Тема 4
Основные вопросы: 1. Абсолютные статистические величины.
2. Виды абсолютных статистических величин.
3. Относительные величины.
4. Виды относительных величин.
5. Средняя величина. Виды средних величин.
6. Средняя арифметическая.
7. Средняя гармоническая.
8. Средняя геометрическая.
9. Средняя квадратическая и средняя кубическая.
10. Структурные средние.
11. Соотношения между средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях.
1. Абсолютные статистические величины. Чтобы отразить размер, объем явлений в статистике применяются абсолютные величины. Абсолютная величина (А.В.) получается в результате сводки статистического материала. А.В. выражаются в различных единицах измерения – натуральных, стоимостных (денежных), условных, трудовых.
1) Натуральные единицы измерения характеризуют величину и размер изучаемых явлений. Они выражаются в метрах, тоннах, литрах и т.д. Натуральные единицы можно суммировать только по однородным продуктам, нельзя сложить тонны стали с метрами ткани.
2) Стоимостные единицы применяются для оценки в стоимостном выражении многих статистических показателей: размер розничного товарооборота, ВВП, доходы населения и т.д.
3) Условные. В ряде случаев не все виды однородной продукции можно суммировать. Нельзя суммировать мыло (т.к. оно имеет различный процент жирности), топливо (различную калорийность) и т.д. У.е.и. применяют для учета однородной продукции различных разновидностей. Например, консервы выпускают в банках разной емкости. Поэтому их считают в тысячах условных банок. За одну условную банку принят вес продукции нетто 400 гр.
4) Трудовые единицы измерения – человеко-часы, человеко-дни и т.п. Используются для измерения трудовых ресурсов, затрат труда.
2. Виды абсолютных статистических величин. По способу выражения:
1) Индивидуальные – А.В., характеризующие размеры признака у отдельных единиц совокупности (например, зарплата отдельного работника, размер посевной площади конкретного фермерского хозяйства). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах.
2) Суммарные А.В. – выражают величину того или иного признака всех единиц изучаемой совокупности или отдельных ее групп и получаются в результате суммирования индивидуальных А.В. (зарплата по предприятию).
А.В. всегда являются именованными числами. Они выражаются в определенных единицах измерения (кг, шт., тонны, га, м и т.п.).
В практической деятельности при отсутствии необходимой информации абсолютные величины получают расчетным путем, например на основе балансовой увязки:
где – запас на начало периода; – поступление за период; – расход за период; – запас на конец периода.
Отсюда 
.
Абсолютные статистические величины широко используют в анализе и прогнозировании состояния и развития явлений общественной жизни.
На основе А.В. исчисляют относительные величины.
3. Относительные величины (О.В.). Получаются в результате деления одной величины на другую. Числитель отношения – сравниваемая величина, ее называют текущей или отчетной величиной, знаменатель отношения называют базой сравнения или основанием сравнения.
Если база сравнения равна 100, то О.В. выражена в (%), если база сравнения 1 000 – промилле (‰), 10 000 – в продецимилле (‰0).
Сопоставляемые величины могут быть одноименными и разноименными. Если сравнивают одноименные величины, то их выражают в коэффициентах, процентах, промилле. При сопоставлении разноименных величин наименования относительных величин образуется от наименований сравниваемых величин: плотность населения – чел./км 2 , урожайность – ц/га и т.д.
4. Виды относительных величин (показателей).
1) планового задания – ОППЗ;
2) выполнения плана – ОПВП;
3) динамики (ОПД);
4) структуры (d);
5) интенсивности и уровня развития;
6) координации (ОПК);
7) сравнения (ОПС).
1) ОППЗ – служит для планирования. Вычисляется отношением уровня, запланированного на предстоящий период (П), к уровню показателя, достигнутому в предыдущем периоде ():
2) ОПВП – служит для сравнения реально достигнутых результатов с намеченными ранее.
,
– достигнутый уровень в текущем периоде; – план на этот же период.
3) ОПД – характеризует изменение уровня какого-либо экономического явления во времени и получается делением уровня признака за определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предыдущий период или момент времени. По другому, их называют – темпом роста. Вычисляются в коэффициентах или %.
4) d – характеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельный вес элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности () ко всей численности единиц совокупности ():
5) Интенсивности и уровня развития – характеризуют степень насыщенности или развития данного явления в определенной среде, являются именованными и могут выражаться в кратных отношениях, %, ‰ и др. формах.
6) ОПК – характеризует отношение частей изучаемой совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, или сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000 единиц другой части. Эти относительные величины могут быть исчислены как по абсолютным показателям, так и по показателям структуры.
7) ОПС – характеризуют отношения одноименных абсолютных или относительных показателей, соответствующих одному и тому же периоду или моменту времени, но относящиеся к различным объектам или территориям.
5. Средняя величина. Виды средних величин.
Определение : Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.
Виды средних величин: 1) арифметическая;
2) гармоническая;
3) геометрическая;
4) квадратическая;
5) кубическая.
Все эти средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях m ):
,
где – среднее значение исследуемого явления;
– показатель степени средней;
– текущее значение осредняемого признака;
– число признаков.
В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:
при – средняя гармоническая ;
при – средняя геометрическая ;
при – средняя арифметическая ;
при – средняя квадратическая ;
при – средняя кубическая .
При использовании одних и тех же данных, чем больше m, тем больше значение средней величины:
– правило мажорантности средних.
Вид средней выбирается в каждом случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления.
6. Средняя арифметическая.
а) Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц (наиболее распространенная).
Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.
Среднее из средних величин вычисляется по следующей формуле, считая :
,
где – число единиц в каждой группе.
Свойства средних величин:
1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить (увеличить) в раз, тогда среднее значение нового признака соответственно уменьшится (увеличится) в раз.
; 
2. Если варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на , то средняя арифметическая соответственно уменьшится (увеличится) на то же число .
3. Если веса всех усредняемых вариантов уменьшится (увеличится) в раз, то средняя арифметическая не изменится.
4. Сумма отклонений от средней равна нулю.
7. Средняя гармоническая. Применяется в тех случаях, когда не известны частоты по отдельным вариантам x совокупности, а представлено их произведение . Обозначим это произведение через , тогда получим формулу средней гармонической взвешенной:
.
является преобразованной формой и тождественна ей. Вместо всегда можно рассчитать , но для этого нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.
В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, применяется средняя гармоническая простая :
,
где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу,
– число вариантов.
Если по двум частям совокупности (численности и ) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:
.
8. Средняя геометрическая. Применяется, когда индивидуальные значения признака характеризует средний коэффициент роста (представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики). Вычисляется по формуле:
– число вариантов; – знак произведения.
Наиболее широко применяется для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения (рассмотрим ее применение позднее).
9. Средняя квадратическая и средняя кубическая.
– применяется для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, диаметров труб и т.п.
Определение: Мода ()– значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.
Широко используется при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.
Формула для вычисления:
,
где – нижняя граница модального интервала;
– частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом (соответственно).
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.
Определение: Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.
Делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.
Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.
Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части – квартили, на пять – квинтили, на десять – децили, на сто – перцентили.
На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.
- степенные средние;
- структурные средние.
Введем следующие условные обозначения:
Величины, для которых исчисляется средняя;
Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;
Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
(5.1)
при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.
Средние величины бывают простые и взвешенные.
Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .
Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:
1 - 800 ак. - 1010 руб.
2 - 650 ак. - 990 руб.
3 - 700 ак. - 1015 руб.
4 - 550 ак. - 900 руб.
5 - 850 ак. - 1150 руб.
Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):
ОСС = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700+900·550+1150·850= 3 634 500;
КПА = 800+650+700+550+850=3550.
В этом случае средний курс стоимости акций был равен:
Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.
Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.
Доказательство :
Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.
Доказательство.
Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:
(5.4)
Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:
Отсюда получаем:
(5.5)
Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.
Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.
Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:
- если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
- средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
- если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.
Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.
Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:
К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч.
Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:
В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид:
Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.
Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров.
Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:
Получаем
Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:
Средняя геометрическая . Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.
Для простой средней геометрической:
Для взвешенной средней геометрической:
Средняя квадратическая величина . Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).
Формула простой средней квадратической:
Формула взвешенной средней квадратической:
(5.11)
В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования.
Выбор средней предполагает такую последовательность:
а) установление обобщающего показателя совокупности;
б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;
в) замена индивидуальных значений средними величинами;
г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.
Статистическая совокупность состоит из множества единиц, объектов или явлений однородных в некотором отношении и одновременно отличных по величине признаков. Величина признаки каждого объекта определяется как общими для всех единиц совокупности, так и индивидуальными ее особенностями.
Анализируя упорядоченные ряды распределения (ранжировані, интервальные и др.), можно заметить, что элементы статистической совокупности явно концентрируются вокруг некоторых центральных значений. Такая концентрация отдельных значений признака вокруг некоторых центральных значений, как правило, имеет место во всех статистических распределениях. Тенденцию отдельных значений исследуемого признака группироваться вокруг центра распределения частот называют центральной тенденцией. Для характеристики центральной тенденции распределения применяются обобщающие показатели, которые получили название средних величин.
Средней величиной в статистике называют обобщающий показатель, характеризующий типичный размер признака в качественно однородной совокупности в конкретных условиях места и времени и отражает величину варьирующей признака в расчете на единицу совокупности. Вычисляется средняя величина в большинстве случаев путем деления общего объема признака на число единиц, обладающих этим признаком. Если, например, известный фонд месячной заработной платы и количество рабочих за месяц, то среднюю месячную заработную плату можно определить путем деления фонда заработной платы на количество рабочих.
В качестве средних величин выступают такие показатели как средняя продолжительность рабочего дня, недели, года, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых культур по стране, среднее потребление продуктов питания на душу населения и т.д.
Средние величины исчисляются как из абсолютных, так и относительных величин, являются показателями именованными и измеряются в тех же единицах измерения, что и усереднювана признак. Они характеризуют одним числом значение исследуемой совокупности. В средних величинах находит отражение объективный и типичный уровень социально-экономических явлений и процессов.
Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по одному какому-либо признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типичных черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, используется система средних показателей. Так, например, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями производительности труда (средней выработки продукции за единицу рабочего времени), фондовооруженностью и енергоозброєністю, уровнем механизации и автоматизации работ и др.
В статистической науке и практике средние величины имеют исключительно большое значение. Метод средних величин является одним из важнейших статистических методов, а средняя величина - одной из основных категорий статистической науки. Теория средних величин занимает одно из центральных мест в теории статистики. Средние величины являются основой для расчета показателей вариации (раздел 5), ошибок выборки (раздел 6), дисперсионного (раздел 8) и корреляционного анализа (раздел 9).
нельзя представить также статистику без индексов, а последние по существу представляют собой средние величины. Использование метода статистических группировок тоже ведет к пользованию средними величинами.
Как уже отмечалось, метод группировок - один из основных методов статистики. Метод средних в сочетании с методом группировок это составная часть научно разработанной статистической методологии. Средние показатели органично дополняют метод статистических группировок.
Средние величины используются для характеристики изменения явлений во времени, расчета средних темпов роста и прироста. Например, сопоставление средних темпов роста показателей производительности труда и ее оплаты за определенный период (ряд лет) раскрывает характер развития явления за изучаемый промежуток времени, отдельно производительности труда и отдельно оплаты труда. Сопоставление темпов роста указанных двух явлений дает представление о характере и особенность соотношения роста или снижения производительности труда относительно ее оплаты за определенные промежутки времени.
Во всех случаях, когда возникает необходимость охарактеризовать одним числом совокупность значений признака, что меняются, пользуются его средним значением.
В статистической совокупности значение признака изменяется от объекта к объекту, то есть варьирует. Усредняя эти значения и предоставляя урівняне значение признака каждому члену совокупности мы абстрагируемся от индивидуальных значений признака, тем самым как бы заменяем ряд распределения значений признака одним и тем же значением, равным средней величине. Однако такая абстракция правомерна лишь в том случае, если усреднение не меняет основного свойства по отношению к данной признаки в целом. Это основное свойство статистической совокупности, связанная с отдельными значениями признака, и которая при усреднении должна быть сохранена неизменной, называется определяющим свойством средней по отношению к исследуемой признаки. Иначе говоря, средняя заменяя индивидуальные значения признака, не должна изменять общего объема явления, т.е. обязательная такое равенство: объем явления равна произведению средней величины на численность совокупности. Например, если из трех значений урожайности ячменя (х, =20,0; 23,3; 23,6 ц/га) вычислена средняя(20,0+23,3+23,6):3 = 22,3 ц/га, то по определяющим свойством средней должна быть соблюдена такая равенство:
Как видно из приведенного примера, средняя урожайность ячменя не совпадает ни с одной из индивидуальных, так как ни в одном хозяйстве не полученная урожайность-22,3 ц/га. Однако если представить, что в каждом хозяйстве получили по 22,3 ц/га, то общая сумма урожайности не изменится и будет равна 66,9 ц/га. Следовательно, средняя заменяя фактическое значение отдельных индивидуальных показателей, не может изменить размер всей суммы величин исследуемого признака.
Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. в замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Свойство средней характеризовать не отдельные единицы, а выразить уровень признака в расчете на каждую единицу совокупности является ее отличительной способностью. Эта особенность делает среднюю обобщающим показателем уровня варьирующей признаки, т.е. показателем, который абстрагируется от индивидуальных значений величины признака у отдельных единиц совокупности. Но то, что средняя является абстрактной, не лишает ее научного исследования. Абстракция является необходимая степень всякого научного исследования. В средней величине, как в любой абстракции, осуществляется диалектическое единство индивидуального и общего. Взаимосвязь средних и отдельных значений усредненной признаки служит выражением диалектической связи индивидуального и общего.
Применение средних должно базироваться на понимании и взаимосвязи диалектических категорий общего и индивидуального, массового и единичного.
Средняя величина отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым общественным явлениям и не заметных в единичных явлениях.
В развитии явлений необходимость сочетается со случайностью. Поэтому средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при расчете средней величины случайные колебания, имеющие разную направленность, в силу действия закона больших чисел, взаимно уравновешиваются, погашаются и в величине средней четко отображается основная закономерность, необходимость, влияние общих условий, характерных для данной совокупности. В средней находит отражение типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Оценка этих уровней и изменение их во времени и пространстве - одна из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, закономерность повышения производительности труда, урожайности сельскохозяйственных культур, продуктивности животных. Следовательно, средние величины представляют собой обобщающие показатели, в которых находит свое выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.
С помощью средних величин изучают изменение явлений во времени и пространстве, тенденции в их развитии, связи и зависимости между признаками, эффективность различных форм организации производства, труда и технологий, внедрения научно-технического прогресса, выявление нового, прогрессивного в развитии тех или иных социально-экономических явлений и процессов.
Средние величины широко применяются в статистическом анализе социально-экономических явлений, так как именно в них находят свое проявление закономерности и тенденции развития массовых общественных явлений, варьирующих как во времени, так и в пространстве. Так, например, закономерность повышения производительности труда в экономике находит свое отражение в росте среднего производства продукции из расчета на одного работника, занятого в производстве, увеличения валовых сборов - в росте средней урожайности сельскохозяйственных культур и т.д.
Средняя величина дает обобщенную характеристику изучаемого явления только по одному признаку, которая отражает одну из важнейших его сторон. В связи с этим для всестороннего анализа исследуемого явления необходимо строить систему средних величин по ряду взаимосвязанных и дополняющих друг друга существенных признаков.
Для того, чтобы средняя отражала действительно типичное и закономерное в изучаемых общественных явлениях при ее расчете необходимо придерживаться таких условий.
1. Признак, по которому исчисляется средняя должна быть существенной. В противном случае будет получена несущественна или искаженная средняя.
2. Среднюю нужно вычислять только по качественно однородной совокупности. Поэтому непосредственному вычислению средних должно предшествовать статистическое группирование, которое дает возможность расчленить исследуемую совокупность на качественно однородные группы. В связи с этим научной основой метода средних величин метод статистических группировок.
Вопрос об однородности совокупности не должен решаться формально по форме ее распределения. Его, так же как и вопрос о типичности средней, нужно решать, исходя из причин и условий, формирующих совокупность. Однородной является и совокупность, единицы которой формируются под влиянием общих главных причин и условий, которые определяют общий уровень данного признака, характерное для всей совокупности.
3. Расчет средней величины должна базироваться на охвате всех единиц данного типа или достаточно большой совокупности объектов, чтобы случайные колебания взаимно зрівноважували друг друга и проявлялась закономерность, типичные и характерные размеры изучаемого признака.
4. Общим требованием при расчете любого вида средних величин является обязательным сохранении неизменным общего объема признака в совокупности при замене индивидуальных его значений средним значением (так называемая определяющее свойство средней).
Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средняя величина - это обобщающий показатель, в котором находят отражение действия общих условий и закономерностей изучаемого явления.
Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней, определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное, позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.
Статистические средние рассчитываются на основе данных, правильно организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.
При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. При этом, обобщая общее свойство совокупности, средняя затушевывает (занижает) одни показатели и завышает другие.
Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т. д.
Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.
Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.
Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков в целом, необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.
Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности , для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления, средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления.
Существуют различные виды средних в форме простoй или взвешенной:
- средняя арифметическая
- средняя геометрическая
- средняя гармоническая
- средняя квадратическая
- средняя хронологическая
- структурные средние (мода, медиана)
Для определения средних величин используются следующие формулы:
(кликабельно)
Правило мажорантности средних: чем выше показатель степени m, тем больше величина средней.
Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:
- Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.
- Если все значения признака (х ) увеличить (уменьшить) в одно и то же число K раз, то средняя увеличится (уменьшится) в K раз.
- Если все значения признака (x ) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A , то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.
- Если все значения весов (f ) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится.
- Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.
Одновременное использование некоторых свойств позволяют упростить расчет средней арифметической: можно из всех значений признака вычесть постоянную величину А, разности сократить на общий множитель K , а все веса f разделить на одно и то же число и, по измененным данным, рассчитать среднюю. Затем, если полученное значение средней умножить на K , а к произведению прибавить А , то получим искомое значение средней арифметической по формуле:
Полученная, таким образом, преобразованная средняя, называется моментом первого порядка , а вышеизложенный способ расчета средней — способом моментов , или отсчетом от условного нуля.
Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины, в качестве значения признака в группах, принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака необходимо определять экспертным путем, исходя из сущности свойств признака и совокупности. При отсутствии возможности экспертной оценки, значения признака в открытых интервалах для нахождения недостающей границы открытого интервала, применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Иными словами — ширину (шаг) открытого интервала определяют по величине рядом стоящего интервала.
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средняя величина это:
1) наиболее типичное для совокупности значение признака;
2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.
Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый».
Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.
Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.
Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.
Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.
Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.
5.2. Виды средних и способы их вычисления
Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя
считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
,
где X i – варианта (значение) осредняемого признака;
n – число вариант.
Взвешенная средняя
считается по сгруппированным данным и имеет общий вид
,
где X i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;
m – показатель степени средней;
f i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:
В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.
Виды степенных средних
|
Вид степенной |
Показатель |
Формула расчета |
|
|
Простая |
Взвешенная |
||
|
Гармоническая |
|||
|
Геометрическая |
|
|
|
|
Арифметическая |
|||
|
Квадратическая |
|||
|
Кубическая |
|||
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим,
поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.
Формула средней геометрической
используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.
Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q 0) и последующим наращиванием по годам:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .
Приняв q n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению
Отсюда
Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды –
наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы –
величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.
Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:
,
где X Me – нижняя граница медианного интервала;
h Me – его величина;
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);
S Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
m Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).
При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как
,
где Х Mo – нижнее значение модального интервала;
m Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);
m Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;
m Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;
h – величина интервала изменения признака в группах.
ЗАДАЧА 1
Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год
|
№ предприятия |
Объем продукции, млн. руб. |
Среднесписочное число работников, чел. |
Прибыль, тыс. руб. |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Требуется выполнить группировку предприятий по обмену продукции, приняв следующие интервалы:
от 400 до 600 млн. руб.
По каждой группе и по всем вместе определить число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сформулировать вывод.
РЕШЕНИЕ
Произведем группировку предприятий по обмену продукции, расчет числа предприятий, объема продукции, среднесписочного числа работников по формуле простой средней. Результаты группировки и расчетов сводим в таблицу.
Группы по объему продукции
№
предприятия
Объем продукции, млн. руб.
Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.
Среднеспи
сочное число работников, чел.
Прибыль, тыс. руб.
Средняя выработка продукции на одного работника
1 группа
до 200 млн. руб.
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Средний уровень
198,3
24,9
2 группа
от 200 до 400 млн. руб.
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Средний уровень
282,3
37,6
1530
64,0
3 группа
от 400 до
600 млн.
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Средний уровень
512,9
34,4
1421
120,9
Всего по совокупности
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
В среднем по совокупности
379,6
59,9
1223,6
79,5
Вывод. Таким образом, в рассматриваемой совокупности наибольшее число предприятий по объему продукции попало в третью группу – семь, или половина предприятий. Величина среднегодовой стоимости основных средств также в данной группе, как и большая величина среднесписочного числа работников – 9974 человек, наименее прибыльны предприятия первой группы.
ЗАДАЧА 2
Имеются следующие данные по предприятиям фирмы
Номер предприятия, входящего в фирму
I квартал
II квартал
Выпуск продукции, тыс. руб.
Отработано рабочими человеко-дней
Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.
59390,13
до 200 млн. руб.
от 200 до 400 млн. руб.
