10.07.2019

Треугольная функция принадлежности нечеткого множества. Основные виды функций принадлежности. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

Определение

Под нечётким множеством понимается совокупность , где X - универсальное множество, а - функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента X нечёткому множеству A.

Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве М. Множество М называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок {0,1}. Если, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество. M={0,1}.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = ; A - нечеткое множество, для которого

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или

А=	x1x2x3x4x5
0,3 0 1 0,5 0,9

Замечание . Здесь знак "+" не является обозначением операции

сложения, а имеет смысл объединения.

Характеристическая функция обычного множества - это функция, устанавливающая принадлежность элемента к множеству. Особенность: носит бинарный характер.

f(x)={1, x принадлежит М; 0, x не принадлежит М.

Функция принадлежности - функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности производного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Степень принадлежности - это любое число из диапазона Z (например, Z=).

Чем выше степень принадлежности, тем в большей мере элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Множество Z называют множеством принадлежностей. Если Z={0,1}, то нечеткое множество F может рассматриваться как обычное (четкое) множество.

2. Какие нечеткие числа называют нормальными, унимодальными и выпуклыми?

Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество

Supp(F)={x|f(x)>0}, для любого x принадлежащего Е.

Нечеткое множество называется пустым, если его носитель тоже пустое множество.

F=пустое множество <=> supp (F)=пустое множество, то есть f(x)=0 для любого x от Е.

Нечеткое множество является унимодальным , если mA(x)=1 лишь для одного x из E.

Элементы x из Е для которых f(x)=0,5 называются точками перехода множества F.

Высотой нечеткого множества F называется верхняя граница его функции принадлежности hgt (F) = sup x из E f(x).

Нечеткое множество F называется нормальным , если его высота равна единицы. В противном случае оно называется субнормальным.

Нормализация - это преображение субнормального нечеткого множества F в нормальное F определяется так:

F=norm (F) <=> f(x)=f(x)/hgt(F), для любого x из Е.

3. Дайте определение Нечеткие числа (L-R)-типа.

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Нечеткие числа и интервалы, которые наиболее часто используются для представления нечетких множеств в нечетком моделировании, являются нормальными. Однако данные выше определения нечеткого числа и нечеткого интервала слишком общие, что затрудняет их практическое использование. С вычислительной точки зрения удобно использовать более конкретные определения нечетких чисел и интервалов в форме аналитической аппроксима-ции с помощью так называемых (L-R )-функций. Получаемые в результате нечеткие числа и интервалы в форме (L-R) -функций позволяют охватить достаточно широкий класс конкрет-ных функций принадлежности. Определение 6.14. Функция L-muna (а также и R-muna), в общем случае определяется как произвольная функция L: R → и R: /R →, заданная на множестве действительных чисел, невозрастающая на подмножестве неотрицательных чисел R+ и удовлетворяющая следующим дополнительным условиям: L(-x)= L(x), R(-x)=R(x) - условие четности; (6.7) L (0)=R (0) = 1 -условие нормирования. (6.8) Примечание: Иногда в литературе можно встретить еще одно условие, которому долж-ны, по мнению некоторых авторов, удовлетворять функции (L-R )-типа: L (1) = R (1) = 0. По-скольку с одной стороны это условие существенно ограничивает класс функций (L-R )-типа, а с другой стороны, рассматриваемые ниже треугольные нечеткие числа и трапециевидные не-четкие интервалы согласуются с выполнением этого свойства, мы не будем его включать в определение функций (L-R )-типа.

Пусть Х = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } , M = ; A - нечеткое множество, для которого

 A (x 1 )=0,3;  A (x 2 )=0;  A (x 3 )=1;  A (x 4 )=0,5;  A (x 5 )=0,9 .

Тогда A можно представить в виде: A = {0,3/ x 1 ; 0/ x 2 ; 1/ x 3 ; 0,5/ x 4 ; 0,9/ x 5 }, или A = 0,3/ x 1 + 0/ x 2 + 1/ x 3 + 0,5/ x 4 + 0,9/ x 5 , или таблицей (табл.1)

Таблица 1

Представление нечеткого множества А

Замечание. Здесь знак "+ " не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

При построении функций принадлежности используются прямые и косвенные методы. При использовании прямых методов эксперт либо просто задает для каждого x  Х значение  A (x ) , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значе-ния, соответствующие значениям функции принадлежности 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы (табл. 2)

Таблица 2

Шкалы в задаче распознавания образов


x 1	высота лба
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
x 3	длина носа	короткий
x 4	разрез глаз
x 5	цвет глаз
x 6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ
x 8	цвет лица
x 9	очертание лица	овальное	квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает  A (x ) на , формируя векторную функцию принадлеж-ности {  A (x 1 ) ,  A (x 2 ) ,...,  A (x 9 )}.

При построении функций принадлежности используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый » или «этот человек не лысый », тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение  « лысый» (данного лица).

Введем следующие обозначения: K - количество экспертов; - мнениеk -го эксперта о наличии у элемента u j свойств нечеткого множества suppI j , k =1,…,K , i =1,…,n , j =1,…,m ,. Будем считать, что экспертные оценки бинарные, т.е.  { 0,1} , где 1 (0 ) указывает на наличие (отсутствие) у элемента u j свойств нечеткого множества suppI j . По результатам опроса экспертов, степени принадлежности нечеткому множеству suppI j , j =1,…,m рассчитываются следующим образом:

, i= 1,…,n. (1)

Пример. Построить функции принадлежности значений «низкий», «средний», «высокий», используемых для лингвистической оценки переменной «рост мужчины». Результаты опроса пяти экспертов приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты опроса экспертов

	Значения
Эксперт 1


Эксперт 2


Эксперт 3


Эксперт 4


Эксперт 5

Результаты обработки экспертных мнений представлены в табл. 4. Числа курсивом – это количество голосов, отданных экспертами за принадлежность нечеткому множеству соответствующего элемента универсального множества. Числа обычным шрифтом – степени принадлежности, рассчитанные по формуле (1). Графики функций принадлежности показаны на рис. 6.

Таблица 4

Результаты обработки мнений экспертов

Значения

Рис. 6. Функции принадлежности нечетких множеств из примера

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например,  A (x i ) =w i , i =1,2,...,n , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A ={a ij }, где a ij =w i /w j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, a ij =1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в  раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w , удовлетворяющего уравнению вида А w = max w , где  max - наибольшее собственное значение матрицы A . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Определение

Для пространства рассуждения и данной функции принадлежности нечёткое множество определяется как

Функция принадлежности количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения нечёткому множеству . Значение означает, что элемент не включен в нечёткое множество, описывает полностью включенный элемент. Значения между и характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечёткое множество и классическое, четкое (crisp ) множество

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности справедливо утверждение, что существует такой , при котором .

s

Функция принадлежности класса s определяется как:

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s :

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

См. также

Грубое множество
Эвентология

Внешние ссылки

Литература

Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. - М .:Горячая линия - Телеком, 2004. - 452 с - ISBN 5-93517-103-1

Wikimedia Foundation . 2010 .

Теория нечёткой меры
Капель

Смотреть что такое "Функция принадлежности" в других словарях:

функция принадлежности - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN membership function … Справочник технического переводчика

Функция и поле речи и языка в психоанализе - «ФУНКЦИЯ И ПОЛЕ РЕЧИ И ЯЗЫКА В ПСИХОАНАЛИЗЕ» («Fonction et champ de la parole et du langage en psychanalyse») программа переосмысления психоанализа, выдвинутая в 1953 франц. психиатром и психоаналитиком Жаком Лаканом. Этот текст был… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Характеристическая функция (нечёткая логика) - Функция принадлежности нечёткого множества это обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому… … Википедия

Индикаторная функция

Характеристическая функция множества - Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества это функция, определенная на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A. Термин характеристическая функция уже занят в теории… … Википедия

ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ - комплексного переменногог регулярная однолистная функция в единичном круге, отображающая единичный круг на нек рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности… … Математическая энциклопедия

Нечёткое множество - Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

Нечеткие множества

Нечеткое множество - Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткие множества - Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Решая задачи, приходится встречаться с ситуациями, когда элемент в некоторой степени принадлежит данному множеству. Например, определяется множество небольших величин. Кто может точно сказать, начиная с какого значения величины можно считать величину небольшой? На этот вопрос нет однозначного ответа. Поэтому одним из способов математического описания нечеткого множества является определение степени принадлежности элемента нечеткому множеству. Степень принадлежности задается числом из интервала . Границы интервала - 0, 1, означают, соответственно, «не принадлежит» и «принадлежит». В разд. 1 принадлежность элемента x множеству А записывается в формализованном виде xÎА . Данная запись может быть представлена в виде характеристической функции:

Принадлежность множеству может быть представлена в графической виде. Например, в одномерном арифметическом пространстве R заданы два множества AÎR и BÎR . Принадлежность xÎА можно представить в виде прямоугольника П А , показанного на рис. 2.1, а принадлежность xÎВ - в виде прямоугольника П В , показанного на рис. 2.2. Принадлежность x объединению множеств xÎАÇВ представлена прямоугольником П А Ç В , показанны на рис. 2.3. Принадлежность двухмерному множеству будет представлена параллепипедом в трехмерном пространстве, а принадлежность n –мерному множеству – (n +1)-мерным параллепипедом.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Нечетким подмножеством A множества X называется множество двоек . Функция m A , являющаяся отражением элементов xÎX в элементы множества (m a:X®), называется функцией принадлежности нечеткого множества , а X - базовым множеством.

Конкретное значение m A (x) , заданное для элемента x , называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Hосителем нечеткого множества называется подмножество ÎX , содержащее те элементы xÎX , для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Пример. Пусть X - множество натуральных чисел X={1,2,3, ...,x max } , предназначенных для определения цены изделия. Нечеткое подмножество «небольшая цена» может быть задано в следующем виде:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» показана на рис.2.4.

Если рассматривать множество X как непрерывное множество натуральных чисел, то принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» будет иметь вид непрерывной функции, как показано на рис.2.5. Рассмотрим свойства нечетких множеств.

Высота (height - hgt) нечеткого множества : .

Нечеткое множество с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 - субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества : core ={xÎX/m A (x)=1} . Основание (support – supp) нечеткого множества : supp ={xÎX/m A (x)>1} . Поперечными точками (crossover point) нечеткого множества называется совокупность core {xÎX/m A (x)=0,5} . Уровень a , или a –разрез (сечение) нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)³a} . a –разрез нечеткого множества еще обозначают: a -cut . Строгий a –разрез нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)>a} . Выпуклое (convex) нечеткое множество : "x 1 ,x 2 ,x 3 ÎX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым. На рис. 2.6 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.

Отдельным видом нечеткого множества А является нечеткое число (нечеткий синглтон) при выполнении условий : А является выпуклым, высота является нормальной (hgt А=1 ), m А (x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или центр множества A (core A ) содержит одну точку. Пример принадлежности x нечеткому числу «приблизительно 5» показан на рис. 2.7.

Другим видом нечеткого множества является задание некоторых переменных в виде нечеткого интервала. Известно определение.

Нечеткий интервал – это выпуклая нечеткая величина A , функция принадлежности которой квазивогнута, так что

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Тогда нечеткое число - полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала – это очень удобная форма для формализации неточных величин. Обычный интервал часто является неудовлетворительным представлением, т.к. необходимо фиксировать его границы. Могут быть оценки завышенными или заниженными, что вызовет сомнение в результатах расчетов. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала будет одновременно и завышенным, и заниженным, а носитель (базовое множество) нечеткого интервала будут выбран так, что ядро содержит наиболее правдоподобные значения и будет гарантировано нахождение рассматриваемого параметра в требуемых пределах.

Задание нечетких интервалов может быть осуществлено экспертами следующим образом. Нечеткий интервал задают четверкой параметровМ= () (см. рис.2.8), где и - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечеткого интервала, а a и b представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости. Задание нечеткого интервала может быть выполнено следующими способами.

Вариант 1. Нижнее и верхнее модальные значения интервала совпадают, а a и b равны нулю. Значение x определяется с неопределенностью равной нулю. Для задания нечеткой входной переменной на множестве X определим формально нечеткий интервал =(x min =x, x m ax =x,0,0), где x imin - нижнее модальное значение , а x m ax - верхнее модальное значение .

Четкое задание x на множестве значений X, как это показано на рис. 2.9, является частным случаем задания нечеткого интервала, причем, m A (x) - значение степени принадлежности интервалу.

Вариант 2. Задание x определяется с неопределенностью отличной от нуля. Пример показан на рис. 2.10. Нечеткий интервал определен, как =(x min , x m ax =x min ,0,b), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Вариант 3. Задание x может быть получено из интервала [А,В] . Пример показан на рис. 2.11. Степень принадлежности равна единице, причем =(А=x min ,В=x m ax ,0,0) , где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение входной переменнойx ), В – верхнее модальное значение (максимальное значение входной переменнойx .

Вариант 4. Значение входной переменнойx i может быть получено из интервала значений [А,С] [А,В] (A£B£С). Формально нечеткий интервал определен в виде =(А=x min ,В=x max ,0,b) . Пример задания показан на рис. 2.12, гдеb=С-В.

Вариант 5. Значение входной переменнойq i экспертами может быть определено из интервала значений [А,D] таким образом, что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (A£B£С£D). Формально нечеткий интервал в этом случае определим в виде =(B=x min ,C=x max ,a,b) . Пример задания нечеткого интервала показан на рис. 2.13, гдеa=B-A, b=D-C.

Рассмотрим операции над нечеткими интервалами.

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Операция нечеткого суммирования для нечетких интервалов определяется следующим образом. Сумма двух нечетких интервалов М i =() и М j =(), записываемая в виде М i М j , также есть нечеткий интервал М i М j = , где a=a i + a j ; b=b i + b j ; , . Сумма n нечетких интервалов определится формулами:

Если , a , где и - выпуклые интервалы, то , причем - совокупность интервалов, которая определена по предыдущим формулам.

Операция разности нечетких интервалов определяется следующим образом. Нечеткая разность двух нечетких интервалов и есть трапециевидный интервал , для которого c=|a-h|, d=|b-l|, , , где - соответственно нижние модальные значения нечетких интервалов , - верхние модальные значения нечетких интервалов .

Принятие решений связано с осуществлением сравнений полученного нечеткого интервала либо экспертами, либо по данным моделирования с действительным числом. Операция сравнения нечеткого интервала и действительного числа выполняется следующим образом.

Действительное число А представим в виде интервала (А,А,0,0) . Определение меньшего или большего значения нечеткого интервала по отношению к действительному числуА производится по формулам:

А , если |A-()|£|A-()| и A£ ;

А , если |A-()|³|A-()| и A³ .

Для нечетких интервалов существует операция произведения и деления. Произведение двух нечетких интервалов и определится в виде трапециевидного интервала , параметры которого определяют по формулам:

c=ah, d=bl, ; .

Эти правила для умножения двух нечетких интервалов в зависимости от знаков чисел , , , принимают вид:

Если , то ;

Если , то .

Рассмотрим операцию деления. Деление двух нечетких интервалов и даст трапециевидный интервал , параметры которого определяются следующим образом:

c=ah, d=bl, ; ,

причем в зависимости от знаков чисел , , , данное правило для деления двух нечетких интервалов будет выглядеть так:

Если , то ;

Если , то .

Функции принадлежности

Функции принадлежности является субъективным понятием, т.к. они определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности .

Будем считать, что функция принадлежности - это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры, т.е. степень принадлежности m A (x) элемента x нечеткому множеству есть субъективная мера того, насколько элемент xÎX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством .

Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру.

Существует два класса методов построения функций принадлежности множества : прямые и косвенные.

2.2.1. Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов.

Прямой метод для одного эксперта состоит в том что эксперт каждому элементу xÎX ставит в соответствие определенную степень принадлежности m A (x) , которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества .

Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X . Возможна следующая процедура построения функции принадлежности m A (x) .

Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xÎX нечеткому множеству . Пусть часть экспертов, состоящая из n 1 человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n 2 =m-n 1 ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что m A (x)=n 1 /m .

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются весовые коэффициенты a i Î . Коэффициенты a i отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству определится

где p i =1 при положительном ответе и p i =0 при отрицательном ответе эксперта.

Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме т.к. человеку присуще ошибаться.

2.2.2. Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности m A (x) , xÎX на ряд более простых подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. Рассмотрим его суть.

На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений M=½½m ij ½½ , в которой элементы m ij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов x i ÎX подмножеству по сравнению с элементами x j ÎX . Функция принадлежности m a (x) определяется из матрицы M . Предположим, что известны значения функции принадлежности m A (x) для всех значений xÎХ . Пусть m A (x)=r i , Тогда попарные сравнения определяются m ij =r i /r j . Если отношения точны, то получается соотношение в матричном виде MR=n*R , где R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n - собственное значение матрицы M , по которому восстанавливается векторR с учетом условия Эмпирический вектор R имеет решение в задаче на поиск собственного значения M*R=l max , где l max - наиболее собственное значение. Задача сводится к поиску вектора R , который удовлетворяет уравнению

M*R=l max *R . (2.1)

Это уравнение имеет единственное решение. Значения координат собственного вектора, соответствующие максимальному собственному значению l max , деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. Понятия, которые предложены экспертам, а также соответствие этих понятий величинам m ij , приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы
	Одинаковая значимость	Элементы равны по значению
	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента другому, но показания неубедительны.
	Существенно или сильнее значимее	Существует хорошее доказательство и логические критерии, которые могут показать, что один из элементов более важен
	Очевидно значимее	Существует убедительное доказательство большей значимости одного элемента по сравнению с другим
	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другим
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Необходим компромисс
Обратные величины ненулевых значений	Если оценка m ij имеет ненулевое значение, приписанное на основании сравнения элемента r i с элементом r j , то m ij имеет обратное значение 1/m ij .

Производится опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, величина m A (x i) превышает величину m A (x i) , т.е. насколько элемент x i более значим для понятия, описываемого нечетким множеством , чем элемент x j . Опрос позволит построить матрицу попарных сравнений, которая имеет вид

Определение элемента r i ÎR происходит следующим образом. Вычисляется сумма каждого j -го столбца матрицы M. Из построения матрицы M следует, что Отсюда следует, что r i =1/k i .

Определив все величины k j , получим значения элементов вектора R . Исходя из того, что матрица M , как правило, построена неточно, найденный вектор R используется как начальный в итерационном методе решения уравнения (2.1).

2.2.3. Виды функций принадлежности. Выше было определено, что функции принадлежности могут иметь трапецеидальный вид (см. рис. 2.7), треугольный вид (см. рис. 2.7). Функции принадлежности могут иметь также и колоколообразный вид (рис. 2.14).

Для колоколообразного вида функция принадлежности определена выражением

где m - заданное число, d - показатель нечеткости.

Для трапецеидального вида функция принадлежности определена выражением: m A (x)=min{max(a-k|x-b|;0);1}, где a , b - заданные числа, k - показатель нечеткости.

При решении задач нечеткого управления могут быть применены и другие функции:

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1 , k>1.

Нечеткое множесто с одномерной функцией принадлежности m A (x) принято называть нечетким множеством первого рода .

Существуют нечеткие множества второго рода , для который функция принадлежности: .

Двухмерное нечеткое множество A определено в следующем виде: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)) , где A 1 ´A 2 - декартово произведение, m A (x 1 ,x 2)=min{a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0)); - двухмерная функция принадлежности трапецеидального вида, в которой: a , b , c - заданные числа, k 1 , k 2 - показатели нечеткости. Пример задания двухмерной функции принадлежности трапецеидального вида приведен на рис. 2.15.

Двухмерная функция принадлежности колоколообразного вида определена формулой:

где m 1 , m 2 - заданные числа, d 1 , d 2 - показатели нечеткости.

Нечеткое множество (fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть X – универсальное (базовое) множество, x – элемент X , а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар
A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция, принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R , и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из X нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности ), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M = 0 ; 1 . Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = 0 ; 1 , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Степень принадлежности μ A x является субъективной мерой того, насколько элемент x ∈ X , соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A .

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество S A универсального множества X со свойством μ A x > 0 , т.е. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество S A универсального множества X , для элементов которого функция принадлежности μ A x > 0 больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают support A .

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μ A x / x при помощи символа ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . При этом подразумевается, что элементы x i упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е. x 1 < x 2 < x 3 < … < x n .

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑ , можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x .

Пример. Пусть универсальное множество X соответствует множеству возможных значений толщин изделия от 10 мм до 40 мм с дискретным шагом 1 мм. Нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «малая толщина изделия», может быть представлено в следующем виде:

A = 1 / 10 ; 0,9 / 11 ; 0,8 / 12 ; 0,7 / 13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; … ; 0 / 40 ,

A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

S A = 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40 , т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок S A = 10 ; 16 .

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μ A x , заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … – множество целых неотрицательных чисел. Нечеткое множество ital малый можно определить как μ ital малый x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным , если его носитель S A является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность card A = card S A . Нечеткое множество A называется бесконечным , если его носитель S A не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . . , причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. Несчетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума , т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . .

Пример. Нечеткое понятие «очень маленькое количество деталей» может быть представлено в виде конечного нечеткого множества A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … с мощностью card (A) = 6 и носителем S A = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , который является конечным четким множеством. Нечеткое понятие «очень большое количество деталей» может быть представлено в виде A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечеткого множества с бесконечным счетным носителем S A ≡ N (множество натуральных чисел), который имеет счетную мощность в обычном смысле.

Пример. Несчетное нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «очень горячо», задано на универсальном множестве значений температур (в Кельвинах) температурой x ∈ [ 0 ; ∞) и функцией принадлежности μ A = 1 − e − x , с носителем S A ≡ R + (множество неотрицательных действительных чисел), который имеет несчетную мощность континуума.

Величина sup x ∈ X μ A x называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x < 1 субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым , если ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечеткое множество называется унимодальным , если μ A x = 1 только для одной точки x (моды ) универсального множества X .

Нечеткое множество называется точечным , если μ A x > 0 только для одной точки x универсального множества X .

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множества X , называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , где A 0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар μ A x / x , составляющих нечеткое множество A , для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию μ A x ≥ α .

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Элементы x ∈ X , для которых μ A x = 0,5 называются точками перехода нечеткого множества A .

Ядром нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество core A , элементы которого удовлетворяют условию core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Границей нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество front A , элементы которого удовлетворяют условию front A = x ∈ X ∣ 0 < μ A x < 1 .

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 , M = 0 ; 1 . Нечеткое множество несколько можно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; его характеристики: высота = 1 , носитель = 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , точки перехода = 3 ; 8 , ядро = 5 ; 6 , граница = 3 ; 4 ; 7 ; 8 .

Нечеткое множество A , определенное на универсальном множестве X , называется выпуклым , если μ A x ≥ min μ A a ; μ A b ; a < x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств

Рейтинг: