Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор»

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

дипломная работа

§ 2. Формулировка теоремы существования и единственности

В §1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение первого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях теорема существования и единственности является основным теоретическим положением, дающим возможность подойти к изучению данной системы дифференциальных уравнений.

Теорема существовании и единственности формулируется и доказывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой системе уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Системы дифференциальных уравнений того частного тина, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными.

обыкновенных дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе t --независимое переменное, -- неизвестные функции; этого переменного, а -- функции от переменных, заданные на некотором открытом множестве Г пространства размерности, в котором координатами точки являются числа. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что функции

непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет предполагаться, что и их частные производные

существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным, а не по независимому переменному t.

Решением системы уравнений (1) называется система непрерывных функций

определенных на некотором интервале и удовлетворяющих системе (1). Интервал называется интервалом определения решения (4) (случаи, не исключаются). Считается, что система функций (4) удовлетворяет системе уравнений (1), если при подстановке в соотношение (1) вместо функций (4) соотношения (1) превращаются в тождества по t на всем интервале. Для возможности этой подстановки необходимо, чтобы функции (4) имели производные в каждой точке интервала и чтобы правые части уравнений (1) были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами

должна принадлежать, множеству Г для всех значений t на интервале.

Дадим теперь формулировку теоремы существовании и единствен-ности для нормальной системы (1). (Доказательство будет приведено в § 13.)

Теорема 2. Пусть (1) -- нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь правые части уравнений (1) определены на некотором открытом множестве Г, а функции (2) и (3) непрерывны на этом множестве. Оказывается, что для каждой точки

множества Г существует решение

системы (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющее условиям:

системы (1), удовлетворяющих условиям

причем каждое решение определено на своем собственном интервале значений переменного t, содержащем точку то решения эти совпадают всюду, где они оба определены.

Значения (5) называются начальными для решения (6), а соотношения (7) называются начальными условиями для этого решения. Мы будем говорить в дальнейшем, что решение (6) имеет начальные значения (5) или удовлетворяет начальным условиям (7).

Таким образом, теорему существования и единственности для нормальной системы кратко можно формулировать так:

Каковы бы ни были начальные значения (5), всегда существует решение системы (1) с этими начальными значениями, определенное на некотором интервале, содержащем точку. Далее, если имеются два решения с одинаковыми начальными значениями (5), каждое из которых определено на своем интервале, содержащем, то эти решения совпадают на общей части этих интервалов.

Введем здесь понятие непродолжаемого решения.

Решение системы уравнений (1), определенное на интервале, и

Решение той же системы уравнений (1), определенное на интервале. Мы будем говорить, что решение (11) является продолжением решения (10), если интервал содержит интервал (т.е.) и решение (10) совпадает с решением (11) на интервале. В частности, мы будем считать, что решение (11) является продолжением решения (10) и в том случае, когда оба решения полностью совпадают, т. е. . Решение (10) будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Сформулируем теперь еще одну теорему существования.

Теорема 3. Пусть

Нормальная линейная система уравнений. Здесь коэффициенты и свободные члены являются непрерывными функциями независимого переменного i, определенными на некотором интервале. Оказывается, что для любых начальных значений

существует решение системы (12) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале.

В частности, если коэффициенты и свободные члены системы (12) определены на всей прямой, т. е. если, то для любых начальных значений существует решение системы (12), определенное на всем бесконечном интервале.

Решения нормальной системы (1) интерпретируются геометрически в виде интегральных кривых (n+1)-мерном пространстве с координатами. Уравнения интегральной кривой имеют вид:

где (14) есть решение системы.

Сама система (1) интерпретируется с помощью поля направлений в (n+1)-мерном пространстве.

1. Решим нормальную линейную систему уравнений

Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с координатами Непосредственно проверяется, что система функций

где и -- произвольные постоянные, представляет собой решение системы (15). Для того чтобы попадать, что, выбирая надлежащим образом постоянные и, можно получить по формуле (16) произвольное решение, зададимся начальными значениями покажем, что среди решений (16) имеется решение с этими начальными значениями. Мы получаем для постоянных и условия

Пусть и - полярные координаты точки, так что

Тогда уравнения (17) переписываются в виде:

мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку проходит решение, задаваемое формулой (16).

В силу теоремы 2 (единственность) формула (16) охватывает совокупность всех решений.

2. Покажем, что если правые части (2) системы уравнений (1) k раз непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные производные порядка k (включая смешанные) по всем переменным, то (k+1)-я производная решения (4) системы (1) существует и непрерывна.

В самом деле, для решения (4) имеет место тождество:

Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по t, и потому функция существует и непрерывна. Дифференцируя написанное тождество (18) k раз, мы последовательно убедимся в существовании и непрерывности всех производных порядков 2, 3,..., k+1 функций.

Группы симметрий правильных многогранников

Лемма Бернсайда вычисляет количество орбит действия группы на множестве с помощью суммы по всем элементам группы. Она применяется в том случае, когда порядок множества X намного больше, чем порядок группы G...

Двойные интегралы

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области, то двойной интеграл существует. Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду...

Дифференциальные уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка...

Дифференциальные уравнения. Рабочая тетрадь для проведения практических занятий и обеспечения самостоятельной работы по дисциплине "Математика"

Задача Коши: Пусть в ДУ (*) правая часть и ее частная производная по непрерывны на открытом множестве координатной плоскости ОХУ. Тогда справедливы утверждения: 1. Для всякой точки из открытого множества найдется решение уравнения (*)...

Докажем что для кривых второго порядка так называемую «теорему единственности». Но сначала докажем следующее. Теорема 1. Пусть на плоскости даны пять точек: M1 = (x1,y1), М2 = (х2 , у2), М3 = (х3, у3), М4 = (x4,y4), М5 = (х5, у5)...

Единое пересечение кривых в пространстве

Теорема 3. Два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число л?0...

Исследование задачи оптимизации кооперации разработчиков

Для новой конструкции самолета требуется разработать 6 приборных систем. Имеется 11 организаций, каждая из которых может выполнить разработку одной (любой) приборной системы...

Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А.М...

Описание модели работы страховой компании в марковской среде

Рассмотрим вероятность неразорения из -ого начального состояния цепи и вероятность того, что банкротство не происходит при начальном капитале и начальном состоянии...

Построение решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

(1) интегральная формула Фурье. Вначале введем понятие главного значения интеграла. Пусть функция интегрируема на любом отрезке числовой прямой. Определение 1.1. Если существует конечный предел,(1...

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2д точки х=с: 1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f (c) = 0. Доказательство...

Способы расчета процентных ставок

Кредит размером 24 тысячи евро, выданный на два года под 12% годовых, погашается ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой. Комиссия за организацию кредита составляет 1% от его суммы. Кроме того...

Численные методы решения математических задач

нелинейный уравнение интерполяционный многочлен Расчетно-графическая работа состоит из нескольких заданий, для успешного решения которых необходимо продемонстрировать владение численными методами решения математических задач...

Условие Липшица

Рассмотрим функцию, определенную и непрерывную в прямоугольнике К:

Определение. Если для любого и любых двух значений и переменной:

существует такое, не зависящее от х число, что выполнено неравенство:

то говорят, что функция в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.

Замечания:

1. Если в области К имеет непрерывную частную производную, то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа

Лежит между и.

В силу непрерывности в К и замкнутости области К, в К ограничена, т.е. , где L - некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять.

2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной, так как оно может быть выполнено и в том случае, когда существует не всюду в К.

Определить, удовлетворяет ли условию Липшица функция заданная в прямоугольнике?

Следовательно, за L можно принять и условие Липшица выполнено. Тот же результат получим, если используем замечание 1. Действительно, функция имеет непрерывную, поэтому за L можно принять.

Таким образом, заданная функция удовлетворяет условию Липшица в любом конечном прямоугольнике.

То же самое для функции.

Это значит, что в прямоугольнике K условие выполнено с.

Здесь константа L не зависит от размеров прямоугольника, следовательно, условие Липшица удовлетворяется на всей плоскости.

То же для функции

В то же время не существует при, т.к.

Теорема существования и единственности

Теорема (Коши)

Пусть удовлетворяет условиям:

1) непрерывна в прямоугольнике K: , тогда в K ограничена, то найдется такое (3)

удовлетворяет в K условию Липшица

Тогда в интервале:

дифференциальное уравнение

обладает единственным решением, таким, что.

Замечания:

Для существования решения достаточно непрерывности в K.

Для единственности решения требуется выполнение условия Липшица (4), которое может быть заменено более жестким условием существования в K непрерывной.

При доказательстве теоремы рассматривается задача Коши:

которая заменяется эквивалентным ей интегральным уравнением

Затем к уравнению (8) применяется так называемый метод последовательных приближений Пикара. Он состоит в том, что строится последовательность функций сходящаяся к решению уравнения (8). Функции строятся по следующему правилу: за исходное приближение принимается, а следующие вычисляются по формуле:

Это есть рабочая формула для построения приближенного решения по методу последовательных приближений.

Допустим интегральная кривая построена на интервале. Возьмем конечную точку за центр нового прямоугольника и продолжим решение вправо. Поступая так, каждый раз, можно продолжить решение (интегральную кривую) до самой границы области G задания функции (в предположении, что G конечна и замкнута).

Мы построили интегральную кривую, проходящую через точку. Можно выбрать любую другую точку и опять получим единственную интегральную кривую. Таким образом, область G как бы состоит из интегральных кривых.

Теорема. Если определена и непрерывна на всей плоскости и удовлетворяет условию Липшица во всякой конечной области этой плоскости, то всякая интегральная кривая при возрастании или продолжима до или имеет вертикальную асимптоту при конечном значении, т.е. интегральная кривая не может окончится где-то внутри области.

Здесь удовлетворяет всем условиям теоремы. Решением задачи Коши будет. Решение имеет вертикальные асимптоты.

Те точки области G, в которых функция неопределена или перестает быть непрерывной или не выполняется условие Липшица, называются особыми точками уравнения. Таким образом, особые точки это те точки, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности. Особые точки могут быть изолированными, а могут составлять и целые области.