- Если неравенство задается знаком > или < (“больше” или “меньше”), обведите заданное число пустым кружком.
- Если неравенство задается знаком ≥ {\displaystyle \geq } (“больше или равно”) или ≤ {\displaystyle \leq } (“меньше или равно”), закрасьте кружок вокруг точки.
-
Проведите линию. Проведите линию из только что отмеченной точки на числовой оси. Если переменная больше данного числа, отложите линию вправо. Если переменная меньше, проведите линию влево. На конце линии поставьте стрелку, чтобы показать, что она не является конечным отрезком и продолжается дальше.
Проверьте ответ. Подставьте вместо переменной x какое-либо число и отметьте его положение на числовой оси. Если это число лежит на проведенной вами линии, график верен.
Нарисуйте числовую линию. Поскольку для изображения неравенства с одной переменной достаточно одной оси, нет необходимости рисовать прямоугольную систему координат. Вместо этого просто проведите прямую линию.
Изобразите неравенство. Это довольно просто, так как имеется всего лишь одна координата. Предположим, необходимо изобразить неравенство x <1. Для начала следует найти на оси число 1.
График линейного неравенства
- Уравнение прямой линии имеет вид y=mx+b , где m соответствует наклону, а b - пересечению с осью y.
- Знак неравенства означает, что данное выражение имеет множество решений.
-
Изобразите неравенство. Найдите точку пересечения прямой с осью y и ее наклон, после чего отметьте соответствующие координаты. В качестве примера рассмотрим неравенство y >1/2x +1. В этом случае прямая будет пересекать ось y при x =1, а ее наклон составит ½, то есть при движении вправо на 2 единицы мы будем подниматься вверх на 1 единицу.
Проведите линию. Перед этим посмотрите на знак неравенства. Если это < или >, следует провести пунктирную линию. Если в неравенстве стоит знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } , линия должна быть сплошной.
Заштрихуйте график. Так как неравенство имеет множество решений, на графике следует показать все возможные решения. Это означает, что следует заштриховать область над линией или под ней.
Используйте формулу прямой линии. Подобная формула использовалась выше для обычных линейных уравнений, однако в данном случае вместо знака ‘=’ следует поставить знак неравенства. Это может быть один из следующих знаков: <, >, ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } .
График квадратного уравнения
- При построении графика квадратного уравнения у вас получится парабола, то есть кривая в виде латинской буквы ‘U’.
- Для построения параболы необходимо знать координаты хотя бы трех точек, в том числе вершины параболы (ее центральной точки).
-
Определите a, b и c. Например, в уравнении y=x 2 +2x+1 a =1, b =2 и c =1. Каждый параметр представляет собой число, которое стоит перед переменной в соответствующей степени. Например, если перед x не стоит никакого числа, значит b =1, поскольку соответствующее слагаемое можно записать в виде 1x .
Найдите вершину параболы. Чтобы найти среднюю точку параболы, используйте выражение -b /2a . Для нашего примера получаем -2/2(1), то есть -1.
Составьте таблицу. Итак, мы знаем, что координата x вершины равна -1. Однако это лишь одна координата. Чтобы найти соответствующую ей координату y , а также две другие точки параболы, необходимо составить таблицу.
Постройте таблицу из трех строк и двух столбцов.
- Запишите координату x вершины параболы в центральной ячейке левого столбца.
- Выберите еще две координаты x на одинаковом расстоянии слева и справа (в отрицательную и положительную стороны вдоль горизонтальной оси). Например, можно отступить от вершины на 2 единицы влево и вправо, то есть записать в соответствующих ячейках -3 и 1.
- Можно выбрать любые целые числа, которые отстоят от вершины на равном расстоянии.
- Если вы хотите построить более точный график, вместо трех можно взять пять точек. В этом случае следует делать то же самое, только таблица будет состоять не из трех, а из пяти строк.
-
Используйте уравнение и таблицу, чтобы найти неизвестные координаты y . Берите по одной координате x из таблицы, подставляйте ее в заданное уравнение и находите соответствующую координату y.
- В нашем случае мы подставляем в уравнение y =x 2 +2x +1 вместо x -3. В результате находим y = -3 2 +2(-3)+1, то есть y =4.
- Записываем найденную координату y в ячейке возле соответствующей ей координаты x.
- Найдите таким образом все три (или пять, если вы используете больше точек) координаты y .
-
Нанесите на график точки. Итак, у вас получилось по крайней мере три точки с известными координатами, которые можно отметить на графике. Соедините их кривой в форме параболы. Готово!
Посмотрите на формулу. В квадратном уравнении хотя бы одна переменная возводится в квадрат. Обычно квадратное уравнение записывается в следующем виде: y=ax 2 +bx+c .
График квадратного неравенства
Постройте график параболы. В квадратном неравенстве используется формула, аналогичная квадратному уравнению, однако вместо знака ‘=’ стоит знак неравенства. Например, квадратное неравенство может выглядеть следующим образом: y x 2 +bx +c. Используйте шаги из предыдущего метода “График квадратного уравнения” и найдите три точки параболы.
I ) Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение: x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в виде x2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение: x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислим дискриминант:
D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имеет корней.
3. Решить уравнение: x2-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).
II ) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.
Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системе координат графи)
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.
III) Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)
Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.
На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II)Неравенства с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.
Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами aub воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| uy=b.