В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э. Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (). Мы будем называть ее пси-функцией.
Пси-функция характеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера, которое выглядит следующим образом:
Здесь - масса частицы, i - мнимая единица, - оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:
Буквой U в уравнении (21.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы.
Из уравнения (21.1) следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.
Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.
Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптико-механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике. В оптике ход лучей удовлетворяет принципу Ферма (см. § 115 2-го тома), в механике вид траектории удовлетворяет так называемому принципу наименьшего действия.
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция V не зависит явно от времени и имеет, как уже отмечалось, смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой - только от времени:
Здесь Е - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (21.3), подставим его в уравнение (21.1). В результате получим соотношение
Сократив на общий множитель придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию
Уравнение (21.4) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шрёдингера. Уравнение, (21.4) часто пишут в виде
Поясним, как можно прийти к уравнению Шрёдингера. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу.
Согласно идее де-Бройля ей нужно сопоставить плоскую волну
(в квантовой механике принято показатель экспоненты брать со знаком минус). Заменив в соответствии с (18.1) и (18.2) через Е и , придем к выражению
Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по х, получим
В нерелятивистской классической механике энергия Е и импульс свободной частицы связаны соотношением
Подставив в это соотношение выражения (21.7) для Е и и сократив затем на , получим уравнение
которое совпадает с уравнением (21.1), если в последнем положить
В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс связаны соотношением
Распространив и на этот случай выражения (21.7) для Е и получим
Умножив это соотношение на , перенеся член влево, придем к уравнению
совпадающему с уравнением (21.1).
Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель - пояснить, каким образом можно было прийти к установлению этого уравнения.
В квантовой механике большую роль играет понятие Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим ее ) сопоставляется другая функция (обозначим ее ). Символически это записывается следующим образом:
Здесь - символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было взять любую другую букву с «шляпкой» над ней, например и т. д.). В формуле (21.2) роль Q играет роль - функция F, а роль f - правая часть формулы.
В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение
104. (20)
где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, D - оператор Лапласа [ см. (1.10)].
Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию Y(x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.
Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя
Y(x, y, z, t) =y(x, y, z) exp[-i(E/ )t] (21)
В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид
(22)
где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.
Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.
104. Атом водорода и водородоподобные «атомы» (He + , Li 2+ и др.) как простейшие квантовомеханические системы: квантовые состояния, радиальная и угловая составляющие волновой функции, симметрия орбиталей.
На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели вокруг положительного ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м. Заряд ядра равен Zе (Z. -- порядковый номер элемента в системе Менделеева, е - .элементарный заряд), размер 10 -15 – 10 -14 м, масса, практически равна массе атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.
Атом водорода и водородоподобные системы – это системы, состоящие из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He + , Li 2+).
Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не + , двукратно ионизованного лития Li + + и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z =1),
где r – расстояние между электроном и ядром. Графически функция U (r )изображена жирной кривой на рис. 6, неограниченно убывающей (возрастающей.по модулю) при уменьшении r , т. е. при приближении электрона к ядру.
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значение (1):"
, (2)
где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме.
Это так называемое стационарное уравнение Шрёдингера для электрона водородоподобного атома ВДПА.
1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии
(n =
1, 2, 3,…), (3)
т. е. для дискретною набора отрицательных значений энергии.
Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» , решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е 1 , Е 2 , Е 3 , ... показаны па рис. 6 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е 1 , отвечающий минимальной возможной энергии, – основной, все остальные (Е n >E 1 , n = 2, 3,…) – возбужденные . При Е < 0 движение электрона является связанным он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е ∞ = 0. При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е >0 (заштрихована на рис. 6) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна
E i = - E 1 = me 4 / (8h 2 ε 0 2) = 13,55 эВ.
2. Квантовые числа.
В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (2) удовлетворяют собственные функции 
, определяемые тремя квантовыми числами: главным п,
орбитальным l
и магнитным m l .
Главное квантовое число n,согласно (3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:
Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны - они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики - и с блеском справился с этой задачей.
Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) - в такой передаче энергии участвуют частицы - или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа - корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений - волновыми уравнениями. Все без исключения волны - волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик - описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.
Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу - в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное - примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):
где - расстояние, - постоянная Планка , а , и - соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.
Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.
Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера - Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий - то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.
Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч - это частица, звук - это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле - и эксперименты это вскоре показали - в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).
Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, - яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.
Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.
| Комментарии: 0 |
Макс Планк - один из основоположников квантовой механики - пришел к идеям квантования энергии, пытаясь теоретически объяснить процесс взаимодействия между недавно открытыми электромагнитными волнами и атомами и, тем самым, разрешить проблему излучения черного тела. Он понял, что для объяснения наблюдаемого спектра излучения атомов нужно принять за данность, что атомы излучают и поглощают энергию порциями (которые ученый назвал квантами) и лишь на отдельных волновых частотах.
Абсолютно черное тело, полностью поглощающее электромагнитное излучение любой частоты, при нагревании излучает энергию в виде волн, равномерно распределенных по всему спектру частот.
Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк для описания взаимодействия света с атомами.
Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты - такие как электроны или фотоны - совсем не похожи на привычные объекты макромира. Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств. Одно дело - это заявить, и совсем другое - связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.
В повседневной жизни имеется два способа переноса энергии в пространстве - посредством частиц или волн. В обыденной жизни между двумя механизмами передачи энергии видимых противоречий не наблюдается. Так, баскетбольный мяч - это частица, а звук - это волна, и всё ясно. Однако в квантовой механике всё обстоит отнюдь не так просто. Даже из простейших опытов с квантовыми объектами очень скоро становится понятно, что в микромире привычные нам принципы и законы макромира не действуют. Свет, который мы привыкли считать волной, порой ведет себя так, будто состоит из потока частиц (фотонов), а элементарные частицы, такие как электрон или даже массивный протон, нередко проявляют свойства волны.
Больше всего Эйнштейн протестовал против необходимости описывать явления микромира в терминах вероятностей и волновых функций, а не с привычной позиции координат и скоростей частиц. Вот что он имел в виду под «игрой в кости». Он признавал, что описание движения электронов через их скорости и координаты противоречит принципу неопределенности. Но, утверждал Эйнштейн, должны существовать еще какие-то переменные или параметры, с учетом которых квантово-механическая картина микромира вернется на путь целостности и детерминизма. То есть, настаивал он, нам только кажется, будто Бог играет с нами в кости, потому что мы не всё понимаем. Тем самым он первым сформулировал гипотезу скрытой переменной в уравнениях квантовой механики. Она состоит в том, что на самом деле электроны имеют фиксированные координаты и скорость, подобно ньютоновским бильярдным шарам, а принцип неопределенности и вероятностный подход к их определению в рамках квантовой механики - результат неполноты самой теории, из-за чего она и не позволяет их доподлинно определить.
Юлия Зотова
Вы узнаете: Какие технологии называются квантовыми и почему. В чем преимущество квантовых технологий перед классическими. Что может и что не может квантовый компьютер. Как физики делают квантовый компьютер. Когда он будет создан.
Французский физик Пьер Симон Лаплас поставил важный вопрос, о том, всё ли в мире предопределено предыдущим состоянием мира, либо же причина может вызвать несколько следствий. Как и предполагается философской традицией сам Лаплас в своей книге «Изложение системы мира» не задавал никаких вопросов, а сказал уже готовый ответ о том, что да, всё в мире предопределено, однако как часто и случается в философии предложенная Лапласом картина мира не убедила всех и тем самым его ответ породил дискуссию вокруг того вопроса, которая продолжается и по сей день. Несмотря на мнение некоторых философов от том, что квантовая механика разрешила данный вопрос в пользу вероятностного подхода, тем не менее, теория Лапласа о полной предопределенности или как её иначе называют теория лапласовского детерминизма обсуждаема и сегодня.
Гордей Лесовик
Некоторое время назад мы с группой соавторов начали выводить второй закон термодинамики с точки зрения квантовой механики. Например, в одной из его формулировок, гласящей, что энтропия замкнутой системы не убывает, типично растет, а иногда остается постоянной, если система энергетически изолирована. Используя известные результаты квантовой теории информации, мы вывели некоторые условия, при которых это утверждение справедливо. Неожиданно выяснилось, что эти условия не совпадают с условием энергетической изолированности систем.
Профессор физики Джим Аль-Халили исследует наиболее точную и одну из самых запутанных научных теорий - квантовую физику. В начале 20-го века учёные проникли в скрытые глубины материи, в субатомные строительные блоки мира вокруг нас. Они обнаружили явления, которые отличаются от всего увиденного ранее. Мир, где всё может находится во многих местах одновременно, где действительность по-настоящему существует, лишь когда мы наблюдаем за ней. Альберт Эйнштейн противился одной только мысли о том, что в основе сущности природы лежит случайность. Квантовая физика подразумевает, что субатомные частицы могут взаимодействовать быстрее скорости света, а это противоречит его теории относительности.
Обще уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 5 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами x и x+dx, y иy+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера,как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид
где h=h/(2π), m-масса частицы, ∆ -оператор Лапласа (
),
i - мнимая единица, U (х, у, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.
Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные
должны быть непрерывны; 3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)
Или в комплексной записи 
. Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид
(217.2)
(учтено, что ω = E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Ψ| 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда
,
; (217.3)
Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом p (E = p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение
которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (ми рассматривали свободную частицу).
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения используя взаимосвязь между Еи р (для данного случая р 2 /(2m)=E -U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).
Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.
Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящем от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состоянии - состоянии с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем
,
где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим
откуда после деления на общий множитель е – i (E/ h) t и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:
(217.5)
Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарных состояний.
В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобственными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называютсясобственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.
1. Введение
Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением - вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.
В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта - испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.
Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что "перескок" электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.
Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.
Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.
Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.
Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.
Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.
Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.
Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.
Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более "физическими"; операции же над матрицами - более громоздкими.
Функция Ψ. Нормировка вероятности.
Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой или квантовой механики.
Плоская волна де Бройля
(1)является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией
, зависящей от координат и времени. Она называется волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля (1). Сама по себе волновая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* - комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки:
(2)где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётся по определённому объёму V1 – мы вычисляем вероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.
Нормировка (2) может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка не вызывает затруднений.
Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества - интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.
