Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.
Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что
1) любое положительное число больше нуля;
2) любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.
Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.
Неравенства обладают следующими основными свойствами.
1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.
Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.
2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность
Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.
Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.
3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.
Это равенство можно переписать так:
Из этого следует, что разность положительна, т. е. что
а это и надо было доказать.
На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства
следует, что
4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.
Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .
Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.
5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь
В частности, если где -натуральное число, то получим
т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.
Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.
Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!
Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.
Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.
а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;
в) в степень 3; г) в степень 2;
д) в степень 5; е) в степень 4;
ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,
6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:
Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство
т. е. , что и требовалось получить.
Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.
Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:
7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).
Пусть . Тогда при будет
а при будет
Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при
Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.
8. Если , то если , но , то .
Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если
При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.
Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства
По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.
Группируя иначе слагаемые, получим
и, следовательно,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.
10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.
Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство
того же смысла. Из последнего находим
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.
Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.
Формулы основных неравенств
Формулы универсальных неравенств
Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.
1) | a ± b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |
3)
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n
.
4)
Неравенство Коши - Буняковского
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k
для всех k = 1, 2, ..., n
и некоторых α, β, |α| + |β| > 0
.
5)
Неравенство Минковского
, при p ≥ 1
Формулы выполнимых неравенств
Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.
1)
Неравенство Бернулли:
.
В более общем виде:
,
где ,
числа одного знака и больше, чем -1
:
.
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».
2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n)
.
3)
Неравенство Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
и k
натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Свойства неравенств
Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.
1)
При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x 1 < x 2
,
то x 2 > x 1
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то x 2 ≥ x 1
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то x 2 ≤ x 1
.
Если x 1 > x 2
,
то x 2 < x 1
.
2)
Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x 1 = x 2
,
то x 1 ≤ x 2
и x 1 ≥ x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 1 ≥ x 2
,
то x 1 = x 2
.
3)
Свойство транзитивности
Если x 1 < x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 < x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 ≤ x 3
.
4)
К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x 1 < x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то x 1 + A ≤ x 2 + A
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то x 1 + A ≥ x 2 + A
.
Если x 1 > x 2
,
то x 1 + A > x 2 + A
.
5)
Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x 1 < x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4
.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.
6)
Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x 1 < x 2
и A > 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и A > 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Если x 1 ≥ x 2
и A > 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Если x 1 > x 2
и A > 0
,
то A · x 1 > A · x 2
.
7)
Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2
и A < 0
,
то A · x 1 > A · x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и A < 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Если x 1 ≥ x 2
и A < 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Если x 1 > x 2
и A < 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8)
Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x 1 < x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4
.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.
9)
Пусть f(x)
- монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2
,
f(x 1) > f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x 1 < x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то f(x 1) ≤ f(x 2)
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то f(x 1) ≥ f(x 2)
.
Если x 1 > x 2
,
то f(x 1) > f(x 2)
.
10)
Пусть f(x)
- монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2
,
f(x 1) < f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2
,
то f(x 1) > f(x 2)
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то f(x 1) ≥ f(x 2)
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то f(x 1) ≤ f(x 2)
.
Если x 1 > x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Методы решения неравенств
Решение неравенств методом интервалов
Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x
,
и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x)
- непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤
.
Метод интервалов заключается в следующем.
1) Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.
2) Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.
3)
Решаем уравнение
f(x) = 0
.
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.
4) В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“ .
5)
Если неравенство имеет вид: f(x) > 0
,
то выбираем интервалы с знаком „+“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0
,
то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0
.
То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0
,
то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0
.
Решение неравенств, применяя их свойства
Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Урок и презентация на тему: "Основные свойства числовых неравенств и способы их решения."
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей
Уравнения и неравенства
Введение в числовые неравенства
Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда начинали знакомиться с понятием корня квадратного . Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить, какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше.Запись выражения $a>b$ на математическом языка означает, что число $a$ больше числа $b$. В свою очередь, это значит, что $a-b$ - положительное число. Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства. Изучением этих свойств мы и займемся на этом уроке. Свойство 1.
Доказательство. Более наглядно данное свойство можно показать, используя числовую прямую. Если $a>b$, то число $a$ на числовой прямой будет лежать правее $b$. Соответственно, если $b>c$, то число $b$ будет лежать правее числа $с$.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Доказательство. Свойство 5.
Доказательство. Определение. Тогда свойство 5 можно перефразировать. При умножение неравенств одного смысла, у которых левые и правые части положительные, получается неравенство того же смысла.
Свойство 6.
Свойство 7.
Доказательство. Мы знаем, что $a-b$ - положительное число, и произведение двух положительных чисел - тоже положительное число, т.е. $ab>0$. Свойство 8.
Доказательство. Свойство 9.
Неравенство Коши (среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического). Доказательство. Решение. Б) Воспользуемся свойством 3. Умножим на отрицательное число, значит знак неравенства меняется. Г) Умножим все части неравенства $3.1 Д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат, получим неравенство того же смысла. Е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак. Ж) Воспользуемся свойством 7. Пример 2. Решение. 1) Основное понятие неравенства 2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную. 3) Графическое решение неравенств второй степени 4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. 5) Решение рациональных неравенств методом интервалов 6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 1. Основное понятие неравенства
Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования
— линейные неравенства
вида a
1 x
1 + a
2 x
2 +... + a n x n
* b
, где a
1 ,..., a n
, b
— постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, · алгебраические · трансцендентные Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени. Неравенство - алгебраическое, второй степени. Неравенство - трансцендентное. 2.
Основные свойства числовых неравенств
. Неравенства содержащие переменную
1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с
является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0
, и вниз, если а (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0
и выпуклостью вверх, если а). При этом возможны три случая:
2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах 2 + bх + с = 0
имеет два различных корня). То есть, если а y = ах 2 +bх + с
a>0 D>0
y = ах 2 +bх + с
a
D
>0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0
имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a ах 2 + х + с y = ах 2 +bх + с
a>0 D
=
0
y = ах 2 +bх + с
a
D
=0,
3) Если d0 и ниже ее при a y = ах 2 +bх + с
a>0 D
0
y = ах 2 +bх + с
a
D0,
4) Решить неравенство графическим способом 1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ; 2. Найдем нули функции. f(x) при х . Ответ f(x) при х . Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0, D=-4 Нет нулей. 4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. 2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0) 3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств: Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг. 4) Пример. Решить систему неравенств: Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество . Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств. 5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а
): точка х=α
делит числовую ось на две части — справа от точки α
двучлен (х‑α)>0
, а слева от точки α (х-α) .
Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0
, где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n
, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где - многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак. Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой. 2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции. Решение неравенств методом интервалов Решение
. Область допустимых значений определяется системой неравенств: Для функции f(x)
= - 20. Находим f(x)
: откуда x
= 29 и x
= 13. f
(30) = - 20 = 0,3 > 0, f
(5) = - 1 - 20 = - 10 Ответ:
}
Запись выражения $a
Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.
Очевидно, что $10>5$, и $5>2$, и конечно $10>2$. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая.
Если $a>b$, то $a-b$ - положительное число. Если $b>c$, то $b-c$ - положительное число. Давайте сложим два полученных положительных числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда $a-c$ также положительное число. Из чего следует, что $a>c$. Свойство доказано.
Как видно из рисунка точка $a$ в нашем случае находится правее точки $c$, а это означает, что $a>c$.
Если $a>b$, то $a+c>b+c$.
Иначе говоря, если число $a$ больше числа $b$, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, знак неравенства будет также сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко. Нужно выполнить вычитание. Та переменная, которую прибавляли, исчезнет и получится верное исходное неравенство.
а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется.
Если $a>b$ и $c>0$, тогда $ac>bc$.
б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный.
Если $a>b$ и $c
Если $a
При делении следует действовать тем же образом (делим на положительное число - знак сохраняется, делим на отрицательно число - знак меняется).
Если $a>b$ и $c>d$, то $a+c>b+d$.
Из условия: $a-b$ - положительное число и $c-d$ - положительное число.
Тогда сумма $(a-b)+(c-d)$ - тоже положительное число.
Поменяем местами некоторые слагаемые $(a+с)-(b+d)$.
От перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
Значит $(a+с)-(b+d)$ - положительное число и $a+c>b+d$.
Свойство доказано.
Если $a, b ,c, d$ - положительные числа и $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.
Так как $a>b$ и $c>0$, то, используя свойство 3, имеем $ac>bc$.
Так как $c>d$ и $b>0$, то, используя свойство 3, имеем $cb>bd$.
Итак, $ac>bc$ и $bc >bd$.
Тогда, используя свойство 1, получаем $ac>bd$. Что и требовалось доказать.
Неравенства вида $a>b$ и $c>d$ ($a
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $a^n>b^n$, где $n$ – любое натуральное число.
Если обе части неравенства положительные числа и их возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится неравенство того же смысла.
Заметим: если $n$ – нечетное число, то для любых по знаку чисел $a$ и $b$ свойство 6 выполняется.
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac{1}{a}
Чтобы доказать данное свойство, необходимо при вычитании $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ получить отрицательное число.
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{-(a-b)}{ab}$.
Тогда $\frac{-(a-b)}{ab}$ - отрицательное число. Свойство доказано.
Если $a>0$, то выполняется неравенство: $a+\frac{1}{a}≥2$.
Рассмотрим разность.
$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.
Если $a$ и $b$ - неотрицательные числа, то выполняется неравенство: $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$.
Рассмотрим разность:
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.Примеры решения неравенств
Пример 1.
Известно, что $-1.5
б) $-2b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^2$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
а) Воспользуемся свойством 3. Умножим на положительное число, значит знак неравенства не меняется.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Сложив неравенства одинакового смысла, получим неравенство того же смысла.
$-1.5+3.1
Теперь выполним операцию сложения.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac{1}{5.3}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac{10}{53}<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Сравните числа:
а) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{8}$.
б) $π+\sqrt{8}$ и $4+\sqrt{10}$.
а) Возведем каждое из чисел в квадрат.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2=5+2\sqrt{35}+7=12+\sqrt{140}$.
$(2+\sqrt{8})^2=4+4\sqrt{8}+8=12+\sqrt{128}$.
Вычислим разность квадратов этих квадратов.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2-(2+\sqrt{8})^2=12+\sqrt{140}-12-\sqrt{128}=\sqrt{140}-\sqrt{128}$.
Очевидно, получили положительное число, что означает:
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2>(2+\sqrt{8})^2$.
Так как оба числа положительных, то:
$\sqrt{5}+\sqrt{7}>2+\sqrt{8}$.Задачи для самостоятельного решения
1. Известно, что $-2.2
а) $4a$.
б) $-3b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^4$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
2. Сравните числа:
а) $\sqrt{6}+\sqrt{10}$ и $3+\sqrt{7}$.
б) $π+\sqrt{5}$ и $2+\sqrt{3}$.
