Декабристы: «дети 1812 года»

26 (14) декабря 1825 года на Сенатской площади в Петербурге произошло восстание, оставшееся в истории как восстание декабристов. Этот день повлиял на все последующее развитие общественной мысли Российской Империи. Декабристы выступали против самодержавной власти, против крепостного права. Они верили в силу реформ.

В отечественной историографии неоднократно подчеркивалось, что на мировоззрение декабристов огромное влияние оказала Отечественная война 1812 года. Собственно, можно говорить о том, что именно эта война пробудила в будущих декабристах мысли о судьбе и положении своей родины и своих соотечественников всех сословий.

«Мы были дети 1812 года»

Многие декабристы были участниками войны 1812 года. Некоторые из них принимали активное участие в войне, заслужили немало наград. Среди них, например, Михаил Федорович Орлов, Матвей Александрович Дмитриев-Мамонов и, конечно же, Сергей Григорьевич Волконский. Кандидатуры этих генералов даже рассматривались на помещение их портретов в Военную галерею Зимнего дворца, посвященную войне 1812 года. Но по разным причинам они не были утверждены. Только с кандидатурой Волконского все было вполне очевидно: его портрет был написан, но поместить в Зимнем дворце портрет на тот момент уже осужденного государственного преступника было просто невозможно.

Большинство же будущих декабристов в 1812 году были совсем молодыми офицерами, которые, несмотря на свой возраст, сражались за свою Родину против армии Наполеона. Такие видные декабристы, как князь Трубецкой, братья Муравьевы-Апостолы, Павел Пестель и многие другие участвовали во многих важнейших сражениях кампании 1812 года, отличились в Бородинском сражении, при Малоярославце. Они также участвовали в заграничных походах русской армии. Они тоже были героями войны, в тот момент еще не успевшими дослужиться до больших чинов.

Декабрист Никита Муравьев писал: «В 1812 году не имел я образа мыслей, кроме пламенной любви к Отечеству». Этот высочайший патриотический порыв, который овладел всем русским народом, навсегда изменил сознание будущих декабристов. Неслучайно, Матвей Иванович Муравьев-Апостол сказал о движении декабристов: «Мы были дети 1812 года».

С. Г. Волконский с женой в камере в Петровской тюрьме. Рисунок Н. А. Бестужева, 1830 г.

«Дух преобразования заставляет умы клокотать»

Важным фактором в формировании мировоззрения декабристов стал поход в Западную Европу. По мнению русского историка Милицы Васильевны Нечкиной, именно заграничные походы 1813-1814 гг. явились ускорителем «развивающегося идеологического процесса».

Русские солдаты и офицеры побывали в европейских странах, где не было крепостного права, где существовали хоть какие-то конституционные учреждения и понятия. Все увиденное произвело на будущих декабристов огромное впечатление. Их заботил вопрос - почему такого нет в России, победившей Наполеона, одной из сильнейших мировых держав.

Василий Осипович Ключевский писал о том, как эти события повлияли на русских людей: «События эти очень неодинаково действовали на русское общество и на русское правительство. В первом они вызвали необыкновенное политическое и нравственное возбуждение. Русские люди, только что пережившие такие опасности, вышли из них с более живым ощущением своих сил. Возбуждение это сказывалось и в литературе, даже официальной; в периодических официальных изданиях, продолжая прежний тон, с начала царствования установившийся в печати, встречались статьи о таких вопросах, как свобода печати и т.п. Еще живее сказывалось это возбуждение в неофициальной периодической литературе; здесь прямо печатались статьи под заглавием "О конституции", в которых доказывалась "доброта представительных учреждений "».

Русские солдаты и офицеры прошли Европу от Москвы и почти до западной ее окраины, участвовали в тех важнейших событиях, которые решали судьбу западноевропейских народов, чувствовали себя освободителями Европы от владычества Наполеона. Все то, что они увидели там, чему удивились и поразились, они прилагали к своему отечеству, сравнивали его с Европой.

Павел Иванович Пестель писал: «Происшествия 1812, 1813, 1814 и 1815 годов, равно как и предшествовавших и последовавших времен, показали столько престолов низверженных, столько других постановленных, столько царств уничтоженных, столько новых учрежденных, столько царей изгнанных, столько возвратившихся или призванных и столько опять изгнанных, столько революций совершенных, столько переворотов произведенных, что все сии происшествия ознакомили умы с революциями, с возможностями и удобностями оные производить. К тому же имеет каждый век свою отличительную черту. Нынешний ознаменовывается революционными мыслями. От одного конца Европы до другого видно везде одно и то же, от Португалии до России, не исключая ни единого государства, даже Англии и Турции, сих двух противуположностей. То же самое зрелище представляет и вся Америка. Дух преобразования заставляет, так сказать, везде умы клокотать... Вот причины, полагаю я, которые породили революционные мысли и правила и укоренили оные в умах ».

Сергей Тимофеевич Аксаков писал в одном из своих стихотворений о разочаровании, которое открылось перед русскими людьми после победы над Наполеоном:

Ах, сколь ошиблись мы с тобой, любезный друг,
Сколь тщетною мечтою наш утешался дух!
Мы мнили, что сия ужасная година
Не только будет зла, но и добра причина;
Что разорение, пожары и грабеж,
Врагов неистовство, коварство, злоба, ложь,
Собратий наших смерть, страны опустошенье
К французам поселят навеки отвращенье…

Но что ж, увы, но что ж везде мой видит взор?
И в самом торжестве я вижу наш позор!
Рукою победя, мы рабствуем умами,
Клянем французов мы французскими словами.
Толпы сих пленников, грабителей, убийц,
В Россию вторгшися, как стаи хищных птиц,
Гораздо более вдыхают сожаленья,
Чем росски воины, израненны в сраженьях!

Хроника дня: Бой у Пиктупенен

Авангард Паулуччи настиг неприятеля у деревни Будериксгофф и вступил с ним в бой. В результате неприятель был опрокинут, а русские войска захватили 80 пленных и крупный рогатый скот противника. После этой победы Паулуччи вышел на линию Мемель - Тильзит и мог присоединиться к войскам генерала Платова.

Тем временем авангард Е.И. Властова атаковал Седьмую пехотную дивизию генерала Гранжана у местечка Пиктупенен. Завязалось упорное сражение, верх в котором одержали французы. Генерал Властов с большими потерями был отброшен и вынужден отойти к Тильзиту. Дивизия Гранжана воспользовалась плодами своей победы и беспрепятственно отходила к Таурогену.

Персона: Сергей Григорьевич Волконский

Сергей Григорьевич Волконский (1788-1865)

Волконский происходил из старинного княжеского рода. Он получил поверхностное домашнее образование, а затем был отправлен в частный пансион аббата Николя в Петербурге. В 1796 г. он был записан на службу сержантом в Херсонский гренадерский полк. Действительная служба Волконского началась в декабре 1805 г.

Во время французской кампании 1806-1807 гг. Волконский отличился в ряде сражений. Он был награжден орденом Св. Владимира 4 ст. с бантом, получил золотой знак за Прейсиш-Эйлау и золотую шпагу за храбрость.

Волконский также участвовал в турецкой кампании 1810-1811 гг. Он принимал участие в покорении крепости Силистрии, под Шумлою, в осаде крепости Рущука. Он получил золотую шпагу за храбрость, был произведен в ротмистры и стал флигель-адъютантом Александра I.

Во время Отечественной войны 1812 г. князь Волконский состоял при государе императоре в звании Его Величества флигель-адъютанта. Он принимал участие в сражениях 2-й Западной армии при Могилеве и Дашковке. В составе отряда генерал-адъютанта Винцингероде он участвовал в сражениях под Поречьем, при Витебске, при Дмитрове. Волконский был произведен в полковники. Он также участвовал в сражениях при переправе через р. Воплю, в сражении при Духовщине и под Смоленском, а также при переправе неприятеля через р. Березину, за что был награжден орденом Св. Владимира 3-й степени.

В заграничных походах русской армии Волконский участвовал во многих крупных сражениях. Особенно отличился он в сражении под Калишем, за что был пожалован орденом Св. Георгия 4-го кл., в сражении при Люцене. За эту кампанию он был награжден орденом Св. Анны 2-й ст., украшенным алмазами и прусским орденом «За заслуги». А 15 сентября 1813 г. он был произведен в генерал-майоры. Отличился под Лейпцигом и был награжден орденом Св. Анны 1-й ст. В 1814 г. Волконский сражался во Франции в 1814 г. и был удостоен прусского ордена Красного орла 2-й ст.

В 1819 г. Волконский вступил в Союз благоденствия, а в 1821 г. - в Южное общество. Волконский был одним из самых активных участников декабристского движения. 5 января 1826 г. Волконский был арестован по делу о восстании Черниговского пехотного полка, доставлен в Санкт-Петербург и заключен в Петропавловскую крепость.

Волконский был осужден по 1-му разряду, лишен всех чинов, дворянского звания и привилегий, приговорен к смертной казни. Но смертная казнь была заменена двадцатью годами каторги, впоследствии сниженной до 9 лет.

В Сибири он организовал материальную поддержку неимущим товарищам и дружил с местными крестьянами, оказывая им медицинскую и иную помощь. В 1856 г. был амнистирован, приехал в Москву. Ему вернули дворянство, но не княжеский титул. Из наград по особой просьбе ему были возвращены воинский орден Георгия за Прейсиш-Эйлау и памятная медаль 1812 года (эти награды были ему особенно дороги).

Известна также его жена - Мария Николаевна Волконская, урожденная Раевская. Она была дочерью знаменитого героя войны 1812 года Николая Николаевича Раевского. Она последовала за своим мужем в Сибирь на каторгу, несмотря на сопротивление родных.

13 (25) декабря 1812 года
Русские преследуют Гранжана
Персона: Матвей Федорович Казаков
Архитектор всея Москвы

12 (24) декабря 1812 года
Русские атакуют отряд Гранжана
Персона: Джорж Доу
Военная галерея Зимнего дворца

11 (23) декабря 1812 года
Победа над пруссаками у Тильзита
Персона: Александр Павлович
Александр I: "Державный сфинкс"

10 (22) декабря 1812 года
Сражения у Немана
Персона: Великий князь Сергей Александрович
Празднование 100-летнего юбилея Отечественной войны

9 (21) декабря 1812 года

Урок и презентация на тему:
"Свойства квадратного корня. Формулы. Примеры решений, задачи с ответами"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Интерактивное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 8 класса
Образовательный комплекс "1С: Школа. Геометрия, 8 класс"

Свойства квадратного корня

Мы продолжаем изучать корни квадратные . Сегодня рассмотрим основные свойства корней. Все основные свойства интуитивно понятны и согласуются со всеми операциями, которые мы проводили раньше.

Свойство 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел: $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}$.

Любые свойства принято доказывать, давайте это и сделаем.
Пусть $\sqrt{a*b}=x$, $\sqrt{a}=y$, $\sqrt{b}=z$. Тогда нам доказать, что $x=y*z$.
Давайте каждое выражение возведем в квадрат.
Если $\sqrt{a*b}=x$, то $a*b=x^2$.
Если $\sqrt{a}=y$, $\sqrt{b}=z$, то возведя оба выражения в квадрат, получим: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, то есть $x^2=(y*z)^2$. Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то значит и сами числа равны, что и требовалось доказать.

Из нашего свойства следует, что, например, $\sqrt{5}*\sqrt{3}=\sqrt{15}$.

Замечание 1. Свойство справедливо и для случая, когда под корнем более двух неотрицательных множителей.
Свойство 2. Если $а≥0$ и $b>0$, то справедливо следующее равенство: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

То есть корень из частного равен частному корней.
Доказательство.
Воспользуемся таблицей и кратко докажем наше свойство.

Примеры использования свойств квадратных корней

Пример 1.
Вычислить: $\sqrt{81*25*121}$.

Решение.
Конечно, мы можем взять калькулятор, перемножить все числа под корнем и выполнить операцию извлечения корня квадратного. А если под рукой нет калькулятора, как быть тогда?
$\sqrt{81*25*121}=\sqrt{81}*\sqrt{25}*\sqrt{121}=9*5*11=495$.
Ответ: 495.

Пример 2. Вычислить: $\sqrt{11\frac{14}{25}}$.

Решение.
Подкоренное число представим в виде неправильной дроби: $11\frac{14}{25}=\frac{11*25+14}{25}=\frac{275+14}{25}=\frac{289}{25}$.
Воспользуемся свойством 2.
$\sqrt{\frac{289}{25}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}}=\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}=3,4$.
Ответ: 3,4.

Пример 3.
Вычислить: $\sqrt{40^2-24^2}$.

Решение.
Мы можем вычислить наше выражение напрямую, но практически всегда его можно упростить. Давайте попробуем это сделать.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Итак, $\sqrt{40^2-24^2}=\sqrt{16*64}=\sqrt{16}*\sqrt{64}=4*8=32$.
Ответ: 32.

Ребята, обратите внимание, что для операций сложения и вычитания подкоренных выражений ни каких формул не существует и представленные ниже выражения не верны.
$\sqrt{a+b}≠\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
$\sqrt{a-b}≠\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Пример 4.
Вычислить: а) $\sqrt{32}*\sqrt{8}$; б) $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}$.
Решение.
Свойства, представленные выше, работают как и слева на право, так и в обратном порядке, то есть:
$\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}$.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.
Используя это, решим наш пример.
а) $\sqrt{32}*\sqrt{8}=\sqrt{32*8}=\sqrt{256}=16.$

Б) $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2$.

Ответ: а) 16; б) 2.

Свойство 3. Если $а≥0$ и n – натуральное число, то выполняется равенство: $\sqrt{a^{2n}}=a^n$.

Например. $\sqrt{a^{16}}=a^8$, $\sqrt{a^{24}}=a^{12}$ и так далее.

Пример 5.
Вычислить: $\sqrt{129600}$.

Решение.
Представленное нам число довольно таки большое, давайте разложим его на простые множители.
Мы получили: $129600=5^2*2^6*3^4$ или $\sqrt{129600}=\sqrt{5^2*2^6*3^4}=5*2^3*3^2=5*8*9=360$.
Ответ: 360.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить: $\sqrt{144*36*64}$.
2. Вычислить: $\sqrt{8\frac{1}{36}}$.
3. Вычислить: $\sqrt{52^2-48^2}$.
4. Вычислить:
а) $\sqrt{128*\sqrt{8}}$;
б) $\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{8}}$.

Факт 1.
$\bullet$ Возьмем некоторое неотрицательное число $a$ (то есть $a\geqslant 0$ ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$ , при возведении которого в квадрат мы получим число $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что $a\geqslant 0, b\geqslant 0$ . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть $100^2=10000\geqslant 0$ и $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Чему равен $\sqrt{25}$ ? Мы знаем, что $5^2=25$ и $(-5)^2=25$ . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то $-5$ не подходит, следовательно, $\sqrt{25}=5$ (так как $25=5^2$ ).
Нахождение значения $\sqrt a$ называется извлечением квадратного корня из числа $a$ , а число $a$ называется подкоренным выражением.
$\bullet$ Исходя из определения, выражения $\sqrt{-25}$ , $\sqrt{-4}$ и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от $1$ до $20$ : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
$\bullet$ Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, $\sqrt{25}+\sqrt{49}$ , то первоначально вы должны найти значения $\sqrt{25}$ и $\sqrt{49}$ , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения $\sqrt a$ или $\sqrt b$ при сложении $\sqrt a+\sqrt b$ найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме $\sqrt 2+ \sqrt {49}$ мы можем найти $\sqrt{49}$ – это $7$ , а вот $\sqrt 2$ никак преобразовать нельзя, поэтому $\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7$ . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя $\bullet$ Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: $\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$ ; $\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16$ ; $\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40$ . $\bullet$ Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем $\sqrt{44100}$ . Так как $44100:100=441$ , то $44100=100\cdot 441$ . По признаку делимости число $441$ делится на $9$ (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, $441:9=49$ , то есть $441=9\cdot 49$ .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
$\bullet$ Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения $5\sqrt2$ (сокращенная запись от выражения $5\cdot \sqrt2$ ). Так как $5=\sqrt{25}$ , то \ Заметим также, что, например,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число $\sqrt2$ мы не можем. Представим, что $\sqrt2$ – это некоторое число $a$ . Соответственно, выражение $\sqrt2+3\sqrt2$ есть не что иное, как $a+3a$ (одно число $a$ плюс еще три таких же числа $a$ ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам $a$ , то есть $4\sqrt2$ .

Факт 4.
$\bullet$ Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака $\sqrt {} \ $ корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа $16$ можно, потому что $16=4^2$ , поэтому $\sqrt{16}=4$ . А вот извлечь корень из числа $3$ , то есть найти $\sqrt3$ , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст $3$ .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}$ и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$ ), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$ ) и т.д.
$\bullet$ Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой $\mathbb{R}$ .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
$\bullet$ Модуль вещественного числа $a$ – это неотрицательное число $|a|$ , равное расстоянию от точки $a$ до $0$ на вещественной прямой. Например, $|3|$ и $|-3|$ равны 3, так как расстояния от точек $3$ и $-3$ до $0$ одинаковы и равны $3$ .
$\bullet$ Если $a$ – неотрицательное число, то $|a|=a$ .
Пример: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Если $a$ – отрицательное число, то $|a|=-a$ .
Пример: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$ .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число $0$ , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная $x$ (или какая-то другая неизвестная), например, $|x|$ , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: $|x|$ . $\bullet$ Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что $\sqrt{a^2}$ и $(\sqrt a)^2$ – одно и то же. Это верно только в том случае, когда $a$ – положительное число или ноль. А вот если $a$ – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо $a$ число $-1$ . Тогда $\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$ , а вот выражение $(\sqrt {-1})^2$ вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что $\sqrt{a^2}$ не равен $(\sqrt a)^2$ ! Пример: 1) $\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2$ , т.к. $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom{00000}$ 2) $(\sqrt{2})^2=2$ . $\bullet$ Так как $\sqrt{a^2}=|a|$ , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение $2n$ обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) $\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25$ (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен $-25$ ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) $\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8$ (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
$\bullet$ Для квадратных корней верно: если $\sqrt a<\sqrt b$ , то $a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}$ и $6\sqrt2$ . Для начала преобразуем второе выражение в $\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}$ . Таким образом, так как $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Между какими целыми числами находится $\sqrt{50}$ ?
Так как $\sqrt{49}=7$ , $\sqrt{64}=8$ , а $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Сравним $\sqrt 2-1$ и $0,5$ . Предположим, что $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и $\sqrt 2-1<0,5$ .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! $\bullet$ Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем $\sqrt{28224}$ . Мы знаем, что $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ и т.д. Заметим, что $28224$ находится между $10\,000$ и $40\,000$ . Следовательно, $\sqrt{28224}$ находится между $100$ и $200$ .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между $120$ и $130$ ). Также из таблицы квадратов знаем, что $11^2=121$ , $12^2=144$ и т.д., тогда $110^2=12100$ , $120^2=14400$ , $130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900$ . Таким образом, мы видим, что $28224$ находится между $160^2$ и $170^2$ . Следовательно, число $\sqrt{28224}$ находится между $160$ и $170$ .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце $4$ ? Это $2^2$ и $8^2$ . Следовательно, $\sqrt{28224}$ будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем $162^2$ и $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Следовательно, $\sqrt{28224}=168$ . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, - вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, "математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа". Понятие "квадратный корень" появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.

С чего все начиналось

Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало - ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.

Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.

Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе "Математика в девяти книгах", а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.

Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность - все, что имеет под собой "корневую" смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).

Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду "галочка" √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.

Наши дни

С точки зрения математики, квадратный корень из числа y - это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.

В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.

Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.

Свойства квадратного корня на поле R

Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.

Как найти корень числа?

Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:

1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа - до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:

Следующее нечетное число - это 11, остаток у нас следующий: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графическое изображение функции z=√y

Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:

Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).

Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R

1. Область определения рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).

2. Область значений рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).

3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.

4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.

5. Функция z=√y не является периодической.

6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).

7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.

8. Функция z=√y непрерывно растет.

9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.

Варианты изображения функции z=√y

В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.

А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.

Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).

Корень квадратный в комплексном поле С

По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.