Основные понятия теории многочленов

Под многочленом понимается выражение вида , где – целое неотрицательное число,
– любые числа; причем
. Это выражение может состоять и из одного слагаемого – такой многочлен называется одночленом .

Пусть – произвольный многочлен и . Число n называется степенью многочлена f (x ) и обозначается deg(f (x )).

Отметим одно из свойств операций над многочленами: Если f (x ) и g (x ) – два многочлена, то

deg(f (x ) g (x ))=deg(f (x ))+deg(g (x ));

deg(f (x ) ± g (x )) ≤ max{deg(f (x )),deg(g (x ))}

(max{a ,b } означает наибольшее из чисел a и b ).

Задание 1 . Приведите примеры многочленов, таких что

a) deg(f (x ) + g (x )) = max {deg(f (x )), deg(g (x ))};

б) deg(f (x ) + g (x )) < max {deg(f (x )), deg(g (x ))}.

Задание 2. Докажите тождества:

a) (x – 1)(x n–1 +x n– 2 +…+ 1) = x n – 1;

b) (x + 1)(x 2 n – x 2 n –1 + x 2 n –2 – …– x + 1) = x 2 n +1 + 1.

Решение. a) (x – 1)(x n –1 +x n – 2 +…+ 1) = x n – x n – 1 + x n –1 – x n – 2 + x n – 2 – x n – 3 +…+ х 2 –х + х – 1 = = x n – 1.

Все слагаемые, получающиеся после раскрытия скобок, кроме первого и последнего взаимно уничтожаются.

Вместо переменной x в многочлен f (x ) можно подставить любое число c . В результате получится некоторое число. Это число называется значением многочлена f (x ) при x = c (или в точке c ) и обозначается через f (c ).

Отметим два простых равенства, связанных со значениями многочлена и полезных для решения задач:

    свободный член многочлена равен его значению в точке 0,

    сумма коэффициентов многочлена равна его значению в точке 1,

Задание 3. Найдите свободный член и сумму коэффициентов многочлена .

Решение. После раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении получится многочлен со свободным членом
и суммой коэффициентов f (1) = 1.

Ответ:
, 1.

Задание 4. Найдите суммы коэффициентов многочлена
при четных и нечетных степенях x .

Число c называется корнем многочлена f (x ), если значение многочлена в точке c равно нулю. Число c является корнем многочлена f (x ), если f (c ) = 0.

Понятие корня является центральным в теории многочленов. С этим понятием тесно связаны теория делимости многочленов, разложение их на множители, решение различных алгебраических уравнений.

Обсудим теперь понятие равенства многочленов. Если мы смотрим на многочлены, как на формальные выражения с переменной x , то естественно считать два многочлена равными, если они имеют одинаковую степень и соответствующие их коэффициенты равны. Такое равенство многочленов называется равенством в алгебраическом смысле , то есть если , и многочлены f (x ) и g (x ) равны, то m = n и a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , …, a n = b n .

Однако на многочлен можно смотреть как на функцию. Но тогда можно говорить о равенстве двух многочленов как о равенстве двух функций. Известно, что две функции называются равными, если они имеют одну и ту же область определения и каждому числу из этой области определения обе функции ставят в соответствие одно и то же число. Равенство многочленов, понимаемое в этом смысле, будем называть равенством в функциональном смысле . Если многочлены f (x ) и g (x ) равны, то для любого
имеем f (c ) = g (c ).

Итак, мы располагаем двумя понятиями о равенстве на множестве многочленов. Эти определения понятия равенства многочленов эквивалентны. Иначе говоря, если два многочлена равны в алгебраическом смысле, то они равны и в функциональном смысле, и обратно.

Задание 5. В многочлене
один из корней равен 3. Найдите f (x ).

Решение. Так как x 0 = 3 является корнем многочлена f (x ), то f (x 0) = 0$. То есть
, откуда a = 4.

Ответ: Искомый многочлен
.

Задание 6. Найдите целые числа a и b , при которых один из корней многочлена равен
.

Решение. Дано
–корень многочлена f (x ), значит f (x 0) = 0.

Соберем все слагаемые, содержащие
, в правой части . Так как a и b – целые числа, то равенство выполняется только тогда, когда обе его части равны нулю. Получаем систему уравнений
.

Решая эту систему, находим, что a = –12$, b = 6.

Ответ: Искомый многочлен .

Задание 7. Найдите многочлен f (x ) второй степени, удовлетворяющий условиям f (1) = 6, f (–2) = 21, f (3) = 16.

Решение. Многочлен f (x ) будем искать в виде
. Для определения неизвестных коэффициентов подсчитаем значения многочлена в заданных точках:

Решение этой системы a = 2, b = –3, c = 7.

Ответ: Искомый многочлен
.

Задание 8. При каких значениях неизвестных коэффициентов справедливы равенства

Делимость многочленов

Говорят, что многочлен f (x ) делится на многочлен g (x ) ≠ 0, если существует такой многочлен q (x ), что выполняется равенство

f (x ) = g (x ) q (x ) (1)

Если f (x ) делится на g (x ), то это принято записывать так
.

Например, из равенства x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1 следует, что
и
.

Многочлен q (x ) в равенстве (1) называется частным от деления f (x ) на g (x ). Заметим, что многочлен q (x ) в равенстве (1) определяется однозначно.

Теорема (о делении с остатком). Для любого многочлена f (x ) и любого ненулевого многочлена g (x ) существует единственная пара многочленов q (x ) и r (x ), для которой выполняется равенство

f (x ) = g (x ) q (x ) + r (x ), (2)

где многочлен r (x ) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую чем степень g (x ). ■

На практике для нахождения частного и остатка обычно применяют метод вычисления, названный "деление углом".

Задание 9. Найдите частное и остаток при делении на
.

Решение.

Получили частное
и остаток
.

Ответ: Неполное частное и остаток .

Задание 10. При каком значении a многочлен
делится на многочлен x – 2? Ответ: а = –1.

Задание 11. При каких ненулевых значениях a и b многочлен
делится на многочлен
? Ответ: а = –1; b = –2.

Теорема Безу

Рассмотрим многочлен
.

Разделим f (x ) на x – 1, x – 2, x + 3 с остатком (r – остаток):

f (x ) = (x – 1)(x 2 + 4x – 3) – 9, r = –9$;

f (x ) = (x – 2)(x 2 + 5x + 3), r = 0;

f (x ) = (x + 3)(x 2 – 7) + 15, r = 15.

Подсчитаем значения многочлена f (x ) в точках x = 1, x = 2, x = –3.

f (1) = –9, f (2) = 0, f (–3) = 15.

Можно заметить, что в рассмотренном примере в остатке всякий раз получается число, равное значению многочлена в соответствующей точке. Такое совпадение вряд ли случайно. Справедлива следующая теорема, играющая важную роль в теории многочленов и ее приложениях.

Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена f (x ) на двучлен x – a равен значению многочлена f (x ) в точке x = a .

Основным следствием из этой теоремы будет

Следствие 1. Многочлен f (x ) делится на x – a тогда и только тогда, когда число a является его корнем.

Задание 12. Многочлен f (x ) при делении на x – 3 дает остаток 5, а при делении на x – 1 – остаток 7. Какой остаток дает f (x ) при делении на (x – 3)(x – 1)?

Решение. Делитель (x – 3)( x – 1) имеет степень 2. Поэтому остаток есть многочлен степени не выше первой, то есть r (x ) = ax + b , и нам нужно найти a и b . Обозначим частное через q (x ). Тогда f (x ) = (x – 3)( x – 1)q (x ) + (ax + b ). Подставив x = 3, получим f (3) = 3a + b , но по условию и в силу теоремы Безу f (3) = 5, поэтому 3a + b = 5. Аналогично при x = 1 получим a + b = 7. Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получим a = –1, b = 8. Значит, r (x ) = – x + 8.

Ответ: r (x ) = – x + 8.

Задание 13. Докажите, что для любых целых чисел a , b , c , число делится на b – a – c .

Решение. Рассмотрим данное выражение как многочлен f (b ) относительно переменной b , считая a и c фиксированными параметрами, и подсчитаем его значение при b = a + c : f (a + c ) = 0. По следствию к теореме Безу многочлен f (b ) делится на b – a – c . поскольку старший коэффициент двучлена b – a – c равен 1, то коэффициенты частного будут целыми числами, что следует из метода "деление углом". Поэтому и данное целое число делится на b – a – c , что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще несколько следствий из теоремы Безу.

Следствие 2. Если a 1 , a 2 , …, a k – различные корни многочлена f (x ), то f (x ) делится на произведение (3)

Следствие 3. Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не больше чем его степень.

Уже упоминался тот факт, что если два многочлена равны, то есть их значения совпадают при любом
то совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях x . Теперь мы можем значительно усилить это утверждение.

Следствие 3. Если значения двух многочленов, степени которых не больше n , совпадают в (n + 1)-ой точке, то эти многочлены равны.

Задание 14. Докажите, что при любых попарно различных числах a , b , c справедливо тождество .

Решение. Обозначим левую часть доказываемого тождества через $f(x)$. Степень многочлена f (x ) не больше двух (действительно, раскрыв скобки в каждом слагаемом, мы получим при умножении линейных двучленов, содержащих x , квадратные трехчлены). В правой части доказываемого тождества стоит число 1, на которое можно смотреть как на многочлен g (x ) нулевой степени, т.е. степень g (x ) также не превосходит двух.

Имеем f (a ) = 1 = g (a ). (Многочлен g (x ) равен 1 при любом значении x ). Аналогично, f (b ) = g (b ) и f (c ) = g (c ). Итак, два многочлена f (x ) и g (x ), степени которых не больше двух, принимают одинаковые значения в трех точках: x = a , x = b , x = c . Значит, по следствию 3 f (x ) = g (x ) и тождество доказано.

Задание 15. Найдите остаток от деления на x + 1.

Ответ: r = –6.

Задание 16. Вычислите f (4), если . Ответ: f (4) = 136.

Задание 17. Не выполняя операцию деления, найдите остаток от деления на x + 3. Ответ: r = –1.

Задание 18. При каком значении k многочлен
делится на x + 4?

Ответ: k = 11.

Задание 19. Найдите все значения a , при которых остаток от деления многочлена
на двучлен x – 2 равен 9? Ответ: a = 3.

Задание 20. При каких a и b многочлен
делится на x – 1 и x + 2 без остатка? Ответ: a = –4; b = 5.

Задание 21. n многочлен x n – a n делится на x – a .

Задание 22. Докажите, что при любом натуральном n многочлен x 2 n +1 + a 2 n +1 делится на x + a .

Задание 23. Докажите, что многочлен x 2 n – a 2 n делится на x – a и на x + a при любом натуральном n .

Задание 24. Докажите, что многочлен x 2 n + a 2 n не делится ни на x + a ни на x – a ни при каком значении n .

Задание 25. Многочлен f (x ) при делении на x – 2 дает остаток 2, а при делении на x + 3 дает остаток 7. Найдите остаток от деления f (x ) на x 2 + x – 6.

Ответ: r = –x + 4.

Задание 26. Найдите остаток от деления многочлена на квадратный трехчлен x 2 – x – 2.

Ответ: r = x –6

Задание 27. Докажите, что остаток от деления многочлена p (x ) на двучлен ax + b равен значению многочлена при x = –b /a .

Задание 28. Найдите остаток от деления многочлена на двучлен 2x – 3.

Ответ: r = 71/8.

Схема Горнера

Теорема Безу позволяет найти остаток от деления многочлена f (x ) на двучлен x – a . Но при решении некоторых задач необходимо знать не только остаток, но и частное. Это мы уже умеем делать (производя, например, деление углом). При делении многочлена на двучлен x – a для отыскания частного и остатка применяют более простой метод, называемый "схема Горнера".

Пусть – многочлен степени n . Тогда для определения коэффициентов частного , получим систему
.

Удобно схему Горнера записывать в виде таблицы

коэффициенты делимого

a n –1

a n

b 0 = a 0

b 1 = a 1 +ab 0

b 2 = a 2 +ab 1

b n –1 = a n –1 +ab n –2

r = a n +ab n –1

коэффициенты частного

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x ) , где Q (x ) − многочлен второй степени. Следовательно, многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2) . Для поиска вида многочлена Q (x ) воспользуемся так называемой схемой Горнера . Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

1 −5 −2 16
2 1 −3 −8 0
В прямоугольную таблицу 2 × (n + 2) , где n − степень многочлена, (см. рис.) в верхнюю строчку выписываются подряд коэффициенты многочлена (левый верхний угол при этом оставляют свободным). В нижний левый угол записывают число − корень многочлена (или число x 0 , если мы хотим разделить на двучлен (x – x 0)), в нашем примере это число 2. Далее вся нижняя строчка таблицы заполняется по следующему правилу.

Во вторую клетку нижней строки «сносится» число из клетки над ней, то есть 1. Затем поступают так. Корень уравнения (число 2) умножают на последнее написанное число (1) и складывают результат с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, в нашем примере имеем:

Результат пишем в свободную клетку под −2. Далее поступаем аналогично:
Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак:

Многочлен Р(х) , имеющий число а корнем, делится на двучлен (х-а) , то есть представляется в виде

Р(х) = (х - а) · Q(x) ,

где Q(x) - многочлен на единицу меньшой степени (при этом, если Р(х) имеет целые коэффициенты, то и Q(x) - тоже). Многочлен степени n имеет не более n корней (даже с учетом кратности). Отсюда следует, что если два многочлена Р(х) и Q(x) степени, не большей n , принимают одинаковые значения более чем в n точках, то их коэффициенты при соответствующих степенях равны.

Часто используются алгебраические тождества для многочленов с двумя переменными х и у .

Задачи с решениями

1. Разложить на множители:

а) х 5 + х + 1;

б) (a - b) 3 + (b - c) 3 + (c - a) 3 ;

в) x 3 + y 3 + z 3 - xyz.

а) х 5 + х + 1 = х 5 – х 2 + х 2 + х + 1= х 2 (х 3 – 1) + (х 2 + х + 1) =

Х 2 (х – 1)(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) = (х 3 – х 2)(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) =

= (х 2 + х + 1)(х 3 – х 2 + 1);

б) Многочлен обращается в нуль при выполнении хотя бы одного из условий

а = b, b = c, c = a,

поэтому он делится на каждую из трех разностей

а – b, b – c, c – a,

значит, и на их произведение.

Так как исходный многочлен имеет степень 3, то от произведения

(а – b)(b – c)(c – a)

(также многочлена степени 3) он отличается лишь числовым множителем k.

Итак,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(а – b)(b – c)(c – a).

При а = 1, b = 0, с = –1 получим

1 + 1 – 8 = k · 1 · 1 · (–2),

Откуда k = 3, значит,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(а – b)(b – c)(c – a).

в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. Докажите, что сумму квадратов двух различных натуральных чисел, умноженную на сумму квадратов двух других различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Доказательство непосредственно следует из следующих алгебраических преобразований:

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2) =

= (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 .

3. Докажите, что при любых x, y, z, t выражение x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt неотрицательно. Выяснить все случаи, когда оно равно нулю.

Представим данный многочлен в виде суммы неотрицательных слагаемых следующими способами:

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2) 2 + (z 2 – t 2) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2) 2 + (y 2 – t 2) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2) 2 + (y 2 – z 2) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.

Равенство выполняется только если

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

то есть, если

|x| = |y| = |z| = |t| и xyzt > 0.

4. Является ли многочлен Р(х) = 2х 4 + 8х 3 + 12х 2 + 8х + 1 квадратом некоторого другого многочлена?

Предположим, что существует многочлен второй степени Q(х) такой, что

Р(х) = Q(х) · Q(х).

Тогда, так как Р(–1) = –1, то Q(–1)·Q(–1) = –1

5. Существует ли такой многочлен Р(х) с действительными коэффициентами, что Р(х) > 2015 · Р"(х) для всех х?

Да, существует. Например,

Р(х) = х 2 + 2015 2 .

Тогда

P"(x) = 2x,

Р(х) – 2015 · P"(x) = х 2 + 2015 2 – 2 · х · 2015 = (х – 2015) 2 > 0.

6. Найдите сумму коэффициентов при нечетных степенях х многочлена (х 7 + х – 1) 2014 .

Многочлены

Р(х) = (х 7 + х – 1) 2014 и Р(–х) = (–х 7 – х – 1) 2014

отличаются только знаками коэффициентов при нечётных степенях х. Значит, многочлен

Q(х) = Р(х) – Р(–х)

будет содержать только нечётные степени х и при этом искомая сумма равна половине значения Q(1). Так как

Q(1) = Р(1) – Р(–1) = 1 – 3 2014 ,

то сумма коэффициентов при нечетных степенях х многочлена (х 7 + х – 1) 2014 равна

1 – 3 2014
2

7. Доказать, что многочлен

Р(х) = 1 х 9 – 1 х 7 + 13 х 5 – 82 х 4 + 32 х
630 21 30 63 35

при всех целых значениях х принимает целые значения.

Заметим, что исходный многочлен можно представить в виде

Р(х) = (1 / 2·5·7·9)(х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1)х(х + 1)(х + 2)(х + 1)(х + 4).

Поскольку среди девяти последовательных целых чисел обязательно найдутся числа делящиеся на 2, 5, 7, 9, то при любом целом k произведение

(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)

делится на произведение взаимно простых чисел 2·5·7·9. Следовательно, число Р(k) является целым, что и требовалось доказать.

8. Известно, что ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c, d – данные целые числа, при любом целом x делится на 5. Докажите, что все числа a, b, c, d делятся на 5.

Подставив x = 0, получим, что d кратно 5.

Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что a + b + c и –a + b – c кратны 5. Следовательно, 2b и 2a + 2c кратны 5, а значит, b и a + c кратны 5.

Подставив x = 2, получим, что 2(4a + c) + 4b + d = 6а + 2(a + c) + 4b + d кратно 5. Значит, a кратно 5 а, следовательно, и c кратно 5.

9. Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b был полным квадратом?

Приведённый многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь приведённого квадратного трёхчлена. Итак,

x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b = (x 2 + px + q) 2 .

Возведя в квадрат трёхчлен, стоящий в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим

2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.

Решив эту систему уравнений, найдём p = 1 / 2 , q = a = 7 / 8 , b = 49 / 64 .

Ответ: a = 7 / 8 , b = 49 / 64 .

10. Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции есть корень ее производной. Значит, многочлен P"(x), степень которого равна n – 1, имеет n – 1 различных действительных корней, то есть не имеет кратных корней. Продолжая, получим, что тем же свойством обладают все производные многочлена P(х). Из этого следует, что из любых двух идущих подряд коэффициентов многочлена P(х) хотя бы один не равен нулю. Действительно, если равны нулю коэффициенты при x k и x k+1 , то у производной P (k) (х) равны нулю свободный член и коэффициент при x. Но это значит, что 0 является кратным корнем P (k) (х), что не так.
Разобьем коэффициенты многочлена на пары, оставив при чётном n старший коэффициент без пары. По доказанному число нулевых коэффициентов не превосходит числа пар, то есть n / 2 при чётном и (n+1) / 2 при нечётном n.
Примеры. Многочлены

(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

степени n = 2k и

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

степени n = 2k + 1 показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.

Ответ: n / 2 при чётном n, (n+1) / 2 при нечётном n.

Задачи без решений

1. Разложить на множители:

а) х 8 + х 7 + 1;

б) (a - x)·y 3 - (a - y)·x 3 + (x - y)·a 3 ;

в) (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3 .

2. Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого

P(6) = 5 и P(14) = 9.

3. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x 2 - 3x + 1) 100 после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

4. Многочлены Р(х) и Q(х) такие, что Р(x 3) + Q(x 3) делится на x 2 + х + 1. Доказать, что Р(х) + Q(х) делится на х - 1.

5. Найти количество нечетных коэффициентов многочлена Р(х) = (x 2 + х + 1) n .

И т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы.

Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным.

Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения .

Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» направо со сменой знака:

и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на ) :

Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят, удовлетворяет данному уравнению.

Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби:
И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре .

Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»:

И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =)

А теперь немного о

графическом методе решения

Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата точки пересечения графика линейной функции с графиком линейной функции (осью абсцисс) :

Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций :

При этом, пожалуйста, не путайте два понятия : уравнение – это уравнение, а функция – это функция! Функции лишь помогают найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение , алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул . И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора , то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины!

А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму :

, значит, уравнение имеет два различных действительных корня:

Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению:

Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить параболу , выяснив тем самым, где она пересекает ось (если пересекает вообще) . Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде , начертим графики более простых функций – и «иксовые» координаты их точек пересечения, как на ладони!


Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет.

Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций , но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику.

И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , – это функции, которые лишь помогли решить уравнение!

И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся .

Так, например, уравнение имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки:
и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два») :

НО! Если мы рассматриваем функцию , то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: .

Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию!

Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций :


после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения:

Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись:
, где ( – множество целых чисел ) .

И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс) :

или, если короче:

А вот множество решений неравенства – пусто , поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой .

Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций !

Разминаемся:

Задание 1

Решить графически следующие тригонометрические уравнения:

Ответы в конце урока

Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход.

Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и . С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =)

Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение:

Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке) .

Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных . Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще . И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Схема Горнера

А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами .

Они самые. Многочлены.

Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами . Натуральное число называют степенью многочлена , число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом) , а коэффициент – свободным членом .

Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .

Корнями многочлена называют корни уравнения

Обожаю железную логику =)

За примерами сходим в самое начало статьи:

С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.

Сначала буквально пол экрана теории:

1) Согласно следствию основной теоремы алгебры , многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными . При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук) .

Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ) .

Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел . Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.

2) Из теоремы Безу следует, что если число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где – многочлен степени .

И опять же, наш старый пример: поскольку – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .

Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде и из квадратного уравнения легко узнать остальные корни. Если нам известен корень уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение и т.д.

И вопроса здесь два:

Вопрос первый . Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные , в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)

Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:

Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! То есть, значение является корнем данного уравнения.

Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано) , но сейчас нас интересует несколько другая задача.

Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде и возникает Второй вопрос : как отыскать «младшего собрата» ?

Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы , и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера .

Сначала запишем «старший» многочлен со всеми , в том числе нулевыми коэффициентами :
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:

Слева записываем корень :

Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.

Сносим сверху старший коэффициент:

Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:

Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:

И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:

Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка (как оно и должно быть) , при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:

Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни) .

Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию» и увидеть, что график пересекает ось абсцисс () в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.

Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.

И тут ещё хочется остановиться на важном моменте , который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же ! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.

Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):

«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка) , и понеслось:

Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.

Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:

Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:

Задание 2

Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения и разложить соответствующий многочлен на множители

Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена

Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.

Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.

К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:

Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где . Если число является корнем уравнения , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .

В частности , если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:

Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1 , другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.

В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.

Переходим к более содержательным примерам:

Задача 3

Решение : поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
– итого 16 «кандидатов».

И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:

1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай(Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .

2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают

Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:

Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:

Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и

Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера) .

Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки» . Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:

И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.

Ответ : рациональные корни: 2, 4, 5

В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ).

Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:

Задача 4

Найти рациональные корни уравнения

Решение : по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней должны удовлетворять условию (читаем «двенадцать делится на эль») , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:

«список эль»:
и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные) .

Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:

Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:

Аналогично – делим тот же «список эль» на :

и, наконец, на

Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:


К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.

Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)

Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно:

Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.

Теорема 2 Если при некотором целом значении значение многочлена отлично от нуля: , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию

В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1) . Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:

Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень прошёл испытание.

Проверим значение . Здесь и проверочная разность составляет: . Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.