Высота параболоида может быть определена по формуле
Объем параболоида, касающегося дна равен половине объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н, такой же объем занимает пространство W’ под параболоидом (рис.4.5а)
Рис.4.5. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся дна.
Wп- объем параболоида,W’ – объем под параболоидом, Hп – высота параболоида
Рис.4.6. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся краев цилиндра Hп – высота параболоида., R – радиус сосуда, Wж–объем под высотой жидкости в сосуде до начала вращения, z 0 – положение вершины параболоида, Н - высота жидкости в сосуде до начала вращения.
На рис.4.6а уровень жидкости в цилиндре до начала вращения Н. Объем жидкости Wж до и после вращения сохраняется и равен сумме объема Wц цилиндра с высотой z 0 плюс объем жидкости под параболоидом, который равен объему параболоидаWп с высотой Нп
Если параболоид касается верхнего края цилиндра, высота жидкости в цилиндре до начала вращения Н делит высоту параболоида Нп на две равные части, нижняя точка (вершина) параболоида расположена по отношению к основанию(рис.4.6в)
Кроме того, высота Н делит параболоид на две части (рис.4.6в), объемы которых равны W 2 =W 1 . Из равенства объемов параболического кольца W 2 и параболической чашки W 1 , рис.4.6в
При пересечении поверхностью параболоида днища сосуда (рис.4.7) W 1 =W 2 =0,5W кольца
Рис.4.7 Объемы и высоты при пересечении поверхностью параболоида днища цилиндра
Высоты на рис.4.6
объемы на рис.4.6 .
Расположение свободной поверхности в сосуде
Рис.4.8. Три случая относительного покоя при вращении
1. Если сосуд открыт, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоида при вращении опускается ниже начального уровня-Н, а края поднимаются над начальным уровнем, положение вершины
2. Если сосуд заполнен полностью, прикрыт крышкой, не имеет свободной поверхности, находится под избыточным давлением Ро>Ратм, до вращения поверхность (П.П.), на которой Ро=Ратм будет находиться над уровнем крышки на высоте h 0и =М/ρg , H 1 =Н+ М/ρg.
3. Если сосуд заполнен полностью, находится под вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,
4.7. Вращение с большой угловой скоростью (рис.4.9)
При вращении сосуда с жидкостью с большой угловой скоростью силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. Закон изменения давления в жидкости можно получить из формулы
(4.22),
Поверхности уровня образуют цилиндры с общей осью, вокруг которой вращается сосуд. Если сосуд перед началом вращения не полностью заполнен, давление Р 0 будет действовать по радиусу r = r 0 , вместо выражения (4.22) будем иметь
в котором принимаем g(z 0 - z) = 0,
Рис. 4.9 Расположение поверхностей вращения при отсутствии силы тяжести.
Радиус внутренней поверхности при известных H и h 
Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид где а ^ b ^ с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46). Рис.46 Полученная поверхность Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. - эллипсоид вращения - уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получитьего уравнение, достаточ но равномсрносжать эллипсоид вращения.вдоль оси Оу с коэффициентом J ^ !,т.с. заменить в его уравнении у на Jt/5). 10.2. Гиперболоиды Вращая гиперболу fl i! = а2 с2 1 вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение имеет вид *2 + у; получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения. 5) Эллипсоид врашения можно получить равномерным сжатием сферы +yJ + *J = л" вдоль оси Oz с коэффициентом ~ ^ 1. Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом 2 ^ 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида. Путем вращения вокруг оси Ог сопряженной гиперболы получим двуполостный гиперболоид вращения (рис. 48). Его уравнение а2 С2 Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом 2 ^ 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на -у получаем его уравнение Врашая параболу вокруг оси Oz (рис.49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид х2 + у2 = 2 pz. Путем сжатия параболоида врашения вдоль оси Оу с коэффициентом yj* ^ 1 получаем эллиптический параболоид. Его уравнение получается из уравнения параболоида врашения путем замены Если, то получаем параболоид вида, указанного на рис. 50. 10.4. Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности. Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы при h - сопряженные гиперболы а при - пару псрссскаюшихся прямых Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом h Ф 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Оху. Получим следующую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52). Рис.51 Рис.52 Рассмотрим теперь сечения плоскостями Заменяя в уравнении поверхности у на Л, получаем уравнения парабол (рис.53). Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями В этом случае также получаются параболы ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h) (рис. 54). Замечание. Методом сечений можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка н последующего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее. Оставшиеся поверхности второго порядка по существу уже рассмотрены ранее. Это цилиндры: эллиптинескии гиперболический Рис. 56 и параболический и конус второго порядка представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся прямых вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59. а) вычислите координаты фокусов; , . б) вычислите эксцентриситет; . в) напишите уравнения асимптот и директрис; г) напишите уравнение сопряженной гиперболы и вычислите ее эксцентриситет. 2. Составьте каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины равно 3. 3. Напишите уравнение касательной к эллипсу ^ + = 1 вето точке М(4, 3). 4. Определите вид и расположение кривой, заданной уравнением: Ответы эллипс, большая ось параллельна Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. оси Ох; б) гипербола центр О (-1,2), угловой коэффициент вешественной оси Х равен 3; в) парабола У2 = , вершина (3, 2), вектор оси, направленный в сторону вогнутости параболы, равен {-2, -1}; г) гипербола с центром, асимптоты параллельны осям координат; д) пара пересекающихся прямых е) пара параллельных прямых
С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.
Чем отличается этот справочный материал от аналогов?
Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.
Что нужно уметь на данный момент?
Самое элементарное:
Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .
Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?
Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.
Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.
Начинаем!
На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :
– уравнение плоскости вида .
– функция плоскости в явном виде
.
Давайте с неё и начнём:
Распространенные уравнения плоскостей
Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.
Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:
Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.
– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;
– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;
– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.
Для самостоятельной разминки:
Пример 1
Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.
Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.
Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)
Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:
2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .
Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:
Пример 2
Построить плоскость
Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:
Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.
Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые
значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:
Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.
Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую
плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:
Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.
Пример 3
Построить плоскости
а) ;
б) .
Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.
На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:
Пример 4
Построить плоскость
Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.
Перепишем уравнение плоскости в виде 
из которого понятно, что «зет» может принимать любые
значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .
Поскольку «зет» принимает все
значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость 
. Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:
Готово.
Уравнение плоскости в отрезках
Важнейшая прикладная разновидность. Если все
коэффициенты общего уравнения плоскости
отличны от нуля
, то оно представимо в виде 
, который называется уравнением плоскости в отрезках
. Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:
Пример 5
Построить плоскость
Решение
: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:
Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде 
, из которого следует, что «зет» принимает любые
значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все
значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна
:
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром
. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей
цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими
цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии
поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению 
.
Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :
Пример 8
Построить поверхность, заданную уравнением
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие
цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими
цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.
Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению 
. Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству 
, а неравенство 
задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
Пример 9
Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость
Перепишем уравнение в виде 
из которого следует, что «икс» принимает любые
значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность
– с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все
значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую
цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими
цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.
Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).
Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса 
, с которой мы начинали построение.
Пример 10
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости
Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.
Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка
)
– цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.
Параболические цилиндры
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .
Пример 11
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение
: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все
значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра
): 
Напоминаю полезный технический приём
: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
Проекции.
1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .
2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .
Пример 12
Построить параболические цилиндры:
а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) на промежутке
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)
Гиперболические цилиндры
Направляющими
таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола
из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:
Эллипсоид. Сфера и шар
Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид 
, где – положительные числа (полуоси
эллипсоида), которые в общем случае различны
. Эллипсоидом называют как поверхность
, так и тело
, ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством 
и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)
К поверхностям 2-го порядка относится также гиперболический параболоид. Эта поверхность не может быть получена применением алгоритма использующего вращение некоторой линии относительно неподвижной оси.
Для построения гиперболического параболоида используется специальная модель. Эта модель включает в себя две параболы, располагающиеся в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Пусть парабола I располагается в плоскости и неподвижна. Парабола II совершает сложное движение:
▫ её
начальное положение совпадает с
плоскостью
,
причём вершина параболы совпадает с
началом координат:
=(0,0,0);
▫ далее
эта парабола совершает движение
параллельный перенос, причём её вершина
совершает траекторию, совпадающую с
параболой I;
▫ рассматривается два различных начальных положения параболы II: один – ветви параболы вверх, второй – ветви вниз.
Запишем
уравнения: для первой параболы I:
– неизменно; для второй параболы II:
– начальное положение, уравнение
движения:
Нетрудно видеть, что точка
имеет координаты:
.
Так как необходимо отобразить закон
движения точки
:
эта точка принадлежит параболе I,
то должны постоянно выполняться
соотношения:
=
и
.
Из геометрических особенностей модели легко видеть, что подвижная парабола заметает некоторую поверхность. В таком случае уравнение поверхности, описываемой параболой II, имеет вид:
или→
. (1)
Форма
получаемой поверхности зависит от
распределения знаков параметров
.
Возможны два случая:
1). Знаки величин p и q совпадают: параболы I и II располагаются по одну сторону от плоскости OXY . Примем: p = a 2 и q = b 2 . Тогда получаем уравнение известной поверхности:
→
эллиптический
параболоид
. (2)
2). Знаки величин p и q различны: параболы I и II располагаются по разные стороны от плоскости OXY . Пусть p = a 2 и q = - b 2 . Теперь получаем уравнение поверхности:
→гиперболический
параболоид
. (3)
Представить геометрическую форму поверхности, определяемой уравнением (3) нетрудно, если вспомнить кинематическую модель взаимодействия двух парабол, участвующих в движении.
На рисунке красным цветом условно показана парабола I. Показана только окрестность поверхности у начала координат. Из-за того, что форма поверхности выразительно намекает на кавалерийское седло, окрестность эту часто называют – седло .
В физике, при исследованиях устойчивости процессов, вводят типы равновесия: устойчивое – лунка, выпуклостью вниз, неустойчивое – выпуклая вверх поверхность и промежуточное – седло. Равновесие третьего типа также относят к типу неустойчивого равновесия, причём только на красной линии (парабола I) возможно равновесие.
§ 4. Цилиндрические поверхности.
При рассмотрении поверхностей вращения мы определили простейший цилиндрическую поверхность – цилиндр вращения, то есть круговой цилиндр.
В элементарной геометрии цилиндр определён по аналогии с общим определением призмы. Оно достаточно сложное:
▫ пусть
имеем в пространстве плоский многоугольник
– обозначим как
,
и с ним совпадает многоугольник
– обозначим как
;
▫ применим
к многоугольнику
движение параллельный перенос: точки
перемещаются по траекториям, параллельным
заданному направлению
;
▫ если
остановить перенос многоугольника
,
то его плоскость
параллельна плоскости
;
▫ поверхностью
призмы называют: совокупность
многоугольников
,
– основания
призмы, а также параллелограммов
,
,...
– боковая
поверхность
призмы.
В
оспользуемся
элементарным определением призмы для
построения более общего определения
призмы и её поверхности, а именно, будем
различать:
▫ неограниченная
призма – это многогранное тело,
ограниченное рёбрами
,
,...
и плоскостями между этими рёбрами;
▫ ограниченная
призма – это многогранное тело,
ограниченное рёбрами
,
,...
и параллелограммами
,
,...;
боковая поверхность этой призмы –
совокупность параллелограммов
,
,...;
основания призмы – совокупность
многоугольников
,
.
Пусть
имеем неограниченную призму:
,
,...
Пересечём эту призму произвольной
плоскостью
.
Пересечём эту же призму другой плоскостью
.
В сечении получим многоугольник
.
В общем случае считаем, что плоскость
не параллельна плоскости
.
Это значит, призма построена не
параллельным переносом многоугольника
.
Предложенное построение призмы включает не только прямые и наклонные призмы, но и любые усечённые.
В
аналитической геометрии цилиндрические
поверхности будем понимать настолько
обобщённо, что неограниченный цилиндр
включает неограниченную призму как
частный случай: стоит лишь предположить,
что многоугольник можно заменять
произвольной линией, не обязательно
замкнутой – направляющая
цилиндра. Направление
называют образующей
цилиндра.
Из всего сказанного следует: для определения цилиндрической поверхности необходимо задать линию-направляющую и направление образующей.
Цилиндрические поверхности получают на основе плоских кривых 2-го порядка, служащих направляющими для образующих .
На начальном этапе изучения цилиндрических поверхностей примем упрощающие допущения:
▫ пусть направляющая цилиндрической поверхности всегда располагается в одной из координатных плоскостей;
▫ направление
образующей
совпадает с одной из осей координат, то
есть перпендикулярна плоскости, в
которой определена направляющая.
Принятые
ограничения не приводят к потере
общности, так как остаётся возможность
за счёт выбора сечений плоскостями
и
строить произвольные геометрические
фигуры: прямые, наклонные, усечённые
цилиндры.
Эллиптический цилиндр .
Пусть
в качестве направляющей цилиндра взяли
эллипс
:
,
расположенный в координатной плоскости
:
эллиптический цилиндр.
Гиперболический цилиндр .
:
,
а направление образующей определяет
ось
.
В этом случае уравнение цилиндра – это
сама линия
:
гиперболический цилиндр.
Параболический цилиндр .
Пусть
в качестве направляющей цилиндра взяли
гиперболу
:
,
расположенную в координатной плоскости
,
а направление образующей определяет
ось
.
В этом случае уравнение цилиндра – это
сама линия
:
параболический цилиндр.
Замечание : учитывая общие правила построения уравнений цилиндрических поверхностей, а также представленные частные примеры эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров, отметим: построение цилиндра для любой другой образующей, для принятых упрощающих условий, не должно вызвать никаких затруднений!
Рассмотрим теперь более общие условия построения уравнений цилиндрических поверхностей:
▫ направляющая
цилиндрической поверхности располагается
в произвольной плоскости пространства
;
▫ направление
образующей
в принятой системе координат произвольно.
Принятые условия изобразим на рисунке.
▫ направляющая
цилиндрической поверхности
располагается в произвольной плоскости
пространства
;
▫ система
координат
получена из системы координат
параллельным переносом;
▫ расположение
направляющей
в плоскости
наиболее предпочтительное: для кривой
2-го порядка будем считать, что начало
координат
совпадает с центром
симметрии рассматриваемой кривой;
▫ направление
образующей
произвольное (может быть задано любым
из способов: вектором, прямой и др.).
В
дальнейшем будем считать, что системы
координат
и
совпадают. Это означает, что 1-й шаг
общего алгоритма построения цилиндрических
поверхностей, отражающий параллельный
перенос:
→
,
предварительно выполнен.
Напомним, как учитывается параллельный перенос в общем случае, рассмотрев простой пример.
Пример 6
–13
:
В системе координат
в виде:
=0.
Записать уравнение этой направляющей
в системе
.
Решение :
1).
Обозначим произвольную точку
:
в системе
как
,
и в системе
как
.
2). Запишем
векторное равенство:
=
+
.
В координатной форме это можно записать
в виде:
=
+
.
Или в виде:
=
–
,
или:
=.
3). Запишем
уравнение направляющей цилиндра
в системе координат
:
Ответ: преобразованное уравнение направляющей: =0.
Итак,
будем считать, что центр кривой,
представляющей направляющую цилиндра,
всегда располагается в начале координат
системы
в плоскости
.
Рис. В . Базовый рисунок при построении цилиндра.
Сделаем
ещё одно допущение, упрощающее
заключительные шаги построения
цилиндрической поверхности. Так как
применением вращения системы координат
нетрудно совместить направление оси
системы координат
с нормалью плоскости
,
а направления осей
и
с осями симметрии направляющей
,
то будем считать, что в качестве исходного
положения направляющей
имеем кривую, расположенную в плоскости
,
причём одна её ось симметрии совпадает
с осью
,
а вторая с осью
.
Замечание : так как выполнение операций параллельный перенос и вращение вокруг неподвижной оси операции достаточно простые, то принятые допущения не сужают применимость разрабатываемого алгоритма построения цилиндрической поверхности в самом общем случае!
Мы
видели, что при построении цилиндрической
поверхности в случае, когда направляющая
располагается в плоскости
,
а образующая параллельна оси
,
достаточно определить только направляющую
.
Так как цилиндрическая поверхность может быть однозначно определена заданием любой линии, получаемой в сечении этой поверхности произвольной плоскостью, то примем такой общий алгоритм решения задачи:
1
▫
.
Пусть направление образующей
цилиндрической поверхности задано
вектором
.
Спроектируем направляющую
,
заданную уравнением:
=0,
на плоскость, перпендикулярную направлению
образующей
,
то есть на плоскость
.
В результате цилиндрическая поверхность
будет задана в системе координат
уравнением:
=0.
2
▫
вокруг оси
на угол
:
смысл угла
совместится с системой
,
а уравнение конической поверхности
преобразуется в уравнение:
=0.
3
▫
.
Применим вращение системы координат
вокруг оси
на угол
:
смысл угла
вполне понятен из рисунка. В результате
вращения система координат
совместится с системой
,
а уравнение конической поверхности
преобразуется в
=0.
Это и есть уравнение цилиндрической
поверхности, у которой были заданы
направляющая
и образующая
в системе координат
.
Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию записанного алгоритма и вычислительные трудности подобных задач.
Пример 6
–14
:
В системе координат
задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=9.
Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору
=(2,–3,4).
Р
ешение
:
1).
Спроектируем направляющую цилиндра на
плоскость, перпендикулярную
.
Известно, что такое преобразование
заданную окружность превращает в эллипс,
осями которого будут: большая
=9,
а малая
=
.
Этот
рисунок иллюстрирует проектирование
окружности, заданной в плоскости
на координатную плоскость
.
2).
Результатом проектирования окружности
является эллипс:
=1,
или
.
В нашем случае это:
,
где
=
=
.
3
).
Итак, уравнение цилиндрической поверхности
в системе координат
получено. Так как по условию задачи мы
должны иметь уравнение этого цилиндра
в системе координат
,
то остаётся применить преобразование
координат, переводящее систему координат
в систему координат
,
заодно и уравнение цилиндра:
в уравнение, выраженное через переменные
.
4). Воспользуемся базовым рисунком, и запишем все необходимые для решения задачи тригонометрические значения:
=
=
,
=
=
,
=
=
.
5). Запишем
формулы преобразования координат при
переходе от системы
к системе
:
(В)
6). Запишем
формулы преобразования координат при
переходе от системы
к системе
:
(С)
7).
Подставляя переменные
из системы (В) в систему (С), а также
учитывая значения используемых
тригонометрических функций, запишем:
=
=
.
=
=
.
8).
Остаётся подставить найденные значения
и
в уравнение направляющей цилиндра
:
в системе координат
.
Выполнив аккуратно
все алгебраические преобразования,
получаем уравнение конической поверхности
в системе координат
:
=0.
Ответ: уравнение конуса: =0.
Пример 6
–15
:
В системе координат
задано уравнение направляющей цилиндра
в виде:
=9,
=1.
Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору
=(2,–3,4).
Решение :
1). Нетрудно заметить, этот пример отличается от предыдущего только тем, что направляющую параллельно перенесли на 1 вверх.
2). Это
значит, что в соотношениях (В) следует
принять:
=
–1.
Учитывая выражения системы (С),
скорректируем запись для переменной
:
=
.
3). Изменение легко учитывается коррекцией конечной записи уравнения для цилиндра из предыдущего примера:
Ответ: уравнение конуса: =0.
Замечание : нетрудно заметить, что основная трудность при многократных преобразованиях систем координат в задачах с цилиндрическими поверхностями – этоаккуратность ивыносливость в алгебраических марафонах: да здравствует система образования, принятая в нашей многострадальной стране!
Он представляет собой полое изометрическое тело, сечениями которого являются эллипсы и параболы. Эллиптический параболоид задается вида:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Все главные сечения параболоида являются параболами. При сечении плоскости XOZ и YOZ получаются только параболы. Если провести перпендикулярное сечение относительно плоскости Xoy, можно получить эллипс. Причем, сечения, представляющие собой параболы, задаются уравнениями вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Сечения эллипса задаются другими уравнениями:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Эллиптический параболоид при a=b превращается в параболоид вращения. Построение параболоида имеет ряд некоторых особенностей которые нужно учитывать. Операцию начните с подготовки - чертежа графика функции.
Для того чтобы начать строить параболоид, нужно вначале построить параболу. Начертите параболу в плоскости Oxz, как показано на рисунке. Задайте будущему параболоиду определенную высоту. Для этого проведите прямую таким образом, чтобы она касалась верхних точек параболы и была параллельно оси Ox. Затем начертите параболу в плоскости Yoz и проведите прямую. Вы получите две параболоидные плоскости, перпендикулярные друг другу. После этого в плоскости Xoy постройте параллелограмм, который поможет начертить эллипс. В этот параллелограмм впишите эллипс таким образом, чтобы он касался всех его сторон. После этих преобразований сотрите параллелограмм, и останется объемное изображение параболоида.
Существует также гиперболический параболоид, который имеет более вогнутую форму, чем эллиптический. Его сечения также имеют выд параболы, а в некоторых случаях - . Главные сечения по Oxz и Oyz, как и у эллиптического параболоида, представляют собой параболы. Они задаются уравнениями вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Если провести сечение относительно оси Oxy, можно получить гиперболу. При построении гиперболического параболоида руководствуйтесь следующим уравнением:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - гиперболического параболоида
Первоначально постройте неподвижную параболу в плоскости Oxz. В плоскости Oyz начертите подвижную параболу. После этого задайте высоту параболоида h. Для этого отметьте на неподвижной две точки, которые будут вершинами еще двух подвижных . Затем изобразите еще одну систему координат O"x"y", чтобы нанести гиперболы. Центр этой системы координат должен совпадать с высотой параболоида. После всех построений изобразите те две подвижные параболы, о которых упоминалось выше, так чтобы они касались крайних точек гипербол. В результате получится гиперболический параболоид.
В процессе изучения математики, многие школьники и студенты сталкиваются с построением различных графиков, в частности, парабол. Параболы являются одними из самых часто встречающихся графиков, используемых на многих контрольных, проверочных и тестовых работах. Поэтому знание простейших инструкций по их построению окажет вам значительную помощь.
Вам понадобится
- - линейка и карандаш;
- - калькулятор.
Инструкция
Для начала, начертите на листе координатные оси: ось абсцисс и ось ординат. Подпишите их. После этого, поработайте над данной квадратичной функцией. Она должна быть такого вида: y=ax^2+bx+c. Самой популярной функцией является y=x^2, поэтому ее можно привести в качестве примера.
После построения осей, найдите координаты вершины вашей параболы. Чтобы найти координату по оси X, подставьте известные данные в эту формулу: x=-b/2a, по оси Y - подставьте полученное в функцию. В случае с функцией y=x^2, координаты вершины совпадают с координат, т.е. в точке (0;0), так как значение переменной b равно 0, следовательно и x=0. Подставив значение x в функцию y=x^2, нетрудно найти ее значение - y=0.
После нахождения вершины, определитесь с направлением ветвей параболы. Если коэффициент a из записи функции вида y=ax^2+bx+c положителен, то направлены вверх, если отрицателен - вниз. График функции y=x^2 направлен вверх, так как коэффицент a равен единице.
Следующим шагом будет вычисление координат точек параболы. Чтобы их найти, подставьте в значение аргумента -либо число и вычислите значение функции. Для построения графика хватит 2-3 точек. Для большего удобства и наглядности, начертите таблицу со значениями функции и аргумента. Также не забывайте, что парабола обладает симметричностью, следовательно это облегчает создания графика. Самые часто используемые точки параболы y=x^2 - (1;1), (-1;1) и (2;4), (-2;4).
После нанесения точек на координатную плоскость, соедините их плавной линией, придавая ей округлые . Не заканчивайте график в верхних точках, а продлите его, так как парабола бесконечна. Не забудьте подписать график на , а также напишите необходимые координаты на осях, в противном случае, это вам могут за ошибку и снять определенное количество баллов.
Источники:
- как нарисовать параболу
Парабола является графиком квадратичной функции вида y=A·x²+B·x+C. Перед построением графика необходимо провести аналитическое исследование функции. Обычно параболу рисуют в декартовой прямоугольной системе координат, которая представлена двумя перпендикулярными осями Ox и Oy.
Инструкция
Первым пунктом запишите область определения функции D(y). Парабола определена на всей числовой прямой, если не задано никаких дополнительных условий. Обычно это указывается записью D(y)=R , где R – множество всех
