Урок математики «Функция у= √х, ее свойства и график. График функции

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 73. Функции у = х n при п = 1, 2, 3

Каждому значению величины х формула

у = х n ,

где n - натуральное число, ставит в соответствие вполне определенное значение величины у . Следовательно, эта формула определяет у как функцию аргумента х . Рассмотрим такие функции при п = 1, 2, 3.

Для исследования функций можно применить Excel

1. Функция у = х . Эта функция определена для всех значеннй х . Поэтому можно сказать, что областью определения функции у = х является совокупность всех чисел.

Данная функция принимает любые числовые значения. Множество всех значений, которые принимает та или иная функция, называется областью изменения этой функции. Поэтому можно сказать, что областью изменения функции у = х также является совокупность всех чисел.

График функции у = х (рис. 94) есть прямая, проходящая через начало координат и разделяющая первый и третий координатные углы пополам. Этот график хорошо иллюстрирует свойства функции у = х .

Так, большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у . Например, при х 2 > х 1 y 2 > y 1 (рис. 94). Такие функции принято называть монотонно возрастающими .

Функция у = х нечетная. Это означает, что при изменении знака аргумента на противоположный она не изменяясь по абсолютной величине, изменяет свой знак на противоположный. График функции у = х симметричен относительно начала координат.

2. Функция у = x 2 . Эта функция была подробно изучена нами в главе III. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, а областью изменения- множество всех неотрицательных чисел. Графиком этой функции является направленная вверх парабола с вершиной в начале координат (рис. 95).

Как видно из рисунка, при отрицательных значениях аргумента х функция у = x 2 монотонно убывает . Это означает, что из двух отрицательных значений аргумента большему соответствует меньшее значение функции. При положительных значениях аргумента функция у = x 2 монотонно возрастает . Это означает, что из двух положительных значений аргумента большему соответствует большее значение функции. При х = 0 функция принимает наименьшее значение, равное нулю. Наибольшего значения функция не имеет.

Функция у = x 2 четна. Это означает, что изменение знака аргумента х на противоположный не изменяет значения функции у . График такой функций симметричен относительно оси у .

3. Функция у = x 3 . Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Функция является нечетной, поскольку (-x ) 3 = -x 3 . Поэтому для построения ее графика достаточно составить таблицу значений только для положительных значений аргумента х :

Значения функции для отрицательных х отличаются от значений функции для соответствующих положительных х только знаками. Например, при х = 1 / 4 у = 1 / 64 ; поэтому при х = - 1 / 4 у будет равен - 1 / 64 ; при х = 2 у = 8; поэтому при х = - 2 у будет равен - 8 и т. д. Теперь, используя составленную таблицу и свойство нечетности функции у = x 3 , построим график этой функции (рис. 96). Кривая, изображенная на рисунке 96, называется кубической параболой .

Кубическая парабола наглядно демонстрирует, что функция у = x 3 всюду монотонно возрастает , принимая любые значения. Областью изменения этой функции является совокупность всех действительных чисел. Следует особо сказать о поведении этой кривой вблизи начала координат. Здесь кубическая парабола подходит к оси абсцисс, как бы одновременно и касаясь этой оси и пересекая ее.

Упражнения

536. Какими общими свойствами обладают функции у = х , у = x 2 и у = x 3 ?

537 Построить графики функций:

а) у = x 3 - 1 ; б) у = (х - 1) 3 ; в) у = (х + 2) 3 ; г) у = |x 3 |.

Дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня. Итак:

Итак, мы составили таблицу значений функции:

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х 2 , можно без труда с его помощью построить график функции , ведь это - ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Свойства функции
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель - ветвь параболы (рис. 79).

1. Область определения функции - луч ; б) .

Решение, а) Построим график функции у = и выделим его часть на отрезке (рис. 83). Замечаем, что У наим. = 0 (достигается при х = 0), а у наи6 = 2 (достигается при х = 4).

б) Построим график функции у = и выделим его часть на отрезке (рис. 84). Замечаем, что у наим = 1 (достигается при х = 1), а у наиб = (достигается при х = 5).
О т в е т: а) у наим. = 0; у наиб = 2; б) у наим. = 1; ушиб =

Пример 2. Решить уравнение = 6 - х.
Решение.

1) Рассмотрим две функции у = 6 - x и y =
2) Построим график функции у = (рис. 85).
3) Построим график линейной функции у = 6 - х.
Это - прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Прямая изображена на том же чертеже (рис. 85).
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А (4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2) удовлетворяет и уравнению у = и уравнению у = 6 - х.
Это значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень 4 - это абсцисса точки А.
Ответ: 4.
Пример 3. Построить график функции
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = - 2 на рис. 86).

2) Привяжем функцию у = к новой системе координат.
Для этого выберем контрольные точки для функции у = . , например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 86). Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, - это и есть требуемый график (рис. 87).

Пример 4 . Построить и прочитать график функции y = -
Решение. Выше, в § 8, мы заметили, что график функции у = - f (х) получается из графика функции у = f (x) с помощью преобразования симметрии относительно оси х.
Воспользовавшись этим, построим график функции у = и отобразим его симметрично относительно оси х (рис. 88). Это и будет график функции у = - .

Перечислим свойства функции у = - (по графику):
1. Область определения функции - луч .
8. Функция выпукла вниз.

Решение. Сначала построим график функции у = и выделим его часть на отрезке (рис. 89). Затем построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + оо) (рис. 90). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и есть график функции у = f(x) (рис. 91).
Перечислим свойства функции у - f(x), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции - луч и убывает на луче .
8. Функция выпукла вверх на отрезке и выпукла вниз на луче }