Данный конспект лекций является компиляцией
из книг, указанных в списке литературы (большой частью из книг А. В. Бицадзе, Л. К. Эванса,
Н. В. Крылова, Е. М. Ландиса) и адаптированных к
восприятию студентов 4 го курса кафедры математики физического
факультета МГУ.

Отчётность

зачет или экзамен

В первой лекции мы рассмотрели основные результаты относительно решений уравнения Лапласа, а также функций Грина для оператора Лапласа.
Затем, во второй лекции мы рассмотрели слабый принцип максимума, сильный принцип максимума и принцип Жиро с некоторыми примерами
их приложений для единственности решений первой, второй и третьей краевых задач. В третьей лекции используя
вариационный метод и метод априорных оценок в сочетании с методом Галеркина, мы доказали однозначную разрешимость в слабом смысле
задачи Дирихле для равномерно эллиптического оператора. В четвертой лекции мы вывели априорную оценку Шаудера для общего равномерно эллиптического оператора, с помощью
которой методом продолжения по параметру мы доказали однозначную разрешимость задачи Дирихле.
Наконец, в пятой лекции мы используя сингулярное решение равномерно
эллиптического оператора получили третью формулу Грина, на основе которой строится теория потенциала для эллиптических уравнений второго
порядка с переменными коэффициентами.

Основная литература

1. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Лекции по математической физике. М.: Издательство МГУ; Наука, 2004. - 416 с.

2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966, 204 с.

3. Вентцель Т. Д., Горицкий А. Ю., Капустина Т. О. и др. Сборник задач по уравнениям с частными производными. Под редакцией А. С. Шамаева. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005, 158 с.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989, 464 с.

5. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998, 178 с.

6. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. Москва: Наука, 1971, 288 с.

7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957, 257 с.

8. Нефедов Н. Н. Дополнительные главы к курсу Методы математической физики. "Нелинейные эллиптические уравнения. Метод дифференциальных неравенств.".
Москва: Изд-во физического факультета МГУ, 1998.

9. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. I часть. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2005. - 252 с.

10. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988, 336 с.

11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Москва: Мир, 1968, 428 с.

12. Шишмарев И. А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: Издательство МГУ, 1979, 184 с.

13. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003, 562 с. --- (Университетская серия; Т. 7).

14. Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum principles in differential equations. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1967, 261 pp.

Основное содержание книги, посвященной методам и приемам решения уравнений в частных производных, дополнено главой по интегральным уравнениям.
Отличительная черта пособия - необходимый минимум теоретического материала при множестве примеров, снабженных подробными решениями. В конце каждой главы предлагаются различные упражнения, на основные из них дается ответ.
Издание представляет собой хороший учебник по уравнениям с частными производными и интегральным уравнениям для студентов старших курсов инженерных специальностей, аспирантов, инженеров-исследователей - для всех, знающих математический анализ, ряды Фурье, имеющих некоторое понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях и о специальных функциях. Книга будет полезна студентам и аспирантам математических и физических специальностей для первого знакомства с предметом.

Уравнения в частных производных первого порядка.
Определение 1.1.1. Порядком уравнения в частных производных называется наибольший порядок частной производной, встречающейся в этом уравнении.
Таким образом, приведенные выше примеры являются уравнениями в частных производных второго порядка, тогда как
ut = ииххх + cos x
служит примером уравнения в частных производных третьего по рядка.

Во многих физических и технических задачах встречаются дифференциальные уравнения в частных производных, где входящие функции зависят от двух или более независимых переменных. В этой книге мы обсудим некоторые важные дифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в науке и технических приложениях. Первая глава будет посвящена только уравнениям первого порядка.

Оглавление
Предисловие
Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
1.1. Введение
1.2. Уравнения в частных производных первого порядка от двух независимых переменных
1.3. Составление уравнений в частных производных первого порядка
1.4. Решение линейного уравнения первого порядка (метод Лагранжа)
1.5. Интегральные поверхности, проходящие через данную кривую
1.6. Поверхности, ортогональные данному семейству поверхностей
1.7. Совместность уравнений в частных производных первого порядка
1.8. Классификация решений уравнений в частных производных первого порядка
1.9. Решение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка
1.9.1. Метод Лагранжа-Шарпи
1.9.2. Метод Якоби
1.9.3. Специальные тины уравнений первого порядка
1.9.4. Метод характеристик Коши
Упражнения
Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
2.1. Один из источников уравнений второго порядка
2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
2.3. Методы решения линейных уравнений
2.3.1. Решение вполне приводимых уравнений
2.3.2. Решение уравнений, не являющихся вполне приводимыми
2.3.3. Правила нахождения дополняющих функций
2.3.4. Правила нахождения частных решений
2.4. Классификация уравнений в частных производных второго порядка
2.4.1. Канонические формы
2.5. Сопряженные операторы
2.5.1. Метод Римана
2.6. Нелинейные уравнения второго порядка (метод Монжа) Упражнения
Глава 3. Уравнения гиперболического типа
3.1. Волновое уравнение
3.2. Вывод одномерного волнового уравнения
3.3. Приведение одномерного волнового уравнения к канонической форме и его решение
3.4. Решение Даламбера одномерного волнового уравнения
3.5. Метод разделения переменных
3.6. Метод собственных функций
3.7. Единственность решения волнового уравнения
3.8. Принцип Дюамеля для волнового уравнения
3.9. Двумерное волновое уравнение
Упражнения
Глава 4. Уравнения параболического типа
4.1. Вывод уравнения диффузии
4.2. Граничные условия
4.3. Метод разделения переменных
4.4. Уравнение диффузии в цилиндрических координатах
4.5. Уравнение диффузии в сферических координатах
4.6. Проблемы линии передачи
4.7. Принцип экстремума
4.7.1. Теорема единственности
4.8. Различные примеры
Упражнения
Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.1. Уравнения Лапласа и Пуассона
5.1.1. Вывод уравнения Лапласа
5.1.2. Вывод уравнения Пуассона
5.1.3. Основные свойства гармонических функций
5.2. Краевые задачи
5.3. Метод разделения переменных
5.4. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
5.5. Уравнение Лапласа в сферических координатах
5.6. Внутренняя задача Дирихле для круга
5.7. Внешняя задача Дирихле для круга
5.8. Внутренняя задача Неймана для круга
5.9. Внутренняя задача Дирихле для сферы
5.10. Периодические решения волнового уравнения, обладающие симметрией
5.10.1. Цилиндрические координаты
5.10.2. Сферические координаты
5.11. Различные примеры
Упражнения
Глава 6. Интегральные преобразования и метод функций Грина
6.1. Введение
6.2. Преобразование Лапласа
6.3. Решение уравнений в частных производных
6.3.1. Уравнение диффузии
6.3.2. Волновое уравнение
6.4. Преобразования Фурье и их приложения к уравнениям в частных производных
6.4.1. Уравнение диффузии
6.4.2. Волновое уравнение
6.4.3. Уравнение Лапласа
6.4.4. Различные примеры
6.5. Метод функций Грина и его приложения
6.5.1. Уравнение Лапласа
6.5.2. Волновое уравнение
6.5.3. Уравнение диффузии
Упражнения
Глава 7. Интегральные уравнения
7.1. Уравнения Фредгольма и Вольтерра
7.2. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра методом последовательных приближений
7.3. Интегральное уравнение Вольтерра II рода
7.4. Интегральное уравнение Вольтерра I рода
7.5. Теоремы Фредгольма
7.6. Итерированное ядро и резольвента
7.7. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром
7.8. Понятие спектра
Упражнения
Ответы к основным упражнениям
Приложение А
Приложение В
Литература
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Мир математики, Уравнения в частных производных для инженеров, Шарма Д.Н., Сингх К., 2002 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.


- Книга американского математика, представляющая собой учебное пособие по теории дифференциальных уравнений с частными производными. Она отличается компактностью, чёткостью и наглядностью изложения и неформальным подходом в подаче материала. В ней много иллюстраций, графиков и диаграмм, вместо строгих доказательств часто приводятся соображения, основанные на интуиции или на аналогии.
Для инженеров и специалистов-нематематиков - биологов, химиков, а также студентов вузов.

Название:
Фарлоу Стенли
Издательство: Мир
Год: 1985
Страниц: 383
Формат: DJVU
Размер: 10,1 МБ
Качество: Отличное
Язык: Русский

От редактора перевода
Предисловие
Часть 1. Введение
Лекция 1. Введение в теорию уравнении с частными производными
Часть 2. Диффузионные задачи
Лекция 2. Задачи диффузионного типа (параболические уравнения)
Лекция 3. Граничные условия в задачах диффузионного типа
Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности
Лекция 5. Разделение переменных
Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условий в однородные
Лекция 7. Решение более сложных задач методом разделения переменных
Лекция 8. Преобразование сложных уравнений к простому виду
Лекция 9. Решение неоднородных УЧП методом разложения по собственным функциям
Лекция 10. Интегральные преобразования (синус- и косинус-преобразования)
Лекция 11. Ряды и преобразование Фурье
Лекция 12. Преобразование Фурье и его применение к решению уравнений с частными производными
Лекция 13. Преобразование Лапласа
Лекция 14. Принцип Дюамеля
Лекция 15. Конвективный член U x в диффузионной задаче
Часть 3. Гиперболические задачи
Лекция 16. Одномерное волновое уравнение (гиперболические уравнения)
Лекция 17. Формула Даламбера
Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение)
Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия
Лекция 20. Колебания ограниченной струны (стоячие волны)
Лекция 21. Колебания балки (уравнение с частными производными четвертого порядка)
Лекция 22. Переход к безразмерным переменным
Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными (каноническая форма гиперболического уравнения)
Лекция 24. Волновое уравнение в свободном пространстве (двумерные и трехмерные задачи)
Лекция 25. Конечные преобразования Фурье (синус- и косинус-преобразования)
Лекция 26. Принцип суперпозиции - основа теории линейных систем
Лекция 27. Уравнения первого порядка (метод характеристик)
Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка (законы сохранения)
Лекция 29. Системы уравнений с частными производными
Лекция 30. Колебания мембраны (волновое уравнение в полярных координатах)
Часть 4. Эллиптические задачи
Лекция 31. Лапласиан (интуитивное описание)
Лекция 32. Общие свойства краевых задач
Лекция 33. Внутренняя задача Дирихле
Лекция 34. Задача Дирихле в кольце
Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических координатах (сферические гармоники)
Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина)
Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 37. Численные решения (эллиптические задачи)
Лекция 38. Явные разностные схемы
Лекция 39. Неявные разностные схемы (схема Кранка - Никольсона)
Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными
Лекция 41. Классификация уравнений (параболические и эллиптические уравнения)
Лекция 42. Метод Монте-Карло (введение)
Лекция 43. Решение уравнений с частными производными методом Монте-Карло
Лекция 44. Вариационное исчисление (уравнения Эйлера - Лагранжа)
Лекция 45. Вариационные методы решения уравнений с частными производными
Лекция 46. Решение уравнений с частными производными методами теории возмущений
Лекция 47. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Литература
Именной указатель
Предметный указатель