Теорема о произведении отрезков хорд. I. Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы. Окружность и круг - Документ. Теорема об угле между пересекающимися хордами

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
.

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Следствие 1.
  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


• Следствие 2.
  Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

• Длина окружности:

C = 2∙π∙R

• Длина дуги окружности:

R = С/(2∙π) = D/2

• Диаметр:

D = C/π = 2∙R

• Длина дуги окружности:

l = (π∙R) / 180∙α ,
где α - градусная мера длины дуги окружности)

• Площадь круга:

S = π∙R 2

• Площадь кругового сектора:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

• В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2

• Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

x 2 + y 2 = r 2

Часть 3. Окружности

I . Справочные материалы.

I . Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы.

Окружность и круг

1.Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то

а)длины отрезков от данной точки до точек касания равны;

б)углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

3. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

4. Длина окружности С=2πR;

5. Длина дуги L =πRn/180˚

6. Площадь круга S=πR 2

7. Площадь сектора S c =πR 2 n/360

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами

Теорема 2 (о касательной и секущей). Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.

Теорема 3 . Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, то есть если хорды АВ и СД пересекаются в точке М, то АВ МВ = СМ МД.

Свойства хорд окружности:

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равного расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.

Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами равны.

окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются)касающимися Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, то они называются касающимися внутренне., а если по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне.

II . Дополнительные материалы

Свойства некоторых углов.

Теорема.

1) Угол (АВС), вершина ко­торого лежит внутри круга, является полусуммой двух дуг (АС И DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.

2) угол (АВС), вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, является полуразностью двух дуг (АС и ED), заключенных между его сторонами

Доказательство.

Проведя хорду АD (на том и на другом чертеже), мы получим ∆АВD,

относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним, когда его вершина лежит внутри кру­га, и внутренним, когда его вер­шина лежит вне круга. Поэтому в первом случае: ; во втором случае:

Но углы АDС и DAE, как впи­санные, измеряются половинами дуг

АС и DE; поэтому угол АВС измеряется: в первом случае суммой: ½ ﬞ AС+1/2 ﬞ DE, которая равна 1 / 2 (ﮟ AC+ ﮞ DE), а во втором случае разностью 1 / 2 ﬞ AС­- 1 / 2 ﬞ DE, которая равна 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Теорема . Угол (АCD), состав­ленный касательной и хордой, измеряется половиной ду­ги, заключенной внутри него.

Предположим сначала, что хорда СD проходит через центр О, Т.е. что хорда есть диаметр. Тогда угол АС D - прямой и, следовательно, равен 90°. Но и половина дуги СmD также равна 90°, так как целая дуга СmD, составляя полуокружность, содержит 180°. Значит теорема оправдывается в этом частном случае..

Теперь возьмем общий случай, когда хорда СD не проходит через центр. Проведя тогда диаметр СЕ, мы будем иметь:

Угол ACE, как составленный касательной и диаметром, измеряется, по доказанному, половиной дуги CDE; Угол DCE, как вписанный, измеряется половиной дуги CnED: разница в доказательстве только та, что этот угол надо рассматривать не как разность, а как сумму прямого угла ВСЕ и острого угла ECD.

Пропорциональные линии в круге

Теорема. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диа­метр (CD), то произведение отрезков хорды (АМ МВ) равно произведению отрезков диаметра (МВ МС).

Доказательство.

П
роведя две вспомогательные хорды АС и ВD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:

АМ: МD=МС: МВ, откуда АМ МВ=МD МС.

Следствие. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL,...), то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой корды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.

Теорема. Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей на ее внеш­нюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная - точкой касания).

Доказательство.

Проведем вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника МАС и МВС (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, потому что у них угол М об­щий и углы МСВ и САВ равны, так как каждый из них из­меряется половиной дуги ВС. Возьмем в ∆МАС стороны МА и МС; сходственными сторонами в ∆МВС будут МС и МВ; поэтому МА: МС=МС: МВ, откуда МА МВ=МС 2 .

Следствие. Если из точки (М), взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих (МА, MD, МЕ,...), то произведение каждой секущей на ее внеш­нюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС 2), проведенной из точки М.

III . Вводные задачи.

Задача 1.

В равнобедренной трапеции с острым углом в 60° боковая сторона равна , а меньшее основание - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Решение

1) Радиус окружности, описанной около трапеции, – одно и то же, что и радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции. Найдем радиус R окружности, описанной около треугольника ABD .

2) ABCD – равнобедренная трапеция, поэтому AK = MD , KM =.

В ∆ABK AK = AB cos A = · cos 60° = . Значит,
AD = .

BK = AB sin A = · = .

3) По теореме косинусов в ∆ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A .

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ABD ) = AD · BK ; S(∆ABD ) = · · 3 = .

Задача 2.

В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок NM ,

M AC , N BC , который касается ее и параллелен стороне AB .

Определите периметр трапеции AMNB , если длина отрезка MN равна 6.

Решение.

1) ∆ABC – равносторонний, точка O – точка пересечения медиан (биссектрис, высот), значит, CO : OD = 2 : 1.

2) MN – касательная к окружности, P – точка касания, значит, OD =
= OP , тогда CD = 3 · CP .

3) ∆CMN ∾ ∆CAB , значит, ∆CMN – равносторонний CM = CN = MN = = 6; P .

А так же

3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12.

4) P (AMNB ) = AM + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

Решение. Так как окружность вписана в четырехугольник, то BC + AD = AB + CD . Этот четырехугольник – равнобокая трапеция, значит BC + AD = 2AB .

FP – средняя линия трапеции, значит, BC + AD = 2FP .

Тогда AB = CD = FP = 5.

∆ABK – прямоугольный, BK = AB sin A ; BK = 5 · 0,8 = 4.

S (ABCD ) = FP · BK = 5 · 4 = 20.

Ответ : 20.

Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b+c)/2

Доказательство: пусть М и N –точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС. Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому СК+CN= a+b-c.

Пусть Р и Q – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон АВ и ВС. Тогда АР=АВ+ВР=АВ+ВL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

а) Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. О - центр вписанной окружности. О В –центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и O В лежат на окружности с центром М.

Д
оказательство: Так как

б) Точка О, лежащая внутри треугольника АВС, обладает тем свойством, что прямые АО, ВО, СО проходят через центры описанных окружностей треугольников ВСО, АСО, АВО. Докажите, что О – центр вписанной окружности треугольника АВС

Доказательство: Пусть Р- центр описанной окружности треугольника АСО. Тогда

IV . Дополнительные задачи

№1. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника

Решение: HOGB- квадрат со стороной R

1) ∆OAH =∆OAF по катету и гипотенузе =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

№2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром АВ. АС ∩ BD = Р, а AD ∩ BC = Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны

Доказательство: AD – диаметр => вписанный угол ADB=90 o (как опирающийся на диаметр)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP подобен ∆QNA по 2м сторонам и углу между ними=> QN перпендикулярна AB .

№3. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; М – точка диагонали AC, BDCM – вписанный четырехугольник.. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM

П
усть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Тогда MO· OC=BO· ОD. Тогда как ОС=ОА и ВО=ВD, то МО· ОА=ВО 2 и МО· ОА=DO 2 . Эти равенства означают, что ОВ касается описанной окружности треугольника ADM

№4. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, и в треугольники АСЕ и АВЕ вписаны окружности, касающиеся отрезка СЕ в точках М и N . Найдите длину отрезка MN, если известны длины АЕ и ВЕ.

Согласно вводной задаче 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 и СN=(BC+CE-BE)/2. Учитывая, что АС=ВС, получаем МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

№5. Длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прогрессию, причем a

Пусть М середина стороны АС, N- точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Тогда BN=р–b (вводная задача 4), поэтому BN=AM, т.к. p=3b/2 по условию. Кроме того,

V .Задачи для самостоятельного решения

№1. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD. Докажите, что AB+BC=AD+DC.

№2. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что АС∙CB=Rr

№3. В треугольнике АВC угол С прямой. Докажите, что r =(a+b-c)/2 и r c =(a+b+c)/2

№4. Две окружности пересекаются в точках А и В; MN – общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок MN пополам.

№5. Продолжения биссектрис углов треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках А 1 , В 1 , С 1 . М – точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

а) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

№6. Угол, составленный двумя касательными, проведенными из одной точки окружности, равен 23 о 15`. Вычислить дуги, заключенные между точками касания

№7. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7.

VI. Контрольные задачи.

Вариант 1.

Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены три секущие: первая пересекает окружность в точках В и А (М-В-А), вторая – в точках D и C (М-D-C), а третья пересекает окружность в точках F и E (M-F-E) и проходит через центр окружности, АВ = 4, ВМ =5, FM = 3.

Докажите, что если АВ = СD, то углы АМЕ и СМЕ равны.

Найдите радиус окружности.

Найдите длину касательной, проведенной из точки М к окружности.

Найдите угол АЕВ.

Вариант 2.

АВ – диаметр окружности с центром О. Хорда ЕF пересекает диаметр в точке К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5.

Найдите радиус окружности.

Найдите расстояние от центра окружности до хорды ВF.

Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.

Чему равна хорда FМ, если ЕМ – параллельная АВ.

Вариант 3. В прямоугольный треугольник АВС (

Вариант 4.

АВ – диаметр окружности с центром О. Радиус этой окружности равен 4, О 1 – середина ОА. С центром в точке О 1 проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда СD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Е и F –точки пересечения СD с меньшей окружностью (С-Е-К-F-D), АК=3.

Найдите хорды АЕ и АС.

Найдите градусную меру дуги АF и её длину.

Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой ЕF.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Предварительный просмотр:

Урок по теме:

«Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд »

Предмет : геометрия

Класс : 8

Учител ь: Герат Людмила Васильевна

Школа : МОБУ«Дружбинская СОШ» Соль–Илецкого р-на, Оренбургской области

Тип урока: Урок «открытия» новых знаний.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор,

Раздаточный материал (карточки), презентация.

Цели урока:

• образовательные - изучить теорему о произведении пересекающихся хорд, и показать ее применение при решении задач.

Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о вписанном угле и ее следствий.

• развивающие – развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения четко и ясно излагать свои мысли.
• воспитательные – прививать учащимся интерес к предмету посредством применения информационных технологий (с использованием компьютера); формировать умение аккуратно и грамотно выполнять математические записи, составлять рисунок к задаче.

Образовательная деятельность направлена на повышение результативности, производительности педагогического труда путем перевода учащихся из позиции объекта деятельности учителя в позицию субъекта учения , содействует развитию потенциала каждого ребенка, раскрытию заложенных в нем возможностей.

Воспитание (развитие) субъектности возможно только в деятельности, в которую вовлечен субъект, в которой он сам: а) ставит цели; б) концентрирует волевое усилие на достижение цели; в) рефлексирует ход и результаты своей работы. Рефлексия является мощнейшим инструментом саморазвития личности (самостроительства личности).

Проблему развития субъектности ученика в сколь-нибудь полной мере нельзя решить разовыми мероприятиями. Это качество развивается последовательно за счет включения ученика в учебно-познавательную деятельность (в идеале – на каждом уроке), которую он выполняет сам, прикладывая свои собственные усилия, выполняя своими собственными силами, при минимальной помощи извне все действия в их логической последовательности. Урок обеспечивает рефлексию учащихся на все 4 этапа работы плюс итоги, полностью отвечая требованиям деятельностного подхода в образовании.

Посредством предложенного оформления урока и использования компьютерных технологий преследуются цели развития:

• Интеллектуальной культуры;
• Информационной культуры;
• Культуры самоорганизации;
• Исследовательской культуры;

Деятельность учащихся должна организовываться таким образом, чтобы обеспечивать у обучаемых внутренние цели-мотивы; потребность в поиске – важнейшей задачи обучения и воспитания, для этого необходимо создавать ситуации успеха, ситуации поиска - вызывающие положительные эмоции.

План урока

1. Доказательство теоремы о вписанном угле (3 случая); работа по карточкам,

Решение задач по готовым чертежам.

2. Работа в парах.

3. Изучение теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд.

4. Решение задач на закрепление теоремы.

Ход урока.

1. Актуализация знаний учащихся по изучаемой теме.

К доске вызываются три учащихся для доказательства теорем, двое учащихся получают карточки-задания, остальные учащиеся решают задачи на готовых чертежах. Доказательство теорем заслушивается всем классом после решения учащимися задач на готовых чертежах.

Карточка №1..

1. Вставьте пропущенные слова « Угол называется вписанным, если его вершина лежит на …………….., а стороны угла……………………………..».

2. Найдите и запишите вписанные углы, изображенные на рисунке:

3. Найдите градусную меру угла АВС, изображенного на рисунке, если градусная мера дуги АВС = 270 .

Карточка №2.

1. Вставьте пропущенные слова: «Вписанный угол измеряется ………….».

1. Дано: ОА=АВ. Найдите градусную меру дуги АВ.

Решение задач по готовым чертежам.

Рис.1. Найти Рис.2. Рис.3. Рис.4. Рис.5.

AOD, ACD Найти ABC Найти BCD Найти BAC Найти BCD

II. Работа в парах.

Доказательство теоремы об отрезках пересекающихся хорд провести в виде задачи:

Докажите, что если две хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке Е, то

АЕ * ВЕ =CE * DE

Задачу предлагается решить самостоятельно в парах, а затем обсудить ее решение. В тетрадях и на доске записать план-конспект доказательства теоремы.

План-конспект

а) АСЕ ДВЕ (А = D как вписанные углы, опирающиеся на дугу ВС;

АЕС = DЕВ как вертикальные).

Вопросы для обсуждения:

Что вы можете сказать об углах САВ и СDВ? Oб углах АЕС и DЕВ?

Какими являются треугольники АСЕ и DВЕ? Чему равно отношение их сторон, являющихся отрезками хорд касательных?

Какое равенство можно записать из равенства двух отношений, используя основное свойство пропорций?

IV. Закрепление изученного материала .

Решить задачу: Хорды окружности РТ и КМ пересекаются в точке Е. Найти МЕ, если

КE = 4cм., ТE =6см., РE =2см.

Решение: АЕ * ВЕ =CE * DE

АЕ * 4 = 2 *6

АЕ = 3см.

№ 666 б. х*х =16*9

Х* х =144

Х = 12

V. Рефлексия. (используя стикеры трех цветов)

VI. Домашнее задание.

п. 71, №666 а,в; 667.

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) .

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}\) .

Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\) .

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\) .

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги .

По трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) .

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .

Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .

2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) .