Рассмотрим этот алгоритм на примере. Найдем

1-й шаг. Число под корнем разбиваем на грани по две цифры (справа налево):

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани, т. е. из числа 65, получаем число 8. Под первой гранью пишем квадрат числа 8 и вычитаем. К остатку приписываем вторую грань (59):

(число 159 - первый остаток).

3-й шаг. Удваиваем найденный корень и пишем результат слева:

4-й шаг. Отделяем в остатке (159) одну цифру справа, слева получаем число десятков (оно равно 15). Затем делим 15 на удвоенную первую цифру корня, т. е. на 16, так как 15 на 16 не делится, то в частном получается нуль, который записываем как вторую цифру корня. Итак, в частном получили число 80, которое опять удваиваем, и сносим следующую грань

(число 15 901 - второй остаток).

5-й шаг. Отделяем во втором остатке одну цифру справа и полученное число 1590 делим на 160. Результат (цифру 9) записываем как третью цифру корня и приписываем к числу 160. Полученное число 1609 умножаем на 9 и находим следующий остаток (1420):

В дальнейшем действия выполняются в той последовательности, которая указана в алгоритме (корень можно извлекать с нужной степенью точности).

Замечание. Если подкоренное выражение - десятичная - дробь, то ее целую часть разбивают на грани по две цифры справа налево, дробную часть - по две цифры слева направо и извлекают корень по указанному алгоритму.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Извлеките квадратный корень из числа: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.

Инструкция

Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение - иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число . Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Источники:

  • как вынести из под корня
  • Квадратный корень из произведения

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.

Инструкция

Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .

Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.

Полезный совет

При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.

Источники:

  • знак извлечения корня в 2019

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .

Инструкция

Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.

Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.

Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Двучлен.За скобки общий множитель из двух , переменной и числа, которое является общего многочлена. Поэтому, если множитель -двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.

Рассмотрите : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Желательно инженерный – такой, в котором имеется кнопочка со знаком корня: «√». Обычно для извлечения корня достаточно набрать само число, а потом нажать на кнопку: «√».

В большинстве современных мобильных телефонов имеется приложение «калькулятор» с функцией извлечения корня. Порядок нахождения корня числа с помощью телефонного калькулятора аналогичен вышеизложенному.
Пример.
Найти из 2.
Включаем калькулятор (если он выключен) и последовательно нажимаем кнопки с изображением двойки и корня («2» «√»). Нажимать на клавишу «=», как правило, не нужно. В результате получаем число типа 1,4142 (количество знаков и «округленность» зависит от разрядности и настроек калькулятора).
Примечание: при попытке найти корень калькулятор обычно выдает об ошибке.

Если есть доступ к компьютеру, то найти корень числа очень просто.
1. Можно воспользоваться приложением «Калькулятор», имеющемся практически на любом компьютере. Для Windows ХР эту программу можно запустить следующим образом:
«Пуск» - «Все программы» - «Стандартные» - «Калькулятор».
Вид лучше установить «обычный». Кстати, в отличие от реального калькулятора кнопка для извлечения корня помечена как «sqrt», а не «√».

Если добраться до калькулятора указанным способом не , то можно запустить стандартный калькулятор «вручную»:
«Пуск» - «Выполнить» - «calc».
2. Для нахождения корня числа можно также воспользоваться некоторыми программами, установленными на компьютере. Кроме того, программы собственный встроенный калькулятор.

Например, для приложения MS Excel можно проделать следующую последовательность действий:
Запускаем MS Excel.

Записываем в любую клетку число, из которого нужно извлечь корень.

Помещаем указатель клетки на другое место

Нажимаем кнопочку выбора функции (fx)

Выбираем функцию «КОРЕНЬ»

В качестве аргумента функции указываем клетку с числом

Нажимаем «ОК» или «Еnter»
Преимуществом данного способа является то, что теперь достаточно ввести в клетку с числом любое значение, как в с функцией тут же появляется .
Примечание.
Имеется несколько других, более экзотических способа найти корень числа. Например, «уголком», с помощью логарифмической линейки или таблиц Брадиса. Однако, в этой статье эти методы не рассматриваются ввиду их сложности и практической бесполезности.

Видео по теме

Источники:

  • как находить корень числа

Иногда возникают ситуации, когда приходится выполнять какие-либо математические вычисления, в том числе извлекать корни квадратные и корни большей степени из числа. Корень степени "n" из числа "a" представляет собой число, n-я степень которого и есть число "a".

Инструкция

Чтобы найти корень "n" из , сделайте следующее.

Нажмите на своем компьютере «Пуск» - «Все программы» - «Стандартные». Затем войдите в подраздел «Служебные» и выберите «Калькулятор». Можете сделать это вручную: нажмите «Пуск», введите «calk» в строку «выполнить» и нажмите «Enter». Откроется . Для извлечения корня квадратного из какого-либо числа, введите это в строку калькулятора и нажмите кнопку с надписью «sqrt». Калькулятор произведет извлечение из введенного числа корня второй степени, называемого квадратным.

Для того чтобы извлечь корень, степень которого выше второй, нужно воспользоваться другим видом калькулятора. Для этого в интерфейсе калькулятора нажмите кнопку «Вид» и в меню выберите строку «Инженерный» или «Научный». Этот вид калькулятора имеет необходимую для вычисления корня n-й степени функцию.

Для извлечения корня третьей степени (), на «инженерном» калькуляторе наберите нужное число и нажмите кнопку «3√». Для получения корня, степень которого выше 3-й, наберите нужное число, нажмите кнопку со значком «y√x» и затем введите число – показатель степени. После этого нажмите знак равенства (кнопка «=») и вы получите искомый корень.

Если на вашем калькуляторе отсутствует функция «y√x», следующее.

Для извлечения кубического корня введите подкоренное выражение, потом поставьте в чек боксе, который расположен рядом с надписью «Inv», отметку. Этим действием вы переведете функции кнопок калькулятора на обратные, т.е., щелкнув по кнопке для возведения в куб, вы произведете извлечение корня кубического. На кнопке, которая вам

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20 < √676 < 900.

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 < √6889 < 90.
Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.