Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:
Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.
Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:
Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).
Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,
Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.
Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим
что и требовалось доказать.
Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.
Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:
Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.
Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия
10. Теоремы о пропорциональных линиях
Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.
Доказательство. Требуется доказать, что 
Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны (вследствие параллельности прямых). Из их подобия следует:
Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D"E" , отрезок EN на E"F" (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.
Теорема. Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
.Обратная теорема. Если какая-нибудь сторона треугольника разделена на две части, пропорциональные двум прилежащим сторонам этого треугольника, то прямая, соединяющая точку деления с вершиной противолежащего угла, есть биссектриса этого угла
.Теорема. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в некоторой точке, то расстояния от этой точки до концов продолженной стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника
.Числовые зависимости между элементами треугольника.
Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком
.Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.
1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как
Р 1=Р 4 и Р 2=Р 3 (так как их стороны перпендикулярны), следовательно BD:AD=AD:DC.2) Треугольники ABD и AВC подобны, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно BC:AB=AB:DB.
3) Треугольники ABС и ADC подобны, так как они прямоугольные и угол С у них общий, следовательно BC:AC=AC:DC.
Следствие. Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная между отрезками диаметра, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком его
.Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
.Следствие. Квадраты катетов относятся между собой как прилежащие отрезки гипотенузы
.Теорема. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения какой-нибудь из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты .Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
.Пропорциональные линии в круге.
Теорема. Если через точку, взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра .Следствие. Если через точку, взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд, то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд.
Теорема. Если из точки, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной
.Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0
Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
