Теория графов для начинающих. Практическое применение теории графов. Графы и сетевое планирование

Учебное издание

Ююкин Николай Алексеевич

ЛР № . Подписано в печать

Уч. Изд. л.. , .

Воронежский государственный технический университет

394026 Воронеж, Московский просп. 14

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Н.А. Ююкин

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Часть 1. Элементы теории графов

Учебное пособие

Н.А. Ююкин

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Часть 1. Элементы теории графов

Учебное пособие

Воронеж 2004

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие может быть использовано в курсе “Дискретная математика” студентами ВГТУ, обучающимися по специальностям:

090102 – Компьютерная безопасность;

090105 – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем;

090106 - Информационная безопасность телекоммуникационных систем.

Дисциплина “Дискретная математика” обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным, общеобразовательным стандартом, и при этом содействует получению фундаментального образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.

Теория графов является эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Она используется при проектировании интегральных схем и схем управления, исследовании автоматов и логических цепей, в системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных и информационных сетей, в схемотехническом и кон- структорско-топологическом проектировании и т.д.

В учебном пособии излагаются основы, базовые методы и алгоритмы теории графов. Здесь представлены н-графы и орграфы; изоморфизмы; деревья; эйлеровы графы; планарные графы; покрытия и независимые множества; сильная связность

в орграфах; анализ графа цепи Маркова; алгоритмы поиска кратчайших путей в графах; задача поиска гамильтонова цикла

в графе; задача о коммивояжере; перечисление графов и отображений; экстремальные задачи; оптимизационные задачи; универсальные задачи; метод ветвей и границ; а также вырабатываются практические навыки по использованию вышеприведенных понятий.

Целью курса является формирование у студентов теоретических знаний, практических умений и навыков в области моделирования процессов и явлений в естествознании и техни-

ке, с возможностью употребления математических символов для выражения количественных и качественных отношений объектов, необходимых для выполнения служебной деятельности в области защиты информации на высоком профессиональном уровне.

Достижению данной цели служат следующие задачи:

изучить максимально широкий круг понятий теории графов;

получить навыки решения учебных и практических задач;

овладеть методами оптимизации;

выработать навыки постановки и решения информационных задач, моделирования и анализа информации с помощью графов.

Дисциплина “Дискретная математика” относится к числу прикладных математических дисциплин. Она основывается на знаниях, приобретенных студентами при изучении дисциплин “Алгебра” и “Математическая логика и теория алгоритмов”. Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины “Дискретная математика” используются при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

1.1. Задачи теории графов.

Теория графов - это раздел математики, изучающий системы связей между различными объектами, точно так же как это делается с помощью понятия отношения. Однако независимое определение графа упрощает изложение теории и делает её более понятной и наглядной.

Первые задачи теории графов были связаны с решением развлекательных задач и головоломок.

Первая задача . Задача о Кенигсбергских мостах была поставлена и решена Эйлером в 1786 году. Город располагался на берегах и двух островах реки Преголи. Острова между собой и берегами были связаны семью мостами, как показано на рисунке.

Возникал вопрос: можно ли выйдя из дома, вернуться обратно, проходя по каждому мосту ровно один раз?

Вторая задача . Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца.

Требуется провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Задача была

решена Понтрягиным и независимо от него Куратовским в

Третья задача . О четырех красках. Любую карту на плоскости раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом.

Многие результаты теории графов используются для решения практических задач науки и техники. Так, в середине 19 века Кирхгоф применил теорию графов для расчета сложных электрических цепей. Однако, как математическая дисциплина, теория графов сформировалась только в 30-ых годах 20го века. При этом графы рассматриваются как некоторые абстрактные математические объекты. Они применяются при анализе и синтезе цепей и систем, в сетевом планировании и управлении, исследовании операций, программировании, моделировании жизнедеятельности организма и других областях.

1.2. Основные определения.

Графом G= (V,E ) называется совокупность двух множеств - непустого множества вершинV и множества неупорядоченных и упорядоченных пар вершинE . В дальнейшем будут рассматриватьсяконечные графы , т.е. графы с конечным множеством вершин и конечным семейством пар. Неупорядоченная пара вершин называетсяребром , а упорядоченная -дугой .

Обычно граф изображается диаграммой : вершины - точками (или кружками), ребра – линиями произвольной конфигурации. На дуге дополнительно стрелкой указывается её направление. Отметим, что при изображении графа несуще-

ственны геометрические свойства ребер (длина, кривизна), а также взаимное расположение вершин на плоскости.

Вершины, которые не принадлежат ни одному ребру (дуге) называются изолированными. Вершины, соединенные ребром или дугой называютсясмежными . Ребро (дуга) и любая из его двух вершин называютсяинцидентными .

Говорят, что ребро (u,v ) соединяет вершиныu иv , а дуга(u,v) начинается в вершинеu и заканчивается в вершинеv , при этомu называетсяначалом , аv –концом этой дуги.

Пара вершин может соединяться двумя или более ребрами (дугами одного направления). Такие ребра (дуги) называются кратными . Дуга (или ребро) может начинаться или кончаться в одной и той же вершине. Такая дуга (ребро) называетсяпетлёй . Граф, содержащий петли, называетсяпсевдо графом . Граф, имеющий кратные ребра (дуги), называетсямультиграфом .

Граф, без петель и кратных ребер, называется простым . Простой граф называетсяполным , если для любой пары его вершин существует ребро (дуга) их соединяющая. Полный граф, имеющийn вершин обозначается черезK n . Например, это графы

Граф, состоящий из одной изолированной вершины (K 1 ), называетсятривиальным .

Дополнением графаG называется графG , имеющий те же вершины, что и графG и содержащий те ребра, которые нужно добавить к графуG чтобы получить полный граф.

Каждому неорграфу канонически соответствует ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя дугами, инцидентными тем же вершинам и имеющих противоположные направления.

1.3. Степени вершин графа.

Степенью (валентностью) (обозначениеd (v ) илиdeg (v )) вершиныv простого графаG называется число ребер или дуг инцидентных данной вершинеv . При подсчете валентности вершин псевдографа следует учитывать каждую петлю дважды.

Если степени всех вершин н-графа равныk , то граф называетсярегулярным (однородным) степениk . Если степень вершины равна0 , то она являетсяизолированной . Если степень вершины равна1 , то вершина называетсяконцевой (висячей, тупиковой).

Для орграфа число дуг исходящих из вершины v назы-

Теорема Эйлера : Сумма степеней вершин графа равна

удвоенному количеству ребер, т.е.

d (vi )

Где n – число вершин;m – число

ребер (дуг). Данное утверждение доказывается тем, что при подсчете суммы степеней вершин каждое ребро учитывается два раза - для одного конца ребра и для другого.

1.4. Изоморфизм графов.

Граф называется помеченным (или перенумерованным), если его вершины отличаются друг от друга какими либо по-

метками (номерами). Граф считается полностью заданным в строгом смысле , если нумерация его вершин и ребер фиксирована. При этом графыG 1 иG 2 называютсяравными (обозначениеG 1 =G 2 ) ,, если их множества вершин и ребер совпадают. Два графа или псевдографаG 1 = (V 1 ,E 1 ) иG 2 = (V 2 ,E 2 ) называют-

оказываются изоморфными, если существуют взаимно одно-

Таким образом, изоморфными являются графы, которые отличаются только нумерацией вершин и ребер. Изоморфизм графов представляет собой отношение эквивалентности, поскольку оно обладает свойствами:

2 (1) .

Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются "планарными". Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день.

О курсе

Этот курс служит введением в современную теорию графов. Граф как математический объект оказывается полезным во многих теоретических и практических задачах. Дело, пожалуй, в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям нашего мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. В нашем курсе мы, конечно же, обсудим классические задачи, но и поговорим про более недавние результаты и тенденции, например, про экстремальную теорию графов.

Формат

Курс состоит из 7 учебных недель и экзамена. Для успешного решения большинства задач из тестов достаточно освоить материал, рассказанный на лекциях. На семинарах разбираются и более сложные задачи, которые смогут заинтересовать слушателя, уже знакомого с основами теории графов.

Информационные ресурсы

1. В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. Лекции по теории графов. М.: Книжный дом «Либроком», 2009.
2. А. А. Зыков. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969.
3. М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.
4. M. Aigner, G. M. Ziegler. Proofs From THE BOOK. Fourth Edition. Springer, 2009.
5. B. Bollobás. Modern Graph Theory. Springer, 1998.
6. J. A. Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory. Springer, 2008.

Требования

Материал изложен с самых основ и на доступном языке. Целью этого курса является не только познакомить вас с вопросами и методами теории графов, но и развить у неподготовленных слушателей культуру математического мышления. Поэтому курс доступен широкому кругу слушателей. Для освоения материала будет достаточно знания математики на хорошем школьном уровне и базовых знаний комбинаторики.

Программа курса

1. Понятие графа и виды графов.
2. Различные применения графов: от Кенигсберских мостов до Интернета.
3. Связность графа, подграфы и степень вершины.
4. Эквивалентные определения деревьев.
5. Планарность и критерий Куратовского
6. Формула Эйлера.
7. Хроматическое число планарного графа.
8. Перечисление деревьев: код Прюфера и формула Кэли.
9. Формула для числа унициклических графов.
10. Эйлеровы циклы и критерий эйлеровости.
11. Гамильтоновы циклы. Критерий Дирака и критерий Хватала.
12. Паросочетания. Теорема Холла и Кенига.
13. Экстремальная теория графов. Теорема Турана.
14. Аналог теоремы Турана для графов на плоскости.
15. Теория Рамсея. Знакомства среди шести человек.
16. Определение числа Рамсея.
17. Нижняя и верхняя оценки чисел Рамсея.

Результаты обучения

По итогам успешного прохождения курса слушатель познакомится с понятием графа, с видами и различными характеристиками и свойствами графов. Слушатель узнает о задаче о правильных раскрасках и о возможности нарисовать данный граф на плоскости без пересечений ребер, а также научится разными способами определять деревья и перечислять их. Наконец, слушатель познакомится с понятиями эйлеровых и гамильтоновых циклов, паросочетаний и даже прикоснется к задачам экстремальной теории графов.

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

«ТЕОРИЯ ГРАФОВ»

Выполнила:

Зудина Т.В.

Владимир 2001

1. Введение

2. История возникновения теории графов

3. Основные определения теории графов

4. Основные теоремы теории графов

5. Задачи на применение теории графов

6. Применение теории графов в школьном курсе математики

7. Приложение теории графов в различных областях науки и техники

8. Последние достижения теории графов

§1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Историю возникновения этой теории можно проследить по переписке великого ученого. Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года [см. стр. 41-42]:

"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство… После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на следующем рисунке [рис.1], на котором A обозначает остров, а B , C иD – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a , b , c , d , e , f , g ".

(РИСУНОК 1.1)

По поводу обнаруженного им способа решать задачи подобного рода Эйлер писал [см. стр. 102-104]:

"Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешается математиками, чем другими".

Так можно ли обойти Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов? Чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера к Маринони:

"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A , B , C , D . Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста, т. е. Число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетно, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило: если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка. Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов. Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно… если можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать".

Обоснование вышеприведенного правила можно найти в письме Л. Эйлера к своему другу Элеру от 3 апреля того же года. Мы перескажем ниже отрывок из этого письма.

Математик писал, что переход возможен, если на участке разветвления реки имеется не более двух областей, в которые ведет нечетное число мостов. Для того, чтобы проще представить себе это, будем стирать на рисунке уже пройденные мосты. Легко проверить, что если мы начнем двигаться в соответствии с правилами Эйлера, пересечем один мост и сотрем его, то на рисунке будет изображен участок, где опять имеется не более двух областей, в которые ведет нечетное число мостов, а при наличии областей с нечетным числом мостов мы будем располагаться в одной из них. Продолжая двигаться так далее, пройдем через все мосты по одному разу.

История с мостами города Кенигсберга имеет современное продолжение. Откроем, например, школьный учебник по математике под редакцией Н.Я. Виленкина для шестого класса. В нем на странице 98 в рубрике развития внимательности и сообразительности мы найдем задачу, имеющую непосредственное отношение к той, которую когда-то решал Эйлер.

Задача № 569 . На озере находится семь островов, которые соединены между собой так, как показано на рисунке 1.2. На какой остров должен доставить путешественников катер, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Почему нельзя доставить путешественников на остров A ?

(РИСУНОК 1.2)

Решение. Поскольку эта задача подобна задаче о Кенигсбергских мостах, то при ее решении мы также воспользуемся правилом Эйлера. В результате получим следующий ответ: катер должен доставить путешественников на остров E или F , чтобы они смогли пройти по каждому мосту один раз. Из того же правила Эйлера следует невозможность требуемого обхода, если он начнется с острова A .

В заключение отметим, что задача о Кенигсбергских мостах и подобные ей задачи вместе с совокупностью методов их исследования составляют очень важный в практическом отношении раздел математики, называемый теорией графов. Первая работа о графах принадлежала Л. Эйлеру и появилась в 1736 году. В дальнейшем над графами работали Кениг (1774-1833), Гамильтон (1805-1865), из современных математиков – К. Берж, О. Оре, А. Зыков.

§2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Теория графов, как было сказано выше, – дисциплина математическая, созданная усилиями математиков, поэтому ее изложение включает в себя и необходимые строгие определения. Итак, приступим к организованному введению основных понятий этой теории.

Определение 2.01. Графом называется совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами или дугами графа.

Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин ) и отрезков (ребер ), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек (см. рис. 2.1).

(РИСУНОК 2.1)

В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A , B ,C ,D . Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.

Определение 2.02. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными .

Определение 2.03. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль - графом .

Обозначение: O " – граф с вершинами, не имеющий ребер (рис. 2.2).

(РИСУНОК 2.2)

Определение 2.04. Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным .

Обозначение: U " – граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n –угольник, в котором проведены все диагонали (рис. 2.3).

(РИСУНОК 2.3)

Определение 2.05. Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина.

Обозначение: p (A ) – степень вершины A . Например, на рисунке 2.1: p (A )=2, p (B )=2, p (C )=2, p (D )=1, p (E )=1.

Определение 2.06. Граф, степени всех k вершин которого одинаковы, называется однородным графом степени k .

На рисунке 2.4 и 2.5 изображены однородные графы второй и третьей степени.

(РИСУНОК 2.4 и 2.5)

Определение 2.07. Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

На рисунке 2.6 изображен исходный граф G , состоящий из четырех вершин и трех отрезков, а на рисунке 2.7 – дополнение данного графа – граф G " .

(РИСУНОК 2.6 и 2.7)

Мы видим, что на рисунке 2.5 ребра AC и BD пересекаются в точке, не являющейся вершиной графа. Но бывают случаи, когда данный граф необходимо представить на плоскости в таком виде, чтобы его ребра пересекались только в вершинах (этот вопрос будет рассмотрен подробно далее, в параграфе 5).

Определение 2.08. Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским .

Например, на рисунке 2.8 показан плоский граф, изоморфный (равный) графу на рисунке 2.5. Однако, заметим, что не каждый граф является плоским, хотя обратное утверждение верно, т. е. любой плоский граф можно представить в обычном виде.

(РИСУНОК 2.8)

Определение 2.09. Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью .

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. - как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

Основные сферы применения теории графов:

В химии (для описания структур, путей сложных реакций, правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия - сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров у углеводородов и других органических соединений;

В информатике и программировании (граф-схема алгоритма);

В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете;

В экономике;

В логистике;

В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

Выделяют особый вид графа, дерево. Дерево - это связный ациклический граф. Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность - отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути. На Рис 1.3 представлено двоичное дерево .

Двоичное дерево - древовидная структура данных, в которой каждый узел имеет не более двух потомков (детей). Как правило, первый называется родительским узлом , а дети называются левым и правым наследниками .

Матричное представление графов. Матрица инциденций.

Развитие алгоритмических подходов к анализу свойств графов требует определенных способов описания графов, более пригодных для практических вычислений, в том числе с использованием ЭВМ. Рассмотрим три наиболее распространенных способа представления графов.

Предположим, что все вершины и все ребра неориентированного графа или все вершины и все дуги (включая петли) ориентированного графа пронумерованы начиная с единицы. Граф (неориентированный или ориентированный) может быть представлен в виде матрицы типа , где- число вершин, а- число ребер (или дуг). Для неориентированного графа элементы этой матрицы задаются следующим образом:

Для ориентированного графа элементы матрицы задаются так:

Матрицу типа, определенную указанным образом, называютматрицей инциденций.

Пример получения матрицы инциденций. Для изображенного ниже графа (Рис. 2.1 а Рис 2.1 б).

Рис 2.1 а Рис. 2.1 б

Матрица смежности.

Несмотря на то, что представление графа в виде матрицы инциденций играет весьма большую роль в теоретических исследованиях, практически этот способ весьма неэффективен. Прежде всего, в матрице в каждом столбце только два ненулевых элемента, что делает этот способ представления графа неэкономным при большом количестве вершин. Кроме того, решение практических задач с помощью матрицы инциденций весьма трудоемко.

Оценим, например, временные затраты на решение с помощью матрицы инциденций такой простой задачи в ориентированном графе: для данной вершины найти ее "окружение" - множество преемников и множество предшественников вершины, т.е. множество всех вершин, непосредственно достижимых из, и множество всех вершин, из которых она непосредственно достижима.

Для решения этой задачи на матрице инциденций ориентированного графа нужно идти по строке с номером до появления ненулевого элемента (+1 или –1). В случае если обнаружена +1, в соответствующем столбце надо найти строку, в которой записано число –1. Номер строки, в которой стоит это число, дает номер вершины, непосредственно достижимой из данной вершины. Если обнаружена –1, в столбце надо найти строку, в которой записана 1, и получить номер вершины, из которой непосредственно достижима данная вершина. Для получения всего "окружения" надо проделать указанный поиск для всех ненулевых элементов k-й строки. Наиболее трудоемкой процедурой является поиск ненулевого элемента в столбце. Число таких процедур поиска равно степени вершины. Будем в этом случае говорить, что сложность алгоритма анализа окружения вершинысоставляет(порядка).

Можно увидеть, что поиск "окружения" всех вершин займет время порядка произведения числа вершин ориентированного графа на сумму степеней всех вершин, которая, как можно показать, пропорциональна числу дуг ориентированного графа. Таким образом, сложность алгоритма поиска "окружения" составляет , т.е. поиск занимает время порядка произведения числа вершин на число дуг.

Более эффективной матричной структурой, представляющей граф, служит матрица смежности вершин , или булева матрица графа. Это квадратная матрица В порядка n , элементы которой определяют следующим образом:

для неориентированного графа:

для ориентированного графа:

Для изображенного ниже графа (Рис. 2.2 а ) матрицей инциденций будет матрица, представленная на (Рис 2.2 б).

Книга К.Бержа - первая по теории графов на русском языке. Между тем в последние годы интерес к теории резко усилился как со стороны математиков, так и представителей самых различных дисциплин. Это объясняется тем, что методы теории графов успешно решают многочисленные задачи теории электрических цепей, теории транспортных цепей, теории информации, кибернетики и др.
В книге Бержа теория графов излагается последовательно, начиная с самых основ. Предполагается, что читатель обладает весьма скромными математическими познаниями, хотя и имеет некоторую математическую культуру. В текст включены многочисленные, зачастую забавные, примеры. Книга может быть использована для первоначального изучения теории графов. Математики-профессионалы также найдут в ней много интересного.

Алгорифм для непосредственного выявления эйлерова цикла.
[Флёрн (Fleury)]. Рассмотрим связный мультиграф G, все вершины которого имеют четную степень, и постараемся нарисовать его одним росчерком, не прибегая в процессе построения к исправлениям уже начерченной части траектории. Достаточно придерживаться следующего правила:
1 Выходим из произвольной вершины а; каждое пройденное ребро зачеркиваем.
2 Никогда не идем по такому ребру и, которое в рассматриваемый момент является перешейком (т.е. при удалении которого граф, образованный незачеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру),

Соблюдая это правило, мы всегда будем находиться в благоприятном положении, потому что когда мы находимся в х = а, граф (из незачеркнутых ребер) имеет две вершины нечетной степени: х и а; если отбросить изолированные вершины, то останется связный граф, который в силу теоремы 1 имеет эйлерову цепь, начинающуюся в х.

Содержание
Введение
Глава 1. Основные определения
Множества и многозначные отображения
Граф. Пути и контуры
Цепи и циклы
Глава 2. Предварительное изучение квазиупорядоченности
Квазипорядок, определяемый графом
Индуктивный граф и базы
Глава 3. Порядковая функция и функция
Гранди для бесконечного графа
Общие соображения относительно бесконечных графов
Порядковая функция
Функции Гранди
Операции над графами
Глава 4. Основные числа теории графов
Цикломатическое число
Хроматическое число
Число внутренней устойчивости
Число внешней устойчивости
Глава 5. Ядра графа
Теоремы существования и единственности
Приложение к функциям Гранди
Глава 6. Игры на графе
Игра Ним
Общее определение игры (с полной информацией)
Стратегии
Глава 7. Задача о кратчайшем пути
Процессы по этапам Некоторые обобщения
Глава 8. Транспортные сети
Задача о наибольшем потоке Задача о наименьшем потоке
Задача о потоке, совместимом с множеством значений
Бесконечные транспортные сети
Глава 9. Теорема о полустепенях
Полу степени исхода и захода
Глава 10. Паросочетание простого графа
Задача о наибольшем паросочетании
Дефицит простого графа
Венгерский алгорифм
Обобщение на бесконечный случай
Приложение к теории матриц
Глава 11. Факторы
Гамильтоновы пути и гамильтоновы контуры
Нахождение фактора
Нахождение частичного графа с заданными полустепенями
Глава 12. Центры графа
Центры
Радиус
Глава 13. Диаметр сильно связного графа
Общие свойства сильно связных графов без петель
Диаметр
Глава 14. Матрица смежности графа
Применение обычных матричных операций
Задачи на подсчет
Задача о лидере
Применение булевых операций
Глава 15. Матрицы инциденций
Вполне унимодулярные матрицы
Вполне унимодулярные системы
Цикломатические матрицы
Глава 16. Деревья и прадеревья
Деревья
Аналитическое исследование
Прадеревья
Глава 17. Задача Эйлера
Эйлеровы циклы Эйлеровы контуры
Глава 18. Паросочетание произвольного графа
Теория чередующихся цепей
Нахождение частичного графа с заданными степенями вершин
Совершенное паросочетание
Приложение к числу внутренней устойчивости
Глава 19. Фактороиды
Гамильтоновы циклы и фактороиды
Необходимое и достаточное условие существования фактороида
Глава 20. Связность графа
Точки сочленения
Графы без сочленений
h-связные графы
Глава 21. Плоские графы
Основные свойства
Обобщение
Добавления
I. Off общей теории, игр
II. О транспортных задачах
III. Об использовании, понятия потенциала в транспортных сетях
IV. Нерешенные задачи, и недоказанные предположения
V. О некоторых основных принципах подсчета (Ж. Риге)
VI. Дополнения к русскому переводу (А.А. Зыков и Г.И. Кожухин)
Литература
Теория графов и книга К. Бержа (послесловие к русскому переводу)
Указатель символов
Именной указатель
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Теория графов и её применение, Берж К. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.