Определение умножения одночлена на одночлен полагает возведение одночлена в степень. В данной статье рассмотрим решение примеров с натуральным показателем со всеми нюансами.
Правило произведения одночлена в степень
Для возведения одночлена в степень необходимо разделить все действие на несколько этапов.
Рассмотрим на решении многочлена стандартного вида 2 · x · y 5 . При возведении в 3 степень получим, что (2 · x · y 5) 3 . При подробном рассмотрении видно, что он состоит из множителей вида 2 , x и y 5 . Тогда можно проводить тождественное преобразование с применением свойств степени.
На начальном этапе получаем, что (2 · x · y 5) 3 = 2 3 · x 3 · (y 5) 3 , после чего производим замену (y 5) 3 на y 15 , тогда получим выражение вида 2 3 · x 3 · (y 5) 3 = 2 3 · x 3 · y 15 . Можно поработать с возведением в степень числа 2. Получаем, что 2 3 = 8 можно заменить на 8 · x 3 · y 15 . Это и есть многочлен стандартного вида.
Определение 1
Существуют правила возведения одночлена в степень :
- произвести запись выражения;
- применение свойства возведения произведения в степень;
- применение свойства возведения степени в степень и вычислить степень чисел.
Определение 2
Результат возведения одночлена в степень является новым одночленом. При стандартном его виде при возведении также получим многочлен стандартного вида.
Примеры
Рассмотрим примеры решения на возведение многочленов в степень.
Пример 1
Возвести в степень многочлены (x · y) 10 , - 1 4 · x , (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 .
Решение
Чтобы возвести в степень необходимо задействовать правило возведения в степень вида (x · y) 10 = x 10 · y 10 , тогда видим, что полученное выражение не имеет степеней в степени. Тогда нужно переходить к следующему шагу. Получим, что
1 1 4 · x 2 = - 1 1 4 2 · x 2
Последнее выражение имеет дробь вида - 1 1 4 2 , которую необходимо заменить. Тогда - 1 1 4 2 = - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2 , то - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2
Краткая запись выглядит таким образом:
1 1 4 · x 2 = - 1 1 4 2 · x 2 = 1 9 16 · x 2
Теперь необходимо выполнить возведение произведения в степень:
(− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0 , 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 .
После использования свойства степени получаем, что нужно произвести вычисление (− 0 , 3) 3 . Видно, что
(a 2) 3 = a 2 · 3 = a 6 , (b 3) 3 = b 3 · 3 = b 9 , (c 4) 3 = c 4 · 3 = c 12
(− 0 , 3) 3 = (− 0 , 3) · (− 0 , 3) · (− 0 , 3) = − 0 , 027 , тогда получим, что − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12 .
Краткое решение изображается таким образом: (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0 , 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12 .
Ответ : (x · y) 10 = x 10 · y 10 , - 1 1 4 · x = 1 9 16 · x 2 и (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 · b 9 · c 12
Следующий пример покажет возведение в степень одночлена нестандартного вида.
Пример 2
Возвести в квадрат многочлен вида 2 · x 3 · 5 · x .
Решение
По условию имеем, что многочлен записан не в стандартном виде. Значит, необходимо произвести возведение в квадрат. Тогда получим выражение вида (2 · x 3 · 5 · x) 2 = 2 2 · (x 3) 2 · 5 2 · x 2 = 4 · x 6 · 25 · x 2 . При полученном одночлене следует перейти к стандартному виду 100 · x 8 .
Исходное выражение запишем как 2 · x 3 · 5 · x = 10 · x 4 , после чего выполним возведение во 2 степень. Получим: (10 · x 4) 2 = 10 2 · (x 4) 2 = 100 · x 8 .
Понятно, что результат эквивалентен. То есть для решения можно приводить выражение к стандартному виду либо решать как дано по условию, результат будет один.
Ответ: (2 · x 3 · 5 · x) 2 = 100 · x 8 .
При возведении в степень имеется нюанс при наличии минуса перед многочленом. Если имеем выражение типа − a 4 · b 7 · c 2 , тогда получаем, что - 1 является коэффициентом многочлена. Допускается его запись в явном виде.
Пример 3
Возвести в степень (− x 2 · y 4) 3 .
Решение
По условию имеем, что - 1 является коэффициентом выражения, тогда необходимо сделать запись в явном виде: (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 . Действуя по правилам возведения в степень, получаем, что выражение принимает вид (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 . Наличие коэффициента - 1 записывается просто как − x 6 · y 12
Искомое выражение имеет вид (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 = − x 6 · y 12 .
Ответ: (− x 2 · y 4) 3 = − x 6 · y 12 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В данном уроке мы рассмотрим операции умножения и возведения одночленов в натуральную степень, выясним, с какими одночленами можно выполнять эти действия. Вспомним правило возведения степени в степень. Научимся решать некоторые типовые задачи, а именно на упрощение выражений, на возведение в степень и обратную к этому задачу.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Умножение одночленов, возведение в натуральную степень
Из предыдущих уроков мы запомнили, что можно складывать и вычитать одночлены, но только подобные, а вот умножать и возводить в натуральную степень можно любые одночлены. Выясним, почему это возможно, рассмотрев примеры.
Пример 1: . Данный одночлен приведен к стандартному виду. Что же значит умножить его на другой одночлен?
;
И умножить все это на третий одночлен:
;
В результате мы получили одночлен - произведение чисел и степеней, в не стандартном виде. Отсюда следует, что умножать можно любые одночлены.
Приведем полученный одночлен к стандартному виду:
Поскольку возведение в степень это, по сути, умножение одночлена на себя какое-то количество раз, а умножать можно любые одночлены, мы имеем полное право возводить одночлены, причем снова любые, в натуральную степень.
Разберем примеры.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Комментарии к примерам 1-3: при умножении двух и более одночленов результатом является новый одночлен не стандартного вида, поэтому, чтобы выполнить операцию умножения, нужно только привести этот новый одночлен к стандартному виду.
Рассмотрим примеры на возведение одночлена в степень.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Комментарии к примерам 1-4: при возведении одночлена в степень необходимо сначала возвести в степень его коэффициент, а потом буквенную часть. Для этого следует вспомнить правило возведения степени в степень, а именно, что показатели степеней перемножаются. Кроме того, при решении примеров 3 и 4 следует вспомнить, что «-1» в любой четной степени даст «1», а в нечетной - «-1».
Рассмотрим типовые задачи:
Пример 1: и
Поскольку «2» - это натуральная степень, а мы можем возводить одночлен в любую натуральную степень, выполним первое действие:
Для решения второго действия нужно вспомнить, что любое число в нулевой степени это единица, при условии, что это число не ноль, так как не имеет смысла, то есть, мы имеем право написать:
Пример 2: вместо знака «*» поставить такой одночлен, чтобы равенство выполнялось:
Коэффициент в левой части пока равен трем, а в правой - девяти, значит, в левой части не хватает тройки; переменная b в левой части стоит во второй степени, а в правой в третьей, значит левую часть нужно умножить на b в первой степени:
Рассмотрим следующую типовую задачу. Представить данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:
Пример 1: ;
Нужно определить, какой одночлен возвести в квадрат, чтобы получить заданный.
Чтобы получить 81, нужно 9 возвести в квадрат, то есть коэффициент искомого одночлена 9.
Чтобы получить , нужно возвести в квадрат, итак, мы имеем:
;
Но возникает вопрос, однозначен ли данный нами ответ? Можно ли подобрать другой такой одночлен, который при возведении в квадрат даст заданный одночлен?
Для ответа на этот вопрос вспомним, что , то есть существует еще один одночлен, которые при возведении в квадрат даст нам заданный - это .
Пример 2:
Данный пример решается аналогично предыдущему.
Рассмотрим задачу на упрощение
Пример 1:
Вывод: в данном уроке мы рассмотрели операции умножения одночленов и возведения их в натуральную степень, научились решать некоторые типовые задачи.
§ 1 Умножение одночленов. Возведение в степень
В этом уроке мы научимся умножать одночлены, а также познакомимся с правилами возведения одночленов в натуральную степень.
Начнём с примера. Выполнить умножение одночлена 2аb4 на одночлен -3а2b. Посмотрите, как выглядит это задание, записанное на математическом языке:
2аb4 ∙ (-3а2b)
На самом деле перед нами записан новый одночлен - одночлен нестандартного вида. И нам остается только привести его к стандартному виду. Вспомним:
Одночлен стандартного вида - это одночлен, состоящий из произведения только одного числового множителя, стоящего на первом месте, и буквенных множителей, каждый из которых встречается только один раз.
В нашем примере нам надо будет перемножить числовые множители 2 и -3, затем выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями а и b. Получим:
2аb4∙ (-3а2b) = 2 ∙ (-3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = -6а3b5
Как видите, выполнение умножения одночленов не требует каких-либо дополнительных правил. Можно выполнять и обратную операцию, т.е. представлять одночлен в виде произведения двух или нескольких одночленов. Например, представить одночлен 12а3b6 в виде произведения двух одночленов. Данная задача может иметь несколько вариантов решения:
12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) или 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) или 12а3b6 = (-а3вb4) ∙ (-12b2) и т.д.
Теперь перейдём к возведению одночлена в натуральную степень. И опять начнём с примера. Возвести в квадрат одночлен 4х3у5. Запишем эту ситуацию на математическом языке, получим запись:
Видим возведение в степень произведения, а такое правило нам уже знакомо.
Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень каждый множитель. Кроме того, чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели перемножить.
(4х3у5)2 = 42 ∙ (х3)2 ∙ (у5)2 = 16 х6у10
Здесь также можно выполнять обратные действия, т.е. представлять одночлен в виде степени какого-либо другого одночлена.
§ 2 Примеры по теме урока
Пример 1. Представить одночлен 27а3b6 в виде куба другого одночлена.
Заметим, что 27 = 33; а3 есть куб числа а; b6 можно представить как (b2)3.
27а3b6 = (3аb2)3
Пример 2. Представить одночлен 27а3b6 в виде квадрата какого-либо одночлена.ъ
Заметим, что множитель b6 можно представить в виде (b3)2. А вот число 27 не является квадратом какого-либо числа, да и множитель а3 нельзя представить в виде квадрата какой-либо натуральной степени. Всё это говорит о том, что перед нами задача, не имеющая решений. В таких случаях математики употребляют термин некорректная задача. К некорректным относятся различные виды заведомо невыполнимых задач. Например, некорректным является задание сложить одночлены 2а и 3b, т.к. это неподобные одночлены, их складывать нельзя. Или такое задание:
На 0 делить нельзя, поэтому данное задание некорректно.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
Это позволяет ввести еще одно действие – возведение одночлена в степень . Ниже мы получим правило возведения одночлена в степень с натуральным показателем, и рассмотрим решения примеров, чтобы разобрать все нюансы.
Навигация по странице.
Правило возведения одночлена в степень
Проследим все шаги, которые необходимо предпринять, чтобы возвести одночлен в степень. Это проще всего сделать, рассмотрев конкретный пример.
Возьмем одночлен стандартного вида , например, 2·x·y 5 , и возведем его, к примеру, в третью степень. Поставленной задаче отвечает выражение (2·x·y 5) 3 , представляющее собой произведение трех множителей 2 , x и y 5 в третьей степени. Можно провести тождественное преобразование записанного выражения, причем сразу напрашивается применение . Сначала используем свойство степени произведения: (2·x·y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 . Теперь, обратившись к свойству степени в степени, (y 5) 3 заменяем на y 15 , и получаем 2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·y 15 . Еще можно выполнить числа 2 . Так как 2 3 =8 , то в итоге приходим к выражению 8·x 3 ·y 15 . Очевидно, оно представляет собой одночлен стандартного вида.
Из приведенных рассуждений, во-первых, отчетливо видны все действия, из которых состоит процесс возведения одночлена в степень. Соберем их вместе в виде правила возведения одночлена в степень .
Чтобы возвести одночлен в степень, нужно
- записать соответствующее выражение;
- применить свойство возведения произведения в степень;
- применить свойство возведения степени в степень и вычислить степени чисел.
Во-вторых, из разобранного выше примера видно, что результатом возведения одночлена в степень является новый одночлен . Здесь отметим, что если исходный одночлен записан в стандартном виде, то после его возведения в степень получится одночлен стандартного вида. Если же исходный одночлен дан в виде, отличном от стандартного, то целесообразно этот одночлен привести к стандартному виду перед возведением в степень. Если этого не сделать, то к стандартному виду придется приводить одночлен, полученный после применения записанного выше правила. Мы еще вернемся к этому моменту в следующем пункте.
Примеры
Пришло время решить несколько примеров возведения одночленов в степень. Это поможет отработать применение правила из предыдущего пункта. Начнем с простеньких примеров.
Пример.
Возведите одночлены в указанные степени: (x·y) 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 .
Решение.
Для возведения в степень первого одночлена применяем правило возведения произведения в степень: (x·y) 10 =x 10 ·y 10 . Больше делать ничего не нужно, так как в полученном выражении нет ни степеней в степени, ни степеней чисел.
Переходим дальше. Сначала выполняем такой переход: . В последнем выражении осталось степень заменить ее значением. Так как , то .
Кратко возведение одночлена в степень для этого случая выглядит так: .
Переходим к последнему заданию. Сначала выполняем возведение произведения в степень: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =(−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 . Осталось воспользоваться свойством степени в степени, а также вычислить (−0,3) 3 . Так как (a 2) 3 =a 2·3 =a 6 , (b 3) 3 =b 3·3 =b 9 , (c 4) 3 =c 4·3 =c 12 и (−0,3) 3 =(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027 , то в итоге имеем −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .
Вот краткое решение: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 = (−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 = −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .
Ответ:
(x·y) 10 =x 10 ·y 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =−0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .
В следующем примере убедимся, что в результате возведения в степень одночлена в виде, отличном от стандартного, и соответствующего ему одночлена в стандартном виде, получаются тождественно равные одночлены.
Пример.
Выполните возведение одночлена 2·x 3 ·5·x в квадрат.
Решение.
Исходный одночлен записан не в стандартном виде. Возведем его в квадрат: (2·x 3 ·5·x) 2 =2 2 ·(x 3) 2 ·5 2 ·x 2 =4·x 6 ·25·x 2 . Если полученный одночлен представить в стандартном виде, то он примет вид 100·x 8 .
А теперь сначала исходный многочлен запишем в стандартном виде 2·x 3 ·5·x=10·x 4 , а теперь выполним возведение полученного одночлена во вторую степень: (10·x 4) 2 =10 2 ·(x 4) 2 =100·x 8 .
Очевидно, мы получили один и тот же результат. Таким образом, можно возводить в степень одночлены в виде, отличном от стандартного, либо сначала приводить их к стандартному виду, после чего возводить в степень, - результат будет один.
Ответ:
(2·x 3 ·5·x) 2 =100·x 8 .
Наконец, стоит обратить внимание на возведение в степень одночленов, которые не содержат числовых множителей, но перед ними стоит знак минус, например, −x , −a 4 ·b 7 ·c 2 и т.п. В этих случаях коэффициент одночлена равен −1 , и его не помешает записать в явном виде перед выполнением возведения в степень. Это поможет избежать ошибок.