:

Рисунок 8 - Поле корреляции.

Получили уравнение:

Т.е. с увеличением дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 168 руб.

Расчет линейного коэффициента корреляции .

Линейная парная регрессия находит широкое применение в экономет­рике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (3.6)

Уравнение вида позволяет по заданным значени­ям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x .

Построение парной линейной регрессии сводится к оценке ее пара­метров и . Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Например, методом наименьших квадратов (МНК).

Согласно метода наименьших квадратов оценки параметров и выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений ре­зультативного признака (у) от расчетных (теоретических, модельных) была ми­нимальна.Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 3.2):

, (3.7)

Рис. 3.2. Линия регрессии с минимальной суммой квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией

Для дальнейших выводов в выражении (3.7) подставим модельное значение, т. е. и получим:

Чтобы найти минимум функции (3.8), надо вычислить част­ные производные по каждому из параметров и и приравнять их к нулю:

Преобразуя эту систему, получим следующую систему нор­мальных уравнений для оценки параметров и :

. (3.9)

Матричная форма записи этой системы имеет вид:

. (3.10)

Решая систему нормальных уравнений (3.10) в матричной форме получим:

Алгебраическая форма решения системы (3.11) можно записать следующим образам:

После несложных преобразовании формулу (3.12) можно записать в удобной форме:

Необходимо заметить, что оценки параметров уравнения регрессии можно получить и по другим формулам, например:

(3.14)

Здесь выборочный парный линейный коэффициент корреляции.

После вычисления параметров регрессии мы можем записать уравнение математической модели регрессии :

Необходим заметить, что параметр показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Так, если в функции издержек (у - издержки (тыс. руб.), х - количество единиц продукции). То, следовательно, с увеличением объема продукции (х) на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. руб., т. е. дополнительный прирост продукции на 1 ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. руб.

Возможность четкой экономической интерпретации коэф­фициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследова­ниях.

Формально - значение у при х = 0. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла. Параметр может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр могут привести к абсурду, особен­но при < 0.

Пример 3.2 . Предположим по группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек: . Информация, необходимая для расчета оценок параметров и , представлена в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Расчетная таблица

№ предприятия

Выпуск продукции, тыс. ед. ()

Затраты на производство, млн руб. ()

Система нормальных уравнений будет иметь вид:

.

Решение этой системы по формуле (4.13) дает результат:

Запишем модель уравнения регрессии (4.16):

Подставив в уравнение значения x , найдем теоретические (модельные) значения у, (см. последнюю графу табл. 3.1).

В данном случае величина параметра не имеет экономичес­кого смысла.

В рассматриваемом примере имеем:

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесно­ты связи. При использовании линейной регрессии в качестве та­кого показателя выступает линейный коэффициент корреляции . Существуют разные модификации формулы линейного коэф­фициента корреляции. Некоторые из них приведены ниже:

Как известно, линейный коэффициент корреляции находит­ся в границах: .

Если коэффициент регрессии , то, и, наобо­рот, при, .

По данным табл. 4.1 величина линейного коэффициента кор­реляции составила 0,993, что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной зависимости затрат на производство от ве­личины объема выпущенной продукции.

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает от­сутствие связи между признаками. При иной спецификации мо­дели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчиты­вается квадрат линейного коэффициента корреляции , назы­ваемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детермина­ции характеризует долю дисперсии результативного признака у, объяснимуюрегрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Соответственно величина характеризует долю дисперсии вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

В нашем примере . Следовательно, уравнением регрессии объясняется 98,6% дисперсии результативного признака,а на долюпрочих факторов приходится лишь 1,4% ее дисперсии (т. е. остаточная дисперсия). Величина коэффициента детерминации служитодним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньшероль прочих факторов, и, следовательно, линейная модельхорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Так, полагая, что объем продукции предприятия может составить 6 тыс. ед., прогнозное значение для издержек производства ока­жется 221,01 тыс. руб.