Умножение положительных рациональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел

В данном уроке рассматривается умножение и деление рациональных чисел.

Содержание урока

Умножение рациональных чисел

Правила умножения целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы умножать рациональные числа, нужно уметь

Также, необходимо знать основные законы умножения, такие как: переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения и умножение на ноль.

Пример 1. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы перемножить рациональные числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Чтобы хорошо увидеть, что мы имеем дело с числами, у которых разные знаки, заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками

Модуль числа равен , а модуль числа равен . Перемножив полученные модули, как положительные дроби, мы получили ответ , но перед ответом поставили минус, как от нас требовало правило. Чтобы обеспечить перед ответом этот минус, умножение модулей выполнялось в скобках, перед которыми и поставлен минус.

Короткое решение выглядит следующим образом:

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 3. Найти значение выражения

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Чтобы перемножить отрицательные рациональные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 5. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Короткое решение будет выглядеть значительно проще:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальное перепишем, как есть

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Решение для данного примера можно записать покороче

Пример 7. Найти значение выражения

Сначала в ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили в ней целую часть. Обратите внимание, что целая часть была выделена от модуля дроби . Получившееся смешанное число было заключено в скобки, перед которыми поставлен минус. Это сделано для того, чтобы выполнялось требование правила. А правило требовало, чтобы перед полученным ответом стоял минус.

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Сначала перемножим и и полученное число перемножим с оставшимся числом 5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение.

Ответ: значение выражения равно −2.

Пример 9. Найти значение выражения:

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Пример 10. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а вычислим данное выражение слева направо в порядке следования сомножителей. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Третье действие:

Четвёртое действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 11. Найти значение выражения

Вспоминаем закон умножения на ноль. Этот закон гласит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения равно нулю:

Пример 12. Найти значение выражения

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Пример 13. Найти значение выражения

Можно воспользоваться порядком действий и сначала вычислить выражение в скобках и полученный ответ перемножить с дробью .

Ещё можно воспользоваться распределительным законом умножения — умножить каждое слагаемое суммы на дробь и полученные результаты сложить. Этим способом и воспользуемся.

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует сложение и умножение, то в первую очередь нужно выполнять умножение. Поэтому в получившемся новом выражении возьмём в скобки те параметры, которые должны быть перемножены. Так мы хорошо увидим, какие действия выполнить раньше, а какие позже:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Видно, что данный пример можно было решить даже в уме. Поэтому следует развивать в себе навык анализа выражения до начала его решения. Вполне вероятно, что его можно решить в уме и сэкономить много времени и нервов. А на контрольных и экзаменах, как известно время очень дорого стоит.

Пример 14. Найти значение выражения −4,2 × 3,2

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось .

Пример 15. Найти значение выражения −0,15 × 4

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь .

Пример 16. Найти значение выражения −4,2 × (−7,5)

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Деление рациональных чисел

Правила деления целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы уметь делить рациональные числа, нужно уметь

В остальном же применяются те же методы деления обыкновенных и десятичных дробей. Чтобы разделить обыкновенную дробь на другую дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

А чтобы разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, затем выполнить деление, как на обычное число.

Пример 1. Найти значение выражения:

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить такое выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Итак, умножим первую дробь на дробь обратную второй.

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. А как вычислять такие выражения мы уже знаем. Для этого нужно перемножить модули этих рациональных чисел и перед полученным ответом поставить минус.

Дорешаем данный пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Таким образом, значение выражения равно

Подробное решение выглядит следующим образом:

Короткое решение будет выглядеть так:

Пример 2. Найти значение выражения

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Короткое решение будет выглядеть следующим образом:

Пример 3. Найти значение выражения

Это деление отрицательных рациональных чисел. Чтобы вычислить данное выражение, опять же нужно первую дробь умножить на дробь обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Как вычисляется подобное выражение мы уже знаем. Нужно перемножить модули рациональных чисел и перед полученным ответом поставить плюс.

Дорешаем этот пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Пример 4. Найти значение выражения

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первое число −3 умножить на дробь, обратную дроби .

Обратная для дроби это дробь . На неё и умножим первое число −3

Пример 6. Найти значение выражения

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу 4.

Обратное для числа 4 это дробь . На неё и умножим первую дробь

Пример 5. Найти значение выражения

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу −3

Обратное для числа −3 это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Пример 6. Найти значение выражение −14,4: 1,8

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным ответом поставить минус

Обратите внимание, как модуль делимого был разделён на модуль делителя. В данном случае, чтобы сделать это правильно, потребовалось суметь .

Если нет желания возиться с десятичными дробями (а это бывает часто), то эти , затем перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем заняться непосредственно делением.

Вычислим предыдущее выражение −14,4: 1,8 этим способом. Переведём десятичные дроби в смешанные числа:

Теперь переведём полученные смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь можно заняться непосредственно делением, а именно разделить дробь на дробь . Для этого нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

Пример 7. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −2,06 в неправильную дробь, и умножим эту дробь на дробь, обратную второй:

Многоэтажные дроби

Часто можно встретить выражение, в котором деление дробей записано с помощью дробной черты. Например, выражение может быть записано следующим образом:

В чём же разница между выражениями и ? На самом деле разницы никакой. Эти два выражения несут одно и то же значение и между ними можно поставить знак равенства:

В первом случае знак деления представляет собой двоеточие и выражение записано в одну строку. Во втором случае деление дробей записано с помощью дробной черты. В результате получается дробь, которую в народе договорились называть многоэтажной .

При встрече с такими многоэтажными выражениями, нужно применять те же правила деления обыкновенных дробей. Первую дробь необходимо умножать на дробь, обратную второй.

Использовать в решении подобные дроби крайне неудобно, поэтому можно записать их в понятном виде, используя в качестве знака деления не дробную черту, а двоеточие.

Например, запишем многоэтажную дробь в понятном виде. Для этого сначала нужно разобраться, где первая дробь и где вторая, потому что сделать это правильно удаётся не всегда. В многоэтажных дробях имеется несколько дробных черт, которые могут запутать. Главная дробная черта, которая отделяет первую дробь от второй, обычно бывает длиннее остальных.

После определения главной дробной черты можно без труда понять, где первая дробь и где вторая:

Пример 2.

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление целого числа −3 на обыкновенную дробь

А если бы мы по ошибке приняли вторую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим дробь на целое число 5В этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является число −3, а делителем — дробь .

Пример 3. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление дроби на целое число 2

А если бы мы по ошибке приняли первую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим целое число −5 на дробь В этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является дробь , а делителем — целое число 2.

Несмотря на то, что многоэтажные дроби неудобны в работе, сталкиваться мы с ними будем очень часто, особенно при изучении высшей математики.

Естественно, на перевод многоэтажной дроби в понятный вид уходит дополнительное время и место. Поэтому можно воспользоваться более быстрым методом. Данный метод удобен и на выходе позволяет получить готовое выражение, в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй.

Реализуется этот метод следующим образом:

Если дробь четырехэтажная, например как , то цифру находящуюся на первом этаже поднимают на самый верхний этаж. А цифру, находящуюся на втором этаже поднимают на третий этаж. Полученные цифры нужно соединить значками умножения (×)

В результате, минуя промежуточную запись мы получаем новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй. Удобство да и только!

Чтобы не допускать ошибок при использовании данного метода, можно руководствоваться следующим правилом:

С первого на четвёртый. Со второго на третий.

В правиле речь идет об этажах. Цифру с первого этажа нужно поднимать на четвертый этаж. А цифру со второго этажа нужно поднимать на третий этаж.

Попробуем вычислить многоэтажную дробь пользуясь вышеприведённым правилом.

Итак, цифру находящуюся на первом этаже поднимаем на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднимаем на третий этаж

В результате, минуя промежуточную запись мы получаем новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратной второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Попробуем вычислить многоэтажную дробь пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только первый, второй и четвёртый этажи. Третий этаж отсутствует. Но мы не отходим от основной схемы: цифру с первого этажа поднимаем на четвёртый этаж. А поскольку третий этаж отсутствует, то цифру находящуюся на втором этаже оставляем, как есть

В результате, минуя промежуточную запись мы получили новое выражение , в котором первое число −3 уже умножено на дробь, обратную второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Попробуем вычислить многоэтажную дробь , пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только второй, третий и четвёртый этажи. Первый этаж отсутствует. Поскольку первый этаж отсутствует, подниматься на четвёртый этаж нечему, но зато мы можем поднять цифру со второго этажа на третий:

В результате, минуя промежуточную запись мы получили новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на число, обратное делителю. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Использование переменных

Если выражение сложное и вам кажется, что оно запутает вас в процессе решения задачи, то часть выражения можно занести в переменную и далее работать с этой переменной.

Математики часто так и делают. Сложную задачу разбивают на более лёгкие подзадачи и решают их. Затем собирают решённые подзадачи в одно единое целое. Это творческий процесс и этому учатся годами, упорно тренируясь.

Использование переменных оправдано, при работе с многоэтажными дробями. Например:

Найти значение выражения

Итак, имеется дробное выражение в числителе и в знаменателе котором дробные выражения. Другими словами, перед нами снова многоэтажная дробь, которую мы так не любим.

Выражение, находящееся в числителе можно занести в переменную с любым названием, например:

Но в математике в подобном случае переменным принято давать название из больших латинских букв. Давайте не будем нарушать эту традицию, и обозначим первое выражение через большую латинскую букву A

А выражение, находящееся в знаменателе можно обозначить через большую латинскую букву B

Теперь наше изначальное выражение принимает вид . То есть, мы сделали замену числового выражения на буквенное, предварительно занеся числитель и знаменатель в переменные A и B.

Теперь мы можем отдельно вычислить значения переменной A и значение переменной B. Готовые значения мы вставим в выражение .

Найдём значение переменной A

Найдём значение переменной B

Теперь подставим в главное выражения вместо переменных A и B их значения:

Мы получили многоэтажную дробь в которой можно воспользоваться схемой «с первого на четвёртый, со второго на третий», то есть цифру находящуюся на первом этаже поднять на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднять на третий этаж. Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Таким образом, значение выражения равно −1.

Конечно, мы рассмотрели простейший пример, но нашей целью было узнать, как можно использовать переменные для облегчения себе задачи, чтобы свести к минимуму допущение ошибок.

Отметим также, что решение для данного примера можно записать не применяя переменные. Выглядеть оно будет как

Это решение более быстрое и короткое и в данном случае его целесообразнее так и записать, но если выражение окажется сложным, состоящим из нескольких параметров, скобок, корней и степеней, то желательно вычислять его в несколько этапов, занося часть его выражений в переменные.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Урок обобщения и систематизации знаний по теме "Умножение и деление рациональных чисел", 6 класс. Материал урока подобран по книге Я.Перельмана "Занимательная астрономия"

Просмотр содержимого документа
«Умножение и деление рациональных чисел»

©Семина Л.А. Умножение и деление рациональных чисел

МКОУ «Средняя общеобразовательная школа д. Шибково»

Искитимского района Новосибирской области

Умножение и деление рациональных чисел

Семина Лилия Анатольевна

учитель математики

Предмет : математика

Класс : 6

Цель :

воспитание интереса к математике, астрономии; воспитание активности, организованности (или .

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Задачи:

обучающие – закрепить материал по теме «Рациональные числа», повторить навыки умножения и деления рациональных чисел;

развивающие – способствовать формированию познавательной активности обучающихся на уроке, развивать умения ориентироваться в нестандартных ситуациях и применять знания на практике;

воспитывающие - показать красоту математики, превратить урок в увлекательное путешествие, где каждый может проявить себя.

Методы обучения:

организация и осуществление учебно-познавательной деятельности:

перцептивные методы - словесные, наглядные, практические;

логические методы – аналитические;

гностические методы – репродуктивно-поисковые;

управление обучением – работа под руководством учителя;

стимулирование и мотивация обучения:

стимулирование интереса к обучению - занимательность;

контроль и самоконтроль в обучении:

устный контроль – индивидуальный, фронтальный опрос.

Форма проведения урока: интегрированный мультимедиа - урок

Дидактические средства:

	«Знаки планет»
	«Планетная система в числах»
	«Планетная азбука» (составляемая в ходе урока)
дидактическое обеспечение - раздаточный материал:	карточки, из которых составляется таблица «Планетная азбука»
	карточки к заданиям, на одной стороне которых ответ решения одного из примеров, а на другой – буква (из них составляются верные ответы)
	тест «Что мы знаем о космосе»
оборудование	презентация «Тайны неизведанных планет»
	компьютер
	проектор

Литература:

Перельман Я.И. Занимательная астрономия. Изд.10 2008. 240 с. Серия: НАУКУ --- ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы. Физика, Астрономия и астрофизика, Популярная физика,

Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ Н. Я.Виленкин, А.С.Чесноков, С.И.Швацбурд.- М. Мнемозина, 2003 -2007

План урока:

Устно.

Планетная азбука

В ходе устного счета составляется таблица «Планетная азбука»

Самостоятельная работа

Великие противостояния

Планета или меньшее Солнце?

Самая далекая планета

III . Задание на дом. Планеты-карлики

IV . Итог урока. Рефлексивно-оценочная часть

Планетная система в числах (таблица).

Блиц-тест Что мы знаем о космосе?

Ход урока.

Устно.

Планетная азбука

В ходе устного счета составляется таблица «Планетная азбука».

Учитель.

Для обозначения Солнца, Луны и планет современные астрономы употребляют значки весьма древнего происхождения. Их начертание требует пояснений, кроме, конечно, знака Луны, понятного самого по себе.

Знак Меркурия есть упрощенное изображение жезла мифического бога Меркурия, покровителя этой планеты. Знаком Венеры служит изображение ручного зеркала - эмблемы женственности и красоты, присущи богине Венере. Символом для Марса, покровительствуемого богом войны, выбрано копье, заслоненное щитом, - атрибуты воина. Знак Юпитера - не что иное, как начальная буква греческого наименования Юпитера - Zues (в рукописном шрифте). Знак Сатурна, по толкованию Фламмариона, есть искаженное изображение "косы времени" - традиционной принадлежности бога судьбы.

Перечисленные сейчас знаки употребляются с IX в. Знак Урана, разумеется, более позднего происхождения: планета эта открыта лишь в конце XVIII в. Ее знак - кружок с буквой Н - должен напоминать нам о В. Гершеле (Herschel), открывшем Уран. Знак Нептуна (открытого в 1846 г.) отдает дань мифологии изображением трезубца бога морей. Знак для последней планеты, Плутона, понятен сам собой.

К этой планетной азбуке надо еще присоединить знак той планеты, на которой мы живем, а также знак центрального светила нашей системы - Солнца. Этот последний знак - самый древний, потому что употреблялся египтянами еще тысячелетия назад (слайд №4).

Задание №1 . Выполнив это задание, вы узнаете, какими знаками планетной азбуки западные астрономы обозначают дни недели (слайд №5)

Многим покажется, вероятно, странным, что теми же значками планетной азбуки западные астрономы обозначают дни недели, а именно:

День недели	Знак планеты
воскресенье	знаком Солнца
понедельник	знаком Луны
	знаком Марса
	знаком Меркурия
	знаком Юпитера
	знаком Венеры
	знаком Сатурна

(слайд №6).

Неожиданное сближение это станет естественным, если мы сопоставим знаки планет не с русскими, а с латинскими или с французскими названиями дней недели, сохранившими свою связь с наименованиями планет (по-французски: понедельник - lundi - день Луны, вторник - mardi - день Марса и т. д.). Но мы не станем углубляться здесь в эту любопытную область, больше относящуюся к филологии и к истории культуры, чем к астрономии.

Задание №2. Древними алхимиками планетная азбука употреблялась для обозначения металлов. Выполнив это задание, вы узнаете как древние алхимики использовали планетную азбуку для обозначения металлов (слайд №7)

знак	металл



Меркурия

(слайд №8)

Связь эта объясняется воззрением алхимиков, посвящавших каждый металл одному из древних мифологических божеств.

Самостоятельная работа

Таинственная планета без атмосферы

Чтобы узнать, о какой планете идет речь, вы должны выполнить следующее задание (слайд №9, 10 )

Физкультминутка:

Мы становимся все выше, достаем руками крышу,

На носочки поднимись и макушечкой тянись!

Солнце в небе высоко, дотянуться нелегко!

С каждым шагом выше, выше – будем к солнышку поближе!

Великие противостояния

Наибольшее приближение Марса к Земле повторяется каждые … лет. Это явление называется великие противостояния Марса.

Через сколько лет повторяется противостояние Марса? (слайд №11, 12)

Планета или меньшее Солнце?

О какой планете идет речь?

Это гигант, из которого можно было бы сделать 1314 таких шаров, как Земля. У этой планеты астрономы обнаружили 12 лун (спутников). Некоторые из них больше планет, например, Меркурия. Первые 4 спутника этой планеты были открыты 300 лет тому назад Галилео Галилеем (слайд №13).

(слайд №14) .

Самая далекая планета была открыта в 1930 году американским астрономом Томбо. Она находится в 30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Ей надо почти 250 лет, чтобы сделать один полный оборот вокруг Солнца.

О какой планете идет речь? (слайд № 15, 16)

Планета, открытая на «кончике пера»

Ракете той был дан прицел,

Ее маршрутом математик

На крыльях формул пролетел…

(слайд №17, 18)

Планеты-карлики

Малые планеты иначе называют «звездноподобные». Одна из них Цецера меньше Луны во столько раз, во сколько раз Луна меньше Земли. Все малые планеты находятся между орбитами Марса и Юпитера. Малых планет много, около 1000. Например: Гидальго, Паллада, Адонис, Икар и др. Большинство малых планет имеет порядковый номер. Свыше сотни малых планет открыто астрономами Симеизской обсерватории в Крыму, на берегу Черного моря.

Как по-другому называются планеты-карлики вы узнаете выполнив следующее домашнее задание (слайд №19, 20)

Итог урока. Рефлексивно-оценочная часть.

«Планеты» Аркадий Хайт

Из "Радио-няни"

По порядку все планеты

Назовёт любой из нас:

Раз - Меркурий,

Два - Венера,

Три - Земля,

Четыре - Марс.

Пять - Юпитер,

Шесть - Сатурн,

Семь - Уран,

За ним - Нептун.

Он восьмым идёт по счёту.

А за ним уже, потом,

И девятая планета

Под названием Плутон.

Планетная система в числах (таблица).

Посмотрим на эту таблицу. В ней отражен почти весь известный цифровой материал о планетах (слайд №21).

Какие данные могли быть внесены в таблицу самими учениками.

Блиц-тест Что мы знаем о космосе? (слайд №22).

А: Юпитер Б: Сатурн В: Уран Г: Нептун.

Учащиеся, набравшие больше всех жетонов, получают оценки.

Просмотр содержимого презентации
«Презентация»

Тайны неизведанных планет

Дидактическое обеспечение

для 6 класса

Семина Лилия Анатольевна

у ч итель математики высшей категории

МКОУ «СОШ д. Шибково» Искитимского района

Новосибирской области

Астрономия, как наука, стала существовать

с тех пор, как она соединилась с математикой.

А.И.Герцен

повторение, обобщение и систематизация материала темы, создание условий контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

формирование умений применять: обобщение, сравнение, выделение главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитие памяти, мышления, внимания;

показать красоту математики, превратить урок в увлекательное путешествие, где каждый может проявить себя)
показать красоту математики, превратить урок в увлекательное путешествие, где каждый может проявить себя)
показать красоту математики, превратить урок в увлекательное путешествие, где каждый может проявить себя)

Устно.
Устно.

Для обозначения Солнца, Луны и планет современные астрономы употребляют значки весьма древнего происхождения.

Знак Меркурия

Изображение жезла мифического бога Меркурия;

Знак Венеры

Изображение ручного зеркала;

Знак Марса

Копье, заслоненное щитом;

Знак Юпитера

Начальная буква греческого наименования Юпитера;

Знак Сатурна

Искаженное изображение "косы времени«;

Знак Урана

Кружок с буквой Н - должен напоминать нам о В. Гершеле (Herschel), открывшем Уран;

Знак Нептуна

Изображение трезубца бога морей;

Знак Плутона

Понятен сам собой;

Знак Солнца

Знак центрального светила нашей системы.

Выполнив это задание, вы узнаете, какими знаками планетной азбуки западные астрономы обозначают дни недели.

Выполните деление:

воскресенье –

знаком Солнца

понедельник –

знаком Луны

вторник -

знаком Марса

знаком Меркурия

четверг -

знаком Юпитера

пятница -

знаком Венеры

суббота -

знаком Сатурна

Выполнив это задание, вы узнаете как древние алхимики использовали планетную азбуку для обозначения металлов

Назовите числа, обратные данным:

2 Юпитер - олово

Меркурий - ртуть

Луна - серебро

5 Венера - медь

Солнце - золото

Сатурн - свинец

Марс - железо

Самостоятельная работа

Таинственная планета без атмосферы

Вычислите:

Эта планета движется вокруг Солнца так же, как Луна движется вокруг Земли, т. е. она всегда обращена к Солнцу одной и той же стороной. На одной стороне этой планеты непрерывно длится день и вечное лето. На другой стороне, отвернутой от Солнца, царят непрерывная ночь и вечная зима (-250°С). По выводам ученых вся атмосфера этой планеты должна собраться в твердом виде на ночной стороне планеты, вернее, в той ее части, куда Солнце не заглядывает.

Меркурий

Великие противостояния

Наибольшее приближение Марса к Земле повторяется каждые 15 лет.

Это явление называется великие противостояния Марса.

Планета или меньшее Солнце?

Решите уравнение

Система этой планеты имеет размеры в 62 раза больше, чем система Земля-Луна, масса ее в 3 раза больше массы всех остальных планет. Планета сильно приплюснута, температура на поверхности – (-140°С)

Самая далекая планета

Была открыта в 1930 году американским астрономом Томбо.

Ей надо почти 250 лет, чтобы сделать один полный оборот вокруг Солнца.

О какой планете идет речь?

Решите задачу:

часа велосипедист проехал км.

Сколько километров проедет велосипедист за

часа, если будет ехать с такой же скоростью?

Планета,открытая на «кончике пера»

И, прежде чем, заметьте кстати,

Ракете той был дан прицел,

Ее маршрутом математик

На крыльях формул пролетел…

Местоположение какой планеты рассчитали английский математик Адамс и французский астроном Леверье, а затем в 1846 г. открыли астрономы?

Решите уравнение:

была открыта планета

Планеты-карлики

Малые планеты иначе называют «звездноподобные».

Все малые планеты находятся между орбитами Марса и Юпитера.

Малых планет много, около 1000.

Большинство малых планет имеет порядковый номер.

Свыше сотни малых планет открыто астрономами Симеизской обсерватории в Крыму, на берегу Черного моря.

Как по-другому называются планеты-карлики?

Вычислите:

Ответу каждого примера соответствует определенная буква, из букв составляем слово.

№ примера

Буквы записать в следующем порядке:

3 5 1 9 2 7 4 8 6

а с т е р о и д ы

Рефлексивно-оценочная часть

Итог урока.

В ходе урока мы составили таблицу

Планетная система в числах

Меркурий

понедельник

Таинственная планета без атмосферы

Великие противостояния

Планета или меньшее Солнце

Планета, открытая на «кончике пера»

Самая далекая планета

воскресенье

Что мы знаем о космосе?

Блиц-тест

Кто был первым летчиком-космонавтом?

А: Циолковский Б: Королев В: Гагарин Г: Леонов.

Назовите корабль, на котором летал первый космонавт.

А: Восход-1 Б: Восток - 1 В: Союз – 1 Г: Ковер-самолет – 1.

Какой год считается годом освоения космоса?

А: 1961 Б: 1947 В: 1957 Г: 1964.

Какая планета ближе всего к солнцу?

А: Меркурий Б: Венера В: Марс Г: Земля.

Назовите самую большую планету.

А: Юпитер Б: Сатурн В: Уран Г: Нептун.

Какая планета была вычислена с помощью математики, т. е. открыта на «кончике пера»?

А: Уран Б: Сатурн В: Нептун Г: Плутон.

Какая планета отстоит дальше всего от Солнца?

А: Меркурий Б: Венера В: Земля Г: Плутон.

Какая планета имеет больше всего спутников?

А: Юпитер Б: Сатурн В: Уран Г: Нептун.

В каком созвездии находится Полярная Звезда?

А: Б. Медведица Б: М.Медведица В: Тельца Г: Рыб.

Аркадий Хайт

(из «Радио-няни») няни")

По порядку все планеты назовёт любой из нас:

Раз - Меркурий, два - Венера,

Три - Земля, четыре - Марс.

Пять - Юпитер, шесть - Сатурн,

Семь - Уран, за ним - Нептун.

Он восьмым идёт по счёту.

А за ним уже, потом,

И девятая планета

Под названием Плутон.

Глава 4 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ

§ 28. УМНОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Вы знаете, что добавление нескольких равных положительных чисел можно заменить действием умножения. Например, 2+2+2+2+2=2 ∙ 5=10. Рассуждая аналогично, найдем произведение-2 ∙ 5:

2 ∙ 5 = -2 + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10.

Полученное число-10 является противоположным где число 10 = 2 ∙ 5. Но 2 = |- 2|, 5 = |5|. Следовательно, произведение чисел -2 и 5 равен произведению модулей этих чисел, взятому со знаком «-»:

2 ∙ 5 = -(|-2| ∙ |5|) = - (2 ∙ 5) = - 10.

Как умножить числа 5 и -2? Подумаем.

Пусть, например, -2 является изменением температуры воздуха ежечасно, а 5 - количеством часов, в течение которых велись наблюдения. Тогда и произведение -2 ∙ 5, и произведение 5 ∙ (-2) показывает, на сколько градусов изменилась температура за 5 часов и в какую именно сторону - повышения или снижения. Понятно, что похолодало на 10 °С, то есть температура изменилась на 10 °С (рис. 137).

Достали, чтобы ∙ (-2)= - 2 ∙ 5. Тому5 ∙ (-2) = -10. Следовательно, произведение чисел 5 и -2 можно найти так же, как и произведение чисел 2 и 5:

5 ∙ (-2) = - (|5| ∙ |-2|) = -(5 ∙ 2) = -10.

Рис. 137

Запомните!

Правило умножения чисел с разными знаками Произведение двух чисел с разными знаками - число отрицательное.

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак«-».

Как умножить два отрицательных числа? Рассмотрим задачу.

Задача 1 . Температура воздуха ежечасно изменялась в -2 СС. Какой была температура 5 ч назад?

Решения. Если число 5 - это количество часов, в течение которых велись наблюдения, то число -5 соответствует времени; «5 часов назад». Следовательно, в задачи надо найти произведение (-2) ∙ (-5). Понятно, что 5 часов назад было теплее на 10 °С. То есть: -2 ∙ (-5) = 10.

Итак, произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, я ке равен произведению модулей множителей.

Запомните!

Правило умножения двух отрицательных чисел Произведение двух отрицательных чисел - число положительное. Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно перемножить их модули.

Вообще, знак произведения двух рациональных чисел определяется знаками множителей.

Можно ли за знаком произведения двух чисел определить, одинаковые или разные знаки у множителей? Так. Например, число 6 равно произведению чисел с одинаковыми знаками:

2 и 3 или -2 и -3. А вот число -6 равна произведению чисел с разными знаками: -2 и 3 или 2 и -3.

Свойства умножения на 0 рациональных чисел аналогичны таких же свойств умножения положительных чисел. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0.

В дальнейшем будем рассматривать рациональные числа, отличные от нуля, а случаи, связанные с числом 0, будем анализировать отдельно.

Обратите внимание:

Если произведение а b положительный, то числа а и b имеют одинаковые знаки, и наоборот;

Если произведение ab отрицательный, то числа а и b имеют разные знаки, и наоборот;

Если произведение ab равно нулю, то хотя бы одно из чисел а или b равно нулю, и наоборот.

Если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:

а ∙ 1 = 1 ∙ а = а.

Умножение числа на -1 имеет свои особенности. Если некоторое число умножить на -1, то в произведении получим противоположное к нему число. Например: 5 ∙ (-1) = -5. Рассуждая наоборот, получим, что любое число можно представить как произведение 1 и числа, противоположного данному. Например, -2 =-1 ∙ 2, а 2 = -1 ∙ (-2) или 2 -(-2). О такой запись говорят: знак минус вынесли за скобки. Итак,

а ∙ (-1) = -1 ∙ а = -а.

Вы знаете, что для положительных чисел сбываются переставной и соединительный законы умножения, а также распределительный закон умножения относительно сложения. Эти законы позволяют упрощать вычисления произведения трех и более множителей, более удобным способом умножать число на сумму чисел.

Задача 2. Найдите произведение: 1)-0,2 ∙ (-564) ∙ 5; 2) -2 - (-1 ,5 + 5).

Решения. 1. Переставим множители и сгруппируем их так, чтобы вычисления были простыми:

0,2 ∙ (-564) ∙ 5 = -0,2 ∙ 5 ∙ (-564) = -1 ∙ (-564) = 564.

2. Применим распределительный закон умножения и правила умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками:

2 ∙ (-1,5+ 5) = -2 ∙ (-1,5) + (-2) ∙ 5=3-10 = -7.

Можно ли определить знак произведения нескольких рациональных чисел, не вычисляя этот произведение? Так.. При этом учитывают, что произведение положительных множителей является положительным, и они не влияют на знак результата.

Задача 3 . Положительным или отрицательным является произведение:

1) -2 ∙ 2 ∙ (-1) -(-5) ∙ (-4) ∙ 5 ∙ 10;

2)-6 ∙ (-5) ∙ (-0,2) ∙ (-1) ∙ 7 ∙ 10 ∙ (-3)?

Решения. 1. В данном произведении четыре отрицательные множители: -2,-1, -5, -А. Произведение первой пары этих чисел положительный, второй пары - также, поэтому произведение всех четырех чисел - положительный. Следовательно, данный результат является положительным: -2 ∙ 2 ∙ (-1) ∙ (-5) ∙ (-4) -5 ∙ 10 > 0.

2. В данном произведении 5 отрицательных множителей, поэтому:

6 ∙ (-5) ∙ (-0,2) ∙ (-1) ∙ 7 ∙ 10 ∙ (-3) < 0.

Обратите внимание:

Произведение парного количества отрицательных множителей - положительный;

Произведение нечетного числа отрицательных множителей - отрицательный.

Узнайте больше

Индийские математики сформулировали правила умножения, деление, вычитание, сложение рациональных чисел. В таблице 14 вы видите, какими соображениями они пользовались во время умножения рациональных чисел.

Таблица 14

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Назовите компоненты действия умножения.

2. Как умножить два отрицательных числа?

3. Сформулируйте правило умножения чисел с разными знаками.

4. Сформулируйте правило умножения двух отрицательных чисел.

5. Как определить знак произведения по знакам и множителей?

6. Чему равна произведение некоторого числа и числа 0? числа 1? числа-1 ?

7. Что можно сказать о множители, если их произведение равно нулю?

8. Сформулируйте и запишите переставной закон умножения.

9. Сформулируйте и запишите связующий закон умножения.

10. Сформулируйте и запишите распределительный закон умножения относительно сложения.

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1236". Дано два числа с разными знаками. Является ли правильным утверждение:

1) произведение данных чисел является положительным числом;

2) произведение данных чисел является числом отрицательным?

1237". Даны два отрицательных числа. Является ли правильным утверждение:

1) произведение данных чисел является числом отрицательным;

2) произведение данных чисел является числом положительным?

1238". Сергей рассуждает так: если произведение a ∙ b положительный, то числа а и Смогут быть только положительными. Прав ли Сергей?

1239". Виталий рассуждает так: если произведение а ∙ b отрицательный, а - положительное число, то число b может быть только отрицательным. Прав ли Виталий?

1240". Является ли правильным утверждение: если произведение а ∙ b равен нулю, то:

1) либо а, либо b равно нулю;

2) одновременно а и b равны нулю;

3) а и b не равны нулю?

1241". Правильно, что: 1) -5 ∙ 0 = 5; 2) 0 ∙ (-3) = 0?

1242°. Замените сумму произведением и вычислите:

1) 15+15+ 15+15+15+15;

2)-7+(-7)+ (-7)+ (-7)+ (-7).

1243°. Замените сумму произведением и вычислите:

1) 1,2+ 1,2 + 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2;

2)-5+ (-5)+ (-5)+ (-5)+ (-5)+ (-5).

1 244°. Найдите сумму восемнадцати слагаемых, каждый из которых равен:

1)1; 2) -2;

1245°. Выполните умножение;

1246°. Выполните умножение:

1) -4 ∙ 0,25; 2) 5,6 ∙ (-0,5); 3)-7,3 ∙ 20;

1247°. По данным таблицы 15 найдите значение выражения.

Таблица 15

1248°. Вычислите:

1) -4 ∙ (-25); 3)-0,04 ∙ (-2,5); 5)-0,6 - (-5);

2)-12 ∙ (-100); 4)-1,3 ∙ (-0,01); 6)-0,01 ∙ (-130).

1249°. Вычислите:

1) -2 ∙ (-44); 3) -0,21 -(-3);

1250°. По данным таблицы 16 найдите значение выражения.

op">

1251°. Выполните умножение:

1)10 - (-4); 2) -10 ∙ 4; 3) -10 ∙ (-4); 4)10-4.

1252°. Вычислите:

1253°. По данным таблицы 17 определите знак числа b .

Таблица 17

1254°. По данным таблицы 18 определите знак числа Ь.

Таблица 18

1255°. Найдите х, если:

1) 2 ∙ х = 0; 2) -7 ∙ х = 0;

3)0,84-х = 0;

1256°. Решите уравнение:

1)-5 ∙ х = 0; 2) 0.47 ∙ х = 0 ;

1257°. Вычислите:

1) - 56 ∙ (-1); 2) 1 ∙ 56; 3)-1 ∙ 56 .

5)0,92 ∙ 1; 6) - 1 ∙ (- 53,9);

1258°. Начертите в тетради и заполните таблицу 19.

1259°. Сравните значения выражений:

1) -8 ∙ 2 и 2 ∙ (-8); 2) 3 ∙ (-16) и -16 ∙ 3.

1260°. Сравните значения выражений:

1) -4 ∙ 9 и 9 ∙ (-4); 2)11 ∙ (-22) и -22 ∙ 11.

1261°. Вычислите удобным способом:

1262 Вычислите:

1263°. Убедитесь в правильности равенства (а + b ) ∙ с = ac + bc , если:

1) а = -3, b = - b , с = 8; 2) а = 4,5, b = -1,6, с = 2.

1264°. Вычислите, воспользовавшись распределительным законом:

1265°. Вычислите, воспользовавшись распределительным законом: 3) - 1000 ∙ (0,3 - 0,031).

1266°. Определите знак произведения:

1) -4 ∙ 1 ∙ (-11) ∙ (-34780);

2) 5 ∙ (-17) ∙ (-2) ∙ (-578) ∙ 121- (-15) ∙ (-7) ∙ (-2);

3)-3,98 ∙ (-13) ∙ 3 ∙ (-0,4)- (-94) ∙ 45,6;

1267°. Положительным или отрицательным является произведение:

1) 14 ∙ (-124) ∙ (-5) ∙ (-1) ∙ (-9) ∙ 25 ∙ 48 ∙ (-888) ∙ (-43) ∙ 68;

2)-12,76 - (-35)- 19-(-0,0054) -7-61 -358?

1268°. Сравните значения выражений:

1) -8 ∙ (-2) и 8 ∙ 2; 2) 30 ∙ (-10) и -10 ∙ 30; 3) -15 ∙ (-6) и -15 ∙ 6.

1269°. Решите уравнение:

1) x : (-8) = 0,6; 2)х: 12 = -2; 3) х: (-0,5) =-6.

1270°. Решите уравнение:

1) х: (-10) = 3,4; 2)х:3 = -9; 3) х: (-0,1) =-2.

1271. Найдите сумму восемнадцати слагаемых, каждый из которых равен:

1272. Вычислите:

1)-12 ∙ 35-34 ∙ (-2);

2)-3,4 + 7 ∙ (-0,5);

1273. Вычислите:

1)9-32-32; 2)-13- 14 +5-(-10); 3)-6- 15-4.

1274. Дано числа: 0; 1; -2; 3; 4; 5; -6; 7; 8 и -9. Что больше: произведение этих чисел или их сумма?

1275. Дано числа: 1; -2; 3; 4; 5;-6; 7; 8 и-9. Что больше: произведение этих чисел или их сумма?

1276. Вычислите:

1277. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

1) -2,5 ∙ (-3,2) ∙ 4 и 1,9 ∙ (-9,5)-2;

3) -7,5 ∙ (-4) ∙ (-2) ∙ (-18) ∙ 5 и -6 ∙ (-15) ∙ (-1376);

4)-49 ∙ (-45) ∙ 0 ∙ 318 и -1 ∙ 23 ∙ (-5) ∙ 629.

1278. Найдите произведение всех натуральных чисел, которые больше числа -9 и меньше числа 9.

1279. Найдите произведение всех целых чисел, которые больше числа -4 и меньше числа 11.

1280. На сколько произведение чисел 3,7 и -5,6 меньше:

1) меньшего из них; 2) большего из них; 3) их суммы?

1281. На сколько произведение чисел -3 и -4 больше:

1) больше; 2) меньше; 3)"их сумму?

1282. Вычислите удобным способом:

1283. Запишите каждое из чисел -3; -1,7; 8; -0,64; 0,3 в виде произведения двух множителей, один из которых равен: 1) -1; 2) 1.

1284. Запишите в виде произведения двух одинаковых множителей число:

1) 1; 2) 25; 3) 64; 4) 121. Сколькими способами это можно сделать?

1285. Запишите в виде произведения двух противоположных чисел данное число:

1) -9; 2) -36; 3) -81; 4) -100.

1286. Решите уравнение:

1)-2 ∙ (x -4) = 0; 4) |х-5| ∙ (-6) = 0;

2) 12 ∙ (7,8 + х) = 0; 5) (8-х) - |-0,72| =0;

3)23,4 ∙ | x | =0; 6) (х - 234) ∙ (-234) = 0.

1287. Решите уравнение:

1)41 ∙ (х-41) = 0; 2) -77 ∙ (0,25 + х) = 0; 3) |-57| -|х|=0.

1288. Положительным или отрицательным является число d , если:

1) -3 d < 0; 3) 4,3 ∙ (-d ) > 0;

2) -d < 0; 4)-3 ∙ (-d ) > 0?

1289. Положительным или отрицательным является произведение целых чисел, отличных от нуля, больше число -100 и меньше от числа 50?

1290. О числа k , l , m и n известно, что kl < 0, lm > 0, mn < 0. Определите знак произведения kn .

1291. Положительным или отрицательным является значение выражения:

1) а b - 7с, если а, b и с - отрицательные числа;

2) 5 l - mn , если l , m и n - отрицательные числа?

1292*. Найдите 20 % числа х, если:

1293*. Что надо вставить вместо звездочек, чтобы получить правильное равенство:

1)(*-*) ∙ 11 =- 88 - 66 m ; 2) (-15+ *) ∙ 4 = *-4а?

1294*. Решите уравнение:

1) х(х - 3,7)(х + 9,2) = 0; 3) (|х| -0,3)(5-х)(х-16,5) = 0;

2) |х-23| ∙ (х + 12,7) = 0; 4)(|х| + 4) х (6,7 -х) = 0,

1295*. Среди трех различных чисел а,Ь и с а число является наименьшим, а число с - наибольшим. Определите знак числа Ь, если:

1) abc < 0 и с > 0; 2) abc < 0 и ab < 0; 3) abc > 0 и а + с = 0.

1296*. Вычислите:

1297*. Решите уравнение:

1) |х-4|= 1; 2) 3 ∙ |х + 1 | = 6; 3)|х-2|=3.

Отметьте на координатной прямой точки, координаты которых являются корнями уравнения. Найдите произведение корней уравнения. Найдите расстояние между обозначенными точками и координаты середины отрезка, что соединяет эти точки. Какую закономерность вы заметили?

1298*. На доске записаны десять плюсов и семнадцать минусов. Разрешается одновременно стереть любые два знака, записав вместо одинаковых знаков плюс, а вместо разных - минус. Какой знак останется на доске после двадцати шести таких операций?

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1299. Друзья выехали на велосипедах из города со скоростью 10 км/ч и проехали с такой скоростью 2,5 часа. Потом друзья проехали ч, увеличив скорость на 2 км/час. Какое расстояние проехали друзья за все время путешествия?

1300. Ширина комнаты - 3,75 м, а ее длина - 5,2 м. Пол в этой комнате решили застелить линолеумом. Цена его составляет 104 грн за квадратный метр. Сколько нужно линолеума для этой комнаты и какова его стоимость?

1301. Мама попросила Олега купить 2 л молока, 1 батон и 1,5 кг печенья и дала ему 90 грн. В магазине молоко стоит 8,45 грн за литр, батон - 4,3 грн, а печенье - 25,8 грн за килограмм. Сколько денег осталось у Олега после того, как он сделал покупки?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1302. Вычислите: 1) (72: 9 + (680 - 34): 17): 23;

2)(11 + 64): 25- 11 -225: 15.

1303. Найдите значение выражения:

1304. Выполните деление с остачею: 1) 3784: 63; 2) 6731: 62.

1305. Число 116 разделили на некоторое число и получили в неполной доле и остатка число 2. Найдите делитель.

Умножение отрицательных чисел.

Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел.

Так как произведение положительных чисел — это тоже положительное число, то сделаем ВЫВОД:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное. Модуль этого числа равен произведению модулей данных чисел.

Пример 1. Выполните умножение (устно):

а) -12·(-10); б) -0,05·(-100); в) -3,5·(-2); г) -0,12·(-0,5).

При решении всех примеров пользуемся правилом произведения двух отрицательных чисел . При решением примеров а) и б) применяем правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. При решении примеров в) и г) применим правило умножения десятичной дроби на десятичную дробь. Если забыли, как это делается -

а) -12·(-10)=120; б) -0,05·(-100)=5; в) -3,5·(-2)=7; г) -0,12·(-0,5)=0,06.

Вычислить:

Решение. Смешанное число в примере б) обратим в неправильную дробь. В примере в) вторую степень дроби заменим произведением двух одинаковых дробей. В примере г) четвертую степень дроби представим в виде произведения четырех одинаковых множителей.