Тема урока: "Углы, вписанные в окружность"

Цели урока: формирования знаний по теме, организация работы по усвоению понятий, научных фактов.

Образовательные задачи:

ввести понятие вписанного угла;
научить распознавать вписанные углы на чертежах;
предвидеть дополнительное построение, содержащее вписанный угол, ведущее к решению задачи;
рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее;
показать применение теоремы при решении задач;
познакомить с оптическими иллюзиями

Воспитательные задачи: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение к познанию оптической иллюзии и ее применение на практике, воспитание эстетической культуры.

Развивающие задачи: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; совершенствовать графическую культуру.

Технология: проблемное изучение с применением информационных технологий.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма урока: урок – проблемное изложение.

Оборудование урока: презентация: презентация, листы самоанализа.

Этапы урока

Мотивирование к учебной деятельности -1 минута.
Постановка проблемы и создание плана ее решения – 2 минуты.
Актуализация знаний - 4 минуты.
Открытие нового понятия - 10 минут.
Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия - 4 минуты.
Применение новых знаний - 11 минут.
Игра “Веришь - не веришь” с целью закрепления нового теоретического материала - 2 минуты.
Индивидуальная работа с тестом - 5 минут.
Применение новых знаний в незнакомых ситуациях - 4 минуты.
Рефлексия - 3 минуты.

Ход урока

1. Мотивирование к учебной деятельности

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я, надеюсь, что те знания, которые Вы получите на уроке пригодятся Вам в жизни.

2. Постановка проблемы и создание плана ее решения

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом? (Cлайд 2). Презентация

Какие у Вас есть версии решения этой задачи?

Возникает проблемная ситуация. Знаний у учеников не хватает.

Чтобы ответить на этот вопрос, надо использовать свойства вписанного угла. Тогда давайте вместе составим план действий на уроке. Какие цели урока и как мы их будем достигать?”. В ходе обсуждения на экране появляется план урока. (Cлайд 3 )

3. Актуализация знаний

Учитель: “ Дайте определение угла. Что называется центральным углом?”. (Cлайд 4 )

Задачи (Cлайд 5

4. Открытие нового понятия

Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему? (Cлайд 6)

Острые, прямые, тупые.

Углы 1, 3, 5 и 2, 4, 6 по расположению вершины угла? Как называют углы 1, 3, 5 ?

А углы 2, 4, 6 –называются вписанными. Вот о них мы сегодня и поведём речь.

Чем похожи и чем отличаются углы АВС и КРО? (Cлайд 7 )

После ответа на этот вопрос учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, после чего учитель выводит на экран формулировку, подчеркивая важные моменты: (Cлайд 8 )

вершина лежит на окружности,
стороны пересекают окружность.

Найти рисунки, на которых изображены вписанные углы.

Задание. Выразите величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается. Работа со слайдом 10

Какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы выполнить указанное задание? Если учащиеся сразу не догадаются, уточнить: какой центральный угол нужно связать с данным вписанным углом?

Далее учащиеся видят, что полученный центральный угол является внешним углом равнобедренного треугольника и приходят к выводу, что один из углов (в частности вписанный), равный их полусумме, равен половине центрального, т.е. половине дуги, на которую он опирается.

Дается точная формулировка теоремы и проецируется на экран. (Cлайд 11 ).

Ученики в тетрадь переносят чертеж (слайд 12) , далее записывают в тетради условие. Один из учащихся комментирует записи. Следующий ученик записывает и комментирует доказательство теоремы. Логичность и полноту оформления проверяют с помощью слайда 12) . Таким образом, оформлено доказательство теоремы для случая, когда сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Случай, когда центр окружности лежит внутри угла, рассматривается устно с применением слайда 13.

Следующий случай, когда центр окружности лежит вне угла, учитель предлагает обосновать самостоятельно при домашней подготовке. (Cлайд 14 ). В классе же по чертежу слайда 15 выясняют, что данный вписанный угол можно рассматривать как разность двух углов, у каждого из которых одна сторона является какой либо стороной данного угла, а вторая сторона общая и проходит через центр окружности.

5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия

Работа со слайдом 15.

Задание. Как быстро с помощью циркуля и линейки построить сразу несколько углов, равных данному углу? Они замечают, что их способы способ нерациональны. Возникает проблемная ситуация: старые знания не дают рационального решения поставленной задачи.

Подумайте, как, используя новый материал, можно решить эту задачу. Можно провести окружность, проходящую через вершину угла, без указания центра и построить различные вписанные углы, опирающихся на одну дугу. Проблемная ситуация разрешена. После чего формулируется следствие 1: “Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны”.

Аналогично проводится работа, ведущая к формулировке следствия 2. (Cлайд 16 )

Как быстро с помощью циркуля и линейки построить прямой угол? Разъясняется, что “быстро” надо понимать за “минимальное число шагов”. Приходим к нерациональности данного построения. Если ученики не догадались, как выполнить построение, учитель задает вопрос: на какую дугу должен опираться прямой вписанный угол? После этого ученики излагают пошагово ход построения:

Начертить окружность произвольного радиуса.
Провести диаметр.
Выбрать любую точку окружности, кроме концов диаметра.
Провести лучи из выбранной точки через концы диаметра.

После этого учитель говорит, что в данном построении использовалось следствие 2 из теоремы о вписанном угле. Попробуйте его сформулировать.

Уточненная формулировка проецируется на экран. (Cлайды 17-19 )

6. Применение новых знаний

Решение задач на закрепление нового материала. Работа со слайдами 20-26 .

7. Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.(Cлайд 27 )

Игра “ Веришь - не веришь”

Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚?
Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?
Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?

8. Индивидуальная работа с тестом. (Cлайды 28-30 )

Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.

Вариант 1.

1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;

2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.

а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126°

а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;

Вариант 2.

1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.

а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.

а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;

3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.

а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста.

Задания	1	2	3
1 Вариант	Б	В	В
2 Вариант	Б	В	В

9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях

а) Работа со слайдами 31-33 .

Учитель: “Дома Вы решали задачу на вычисление углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. Как Вы ее решили?”.

Как решить эту задачу с помощью теоремы о величине вписанного угла.

II способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто: 360°: 5:2 *5=180°.

б)Разбор математического софизма на применение теоремы о величине вписанного угла .

Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.(Cлайд 34-36 ) Найти ошибку в рассуждениях.

Решение. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), Ð А = Ð С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, Ð ВDА= Ð ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит,

▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Поэтому, АВ=ЕС.

Найдите ошибку в рассуждениях.

в) Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. (Cлайды 37-39 )

Показать, какую иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы и вписанные углы.

Тест1. Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы. Хотя углы АОВ, ВОС, COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

Тест 2-3. Здесь доминирующими являются окружности. Углы, вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.

Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

10. Рефлексия

Давайте вернемся к плану урока и посмотрим, на все ли вопросы мы ответили?

Мы с Вами не ответили на один вопрос. Так как же надо посадить три розы? (Cлайд 40-41)

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

В конце урока учащимся для заполнения может быть выдана анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку, при этом, дополнительно, может быть сформулировано задание на аргументацию своего ответа:

1. На уроке я работал…;

2. Своей работой на уроке я…;

3. Урок для меня показался…;

4. За урок я…;

5. Материал урока мне был…;

6. Домашнее задание мне кажется…

Домашнее задание. (Cлайд 42 )

П. 71, выучить определение вписанного угла;
выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;
№ 654 № 656 № 657.

Список литературы:

Геометрия: Учеб. Для 7–9 кл. общеобразов. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 12-е изд., – М.: Просвещение, 2002 г.
Зив Б.Г., Мейлер В.М., Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Устные упражнения по геометрии для 7–11 классов. Книга для учителя. М.; Просвещение, 2003 г.
Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия 7–9 классы. “Илекса”, “Гимназия”, Москва-Харьков, 2003 г.

ЦОРы и Интернет-сайты:

Мастерская. Мультимедийные презентации для уроков математики. http://www.intergu.ru/infoteka/
Интернет-государство учителей в разделе Инфотека-Математика. http://www.intergu.ru/infoteka/
ЦОРы с портала “Сеть творческих учителей”.

Угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки, называется вписанным.

ТЕОРЕМА Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия:

все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, заключенных между его сторонами

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

ТЕОРЕМА Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла.

Задания с решением

1. Найдите величину угла АВС . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Построим квадрат со стороной АС.

Тогда видно, что угол АВС опирается на окружности, то есть на дугу 90º. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

2. Хорда АВ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 6:12. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ . Пусть большая часть окружности равна 12х, тогда меньшая равна 6х. Вся окружность составляет 360º.

Получаем уравнение 12х+6х=360º.Откуда х=20º.

Угол АСВ опирается на большую дугу окружности, которая равна 12·20º=240º.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен

Ответ 120º

3. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 84º. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол АВС – это угол между касательной и хордой. Он измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла. Дуга внутри угла равна 84º.Значит

4. К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

Пусть ОА=36, ОС=85.Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора получаем

5. К окружности из точки С вне ее проведены касательная АС и секущая СD, пересекающая окружность в точке В . Сумма длин касательной и секущей равна 30см, а внутренний отрезок секущей на 2см короче касательной. Найти длины касательной и секущей.

Пусть АС=х, а СD=у . Тогда х+у =30, а DB=AC -2=x -2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x -2)=y-x +2. По теореме, если из точки вне круга проведены к нему касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть . Тогда

Получаем систему

. х =80 не подходит так как у >0 Поэтому получаем

Касательная АС =12, секущая CD =18.

Ответ 12 и 18

6. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Построим на данном чертеже квадрат

Тогда становится очевидно, что сектор составляет одну четверть круга.

Радиус равен половине диагонали квадрата, сторона которого равна 4.

Тогда площадь сектора вычислим по формуле

Тогда искомая величина равна

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 90º, вписанный в окружность радиуса 1.
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 30º, вписанный в окружность радиуса 3.
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 120º, вписанный в окружность радиуса .
Центральный угол на 34º больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.	Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.	Угол ACO равен 25º, где O - центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O- центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 110º. Ответ дайте в градусах.	Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 116º и 36º . Ответ дайте в градусах.
Угол ACB равен 50º. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 130º. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.	Хорда AB стягивает дугу окружности в 86º. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 28º. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.	Через концы A, B дуги окружности в 72º проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 112º. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.	Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а дуга меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 62º. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке - центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается . Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90°, то есть круга. Центральный угол, равный 60°, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу .

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

2. Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у.

Мы знаем, что х = 2у.
Отсюда 2у = 36 + у,
у = 36.

3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда АВ равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим α.
В треугольнике АОВ стороны АО и ОВ равны 1, сторона АВ равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный, то есть угол АОВ равен 90°.
Тогда дуга АСВ равна 90°, а дуга АКВ равна 360° - 90° = 270°.
Вписанный угол α опирается на дугу АКВ и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135°.

Ответ: 135.

4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче - правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде АВ. Так, как будто хорда АВ - это экран в кинотеатре:-)
Очевидно, что найти нужно угол АСВ.
Сумма двух дуг, на которые хорда АВ делит окружность, равна 360°, то есть
5х + 7х = 360°
Отсюда х = 30°, и тогда вписанный угол АСВ опирается на дугу, равную 210°.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол АСВ равен 105°.

В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .

Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .

1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:

2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:

Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.

В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.

3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :

4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:

5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:

Решим несколько задач.

1 . Задание B7 (№ 27887)

Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:

Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°

Ответ: 45°

2 .Задание B7 (№ 27888)

Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.

Ответ: 135°

3 . Задание B7 (№ 27890)

Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:

Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.

Ответ: 45°.

4 . Задание B7 (№ 27885)

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.

Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°

Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.

Рассмотрим треугольник ADC:

Сумма углов треугольника равна 180°.

Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°

Ответ: 40°

5 . Задание B7 (№ 27872)

Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°

Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°

Ответ: 108°

6 . Задание B7 (№ 27873)

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

(см. чертеж предыдущей задачи)

Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:

АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.

4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.

Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.

Следовательно, угол А равен 60°

Ответ: 60°

7 . Задание B7 (№ 27874)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD

Вычисление углов II

Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 126 o . Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63 o , 62 o , 90 o и 145 o . Найдите угол В этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Точки A, B, C и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 4: 12: 19. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Точки A, B, C и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 5: 10: 20. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 58 o , угол CAD равен 43 o . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25 o и 51 o . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы А, В и С четырехугольника АВСD относятся как 1: 13: 17. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Центральный угол на 45 o больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Центральный угол на 47 o больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 10% окружности. Ответ дайте в градусах.
Дуга окружности АС, не содержащая точки В, составляет 180 o . А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 45 o . Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
Точки А, В и С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1: 4: 13. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 35 o . Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
AС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 39 o . Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6 o . Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.
Хорда АВ стягивает дугу окружности в 114 o . Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.
В угол С величиной 107 o вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ, где точка О - центр окружности. Ответ дайте в градусах.
Касательные в точка А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 2 o . Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 67 o и 25 o . Ответ дайте в градусах.
Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 75 o . Найдите .
Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54 o . Найдите .
Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 30 o . Найдите .