О, великий Максвелл! Однако маятник Максвелла не был им изобретен, а был только назван в его честь.
Это устройство используют для обучения школяров и студентов, им украшают оффисы, его дарят любознательным деткам. Идут годы, но только множатся всевозможные варианты этой научной игрушки!

Маятник Максвелла (иначе колесо Максвелла) известен как классическая иллюстрация превращения механической энергии.

Маятник состоит из диска, который закреплен на горизонтально оси, а ось подвешена с двух сторон на длинных нитях к опоре. Концы нитей закреплены на оси вращения. При накручивании нити на ось вращения и ее раскручивании маятник совершает колебательные движения вверх-вниз.

Для запуска маятника необходимо накрутить нити на ось, подняв таким образом маятник в наивысшую точку (потенциальная энергия здесь максимальна), а затем отпустить. Под действием силы тяжести маятник начнет опускаться вниз, все быстрее вращаясь, с постоянным ускорением.

Ускорение диска при его движении вниз не зависит от его массы и момента инерции, а зависит от соотношения радиуса оси вращения (r) и радиуса самого диска (R).

По мере движения вниз потенциальная энергия ранее поднятого маятника переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Опускания и подъемы диска со все уменьшающейся амплитудой повторяются много раз, пока маятник, наконец, не останавливается, т.к. весь первоначальный запас энергии в результате трения превращается в тепловую энергию.

Спустившись до самого низа - на сколько хватит длины нити (внизу кинетическая энергия маятника и его скорость максимальны), он продолжит вращение по причине инерции. При этом нити начнут накручиваться на ось вращения, и маятник станет подниматься вверх. Однако теперь он не достигнет первоначальной высоты, т.к. часть механической энергии маятник теряет за счет трения. Сделав несколько десятков колебательных движений (в зависимости от конструкции), маятник остановится.

В нижней точке траектории маятник за очень короткий промежуток времени меняет свое направление движения. Здесь нить маятника испытывает сильный рывок. Сила натяжения нити в этот момент возрастает в несколько раз. Эта дополнительная сила натяжения нити тем меньше, чем меньше радиус оси вращения, и тем больше, чем большее расстояние проходит маятник от начала движения до самой низшей точки. Если нить тонкая, то она может даже порваться.

Вместо обычного диска в маятнике Максвелла для вращения можно использовать и другие тела.

Так существует, например, физическая игрушка (есть и аналогичные ей), повторяющая принцип действия маятника Максвелла. Это разноцветный попугайчик, закрепленный, на оси вращения. Правда такая красивая игрушка приобретает и проблему. Фигурка не симметрична, поэтому конструктору требуется поразмыслить, как совместить центр тяжести попугайчика с центром вращения.

Уже многие годы существует и еще одна разновидность маятника Максвелла - Сизифов-маятник с намагниченной осью вращения.
Как должен работать этот маятник?
Имя Сизифа говорит само за себя.

Точно по середине тонкой намагничивающейся хромированной оси насажен сильный магнит не очень большого диаметра. На магнит одевается пластиковая шайба-диск. Две хромированные железные штанги-направляющие (длиной около 50 см) закреплены на основании в вертикальном положении таким образом, что расстояние между ними внизу чуть больше длины оси с диском. К верху устройства расстояние между штангами слегка сужается.

Проследим, как работает этот маятник. Сначала надо симметрично приставить ось с диском к штангам вверху с одной или с другой стороны и отпустить ее. Притягиваясь к железу, намагниченная ось с диском под действием силы тяжести начинает сначала медленно, а затем все быстрее скатываться, вращаясь, по штангам вниз.

В зависимости от того, с какой стороны приставлена ось с диском к штангам, вращение диска будет вправо или влево. Возникшее в результате намагничивания притяжение оси к штангам обеспечивает не просто падение вниз, а вращение диска. Когда при скатывании диска вниз, расстояние между штангами становится чуть больше длины оси, то ось с диском проскакивает между штангами и попадает на их другую сторону. Сохранив направление вращения, диск, имеющий внизу максимальную скорость, проскальзывает между штангами на другую сторону и начинает подниматься вдоль них вверх.

Это изменение направления движения диска полностью соответствует принципу движения классического маятника Максвелла. Разница состоит лишь в том, что трение намагниченной оси о штанги в этом случае зависит от силы намагничивания. Она должна быть при выборе конструкции маятника строго рассчитана, чтобы ось с диском не сорвалась в самой нижней точке своего движения.
Всем, как говорится, хороши и маятник Максвелла, и Сизифов-маятник, одно плохо, покачавшись некоторое время, они все-таки останавливаются.

И тут интересен еще один вариант маятника, который волшебным способом будет крутиться, как покажется стороннему наблюдателю, сколько душе угодно! Он так и называется «волшебный маятник» (Magic rail twirler). Незаметные движения рук, и маятник никогда не остановится! Конечно, это шутка…

«Волшебный маятник» - это еще один вариант игрушки маятника Максвелла. В этом маятнике «легким нажатием руки» штанги можно раздвинуть, и диск поменяет направление своего движения. На хромированных направляющих штангах располагается диск с магнитной осью, концы которой часто выполнены в виде конусов. При работе игрушки очень хорошо видно, как меняется направление движения диска при увеличении расстояния между направляющими. Незаметным движением руки можно компенсировать потери энергии и достичь более многократного колебания диска вверх-вниз или из стороны в сторону. Более современные модели игрушек оснащены даже подсветкой изнутри диска

Вот так имя великого физика соединило детскую научную игрушку и серьезный физический прибор.

Если захотите поэкспериментировать с маятником Максвелла, то сделать его в наше время не очень и трудно. Берете лазерный диск, скручиваете из листа школьной тетради трубочку и вставляете в центр диска. Трубочка слегка разворачивается и заполняет бумагой все отверстие. Отрезаете две одинаковые нити покрепче и капаете клеем, приклеивая нити к концам трубочки и центр диска к середине трубочки. Осталось подвесить….

А для детских умов знаменитый Я.И. Перельман загадал когда-то физическую загадку:
«Нити маятника Максвелла прикреплены к пружинному безмену.
Что должно происходить с указателем безмена в то время, когда диск-маховик исполняет свой танец вверх и вниз?
Останется ли указатель в покое?
Если будет двигаться, то в какую сторону?»

Если вам не удалось сразу отгадать, то ответ Перельмана таков:
«Когда диск опускается ускоренно вниз, чашка, к которой прикреплены нити, должна подниматься, так как освобождаемые нити не увлекают ее вниз с прежней силою.
Когда же диск-маховик поднимается замедленно вверх, то он натягивает наматывающиеся на его ось нитки, и они увлекают чашку вниз.
Короче говоря, чашка и привязанный к ней диск-маховик движутся навстречу друг к другу».
А вы как думали?

Для враща тельного движения маятника запишем основной закон динамики вращательного движения для абсолютно твердого тела: J M , где J- момент инерции маятника относительно его оси Лабораторная работа №14 МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА Цель работы - изучение законов динамики поступательного и вращательного движения на примере маятника Максвелла. Приборы и принадлежности: маятник Максвелла FPM-03; комплект сменных колец: ко льцо 0301ЧЮ60-01 массой 0,25 кг, ко льцо 0301-0080-02 массой 0,35 кг, кольцо 0301-0080-03 массой 0,46 кг. вращения, - угловое ускорение маятника, М - результирующий момент внешних сил о тносительно оси вращения. Поскольку момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю, (2) J 2T r , где r - радиус оси. Так как a r и из (1) 2Т = m(g - a), можем написать: m(g a)r 2 , a а после преобразований J Краткие сведения из теории Действие прибора основано на одном из основных законов механики - законе со хранения механической анергии: полная механическая анергия системы, на ко торую действуют только консервативные силы, постоянна. Маятник Максвелла представляет собой твердое тело, насаженное на ось. Ось по двешена на дву х накручивающихся на нее нитях (рис. 1). Под действием силы тяжести маятник совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания во круг своей оси. Пренебрегая силами трения, систему можно считать консервативной. Закрутив нити, мы поднимаем маятник на высоту h, сообщив ему запас потенциальной анергии. При освобождении маятника он начинает движение под действием силы тяжести: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси. При этом потенциальная энер гия перехо дит в кинетическую. Опустившись в крайнее нижнее положе ние, маятник будет по инерции вращаться в том же направлении, нити намотаются на ось и маятник поднимется. Так происходят колебания маятника. Напишем уравнения движе ния маятника. При поступательном движении маятника по второму закону Ньютона с учетом действующих ни маятник сил можно написать    ma mg 2T , где m - масса маятника, g -ускорение силы тяжести, a - ускорение поступательного движения центра масс маятника, Т- сила натяжения о дной нити, Рис. 1. , Проектируя э то уравнение, по лучим ma = mg - 2T . (1) J m(g 1)r 2 . a Ускорение а может быть получено по измеренному времени движения и прохо димому маятником расстоянию h из уравнения равноускоренного движения без начальной скорости: a 2h . t2 J m(Тогда gt 2 2h 1)r 2 и, если по дставить диаметр оси D, по лучим основную расчетную формулу J mD2 gt 2 (1) . 4 2h Описание экспериментальной установки (3) Общий вид прибора показан на рис. 2. Основание 1 снабжено регулируемыми ножками 2, позволяющими произвести выравнивание при бора. В основании закреплена ко лонка 3, к ко торой прикреплен неподвижный вер хний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На вер хнем кронштейне находится э лектромагнит 6, фотоэлектрический датчик №17 и вороток 8 для закрепления и регу лирования длины бифилярной подвески маятника. Рис. 2 Нижний кронштейн вместе с прикрепленный в нему фотоэлектрическим датчиком № 29 можно перемещать вдоль ко лонки и фиксировать в произвольно избранной положении. Тело маятника 10 - его ролик, закрепленный на оси, на который накладываются сменные кольца, изменяющие момент инерции маятника. Маятник удерживается в вер хнем положении электромагнитом. Его длина определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора с погрешностью не более дву х миллиметров. Для более точного намерения Длины на нижнем кронштейне имеется красный указатель, помещенный на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Для намерения времени падения с относительной погрешностью не более 0,О2% служит электронная схема, состоящая из миллисекундомера FPM-15, дву х фо тоэлектрических датчиков FK-1 и электромагнита. При про хождении маятника мимо фотоэлектрического датчика последний да ет в схему миллисекундомера электрический сигнал, фиксирующий момент прохождения маятника. Фо тоэлектрический датчик №1 соединен с гнездом ZLI миллисекундомера 12, а фотоэлектрический датчик № 2 - с гнездом ZL2. Лицевая и задняя панели миллисекундомера изображены на рис. 5.3. На лицевой панели миллисекундомера нахо дятся следующие манипуляционные элементы: W1 (сеть) - выключатель сети - нажатие клавиши включает на пряжение питания, при атом загораются цифровые индикаторы (цифра ноль) и лампочки фотоэлектрических датчиков; W2 (сброс) - установка ну ля - нажатия клавиши вызывает сброс схем миллисекундомера; W3 (пуск) - управление э лектромагнитом - нажатие клавиши означает освобождение электромагнита и генерирование в схеме миллисекундомера импульса разрешения на измерение. На задней панели миллисекундомера нахо дятся: ZL1 - семиконтактное гнездо для по дключения фотоэлектрическо го датчика №1 и электромагнита; ZL2 - пятиконтактное гнездо для по дключения фотоэлектрическо го датчика № 2; ZL3 - заземляющий зажим. I. Подготовка прибора к измерениям. 1. Привести прибор к горизонтальному положению при помощи регулируемых ножек основания. 2. Включить сетевой кабель в сеть. 3. Нажать клавишу W1(сеть). Проверить высвечивание нуль-индикаторов и сигнальных: лампочек фотоэлектрических датчиков. II. Последовательность измерений при помощи маятника Максвелла. 1. Зафиксировать нижний кронштейн в крайней нижней по ложении. 2. Наложить ко льцо на ролик, прижимая его до упора. 3. Намотать на ось нить по двески и фиксировать ее. 4. Проверить, совпадает ли нижняя грань кольца с нулем шкалы на колонке. Если нет, о твинтить вер хний кронштейн и о трегулировать его высоту. Привинтить вер хний кронштейн. 5. Нажать клавишу "пуск" миллисекундомера. 6. Деб локировать гайку воротка для регулирования длины по двес ки. Установить длину нити так, чтобы край стального кольца после опускания маятника нахо дился примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника так, ч тобы его ось была параллельной основанию прибора. Блокировать вороток. 7. Отжать кла вишу "пуск" миллисекундомера. 8. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, один виток за другим. 9. Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая вни мание на то, чтобы нить в э том положении не была слишком скручена. 10. Повернуть маятник в направлении его движения на угол о коло 5 . Рис. 3 Конкретные задачи 1. Определить момент инерции маятника (для трех разных сменных колец). 2. Сравнить полученный результат с теоретическим значением. Порядок выполнения работы 11. Нажать клавишу "Сброс". 12. Нажать клавишу "пуск". 13. Измерить время падения маятника в секундах по миллисекундомеру. 14. Произвести определение времени пять раз. 15. Определить длину маятника в метрах по шкале на вер тикальной колонке прибора. 16. Внести по лученные данные в табл. 1. Таб лиц а 1 t, c № опыта 3 № кольца 1 2 Контрольные вопросы t ср, с 4 h, м 5 1 2 3 Обработка и анализ результатов измерений 1. Определить для каждо го кольца значение среднего времени падения маятника. 2. Определить диаметр оси вместе о намотанной на ней нитью по формуле D Do 2Dн, где D н - диаметр нити, D н = 0,5 мм; D o - диаметр внешней оси маятники, D 0 = 10 мм. 3. Определить массу маятника вместе с наложенным кольцом, по формуле m mo m p mк, где m o масса оси, m p - масса ролика, m k - масса кольца. Значения масс отдельных элементов нанесена на э кспериментальной установке. 4. Определить момент инерции маятника по формуле (3). 5. Определить теоретическое значение момента инерции по формуле J т J o J к J p , где J o - момент инерции оси: 1 m o D o2 ; 8 J к - момент инерции кольца: 1 Jк m к (D к2 D 2p) , 8 здесь D к - внешний диаметр ко льца; D к =105 мм; D p - внешний диаметр Jo ролика, D p =86 мм; J p - момент инерции ролика: Jp 1 m p (D 2p 8 D o2) . 6. По дсчитать относительную погрешность определения момента инер ции по формуле J Jт Jт 100% . Относительная по грешность не должна превышать 8%. 1. Сформулировать закон со хранения механической энергии и ус ловия его выполнения. 2. Написать основной закон динамики вращательного движения. 3. Дать определение момента инерции твер дого тела. 4. Какова аналогия между основными характеристиками поступа тельно го и вращательного движения? 5. Описать устройство и действие маятника Максвелла. Библио гр.: /1/ §§1.5,3.3,4.1,8.5; /З/ §§24.38,39.

Лабораторная работа № 1*

Маятник Максвелла

Цель работы : Определить момент инерции маятника Максвелл дина­мическим способен и сравнить его с теоретическим значением.

Приборы и материалы: маятник Максвелла, электронный секундомер, сменные кольца.

Лабораторный прибор

Маятник Максвелла представляет собой небольшой диск (маховичок) насажанный туго на ось. Под действием силы тяжести он опускается на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка (рис. 1). Нить во время движения диска вниз разматывается до полной дли­ны, раскрутившийся маховичок продолжает вращательное дви­жение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднима­ется вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять будет опускаться вниз и т.д. Маховичок будет колебаться вниз и вверх, поэтому такое устройство и называется маят­ником.

Лабораторная установка

В лабораторной установке маятник Максвелла укреплен на кронштейнах, позволяющих регулировать длину подвески и ее параллельность. К верхнему и нижнему кронштейнам прикреплены фотоэлектрические датчики, связанные функционально с электронным секундомером, измеряющим время движения маятника. На маховичск накладываются сменные кольца, изменяв­шие момент инерции маятника. На верхнем кронштейне находится

электромагнит, фиксирующий начальное положение маховичка с кольцом при отжатой клавише "ПУСК".

Теоретическое описание работы и вывод рабочей формулы

Маятник в процессе колебаний совершает поступательное и вращательное движения, которые описываются соответствующими уравнениями. Для составления уравнений движения рассмотрим силы и моменты сил, действующих на маховичок (рис. I). Пусть
- сила тяжести,- сила натяжения одной нити.
- радиус оси маятника.
10 мм - диаметр оси маятника,
- масса маятника.- момент инерции маховичка. Тогда уравнение поступательного движения, согласно второму закону Ньютона, запишется так:

. (1)

В уравнении (1) стоит удвоенное значение силы , так как на ось маховичка намотаны две нити, в каждой из которых возникает сила натяже­ния .

Под действием сил натяжения диск совершает вращательное движение. Момент этих сил равен:

. (2)

Плечом силы является радиусоси маятника, диаметром нити пренебрегаем.

Тогда уравнение вращательного движения маховичка можно записать так:

, (3)

где - угловое ускорение вращения диска.

Угловое ускорение и ускорение центра масс связаны соот­ношением:

. (4)

Ускорение , центра масс можно найти, зная длину пути и время дви­жения маховичка от верхней до нижней точки (с учетом нулевой начальной скорости):

. (5)

. (6)

Подставив (6) в (4), получим:

. (7)

С учетом (6) и (7) уравнения (1) и (3) примут вид:

. (8)

. (9)

Решая совместно уравнения (8) и (9), получим рабочую формулу для опреде­ления момента инерции маятника Максвелла экспериментальным путем:

. (10)

В формуле (10) масса
является общей массой маятника, включающей в себя массу оси маятника, диска и кольца.-?-?

-?
-?
-?

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть.

2. На маховичок наложить произвольно выбранное кольцо, прижимая его до упора.

3. На ось маятника намотать нить подвески, обращая внимание на то. чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.

4. Зафиксировать маятник в верхнем кронштейне отжатием клавиши "ПУСК" секундомера.

5. Нажать клавишу "СБРОС" секундомера.

6. Нажать клавишу "ПУСК", при этом электронный секундомер начнет отсчет времени движения маятника до нижнего кронштейна. Измерения повторить 5 раз и занести в соответствующую колонку табли­цы.

7. По шкале на вертикальной колонке определить длину маятника.

8. Измерения времени (пункт 6) повторить для разных насадных колец и занести в таблицу.

9. Определить общую массу маятника. Значения масс отдельных элементов указаны на них.

10.По формуле (10) вычислить момент инерции - маятника для всех

серий измерений.

11.Вычислить относительную и абсолютную погрешности определения момента

инерции по полученным самостоятельно формулам. Формула дифференциала имеет вид

12.Вычислить теоретические значения моментов инерции маятника но формулам (11) и сравнить с вычисленным по формулам (10):

, (11)

где
- момент инерции оси маятника.

- масса оси маятника, = 10 мм - диаметр оси

- момент инерции диска.

- масса диска,
86 мм - внешний диаметр диска

- момент инерции насадного кольца.

- масса кольца,
105 мм - внешний диаметр кольца.

13.Окончательные результаты определения моментов инерции маятника представить в следующем виде:

,
.

14.По полученным результатам сделать выводы.

Таблица результатов

№,

с

, с

, с

, кг

, кг

, кг

, кг

, кг

, м

, м

, м

, м

Ср. знач.

, с

, кг

, м

, м

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела.

2. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения?

3. Какой физический прибор называется маятником Максвелла? Назовите основные его элементы и объясните принцип его работы.

4. Выведите рабочую формулу для определения момента инерции маятника Максвелла.

5. Объясните формулу (11) для теоретических значений моментов инерции маятника.

6. Выведите формулу для относительной и абсолютной погрешностей определения моментов инерции.

Цель работы.

На примере маятника Максвелла познакомиться с вычислением и экспериментальным измерением момента инерции цилиндрического твердого тела относительно оси симметрии.

Оборудование.

1. Маятник Максвелла.

Темы для изучения.

В лабораторной работе на примере маятника Максвелла рассмотрены законы поступательного и вращательного движения, получена рабочая формула для расчета момента инерции маятника Максвелла, приведено описание экспериментальной установки я порядка измерения на ней момента инерции маятника.

Лабораторная работа предназначена для студентов, выполняющих общий физический практикум в лаборатории механики.

Краткая теория.

Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, ось которого подвешена на двух накрученных на нее нитях (рис. 1).

Если маятник отпустить, то он будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска" вокруг оси.

Силы, действующие на маятник, указаны на рис. 2.

Для описания движения маятника Максвелла удобно выбрать систему отсчета, связанную с центром масс маятника и имеющую одну ось, направленную вниз.

Центром масс системы называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется выражением

(1) (I )

где т - масса системы, - массы материальных точек, составляющих эту систему, - их радиусы векторы. Величина скорость движения этой воображаемой точки. Импульс системы с учетом (I ) записывается в виде

то есть представляет собой произведение массы системы на скорость ее центра масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. Таким образом, за движением центра масс можно следить, как за движением материальной точки. Исходя из этого, движение центра масс маятника Максвелла можно описать уравнением:

(2)

где m - масса маятника, - линейное ускорение центра масс, - результирующая сила натяжения обеих нитей.

Вращательное движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения, имеющий вид:

(3)

где ℐ - момент инерции, - результирующий момент сил, действующих на маятник относительно некоторой точки, лежащей да оси вращения, - угловое ускорение. Под вектором угла понимают вектор, по модули равный углу поворота и направленный вдоль оси вращения так, чтобы с его начала поворот наблюдался происходящим по часовой стрелке.

Моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называют величину

, (4) (4)

где - массы материальных точек, составляющих это тело, - расстояние от этих точек до оси вращения. Следовательно, момент инерции характеризует распределение массы тела относительно оси вращения. Из (4) видно, что момент инерции - величина аддитивная, то есть момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Если вещество в ней распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

; (5) (5)

где r - расстояние от элементарной массы dm .

до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Маятник Максвелла можно представить в виде совокупности полых цилиндров и сплошного цилиндра - оси маятника. Рассчитаем, моменты инерции таких тел. Любое из этих тел можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R на концентрические слои толщиной dr . Пусть радиус какого - то слоя r , тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

где dV - объем слоя, h - высота цилиндра, - плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя находятся на расстоянии r от оси, следовательно, момент инерции этого слоя

Момент инерции всего цилиндра найдется интегрированием по всем слоям:

(6)

Так как масса цилиндра , то момент инерции сплошного цилиндра будет равен

(7)

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус , а внешний можно вычислить также по формуле (6), изменив в интеграле пределы интегрирования

Замечая, что масса полого цилиндра

, запишем момент инерции полого цилиндра следующим образом:

(8) - (8)

Однако, аналитическое вычисление интегралов (5) возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы находят численно, либо используют косвенные методы определения момента инерции.

Для нахождения момента инерции маятника Максвелла относительно его оси вращения можно воспользоваться уравнениями движения,

(2), (3).

Для решения дифференциальных уравнений (2) и (3) перейдем от векторной формы к скалярной. Спроектируем уравнение (2) на ось» совпадающую с направлением движения центра масс маятника. Тогда оно примет вид:

(9)

Рассмотрим проекции векторов и на ось координат, совпадающую с осью вращения и направленную по .

Составляющая момента силы относительно точки вдоль оси, проходящей через эту точку, называется моментом силы относительно

оси.

Вектор можно записать следующим образом;

где - единичный вектор, направленный вдоль , а 5. Тогда угловое ускорение

так как направление вектора ^ при опускании маятника со временем не меняется.

Таким образом, уравнение (З) спроектируется, на ось вращения следующим образом:

(10) (10)

где - радиус оси диска, на которую намотана нить, - угловое ускорение диска. Так как центр масс опускается на столь ко, на сколько раскручивается нить, то его перемещение x связано с углом, поворота соотношением

Дифференцируя это соотношение дважды, получим

(11)

Совместное решение уравнений (9) - (11) дает следующие выражения для линейного ускорения центра масс системы и результирующей силы натяжения:

, (12)

(13)

Из (12), (13) видно, что ускорение диска и сила натяжения нити постоянны и ускорение всегда направлено вниз. Следовательно, если при опускании маятника координату его центра масс отсчитывать от точки его закрепления, то со временем координата будет меняться по закону

(14)

Подставляя (14) в (12), подучим для момента инерции маятника Максвелла следующее выражение

Где (15)

В него входят величины, которые легко экспериментально измерить: - внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески, t - время опускания маятника, x - расстояние, пройденное центром масс маятника, m . - масса маятника, которая складывается из массы оси маятника, массы диска и массы кольца, надетого на диск. Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески

определяется по формуле

(16)

где D - диаметр оси маятника, - диаметр нити.

Механическая конструкция прибора.

Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 3. Основание I оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и вороток 8 для закрепления и регулирования длины нити подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в избранном положении.

Маятник 10 - это диск, закрепленный на оси, на который надеваются кольца 11, изменяя таким образом момент инерции системы.

Маятник с надетым кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина нити маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора. Фотоэлектрические датчики соединены с миллисекундомером. Вид передней панели секундомера 12 представлен на рис. 4.

На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие ручки управления

"СЕТЬ" - выключатель сети. Нажатие этой клавиши включает напряжение питания. При этом на цифровых индикаторах высвечиваются нули, и включаются лампочки фотоэлектрических датчиков.

"СБРОС" - установка нуля секундомера. Нажатие этой клавиши вызывает сброс электронных схем миллисекундомера, на цифровых индикаторах высвечиваются нули.

"ПОТ" - управление электромагнитом. При нажатии этой клавиши выключается электромагнит, в схеме миллисекундомера генерируется импульс разрешения на измерение времени.

Выполнение работы.

Нижний кронштейн прибора передвинуть и зафиксировать в крайнем нижнем положений.

На диск маятника надеть одно из колец, прижимая его до упора.

Освободить гайку воротка для регулирования длины нити подвески. Подобрать длину нити таким образом, чтобы край стального кольца после опускания маятника находился на два миллиметра ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы ось его была параллельной основанию прибора. Зажать вороток.

Нажать клавишу "СЕТЬ".

Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она намоталась равномерно, виток к витку.

Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая внимание на т.о., чтобы нить в этом положении не была слишком скручена.

Повернуть маятник в направлении его будущего вращения на угол около 5°.

Нажать клавишу "СБРОС".

Нажать клавишу "ПУСК".*

Повторить измерения десять раз для определения среднего времени падения маятника.

По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину нити маятника.

Измерив диаметры нити и оси маятника D в различных сечениях, найдите средние значения этих величин и по ним определите по формуле (16) диаметр оси вместе с намотанной на ней нитью. Для измерения D и можно использовать микрометр.

Определите массу маятника вместе с надетым кольцом. Значения масс отдельных элементов нанесены на них.

По формуле (15) определите момент инерции маятника Максвелла. Вычислите" момент инерции маятника теоретически, используя формулы (7), (8), и сравните полученный результат с величиной, рассчитанной по формуле (15).

Повторите измерения для двух оставшихся колец.

Доверительный интервал △ ℐ можно рассчитать по формуле

где △ D , , △ t , △ x - доверительные интервалы для прямых измерений величин D , , t и x , учитывающие как случайные, так и систематические погрешности. Способы расчета этих величин приведены в пособии Л.П.Китаевой "Рекомендации по оценке погрешностей измерений в физическом практикуме".

Техника безопасности.

При работе с прибором необходимо соблюдать правила безопасности, относящиеся к устройствам, в которых используется напряжение до 250 вольт. Эксплуатация прибора допускается только при наличии заземления.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек.
2. Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек.
3. Запишите уравнения движения маятника Максвелла.

1. Как меняются ускорение, скорость и сила натяжения нитей при движении маятника?

Как меняется механическая энергия маятника Максвелла при его движении?