Занятие 2. Интегральное исчисление

    Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства неопределенного интеграла.

    Основные методы интегрирования неопределенного интеграла.

    Определенный интеграл и его геометрический смысл.

    Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла.

Зная производную или дифференциал функции, можно найти саму эту функцию (восстановить функцию). Такое действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием.

Первообразной функцией по отношению к данной функции называется такая функция
, производная от которой равна данной функции, т.е.

Для данной функции первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций
, также является первообразной для .

Совокупность всех первообразных для данной функции называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:

, где

называется подынтегральным выражением, функция
- подынтегральной функцией.

Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции
вдоль оси ординат (рис. 3).


Основные свойства неопределённого интеграла

Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const:

Свойство 4. Линейность интеграла.

Таблица основных интегралов

Интеграл

степенная

показательная

тригонометрические

обратные

тригонометрические

Основные методы интегрирования


    Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:

.

Этот метод применяется в том случае, если интеграл
является более простым для решения чем
. Как правило, этим методом решаются интегралы вида
, где
- многочлен, а - одна из следующих функций:
,
,
, , ,
,
.

Рассмотрим некоторую функцию
, определённую на промежутке
, рис. 4. Выполним 5 операций.

1. Разобьём промежуток точками произвольным образом на частей. Обозначим
, а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , будем называть рангом дробления.

2. На каждом частичном участке
возьмём произвольную точку и вычислим в ней значение функции
.

3. Составим произведение


4. Составим сумму
. Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.

5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю (
) т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков
), будем находить предел последовательности интегральных сумм

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции по промежутку и обозначается так:
.

Геометрический смысл определенного интеграла. Допустим, что функция непрерывна и положительна на промежутке . Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис. 4). Интегральная сумма
даёт нам сумму площадей прямоугольников с основаниями
и высотами
. Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной трапеции ABCD , т.е.

,

причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n →+∞ и λ → 0 мы получим:

.

В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Основные свойства определённого интеграла

Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю.

Свойство 2. При перемене местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 3. Линейность интеграла.

Свойство 4. Каковы бы ни были числа
, если функция
интегрируема на каждом из промежутков
,
,
(рис. 5), то:

Теорема. Если функция непрерывна на промежутке , то определённый интеграл от этой функции по промежутку равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е.

(Формула Ньютона-Лейбница) .

Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов. Разность
называется приращением первообразной и обозначается
.

Рассмотрим основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

    Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле - необходимо выполнить следующие действия:


и
;

Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.

2. Интегрирование по частям в определённом интеграле сводится к применению формулы:

.

Примеры решения задач

Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

1.
. Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянный множитель. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

.

Задание 2. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.

1.
. Сделаем замену переменной
, тогда . Исходный интеграл примет вид:

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям.

1.
. Введем следующие обозначения: смысл ... основное понятие интегрального исчисления – понятие неопределенного интеграла ... неопределенного интеграла Основные свойства неопределенного интеграла Использовать таблицу основных неопределенных ...

  • Рабочая программа учебной дисциплины "высшая математика" Цикл

    Рабочая программа

    ... основные законы... Интегральное исчисление функции одной переменной Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства ... интеграл и его геометрический смысл . Интеграл ... координатах. Неопределенный интеграл и... и практические занятия ". Петрушко И.М., ...

    • Вычисление площади является основным в теории площадей. Возникает вопрос о ее нахождении, когда фигура имеет неправильную форму или необходимо прибегнуть к ее вычислению через интеграл.

    Данная статья рассказывает о вычислении площади криволинейной трапеции по геометрическому смыслу. Это позволяет выявлять связь между интегралом и площадью криволинейной трапеции. Если дана функция f (x) , причем непрерывная на интервале [ a ; b ] , знак перед выражением не меняется.

    Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

    Фигура, обозначенная как G , ограничена линиями вида y = f (x) , y = 0 , x = a и x = b , называется криволинейной трапецией . Она принимает обозначение S (G) .

    Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Для вычисления криволинейно трапеции необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на количество n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n с точками, определенными на a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Отсюда имеем, что P ⊂ G ⊂ Q , причем при увеличении количества точек разбиения n , получим неравенство вида S - s < ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S - s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .

    Из последнего равенства получим, что определенный интеграл вида ∫ a b f (x) d x является площадью криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции вида y = f (x) . Это и есть геометрический смысл определенного интеграла.

    При вычислении ∫ a b f (x) d x получим площадь искомой фигуры, которая ограничивается линиями y = f (x) , y = 0 , x = a и x = b .

    Замечание: Когда функция y = f (x) является неположительной из отрезка [ a ; b ] , тогда получаем, что площадь криволинейной трапеции вычисляется, исходя из формулы S (G) = - ∫ a b f (x) d x .

    Пример 1

    Вычислить площадь фигуры, которая ограничена заданными линиями вида y = 2 · e x 3 , y = 0 , x = - 2 , x = 3 .

    Решение

    Для того, чтобы решить, необходимо для начал построить фигуру на плоскости, где имеется прямая y = 0 , совпадающая с О х, с прямыми вида x = - 2 и x = 3 , параллельными оси о у, где кривая y = 2 · e x 3 строится при помощи геометрических преобразований графика функции y = e x . Построим график.

    Отсюда видно, что необходимо найти площадь криволинейной трапеции. Вспоминая геометрический смысл интеграла, получаем, что искомая площадь и будет выражена определенным интегралом, который необходимо разрешить. Значит, необходимо применить формулу S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x . Такой неопределенный интеграл вычисляется, исходя из формулы Ньютона-Лейбница

    S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x = 6 · e x 3 - 2 3 = 6 · e 3 3 - 6 · e - 2 3 = 6 · e - e - 2 3

    Ответ: S (G) = 6 · e - e - 2 3

    Замечание: Для нахождения площади криволинейной трапеции не всегда можно построить фигуру. Тогда решение выполняется следующим образом. При известной функции f (x) неотрицательной или неположительной на отрезке [ a ; b ] , применяется формула вида S G = ∫ a b f (x) d x или S G = - ∫ a b f (x) d x .

    Пример 2

    Произвести вычисление площади, ограниченной линиями вида y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) , y = 0 , x = - 2 , x = 4 .

    Решение

    Для построения этой фигуры получим, что у = 0 совпадает с О х, а х = - 2 и х = 4 являются параллельными О у. График функции y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 - это парабола с координатами точки (- 1 ; 3) , являющейся ее вершиной с направленными вверх ветвями. Чтобы найти точки пересечения параболы с О х, необходимо вычислить:

    1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 · 1 · (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4

    Значит, парабола пересекает ох в точках (4 ; 0) и (2 ; 0) . Отсюда получим, что фигура, обозначенная как G , получит вид, изображенный на рисунке ниже.

    Данная фигура не является криволинейной трапецией, потому как функция вида y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) изменяет знак на промежутке [ - 2 ; 4 ] . Фигура G может быть представлена в виде объединений двух криволинейных трапеций G = G 1 ∪ G 2 , исходя из свойства аддитивности площади, имеем, что S (G) = S (G 1) + S (G 2) . Рассмотрим график, приведенный ниже.

    Отрезок [ - 2 ; 4 ] считается неотрицательной областью параболы, тогда отсюда получаем, что площадь будет иметь вид S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Отрезок [ - 2 ; 2 ] неположительный для функции вида y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) , значит, исходя из геометрического смысла определенного интеграла, получим, что S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Необходимо произвести вычисления по формуле Ньютона-Лейбница. Тогда определенный интеграл примет вид:

    S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9

    Стоит отметить, что нахождение площади не верно по принципу S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 · - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4

    Так как полученное число является отрицательным и представляет собой разность S (G 2) - S (G 1) .

    Ответ: S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9

    Если фигуры ограничены линиями вида y = c , y = d , x = 0 и x = g (y) , а функция равна x = g (y) , причем непрерывна и имеет неменяющийся знак на промежутке [ c ; d ] , то их называют криволинейными тарпециями.Рассмотримна рисунке, приведенном ниже.

    Определение 2

    ∫ c d g (y) d y заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида x = g (y) , расположенной на интервале [ c ; d ] .

    Пример 3

    Произвести вычисление фигуры, которая ограничена осью ординат и линиями x = 4 ln y y + 3 , y = 1 , y = 4 .

    Решение

    Построение графика x = 4 ln y y + 3 не является простым. Поэтому необходимо решить без чертежа. Вспомним, что функция определена для всех положительных значений y . Рассмотрим значения функции, имеющиеся на отрезке [ 1 ; 4 ] . По свойствам элементарных функций знаем, что логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Тогда не отрезке [ 1 ; 4 ] является неотрицательной. Значит имеем, что ln y ≥ 0 . Имеющееся выражение ln y y , определенное на том же отрезке, неотрицательно. Можно сделать вывод, что функция x = 4 ln y y + 3 является положительной на интервале, равном [ 1 ; 4 ] . Получаем, что фигура на этом интервале является положительной. Тогда ее площадь должна вычисляться по формуле S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .

    Необходимо произвести вычисление неопределенного интеграла. Для этого необходимо найти первообразную функции x = 4 ln y y + 3 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Получаем, что

    ∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 · 4 - (2 ln 2 1 + 3 · 1) = 8 ln 2 2 + 9

    Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

    Ответ: S (G) = 8 ln 2 2 + 9

    Итоги

    В данной статье мы выявили геометрический смысл определенного интеграла и изучили связь с площадью криволинейной трапеции. Отсюда следует, что мы имеем возможность вычислять площадь сложных фигур при помощи вычисления интеграла для криволинейной трапеции. В разделе нахождения площадей и фигур, которые ограниченными линиями y = f (x) , x = g (y) , данные примеры рассмотрены подробно.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Первообразная

    Определение первообразной функции

    • Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

    Можно прочесть двумя способами:

    1. f производная функции F
    2. F первообразная для функции f

    Свойство первообразных

    • Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

    Геометрическая интерпретация

    • Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

    Правила вычисления первообразных

    1. Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
    2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
    3. Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

    Запомни!

    Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

    • Например:

      F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

      f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

      f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

    Связь между графиками функции и ее первообразной:

    1. Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
    2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
    3. Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

    Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

    Неопределенный интеграл

    Определение :

    • Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
    • f(x) - называют подынтегральной функцией;
    • f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
    • x - называют переменной интегрирования;
    • F(x) - одна из первообразных функции f(x);
    • С - произвольная постоянная.

    Свойства неопределённого интеграла

    1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
    2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
    3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
    4. Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

    Таблица первообразных и неопределенных интегралов

    Функция

    f(x)

    Первообразная

    F(x) + C

    Неопределенные интегралы

    \int f(x) dx = F(x) + C

    0 C \int 0 dx = C
    f(x) = k F(x) = kx + C \int kdx = kx + C
    f(x) = x^m, m\not =-1 F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C \int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
    f(x) = \frac{1}{x} F(x) = l n \lvert x \rvert + C \int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
    f(x) = e^x F(x) = e^x + C \int e{^x }dx = e^x + C
    f(x) = a^x F(x) = \frac{a^x}{l na} + C \int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
    f(x) = \sin x F(x) = -\cos x + C \int \sin x dx = -\cos x + C
    f(x) = \cos x F(x) =\sin x + C \int \cos x dx = \sin x + C
    f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x} F(x) = -\ctg x + C \int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
    f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x} F(x) = \tg x + C \int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
    f(x) = \sqrt{x} F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
    f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}} F(x) =2\sqrt{x} + C
    f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} F(x)=\arcsin x + C \int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
    f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} F(x)=\arctg x + C \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
    f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}} F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
    f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
    f(x) =\frac{1}{ 1+x^2} F(x)=\arctg + C \int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
    f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0) F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
    f(x)=\tg x F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
    f(x)=\ctg x F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
    f(x)=\frac{1}{\sin x} F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C \int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
    f(x)=\frac{1}{\cos x} F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C \int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C


    Формула Ньютона–Лейбница

    Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

    \int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

    где F(x) - первообразная для f(x)

    То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

    Площадь криволинейной трапеции

    Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

    Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

    S= \int_{a}^{b} f(x) dx

    Первообразная функция и неопределённый интеграл

    Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

    Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

    Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

    Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

    ∫

    f (x )dx

    ,

    где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

    Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

    ∫

    f (x )dx = F (x ) +C

    где C - произвольная постоянная (константа).

    Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

    Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

    Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

    Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

    Пример 1. Найти множество первообразных функции

    Решение. Для данной функции первообразной является функция

    Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

    (2)

    Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

    где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

    Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

    Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

    В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

    Пример 2. Найти множества первообразных функций:

    Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

    1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

    2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

    3) Так как

    то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

    Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

    , ;

    здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

    Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

    Геометрический смысл неопределённого интеграла

    Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

    Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

    Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

    Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

    Свойства неопределённого интеграла

    Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

    Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

    (3)

    Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

    Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

    Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).

    В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).

    Например, если v(t) = аt , где а – заданное число, то функция
    s(t) = (аt 2) / 2 v(t), так как
    s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

    Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).

    Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .

    Рассмотрим задачу.

    Задача .

    Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .

    Решение .

    1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).

    2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).

    3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).

    Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.

    Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).

    Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

    Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.

    Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.

    Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

    Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

    Обратим внимание на правила нахождения первообразных.

    Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).

    Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.

    Рассмотрим некоторые значения первообразных.

    1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

    2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.

    3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.

    4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.

    5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.

    6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.

    7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.

    8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.

    9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .

    10) Функция: cos (kx + b), k ≠ 0. Первообразная: (1/k) sin (kx + b).

    Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.

    Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

    1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);

    2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).

    сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.