Математика – 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естественных наук, математики и информационных технологий ДВГГУ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: - один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.), - а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема наблюдающуюся (вместе для с обратной) отношений показывает отрезков, закономерность, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника. На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелая) Пусть ABC пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A , то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице. Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие. Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая. Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Решение. Запишем полученное в теореме соотношение, Менелая для треугольника ABMb и прямой McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья второе отношение равно 1 . Поэтому 2 2:1, что и требовалось доказать. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье 1 , 2 таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1. Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке). Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке. Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи). Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы. Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим соотношение AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке. Задачи для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл., математический) 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин) 4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач. М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника. М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи. М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.

Муниципальная научно-практическая конференция

«ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ»

Теорема Чевы

МБОУ «СОШ №17».

Руководитель:

Учитель математики МБОУ СОШ №17.

I Аннотация

Данная работа может помочь ученикам различных образовательных учреждений расширить представление о свойствах треугольника с помощью теоремы Чевы. В работе систематизированы задачи на применение теоремы Чевы для доказательства свойств замечательных точек треугольника, для обоснования некоторых преобразований плоскости, для решения задач на отыскание набольших и наименьших значений величин, а также задач разного уровня сложности. Работа может быть использована для проведения занятий на элективных курсах, при подготовке к олимпиадам, ЕГЭ и вступительным экзаменам.

II Отзыв руководителя

В настоящее время в современной школе роль геометрии несколько занижена. Данная работа может оказать помощь в укреплении престижа школьного предмета геометрии, т. к. показывает, как всего лишь одна замечательная теорема позволяет открыть целый пласт интереснейших свойств треугольника, насладиться красотой и изяществом решаемых с её помощью задач.

В ходе работы автор, Панкова Вера, проявила большую степень самостоятельности. Используя метод анализа и сравнения имеющихся источников литературы, автор столкнулась с необходимостью использовать ещё один метод исследования – систематизация задач. В используемой литературе задачи предлагаются списком без системы по определённым темам. Тематическая же систематизация задач значительно упростила возможности отыскания приёмов решения задач. При этом большая часть задач решена Верой самостоятельно, что способствовало повышению уровня логической культуры и развитию пространственного воображения автора.

Работа может быть использована для занятий на спецкурсах, в профильном обучении, при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ.

Руководитель

____________/

III Рецензия

Работа по теме «Теорема Чевы» посвящена исследованию возможностей применения теоремы Чевы, которая не входит в программу по геометрии средней школы . Тема является актуальной, так как при решении целого класса задач, теорема Чевы позволяет легко и изящно получать решения, тогда как, традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным доказательствам.

В центре внимания находится доказательство самой теоремы разными способами и в разных формах.

В практической части проведено сравнение традиционных способов доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке, и доказательств с помощью теоремы Чевы.

Главные усилия направлены на решение задач с применением теоремы и их тематическую систематизацию, позволяющую упростить поиск приёмов решения. При этом автор решает, по существу, одну задачу: показывает преимущества использования теоремы Чевы для облегчения решения задач.

Необходимо остановиться на том, что при исследовании возможностей применения теоремы Чевы, автору удалось углубить знания о замечательных точках треугольника и дополнить, известные в школьном курсе четыре замечательные точки, новыми точками и точками второго порядка, т. е. полученными в результате преобразований. Рассмотренные преобразования также являются углублением школьного курса.

Достоинством данной работы является научность, доказательность, логическая последовательность в изложении материала.

« »……………..2007 г. Руководитель

____________/

I Аннотация………………………………………………………………………..2

II Отзыв руководителя……………………………………………………………3

III Рецензия………………………………………………………………………...4

IV Тезисы…………………………………………………………………………..6

IV Введение…………………………………………………………………….….8

V Основная часть:

1)Теория………………………………………………………………………10

2)Практика……………………………………………………………………14

а) Теорема Чевы и замечательные точки треугольника.……………..14

б) Точки Жергона и Нагеля и теорема Чевы ………………………….17

в) Некоторые замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы …………………………………………………………………….19

г) Применение теоремы Чевы к решению разных задач …………….23

д) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин, связанные с теоремой Чевы ……………………………………………26

VI Заключение……………………………………………………………..…….31

VIIСписок литературы……………………………………………………….…32

IV Тезисы

1) Первая часть работы – теоретическая. Здесь представлены различные способы доказательства прямой и обратной теоремы Чевы: доказательство с помощью подобных треугольников, два доказательства с использованием понятия площади и теорема Чевы в форме синусов. Также здесь даются определение чевиан, как отрезков, соединяющих вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне треугольника и понятие конкурентности.

2) Вторая часть работы – практическая. Здесь приведена тематическая систематизация задач на применение теоремы Чевы. Все задачи сопровождаются решениями.

а) Теорема Чевы и замечательные точки треугольника. В этой главе с помощью теоремы Чевы доказывается конкурентность замечательных линий треугольника: медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров.

б) Точки Жергона и Нагеля. С помощью теоремы Чевы здесь доказывается, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке (точке Жергонна), а также, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).

в) Некоторые замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы. В этой главе доказывается с помощью теоремы Чевы существование изотомически сопряжённой, изогонально сопряжённой к точке пересечения чевиан относительно треугольника точки, изоциркулярного образа точки пересечения чевиан. А также приведены примеры замечательных точек 2-го порядка, т. е. полученных с помощью указанных преобразований плоскости.

г) Применение теоремы Чевы к решению разных задач. Здесь приведены задачи с решениями разного уровня сложности, которые могут использоваться для самоконтроля.

д) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин, связанные с теоремой Чевы. В этой главе решены задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин элементарными методами, т. е. без применения производной.

V Введение.

Обладая литературой более обширной,

чем алгебра и арифметика вместе взятые,

и, по крайней мере, столь же обширной

как и анализ, геометрия в большей степени,

чем любой другой раздел математики,

является богатейшей сокровищницей

интереснейших, но полузабытых вещей,

которыми, спешащее поколение

не имеет времени насладиться.

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести к геометрии треугольника. Треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать.

Геометрия треугольника связана, как правило, с замечательными точками. Большинство же замечательных точек может быть получено следующим образом.

Пусть имеется некоторое правило, по которому можно выбрать точку А1 на стороне ВС треугольника АВС (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки В1, С1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере – еще две середины сторон). Если это правило «удачное», то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в некоторой точке Z. Ученым прошлого всегда хотелось иметь метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашел в 1678г. итальянский инженер Джованни Чева.

Замечательная теорема Чевы не входит в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эта теорема позволяет легко и изящно получать решения. Теорема Чевы открывает возможности для знакомства со многими новыми теоремами и свойствами треугольника, не изучаемыми по школьной программе.

Цель работы : расширить представление о свойствах треугольника с помощью теоремы Чевы.

Гипотеза : если теорема Чевы помогает расширить класс решаемых геометрических задач, то она является одной из фундаментальных теорем геометрии.

Задачи :

· исследовать возможности применения теоремы Чевы для доказательства свойств замечательных точек треугольника;

· научиться применять теорему Чевы для решения задач разного уровня сложности;

· тематически систематизировать задачи, решаемые с помощью теоремы Чевы.

Методы исследования : анализ и сравнение имеющихся источников литературы, систематизация задач.

V I Основная часть

1) Теория

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется ЧЕВИАНОЙ.

АХ, ВY, СZ – чевианы ∆ АВС.

Если все три чевианы пресекаются в одной точке Р, то будем говорить, что они КОНКУРЕНТНЫ.

1) Теорема Чевы. Если три чевианы АХ, ВY, СZ треугольника АВС конкурентны, то

Доказательство. Известно, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

Составим отношение

.

Аналогично,

.

Перемножим, полученные равенства

.

Обратная теорема.

Если три чевианы АХ, ВY, СZ удовлетворяют соотношению , то они конкурентны.

Доказательство.

Предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке Р, как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку Р, будет СZ".

Тогда, по прямой теореме Чевы,

.

Но по условию ,

Следовательно, .

Точка совпадает с точкой Z, и мы доказали, что отрезки АХ, ВY и СZ конкурентны.

2) Рассмотрим способ доказательства теоремы Чевы с помощью подобных треугольников.

Пусть на сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1. Прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(*)

Доказательство. Предположим, что

прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в точке O (рис.2). Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную AB , и ее точки пересечения с прямыми AA 1, BB 1 обозначим соответственно A 2, B 2. Из подобия треугольников CB 2B 1 и ABB 1 имеем равенство

Аналогично, подобия треугольников BAA 1 и CA 2A 1 имеем равенство

Далее, из подобия треугольников BC 1O и B 2CO , AC 1O и A 2CO имеем Следовательно, имеет место равенство

Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим требуемое равенство (*).

Докажем обратное. Пусть для точек A 1, B 1, C 1, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC выполняется равенство (*). Обозначим точку пересечения прямых AA 1 и BB 1 через O и точку пересечения прямых CO и AB через C " . Тогда, на основании доказанного, имеет место равенство

https://pandia.ru/text/79/202/images/image017.gif" width="100" height="52"> из которого следует совпадение точек C " и C 1 и, значит, прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке.

3) Ещё один способ доказательства теоремы Чевы, использующий понятие площади.

Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. (рис.3) Опустим из вершин А и В треугольника АВС перпендикуляры АА", ВВ" на прямую СС1. Треугольники АС1А" и ВС1В" подобны, следовательно,

66" height="30" bgcolor="white" style="border:.75pt solid white; vertical-align:top;background:white"> Умножив одно равенство на другое, получаем:

Аналогично

https://pandia.ru/text/79/202/images/image028.gif" width="187" height="56 src=">

Окончательно имеем: https://pandia.ru/text/79/202/images/image030.gif" width="260" height="47">

2) Практика

а) Теорема Чевы и замечательные точки треугольника.

Теорема Чевы дает возможность очень просто доказать утверждения о точке пересечения медиан, биссектрис, высот (или их продолжений) и средних линий треугольника.

Медианы – это чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Задача №1. Доказать, что медианы треугольника конкурентны.

Доказательство. Так как AB1 = B1C; СА1 = А1В (рис.5);

ВС1 = С1А, то

.

По теореме Чевы отсюда следует, что медианы конкурентны.

Высоты – это чевианы, перпендикулярные сторонам или продолжениям сторон треугольника.

Их общая точка называется ортоцентром.

Применение теоремы обратной теореме Чевы для доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке, существенно упрощает доказательство. Сравним доказательство конкурентности высот треугольника, проводимое с помощью теоремы Чевы и доказательство другим способом.

Задача №2. Доказать, что высоты остроугольного треугольника, конкурентны.

Доказательство. Пусть АА1, ВВ1 и СС1 – высоты треугольника. (рис.6) Прямоугольные ∆ АА1С и ∆ВВ1С подобны (так как имеют общий острый угол С), поэтому

Аналогично из подобия ∆ АА1В и ∆СС1В следует:

А из подобия ∆ ВВ1А и ∆СС1А – равенство.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник (рис.7). Пусть прямые, содержащие высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке O. Проведем через точку A прямую, параллельную отрезку BC, через точку B прямую, параллельную отрезку AC, а через точку C - прямую, параллельную отрезку AB. Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки K, L,M не лежат на одной прямой, иначе бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а значит, прямая BC была бы параллельна прямой AC, или совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника.

* http://geometr. info/geometriia/treug/medvys. html

Мир Геометрии - Ученический Портал

Итак, точки K, L, M составляют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB - параллелограмм. Следовательно, MA = BC, MB = AC. Аналогично AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Значит, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а значит, CO - тоже срединный перпендикуляр. CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Очевидно, теорема Чевы облегчает доказательство.

Задача №3. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, т. е. конкурентны.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image040.gif" width="272 height=53" height="53">

Перемножив эти равенства, получим:

Отсюда по теореме Чевы следует, что биссектрисы пересекаются в одной точке.

Четвертой замечательной точкой треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

конкурентности чевиан, а не перпендикуляров к сторонам треугольника. Это затруднение можно

преодолеть, рассмотрев серединный треугольник А1В1С1. Поскольку средние линии параллельны сторонам исходного треугольника, то серединные перпендикуляры являются высотами серединного треугольника, конкурентность которых была уже доказана с помощью теоремы Чевы. Это означает, что серединные перпендикуляры к сторонам ∆ АВС конкурентны. Теорема доказана.

б) Точки Жергона и Нагеля и теорема Чевы.

Воспользуемся теоремой Чевы для установления еще двух замечательных точек треугольника.

Задача№5 Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона .

Доказательство.

Пусть окружность с центром О касается сторон ∆АВС в точках А1, В1, С1 (рис.11) тогда по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

АВ1 = АС1; ВС1 = ВА1; СА1 = СВ1

Рис.11

,

Значит. Прямые АА1, ВВ1, СС1 конкурентны, т. е. пересекаются в одной точке G – точка Жергона.

Еще одна замечательная точка треугольника – точка Нагеля.

Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон.

Задача№6 Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).

Доказательство .

Пусть АВ = с; ВС = а; АС = b; по свойству равенства отрезков касательных ВХb = BZb.(рис.12)

ВХb + BZb = ВС + СХb + ZbA + AB,

СХb + ZbA = b, https://pandia.ru/text/79/202/images/image045.gif" width="20" height="16"> ВХb + BZb = а +b +с = 2p (p – полупериметр треугольника),

ВХb = BZb.= p, аналогично, для отрезков касательных, проведенных из других двух вершин. Также СХb = ВХb – ВС = p-a; для всех отрезков касательных можно также записать

Задача№7
https://pandia.ru/text/79/202/images/image050.gif" width="20"> симметрично относительно

середины той стороны, на

которой она лежит. Полученные три точки обозначим через А2, В2, С2. Доказать, что тогда прямые АА2, ВВ2,СС2 также пересекаются в некоторой точке Zm.

Доказательство . По теореме Чевы т. к. АА1, ВВ1,СС1 пересекаются в одной точке, то

но А2 и А1, В2 и В1, С2 иС1 симметричны относительно середин сторон треугольника, => АС1=ВС2 ; С1В=АС2 ; ВА1=СА2 и т. д.

поэтому , => АА2, ВВ2,СС2

пересекаются в одной точке.

Эта точка называется изотомически сопряжённой точке Z, относительно треугольника АВС.

Задача№8

Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Вновь выберем некоторую точку плоскости Z и проведём через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны треугольника в точках А1,В1,С1 соответственно.(рис.14) Доказать, что прямые АА2, ВВ2,СС2, симметричные прямым АА1, ВВ1,СС1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, пересекаются в одной точке Z1.

Доказательство . Здесь удобно воспользоваться теоремой Чевы в форме синусов.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image068.gif" width="261" height="45 src=">,=> т. к. прямые АА2, ВВ2,СС2, симметричны прямым АА1, ВВ1,СС1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, то равны углы =

= АСС 2 , и т. д.

прямые АА2, ВВ2, СС2 тоже пересекаются в одной точке.

Эта точка называется изогонально сопряжённой точке Z относительно треугольника АВС.

С помощью изотомического и изогонального сопряжений можно получать новые замечательные точки.

Точка Лемуана - точка, изогонально сопряженная точке пересечения медиан, т. е. образованная пересечением прямых (симедиан), симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис треугольника.(рис.15)

Hm – антиортоцентр – точка, изотомически сопряжённая ортоцентру, т. е. точка пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные основаниям высот относительно середин сторон, и соответствующие вершины треугольника.(Рис.16)

Gl – точка, изогонально сопряжённая точке Жергонна.(Рис.18)

В сегмент, отсекаемый стороной ВС, впишем окружность, касающуюся дуги ВС в точке А1, а стороны ВС – в точке А2. Аналогично определим точки В2 и С2. Доказать, что прямые АА2, ВВ2, СС2 пресекаются в одной точке Zc.(Рис. 20)

Докажем, что прямые АА2, ВВ2,СС2 пересекаются в одной точке с помощью теоремы Чевы сразу в двух формулировках – в форме отношений синусов и в форме отношений отрезков, а также с помощью леммы.

Лемма Архимеда . Если окружность вписана в сегмент и касается дуги в точке А1, а хорды ВС – в точке А2, то прямая А1А2 является биссектрисой угла ВА1С.(стр.15 )

Доказательство. Пусть ∟ВАА1=α1, ∟САА1=α2..gif" width="140" height="45 src="> Аналогично получаем, что ,

где β1=∟ СВВ1, β2=∟ АВВ1, γ1=∟ АСС1, γ2=∟ ВСС1. Условие Чевы для прямых АА2, ВВ2,СС2, таким образом, принимает вид

Правая часть этого равенства представляет собой выражение из условия Чевы в форме отношений синусов для прямых АА1, ВВ1,СС1, пересекающихся в точке Z. Следовательно,

Т. о. прямые АА2, ВВ2, СС2 пресекаются в одной точке Zc, которую и называют изоциркулярным образом точки Z.

г) Применение теоремы Чевы к решению разных задач

Задача№10 Точки С1 и А1 делят стороны АВ и ВС ∆ АВС в отношении 1:2.

прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором

прямая ВО делит сторону АС.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image090.gif" width="121" height="53 src=">

По теореме Чевы, если прямые конкурентны, то

https://pandia.ru/text/79/202/images/image092.gif" align="left" width="66" height="54 src=">90" height="30" bgcolor="white" style="border:.75pt solid white; vertical-align:top;background:white">

Задача№11 На сторонах ВС, СА и АВ ∆ АВС взяты точки А1, В1 и С1 так, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Прямые А1В1 и А1С1 пересекают прямую, проходящую через вершину А параллельно стороне ВС, в точках С2 и В2 соответственно. Докажите что АВ2 = АС2. [ 2]

∆АС2С1 ~ ∆ВА1С1,

Три чевианы треугольника проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда

Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые параллельны или пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

26. Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях , то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

где , и обозначают отношения направленных отрезков .

27. Биссектриса угла треугольника - это луч с началом в вершине угла треугольника, делящий угол на два равных угла

Теорема о биссектрисе:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Дк-во:

Дано: , - биссектриса угла . Требуется доказать: .

Доказательство:

Проведем до пересечения с продолжением стороны . Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: . Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками и . Рассмотрим эти отрезки. Они входят в , в котором (как соответственные при и секущей ) и . Но ( - биссектриса), отсюда . Следовательно, . Заменим в полученной пропорции на : . Теорема доказана

Доказана.

27(2). . Пропорциональные отрезки - отрезки, для длин которых выполняется пропорция .

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Обобщенная теорема Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающиеся двумя данными прямыми, пересекаются с первой прямой в точках А, В, С, а со второй прямой соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 , то

Дк-во:

Проведем через точку А прямую АС1, параллельную прямой В D (С1- точка пересечения этой прямой с прямой С D ). Тогда треугольник ОАВ подобен треугольнику АСС1 по первому признаку подобия треугольников (угол О= углу САС1, угол ОАВ=углу С). Следовательно, ОА/АС=ОВ/АС1. Так как АС1=В D , то ОА/ОВ=АС/В D . Теорема доказана.

28. Отрезок АВ является средним пропорциональным (или средним геометрическим ) для отрезков АС и ВС, если:

Теорема:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Дк-во:

Пусть прямой угол в треугольнике-С, катеты АС и ВС. Проведём из вершины прямого угла высоту СМ. Проекции катетов МА и МВ. Рассмотрим треугольники АВС И АМС. Они подобны по двум углам: оба прямые и угол А общий. Запишем отношение сторон АВ/АС= ВС/МС= АС/МА Имеем АС в квадрате= АМ*АВ. (х - есть среднее пропорциональное между а и в если выполняется а/х= х/в х^2=а*в.) Аналогично для треугольников АВС и ВМС ВС^2=АВ*ВМ.

Теорема:

Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы.

Дк-во:

Рассмотрим треугольники АСМ и ВСМ. Они оба подобны треугольнику АВС, а значит подобны между собой Запишем отношения сторон ВМ/СМ=СМ/АМ СМ^2=АМ*ВМ.

29. Синусом острого прямого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinA = BC / AB

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosA = AC / AB

Тангенсом острого прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

tgA = BC / AC

Основное тригонометрическое тождество:

Дк-во:

Пусть треугольник АВС прямоугольный (АВ-гипотенуза). sinA=ВС/АВ (1) cosA=AC/AB (2). Теперь докажем справедливость основного тригонометрического тождества: . Из формул (1) и (2) получаем: sin^2A+cos^2A=ВС^2/AB^2+AC^2/AB^2=BC^2+AC^2/AB^2. По теореме Пифагора BC^2+AC^2=AB^2, .

30.

31. касательной точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дк-во:

Пусть р-касательная к окружности с центром О. А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р- касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна радиусу.

32. . Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Дк-во:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

33. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом .

вписанным углом .

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дк-во:

Пусть /_ АВС- вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС . Докажем, что /_ АВС= ½ дуги АС. Решение. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому /_ АОС=дугеАС. Так как угол АОС- внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы ОВА и ВАО при основании р/б треугольника равны, то /_АОС= /_ОВА+/_ВАО=2/_ОВА. Отсюда следует, что 2/_ОВА=дугеАС или /_АВС=/_ОВА=1/2дугиАС. Теорема доказана.

34. центральнм углом .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

Следствия из теоремы о вписанном угле:

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

    Вписанный угол, опирающийся на полуокружность(диаметр)- прямой.

35. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

Теорема о произведении отрезков двух хорд:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дк-во:

Пусть хорды АВ и С D пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ*ВЕ=СЕ* DE . Рассмотрим треугольники А DE и СВЕ. В этих треугольниках углы ЕА D и ЕСВ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу В D , а углы АЕ D и СЕВ равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников, треугольник ADE ~ треугольнику СВЕ. Отсюда следует, что АЕ/СЕ= DE / BE , или АЕ*ВЕ=СЕ* DE . Теорема доказана.

Теорема Чевы. Дан треугольник и точки
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Лемма. Если числа таковы, что

то

лишь бы знаменатель в ноль не обращался.

Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.

Обозначим общее значение дробей и
буквой
Тогда

что и требовалось доказать.

Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.

Доказательство теоремы.

1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь

Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников и с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.

Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:

Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:

что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.

2. Пусть не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения и
отрезок (точка расположена на стороне ).
По доказанному,

Если бы было выполнено

,

то

что невозможно при

(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).

На этом доказательство завершается.

Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:

Аналогично получаем

Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.

Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Примеры.

1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.

2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.

3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.


Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы.... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.

Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:

Пусть точки A",B",C" лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA",BB",CC" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.

Доказательство .

Прямая теорема.

С одной стороны,
S AOB"/S COB" =AB"/B"C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB" и COB", проведенных к основанию OB", равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.

Таким образом, AB"/B"C = S AOB/S COB.

Записав аналогичные равенства для отношений CA"/A"B и AC"/C"B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.

Обратная теорема.

Итак, допустим, у нас выбраны точки A", B", C" на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA" и BB" пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C"". Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C" будет точка C"". Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C"", как мы показали, и с точкой C" из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C"" и C" совпадают.

Можно записать условие Чевы в форме синусов :
Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA" и ACA". Для них получаем A"B/AA"= sinBAA" /sinABA" и A"C/AA"=sinA"AC/sinA"CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A"B/A"C=sinBAA" /sinA"AC * (sinBCA/sinABC)

Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.

Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a ) = cos a