Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс (более подробно см. ).
История
В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.
Терминология
В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).
Стохастическое исчисление
Пусть , и пусть
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях
дляимеет единственное (в смысле «почти наверное») и -непрерывное решение , такое что - адаптированный процесс к фильтрации , генерируемое и , , и
Применение стохастических уравнений
Физика
В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:
где - набор неизвестных, и - произвольные функции, а - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.
В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.
Теория вероятностей и финансовая математика
Биология
Химия
Ссылки
- Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
Литература
- Adomian George Stochastic systems. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
- Adomian George Nonlinear stochastic operator equations. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
- Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
- Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
- Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523–527.
- C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. - Springer, 2004. - P. 415.
- Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. - Singapore: World Scientific Publishing, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
- Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900. - ISBN In English in 1971 book "The Random Character of the Stock Market" Eds. P.H. Cootner
В этом параграфе исследуются многие фундаментальные вопросы, касающиеся случайных процессов, в частности преобразования процессов в нелинейных системах Вновь обсуждено понтие белого шума и выявлена связь этого шума с вьнеровским процессом Обсуждаются трудности, возникающее при отыскании уравнения для дисперсии в случае непрерывной системы, возбуждаемой белым шумом Здесь эти трудности преодолеваются путем введения стохастического исчисления и стохастических дифференциальных уравнений.
Белый шум. Многие реальные случайные процессы являются приближенно нормальными и приближенно стационарными. Часто они имеют энергетический спектр, мало отличающийся от равномерного в полосе частот, намного большей, чем полоса пропускания исследуемой системы. Вместо таких процессов с математической точки зрения удобно использовать белый шум, даже несмотря на то, что такой процесс лишен физического смысла, поскольку для его генерирования требуется бесконечно большая мощность. Понятие белого шума можно отнести к той же совокупности категорий, которой принадлежит и понятие импульсного отклика линейной системы. Важную роль играют импульсные функции - дельта-функции Дирака, которые часто определяются как пределы некоторых последовательностей функций. Аналогичным образом можно рассматривать и белый шум.
Будем говорить, что непрерывный нормальный процесс является белым шумом с нулевым средним значением, если
Это определение не является строгим, так как дельта-функция Дирака может быть строго определена только в терминах интегральных выражений, таких, как
(4.63)
Дельта-функцию Дирака можно рассматривать как предел обычных функций времени, которые являются, например, симметричными при сколь угодно малом положительном значении :
(4.64)
При малых значениях можно также ввести процесc с дискретным временем, обладающий основными свойствами белого шума:
При или при в пределе получаем импульсную функцию и непрерывный белый шум соответственно.
В предыдущей главе для системы, описываемой уравнением
и возбуждаемой некоррелированным с белым нормальным шумом с нулевым средним значением, путем дифференцирования выражения
(4.67)
было получено следующее уравнение для ковариационной матрицы:
Воспользовавшись теперь обозначением ковариационной матрицы, запишем
Так как 
для , то слагаемые,
характеризующие взаимную корреляцию, могут быть записаны в следующей форме:
Так как -функция здесь располагается на конце интервала интегрирования, то значение этого интеграла зависит от используемого типа дельта-функции. В данной главе используется симметричная дельта-функция, интеграл от которой по области, лежащей справа от точки , равен 1/2 и равен интегралу по области слева от этой точки. В этом случае равенство (4.69) принимает вид
. (4.70)
Аналогичные рассуждения приводят также к равенству
. (4.71)
Таким образом, получаем уже известный результат:
с начальным условием .
Если дельта-функцию определить как несимметричную функцию, для которой
(4.73)
(4.75)
Следовательно, снова получаем уравнение
Правильный ответ для ковариационной матрицы получается даже при различных представлениях матриц: и .
Можно было бы привести разумные соображения в пользу использования симметричной дельта-функции. Например, дельта-функция часто используется в качестве ковариационной функции, которая обязательно должна быть симметричной. Такой подход при аккуратном обращении может быть использован без особых затруднений при исследовании линейных систем Однако в случае нелинейных систем необходимо развить новый способ решения этой проблемы.
Полезно также повторить приведенный выше вывод, начав с дискретного времени, и перейти затем к пределу, увеличивая число отсчетов на интервале наблюдения с тем, чтобы проверить возникает ли при этом уже отмеченная трудность неоднозначности. Рассмотрим дискретный аналог уравнения системы (4.66) в форме (см. § 3.5):
Так как 
, то уравнение для ковариационной
матрицы, соответствующей ур-нию (4.77), на основании результатов § 3.5 примет
вид
Теперь при увеличении числа отсчетов получаем уравнение
которое является уравнением для ковариационной матрицы
при непрерывном времени. При выводе этого уравнения трудность, имевшая место
при выводе аналогичного соотношения сразу для непрерывного времени, не возникла
благодаря тому, что Если положить и
то уравнение (4.66) можно записать следующим образом:
Хотя ф-лу (4.82) можно получить формальным умножением ур-ния (4.66) на , в дальнейшем будет показано, что это слабое различие оказывается чрезвычайно важным. Стохастический процесс , определяемый соотношением
, (4.84)
называется винерйвским процессом, свойства которого достаточно подробно обсуждаются в дальнейшем.
Винеровский процесс. В дальнейшем изложении винеровский процесс играет очень важную роль. Этот процесс был введен Н. Винером в качестве простой модели броуновского движения. Пусть обозначает положение некоторой частицы в момент времени , которая при находилась в начале координат. Броуновская частица передвигается под воздействием соударений с аналогичными частицами. Смещение некоторой частицы в течение интервала времени , намного превышающего среднее время между двумя следующими друг за другом столкновениями, можно рассматривать как сумму большого числа малых смещений. Следовательно, здесь имеется возможность применить центральную предельную теорему, что позволит функцию распределения приращения аппроксимировать нормальным распределением.
Винеровский процесс определяется как интеграл от стационарного нормального белого шума , имеющего нулевое среднее значение, т. е.
, (4.85)
Легко показать, что
; (4.87)
Кроме того, для приращения можно записать
.
(4.89)
Отсюда следует, что приращение винеровского процесса имеет среднее значение, равное нулю, и дисперсию
Винеровский процесс часто называют также процессом броуновского движения или процессом Винера-Леви . Этот процесс имеет много интересных свойств, из которых здесь отметим лишь следующие:
1. Винеровский процесс
является процессом с независимыми приращениями, т. е. если принять , то случайные
величины независимы
для 
. Так
как случайно величина 
имеет ту
же функцию распределения, что и приращение , то винеровский процесс можно назвать
процессом со стационарными независимыми приращениями.
2. Винеровский процесс является марковским процессом, так как
(4.91)
Это соотношение легко доказывается, если записать
Отсюда получаем
Точно такие же значения
имеют 
и 
.
3. Винеровский процесс
является мартингальным процессом, т. е. его условное математическое ожидание в
момент времени при фиксированных значениях 
равно последнему наблюдаемому
значению Таким
образом,
Отметим здесь, что марковский процесс не обязательно является мартингальным процессом.
4. Винеровский процесс обладает свойством осцилляции Леви, т. е. если - разбиение интервала такое, что , то
, (4.93)
где сходимость суммы понимается в среднеквадратическом смысле.
Приведенные соотношения будут использоваться в дальнейшем при обсуждении преобразований случайных процессов в нелинейных системах.
Стохастический интеграл и стохастические дифференциальные уравнения.
Винеровский процесс был определен выше как интеграл от
белого шума а
именно, . Дж. Дуб показал , что реализации винеровского
процесса являются непрерывными функциями, но не имеют ограниченной вариации и
почти нигде не дифференцируемы. Причину недифференцируемости реализаций
частично поясняет соотношение (4.90), из которого следует, что , так что среднеквадратическое
значение приращения имеет порядок .Тогда производная приращения имеет в
среднем порядок отношения , которое стремится к бесконечности, если
стремится к
нулю.
Таким образом, если - винеровский процесс, то производной трудно придать какой-либо разумный смысл. Можно попытаться также ответить на вопрос, определен ли для произвольной непрерывной функции следующий интеграл Римана:
. (4.94)
Интегралы такого типа уже встречались ранее, когда исследовался отклик линейной системы на воздействие в виде белого шума. Если система описывается уравнением , то
, (4.95)
Смысл последнего интеграла неясен, так как пока что отсутствовало строгое определение для производной .
Один из возможных способов преодоления этой трудности состоит в том, чтобы попытаться использовать понятие интеграла Лебега-Стилтьеса, записав
. (4.96)
Однако этот способ не устраняет трудности, так как не является функцией с ограниченной вариацией, и следовательно, интеграл Лебега-Стилтьеса оказывается неопределенным.
Естественным статистическим обобщением интеграла Лебега-Стилтьеса является стохастический интеграл, при определении которого последовательность интегральных сумм сходится к значению интеграла по вероятности. Именно замена сходимости в обычном нестатистическом смысле сходимостью по вероятности позволяет преодолеть отмеченную выше трудность.
Пусть - векторный случайный процесс с компонентами, а - произвольная матричная функция, кусочно-непрерывная при всех и зависящая, самое большее, от настоящего и прошлых значения процесса , т.е. от . Это ограничение можно записать следующим образом:
Обозначим через множество функций , на котором может быть определена вероятностная мера. В множестве выделим следующие три подмножества:
1. - множество функций из , кусочно-постоянных по на интервале .
2. - множество функций из , интегрируемых в квадрате по на интервале ,
3. - множество функций из , интегрируемых в квадрате по на интервале с вероятностью 1.
Для любой функции из существуют точки такие, что
при ; множество является множеством
точек, в которых функция имеет скачки. Стохастический интеграл
или интеграл Ито для таких функций можно определить следующим образом:
. (4.97)
Если , но не принадлежит подмножеству , для обобщения определения (4.97) используется традиционный предельный переход
, (4.98)
где обозначает предел в среднем
(при 
), и ;
, для всех .
Следует отметить, что стохастический интеграл может быть определен и несколько иными способами. Например,
, (4.99)
где , или при произвольно малом положительном
. (4.100)
В общем случае определения (4.99) и (4.100) не эквивалентны определению (4.98). Если принадлежит множеству , то нетрудно видеть, что три указанных определения приводят к одному и тому же результату, это же можно сказать и относительно других возможных определений. Однако, если не является элементом подмножества , то эти определения не являются, вообще говоря, эквивалентными из-за свойства осцилляции Леви. Хотя определения (4.99) и (4.100) и имеют некоторые преимущества, далее будет показано, что определение (4.98) обычно является более подходящим. Связь между различными определениями стохастического интеграла и обычным нестатистическим определением более подробно будет обсуждаться позднее.
Интеграл, определенный с помощью соотношения (4.98), будем называть интегралом Ито . Его можно рассматривать как линейное преобразование , т. е.
для каждой пары допустимых функций и и для любых действительных матриц и.
Если принадлежит подмножеству , a является винеровским процессом , то интеграл обладает следующими двумя свойствами, полезными для последующего изложения:
; (4.101)
. (4.102)
Доказательства этих свойств основываются на том факте,
что приращение статистически
не зависит от для по условию и от 
, согласно свойству винеровского процесса
о независимости приращений на непересекающихся интервалах. Для простоты здесь
приведем доказательство лишь для случая, когда доказательства для более общих случаев
проводятся аналогично.
Рассмотрим сначала равенство (4.101). Используя (4.97), запишем
Так как и статистически независимы, то среднее значение произведения можно записать как произведение средних значений. Тогда
.
Так как среднее значение приращений винеровского процесса равно нулю, то правая часть последнего равенства также оказывается равной нулю, что доказывает справедливость равенства (4.101).
Аналогичным образом проводится доказательство справедливости соотношения (4.102). Воспользовавшись сначала определением (4.97), запишем
В силу независимости приращений имеем
Вновь, используя независимость приращений и равенство (4.90), можно записать
Таким образом, для получаем
.
Так как является
элементом подмножества , то правая часть последнего равенства
может быть записана как обычный интеграл 
, что
завершает доказательство.
Если не принадлежит подмножеству и используется отличное от (4.98) правило интегрирования, то равенства (4.101) и (4.102) могут оказаться несправедливыми. Это одна из главных причин, из-за которых в данной книге выбирается определение (4.98), поскольку соотношения (4.101) и (4.102) будут довольно часто использоваться в дальнейшем. Необходимо также, чтобы функция принадлежала подмножествам или , так как в противном случае интегральные суммы не будут, вообще говоря, сходиться по вероятности или с вероятностью 1 соответственно.
В дальнейшем потребуется выражение для дисперсии дифференциального приращения . На основании (4.90) можно записать . Если теперь положить , то приращение можно записать как . Тогда при получаем представление
, (4.103)
Этот результат еще раз подтверждает, что приращение имеет порядок , вследствие чего производная не существует.
Нетрудно показать, что
для величины все
моменты, начиная со второго, имеют больший порядок малости по сравнению с . Следовательно, при достаточно малых значениях получаем, что 
и 
для . Отсюда следует, что
величина
фактически является детерминированной и равной для бесконечно малых
значений . Тем самым установлено следующее важное соотношение:
,
из которого следует
Таким образом, винеровский процесс действительно является необычным процессом. Будучи всюду непрерывным, он почти нигде не дифференцируем; дисперсия приращения значений этого процесса на бесконечно малом интервале совпадает с квадратом приращения. Аналогичным образом можно показать также, что
Интересно также следующее свойство винеровского процесса. Если функция не зависит от , то интеграл Ито, определенный соотношением (4.98), является мартингалом, т. е.
Это свойство становится очевидным, если рассмотреть равенство (4.101). Действительно, так как
,
то условное среднее величины , стоящее в левой части равенства (4.106), можно записать в виде
В первом интеграле функция и полностью известна на всем интервале интегрирования, так как она входит в условие. Поэтому этот интеграл не является стохастическим. В то же время во втором интеграле условие не играет уже подобной роли в силу независимости приращений процесса и на непересекающихся интервалах. Поэтому на основании ф-лы (4.101) второе слагаемое в правой части последнего равенства равно нулю. В результате получаем
.
Еще одно полезное свойство интеграла Ито состоит в том, что его конструкция допускает определение интеграла
где - произвольная непрерывная функция, a - -мерный непрерывный случайный процесс. Из этого определения следует, в частности, что если - -мерный нестационарный винеровский процесс , для которого , то справедливо (в среднеквадратическом смысле, с вероятностью 1) равенство
(4.108)
Обратимся теперь к изучению процесса на выходе нелинейной системы, описываемой уравнением
, (4.109)
если на ее входе действует -мерный векторный нормальный белый шум , для которого
Здесь - -мерный случайный вектор состояния; - -мерная нелинейная векторная функция от и ; - матричная функция размерности .
Формальным интегрированием ур-ния (4.109) можно найти следующее неявное выражение для отклика или вектора состояния системы
, (4.110)
где - винеровский процесс; 
, для которого ; 
. Заметим,
что первый интеграл в ф-ле (4.110) является обычным, в то время как второй - стохастическим.
Если случайный векторный процесс с вероятностью 1 удовлетворяет полученному стохастическому
интегральному уравнению, то
ур-ние (4.110) можно записать в следующей символической форме:
Это уравнение в дальнейшем будем называть стохастическим дифференциальным уравнением. Это равенство можно рассматривать как удобный способ записи ур-ния (4.110) в случае, когда функции и , определённые при всех допустимых значениях , принадлежат подмножеству .
В дальнейшем будет показано, что при преобразованиях интеграла Ито необходимо использовать правила, отличающиеся от правил преобразований обычных интегралов. Будем считать, что является процессом Ито; предположим далее, что - функция от и , имеющая, непрерывные частные производные второго порядка по и . Используя правило дифференцирования Ито, получаем, что также является процессом Ито и удовлетворяет уравнению
в котором ради простоты записи использованы следующие сокращенные обозначения
Это уравнение играет очень важную роль при получении многих результатов теории случайных процессов; оно, например, используется при отыскании характеристических функций случайных процессов
Стохастическое дифференциальное ур-ние (4.111) можно переписать в несколько ином виде, если воспользоваться введенными выше обозначениями и :
Здесь винеровский процесс имеет среднее значение, равное нулю, и ковариационную матрицу
. (4.114)
Подробное и удобное по форме доказательство правила дифференцирования Ито для скалярного случая дано в работе . Обобщение этого доказательства на векторный случай не встречает принципиальных трудностей. Здесь приведем лишь упрощенные нестрогие рассуждения. Интегрирование (4.112) приводит к уравнению (для )
которое также является полезным.
Разложим функцию в ряд Тейлора относительно точки и :
где слагаемое содержит члены порядка или и более высокого порядка. Используя теперь ф-лу (4.110) для и учитывая, что - бесконечно малая величина, вследствие чего в разложении из-за свойства осцилляции Леви появляются слагаемые типа
получаем ур-ние (4.115), которое эквивалентно ур-нию (4.112). Иногда удобнее правило дифференцирования Ито записывать в виде
где обычно называется обратным дифференциальным оператором:
Таким образом, является дифференциальным генератором процесса .
Пример 4.3 . Исследуем процесс на выходе нелинейной системы, описываемой уравнениями
на вход которой воздействует нормальный белый шум с ковариационной матрицей .
Используя обычное правило интегрирования, получаем
,
т е процесс является винеровским процессом, что и следовало ожидать Для вычисления необходимо использовать интеграл Ито, так как
.
Использование обычного правила интегрирования привело бы к результату
. (4.119)
Однако рассматриваемый интеграл является стохастическим, и здесь необходимо воспользоваться определением (4.98) Поэтому следует писать
.
Последнее равенство с помощью простых алгебраических преобразований приводится к виду
.
Первая сумма легко вычисляется,
давая в результате 
.
Так как , то
.
Второе слагаемое можно легко вычислить, если воспользоваться свойством осцилляции Леви [см. равенство (4.93)] Так как , то для получаем
.
Используя (4 104), это выражение можно переписать в виде
.
Обычный интеграл в
правой части этого равенства легко вычисляется, так что для окончательно получаем 
.
Чтобы показать, что определение (4.99) в общем случае неэквивалентно определению (4.98), вычислим теперь , воспользовавшись правилом (4.98) Для этого положим . Тогда значение можно приближенно положить равным и записать
Дальнейшие вычисления, проводимые так же, как выше, приводят к следующему результату
Этот результат совпадает с решением, получаемым при обычном исчислении при , и совпадает с решением, основанном на использовании интеграла Ито, при .
Другой способ получения корректного выражения для основывается на использовании правила дифференцирования Ито Так как уже известно, что решение содержит слагаемое вида , где - винеровский процесс, то появляется возможность рассмотреть линейную систему
, (4.119а)
где - белый нормальный шум с нулевым
средним значением Соответствующий процесс Ито удовлетворяет стохастическому
уравнению 
.
Положим 
. Так
как правило дифференцирования Ито [см. (4.112)] записывается в виде
где для рассматриваемой
задачи 
, так
что , а , то в
данном случае
(поскольку 
). Интегрированием
получаем
.
Если теперь учесть, что - винеровский процесс , то последнее уравнение можно переписать следующим образом:
.
Отсюда , так что корректное решение имеет вид
.
Здесь снова результаты, полученные с помощью обычного исчисления и стохастического исчисления, не совпадают. Причиной этого несовпадения, конечно, является то, что для вычисления стохастического интеграла обычные методы, вообще говоря, применять нельзя.
Для того чтобы получить алгоритмы оценивания в любой физической задаче оценивания, приходится выполнять два наиболее важных этапа исследований. На первом из них решается задача моделирования или выбора стохастического дифференциального уравнения, которое описывало бы рассматриваемый физический процесс. Эта модель, которая в конечном счете представляет некоторый процесс, является в общем случае компромиссом между математической точностью и простотой вычислений.
Цель второго этапа - найти алгоритмы оценивания. Этот этап выполняется лишь после того, как выбрана математическая модель процесса. Ниже рассматриваются некоторые аспекты второго этапа.
Ранее уже было отмечено, что стохастический интеграл (интеграл, содержащий произведение двух случайных процессов), нельзя во всех случаях рассматривать как обычный интеграл. Приведенные выше два примера достаточно ясно иллюстрируют различия между этими интегралами. Если для моделирования алгоритмов оценивания используются цифровые вычислительные машины, то подходящая интерпретация стохастического интеграла не является тривиальной. Здесь возможны два подхода. Один из них основывается на обычном исчислении, другой - на стохастическом исчислении. Специальное рассмотрение этих двух подходов будет проведено в гл. 9. Здесь же приведем только некоторые рекомендации для выбора одного из них :
1. Если функция не зависит от , то обычное и стохастическое исчисления приводят к одним и тем же результатами необходимость специального исследования стохастических интегралов просто отпадает. Подобный факт уже упоминался ранее. Этот же случай встретится при исследовании проблемы построения линейных оценок, для которой окажутся возможными существенные упрощения.
2. Если проблема оценивания должна быть сформулирована строго в математическом отношении, то следует использовать стохастическое исчисление.
3. Если ур-ние (4.111) рассматривается как аппроксимация соответствующего дискретного уравнения или как предел уравнения
при неограниченном увеличении числа отсчетов на любом конечном интервале, то необходимо использовать стохастическое исчисление.
4. Если в равенстве (4.109) входной белый шум используется вместо шума с малым интервалом корреляции, то следует применять методы обычного исчисления.
Различие между этими двумя подходами с вычислительной точки зрения также нетрудно выявить (см. ). Если использовать понятия обычного исчисления при отыскании решения ур-ния (4.111), то фактически будет получено решение уравнения
В большом числе случаев решение ур-ния (4.121), полученное методами обычного исчисления, с достаточно высокой точностью будет совпадать с решением дифференциального стохастического ур-ния (4.111) (заметим, что если не зависит от , то, как уже отмечалось выше, методы обычного исчисления приводят к точному решению).
При заданном значении. Дифференцируя равенство (4.126) по
Таким образом, вновь получено уравнение в частных производных Фоккера-Планка. Это уравнение может быть использовано для отыскания плотности вероятности переменной состояния нелинейной системы, описываемой ур-нием (4.111) и возбуждаемой нормальным белым шумом. Вектор переменных состояния такой системы является марковским процессом. В основе этого вывода лежит правило дифференцирования Ито. К сожалению, не существует прямого способа выбора функции . Во многих случаях полезной оказывается такая функция , которая получается при использовании обычного интеграла Римана.
Одно из неудобств, связанных со стохастическими интегралами и стохастическими дифференциальными уравнениями, состоит в том, что для последних могут оказаться несправедливыми правила преобразований обычного исчисления. Конечно, стохастический интеграл можно было бы определить и таким образом, чтобы обычные правила вычислений, как, например, интегрирование по частям, остались справедливыми. На первый взгляд такой подход может показаться привлекательным и более естественным, чем определение Ито. Однако, как будет здесь показано, на самом деле это не так. Ради простоты ограничимся рассмотрением лишь скалярного случая Исследование многомерного случая проводится аналогично и не встречает принципиально новых трудностей.
Обычное правило
интегрирования вообще приводит к другому значению этого интеграла. Точно такое
же значение можно получить только в том случае, если в разложении в ряд
Тейлора подынтегральной функции ограничиться членами второго порядка и
использовать запись 
[см. (4.104)]. То есть для скалярной
функции , зависящей
только от , должно быть справедливо равенство
Аналогично должно выполняться соотношение
(4.134)
для обычного исчисления, чтобы правила вычисления обычного и стохастического исчислений приводили к одним и тем же результатам.
Если стохастический интеграл определить так, чтобы получающиеся при этом результаты оказались совместимыми с результатами обычного исчисления, то равенства (4.101) и (4.102) нарушатся, что очень нежелательно. Действительно, эти два равенства чрезвычайно полезны в том отношении, что они позволяют существенно упростить вычисления математических ожиданий.
Стратонович в работе ввел «симметризованный» стохастический интеграл, в котором
Подобное определение стохастического интеграла дано также в работе , где было принято
В работе предложена аппроксимирующая формула
,
(4.137)
в которой - выделенная совокупность точек на интервале интегрирования. Можно было бы также рассмотреть аппроксимацию вида
Хотя каждое из перечисленных четырех определений приводит к некоторым полезным свойствам стохастического интеграла, все они имеют серьезный недостаток: равенства (4.101) и (4.102) оказываются несправедливыми. Следовательно, многие последующие соотношения должны быть модифицированы. Например, если в определении стохастического интеграла используется равенство (4.136), то уравнение Фоккера-Планка (4.128) оказывается несправедливым, а среднее значение последнего интеграла в правой части равенства (4.124) не равно нулю, поскольку при новом определении величины равенство (4 101) нарушается. Можно показать, что «новое» уравнение Фоккера - Планка, которое соответствует соотношению (4 136), имеет вид
(4.139)
Изменение уравнения Фоккера-Планка при таком переходе намного существенней, чем это можно было ожидать вначале. Вычислять моменты теперь намного труднее. Стохастические дифференциальные уравнения, которые получаются при использовании любого из соотношений (4.135)-(4.138), приводят к случайным процессам, не являющимся более марковскими. Поэтому в дальнейшем в данной главе и в гл. 9 без особых оговорок будем использовать исчисление Ито, основанное на определении (4.98).
Программа
курса "Стохастические дифференциальные уравнения"
лектор А.В.Булинский
(кафедра высшей математики МФТИ)
Некоторые задачи , приводящие к стохастическим аналогам обыкновенных дифференциальных уравнений (стохастические модели, возникающие в физике, технике, биологии и финансовой математике).
Вспомогательный математический аппарат. Условное математическое ожидание и его свойства (линейность, "телескопичность", неравенство Иенсена и др.). Фильтрованные вероятностные пространства. Моменты остановки, их свойства, примеры. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с дискретным и непрерывным временем. Фундаментальные неравенства. Теоремы о сходимости. Локальные мартингалы и семимартингалы. Разложение Дуба-Мейера. Непрерывные и квадратично интегрируемые мартингалы.
Броуновское движение (винеровский процесс), его различные конструкции. Поведение траекторий: недифференцируемость с вероятностью единица, локальные максимумы, точки роста. Броуновское семейство. Варианты марковского и строго марковского свойства броуновского движения (семейства). Применения к решению граничных задач (проблема Дирихле). Формула Фейнмана-Каца. Локальное время броуновского движения, аддитивные функционалы. Векторное броуновское движение. Процессы Бесселя. Фрактальное броуновское движение.
Стохастическое исчисление. Построение интеграла Ито, свойства интеграла (в том числе мартингальность интеграла Ито с переменным верхним пределом). Интеграл Стратоновича. Связь между двумя видами стохастического интеграла. Интегрирование по семимартингалу. Формула Ито замены переменных и ее дальнейшие обобщения. Примеры.
Стохастические дифференциальные уравнения. Сильные и слабые решения. Проблемы существования и единственности решений (в сильном и слабом виде). Результаты Скорохода, Ятамада и Ватанабе. Решение уравнения Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека. Марковское свойство сильного решения стохастического дифференциального уравнения. Теорема Энгельберта- Шмидта. Преобразование Камерона-Мартина-Гирсанова как метод построения слабых решений. Мартингальная проблема Струка-Варадана, связь со стохастическими дифференциальными уравнениями. Различные подходы к изучению диффузионных процессов.
Применения стохастических дифференциальных уравнений. Проблемы фильтрации (фильтр Калмана-Бьюси). Задача об оптимальной остановке. Стохастическое управление. Диффузионная модель цены акций: от модели Башелье к модели Самюэлсона. Опционы, справедливая цена. Формула Блэка-Шоулса. Оптимальные инвестиции и потребление.
Дальнейшие исследования. Понятие о квантовых стохастических дифференциальных уравнениях и марковской эволюции открытых квантовых систем. Проблематика стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений.
Литература
1. Оксендал Б. Стохастические дифференциальные уравнения. МЦМИО, 2002.
2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, т.1,2. М:Фазис, 1998.
3. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов, т.1,2. М:Физматгиз, 1994.
4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М:Физматлит, 2003.
5. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. Springer, New York, 1997.
6. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1997.
7. Parthasarathy K.R. An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Birkhauser, Basel, 1992.
Вернемся к динамическому уравнению первого порядка (система с 1/2 степени свободы), примером которого было уравнение для малых флуктуаций амплитуды в автогенераторе [первая формула (29.1)], т. е. уравнению вида
С таким же уравнением мы имеем дело в задачах о скорости и одномерного движения частицы массы в среде с вязким трением или о смещении s этой частицы, но лишенной массы и привязанной к пружине с коэффициентом упругости , или о напряжении V на емкости -контура , или о токе I в -контуре и т. д.
В соответствии со сказанным в § 28, мы рассчитываем на то, что при действии на динамическую систему (35.1) достаточно «густых» (по сравнению со временем установления ) однородных толчков отклик будет непрерывным однородным
марковским процессом с вероятностью перехода удовлетворяющей уравнению Эйнштейна - Фоккера
т. е. уравнению (29.2), но в одномерном случае, когда нет зависимости v от второй переменной. По способу, мотивированному в § 28, коэффициент в (35.2) приравнен выражению для х, т. е. правой части уравнения (35.1):
При начальном условии
решение уравнения (35.2) выражается нормальным законом
[см. (29.5) и (29.6)]. В пределе при , т. е. для t , формула (35.3) переходит в не зависящее от стационарное распределение . В задаче о скорости и частицы в вязкой среде, когда распределение должно быть максвелловским:
так что откуда Аналогичные выражения для В можно написать и в остальных перечисленных выше задачах - просто как следствие теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы: средняя энергия системы с 1/2 степени свободы должна быть равна (в данном случае
Такова при сделанных исходных допущениях чисто вероятностная схема решения задачи о флуктуациях. Теперь мы поступим иначе. Введем в уравнение (35.1) случайную (или флуктуационную) силу :
Если для конкретности рассуждать над задачей о движении частицы в неограниченной вязкой среде, то речь идет об уравнении движения
в котором воздействие среды на частицу разбито на две части: систематическую силу трения и случайную силу
Предполагая, что систематическая сила трения выражается законом Стокса (для сферической частицы радиуса а имеем , где вязкость жидкости), мы дёлаем два допущения.
Во-первых, должно быть выполнено условие ламинарности обтекания частицы, т. е. малости числа Рейнольдса:
где плотность жидкости. Если для и взять значение средней квадратичной скорости теплового движения [и - плотность вещества частицы], т. е. учесть самые быстрые дрожания частицы, то
При имеем что даже для молекулярных размеров а дает значение Таким образом, условие ламинарности выполнено.
Во-вторых, полная систематическая сила, действующая на шар, движущийся в вязкой несжимаемой жидкости, равна, согласно Буссине,
где - присоединенная масса, равная половине массы, вытесненной частицей жидкости. В уравнении (35.6) из полной силы F удержан только первый член. Но при второй и третий члены одного порядка с . В отношении это несущественно, так как роль этого члена сводится лишь к изменению эффективной массы частицы. Более важен третий член, выражающий вязкое гидродинамическое последействие (см. §§ 15 и 21), при учете которого система приобретает бесконечное множество степеней свободы.
При наличии вязкого (а тем самым и вероятностного) последействия средний квадрат смещения частицы был найден В. В. Владимирским и Я. П. Терлецким . Обычное выражение оказывается справедливым лишь для промежутков времени t, достаточно больших по сравнению со временем релаксации Мы ограничимся упрощенной постановкой задачи, основанной на уравнении (35.5).
Мы будем обращаться с этим стохастическим уравнением так, как если бы это было обычное дифференциальное уравнение.
Проинтегрировав его при начальном условии получаем
Так как по предположению усреднение (35.7) по ансамблю случайных сил дает
т. е. для х получается тот же динамический закон, что и из уравнения (35.1), и из уравнения Эйнштейна - Фоккера (35.2). Найдем теперь дисперсию . Согласно (35.7) и (35.8)
и, следовательно, для получения надо задать функцию корреляции случайной силы . Можно задать любую функцию корреляции, допускаемую общими ограничениями ее вида, но мы сделаем специальное предположение, а именно примем, что -стационарный дельта-коррелированный процесс:
где С - постоянная. Заметим, что тем самым импульс силы
представляет собой непрерывную случайную функцию с независимыми приращениями и, следовательно, распределен нормально при любом t (§ 34).
Подставив (35.10) в (35.9), находим
(35.11)
Если положить , то это совпадет с выражением (35.4) для полученным из уравнения Эйнштейна - Фоккера (35.2).
Мы нашли только моменты но можно утверждать больше. Поскольку приращение импульса распределено при всяком нормально, постольку разность представляет собою, согласно (35.7), сумму (или, точнее, предел суммы) нормально распределенных величин. Следовательно, распределение тоже дается гауссовым законом с дисперсией (35.11). Это условное распределение (при условии ), если принять просто совпадает с (35.3). Далее, нетрудно убедиться прямой подстановкой, что такого вида условные вероятности удовлетворяют уравнению Смолуховского (являются вероятностями перехода), т. е. процесс оказывается марковским. Таким образом, если в стохастическом дифференциальном уравнении (35.5) случайная сила ) стационарна и дельта-коррелирована [см. (35.10)], то отклик -диффузионный марковский процесс, у которого вероятность перехода удовлетворяет уравнению Эйнштейна - Фоккера с
Оба подхода - основанный на уравнении Эйнштейна - Фоккера и основанный на стохастическом дифференциальном уравнении для случайной функции -оказываются в рассмотренной задаче равносильными. Это, конечно, не означает их тождества за пределами этой задачи. Уравнение Эйнштейна - Фоккера обладает, например, несомненным преимуществом в тех случаях, когда наложены определенные ограничения множества возможных значений случайной функции (наличие отражающих или поглощающих стенок и т. п.), учитываемые просто соответствующими граничными условиями. При ланжевеновской постановке задачи введение такого рода ограничений довольно сложно. С другой стороны, как это уже было подчеркнуто, ланжевеновский метод не требует, чтобы сила обязательно была дельта-коррелирована.
Стоит, быть может, отметить, что как раз в случае дельта-коррелированной силы оперирование дифференциальным уравнением (35.5) имеет в известном смысле условный характер. Это уравнение написано не для х, а для мгновенного значения . Но при бесконечно-частых толчках отклик - не дифференцируемая функция, т. е. не существует (ни в каком из вероятностных смыслов понятия производной). Таким образом, все «дифференциальное уравнение» имеет лишь некий символический смысл. Это надо понимать следующим образом.
Формальное интегрирование уравнения (35.5) приводит к решению (35.7) для , в котором уже нет никаких неприятностей, поскольку оно содержит дельта-коррелированную дилу только под интегралом. Другими словами, уравнение (35.5) -
это (в рассматриваемом случае дельта-коррелированной силы) математически некорректная запись для последующего - уже вполне осмысленного и, в конечном счете, единственно интересующего нас - решения данного уравнения. Оправданием такого подхода являются хорошо известные преимущества оперирования дифференциальными уравнениями при постановке задачи - возможность исходить из общих динамических законов, возможность использования всего существующего арсенала математических средств для получения решения и т. д. Мы не говорим уже о том, что при не дельта-коррелированной все оговорки становятся излишними: стохастические дифференциальные уравнения для самих случайных функций приобретают тогда вполне определенное математическое содержание и, сверх того, позволяют выйти за пределы класса марковских процессов.
Постоянная С в функции корреляции (35.10) характеризует, очевидно, интенсивность случайных толчков. Вернемся к переменным, в которых сила и отклик системы энергетически сопряжены, т. е. произведение силы на производную отклика представляет собой мощность, отдаваемую системе. Это справедливо, например, для силы в уравнении (35.6), так как отдаваемая частице мощность равна . Уравнение (35.6) переходит в (35.5), будучи поделено на массу частицы т. Таким образом, так что функция корреляции настоящей силы в соответствии с (35.10), равна
Мы установили выше, что и что в задаче о скорости брауновской частицы . Следовательно, постоянная С в функции корреляции силы равна
т. е. связана только с коэффициентом систематического трения h. В задаче о токе в -контуре под надо понимать случайную тепловую (§ 28), а под h - активное сопротивление контура R, так что корреляционная постоянная для будет
1. Среди процессов Ито X = (Xt)t^o, имеющих стохастический диф-ференциал
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
важную роль играют те, для которых коэффициенты a(t, а>) и(3(t, ш) зависят от a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t,u>) = b(t,Xt (си)), (2)
где а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на М+ х К. Так, например, процесс
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
называемый геометрическим, или экономическим, броуновским движением (см. § За), имеет (согласно формуле Ито) стохастический дифференциал
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Процесс
= f
Jo 3-й
du (5)
имеет, как легко убедиться, опять-таки с помощью формулы Ито, дифференциал
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Процесс У = (Yt)t^o играет важную роль в задачах скорейшего обнаружения изменений в локальном сносе броуновского движения; см. .) Если
Г, Г* du Г* dBu1
(7)
zt = st
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Jo Jo .
с некоторыми константами с\\ и с2, то, опять-таки с помощью формулы Ито, проверяется, что
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
В приведенных примерах мы отправлялись от "явного" вида процессов S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) и с помощью формулы Ито получали их стохастические дифференциалы (4), (6) и (8).
Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать (4), (6) и (8) как стохастические дифференциальные уравнения относительно неизвестных процессов S = (St),Y = (Yt), Z = (Zt) и попытаться установить, что найденные их решения (3), (5) и (7) являются (в определенном смысле) единственными решениями этих уравнений.
Естественно, надо придать точный смысл самому понятию "стохастическое дифференциальное уравнение" определить, что есть его "решение" в каком смысле следует понимать "единственность" решения.
При определении всех этих понятий, рассматриваемых далее, ключевую роль играет введенное выше понятие стохастического интеграла.
2. Будем считать заданным фильтрованное вероятностное пространство (стохастический базис) (ft, (^t)t^Oi Р) с обычными условиями (п. 2, §7а) ипусть В = (Bt,&t)f^ о - броуновское движение.
Пусть а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на К+ х М.
Определение 1. Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
с ^-измеримым начальным условием Хо имеет непрерывное сильное решение (или просто решение) X = (Xt)t^o, если при каждом t > О
Xt - ^-измеримы,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b{s,Xa)dBa. Jo Jo
Определение 2. Два непрерывных случайных процесса X = (Xt)t^o и У = (Yt)t^0 называются стохастически неразличимыми, если для любого t > О
p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
Va и (Р-п.н.)
Определение 3. Будем говорить, что измеримая функция / ¦ f(t, х), определенная на R+ х К, удовлетворяет (по фазовой переменной х) локальному условию Липшица, если для всякого п ^ 1 найдется константа К(п) такая, что для всех t > 0 и |х| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ Теорема 1 (К. Ито , ; см. также, например, , , ). Пусть коэффициенты a(t,x) ub(t,x) удовлетворяют локальному условию Липшица и условию линейного роста:
la{t,x)\\ + \\b(t,x)\\ и пусть начальное условие XQ - ^-измеримо.
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (9) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости), непрерывное решение X = (Xt,&t), являющееся марковским процессом.
Существуют обобщения этого результата в разных направлениях: ослабляется локальное условие Липшица, допускается зависимость (но спе-циального характера) коэффициентов от и>, рассматриваются случаи за-висимости коэффициентов а - a(t,Xt) и b = b(t,Xt) от "прошлого" (в несколько вольной записи: а = a(t; Xs, s Имеются также обобщения на многомерный случай, когда X = (X1,...,Xd) - векторный процесс, а = a(t,x) - вектор, b = b(t,x) - матрица и В = (В1,... ,Bd) - d-мерное броуновское движение. См. по этому поводу, например, , , .
Приведем из различного рода обобщений лишь один, несколько неожиданный, результат А. К. Звонкина, , утверждающий, что для сущест-вования сильного решения стохастического дифференциального уравнения
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
вовсе нет надобности требовать выполнения локального условия Липшица, а достаточна лишь измеримость по (?, х) и равномерная ограниченность коэффициента a(t,x). (Многомерное обобщение этого результата получено А. Ю. Веретенниковым, .)
Тем самым, например, стохастическое дифференциальное уравнение
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
с "плохим" коэффициентом
Г 1, х > О,
I. -1, х имеет, и притом единственное, сильное решение.
Отметим, однако, что если вместо уравнения (16) рассмотреть уравнение
dXt=a(Xt)dBt, Хо = 0, (18)
с той же самой функцией сг(х), ситуация резко меняется, поскольку, во-первых, существуют вероятностные пространства, на которых у этого уравнения заведомо есть, по крайней мере, два сильных решения, и, во-вторых, на некоторых вероятностных пространствах у этого уравнения может вовсе и не быть сильного решения.
Чтобы показать справедливость первого утверждения, рассмотрим на пространстве непрерывных функций и> = (u>t)t>о с винеровской мерой координатно заданный винеровский процесс W = (Wt)t^Oi т. е. такой, что Wt(w)=wt,t>0.
Тогда, по теореме Леви (см. п. 3 в §ЗЬ), пропесс В = (Bt)t^о при
Bt= С o{Ws)dWa Jo
также будет винеровским процессом (броуновским движением). И легко видеть, что
[ o{Wa)dBa = [ o2{Wa)dWa=Wt, Jo Jo
поскольку cr2(x) = 1.
Тем самым, процесс W =¦ (Wt)t^o является (на рассматриваемом вероятностном пространстве) решением уравнения (18) со специальным образом подобранным броуновским движением В¦ Но, поскольку сг(-х) = -сг(х),то
[ o{Wa)dBa = -Wt, Jo
Г o(-Wa) dBa = - Jo
т.е. наряду с W = (Wt)t^о процесс -W = (-Wt)t>о также есть решение уравнения (18).
Что же касается второго утверждения, то предположим, что у уравнения 1
Xt= [ o{Xa)dBs Jo
существует сильное решение (относительно потока а-алгебр (порожденных броуновским движением В). Из теоремы Леви следует, что тогда процесс X = (Xt, о является броуновским движением.
По формуле Таиака (см. далее § 5с и ср. с примером в § lb, гл. II):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo
где t
Lt(0) = limi- f I(\\Xa\\^e)da
ej.0 AZ Jo
- локальное время (Леви) броуновского движения X, которое оно проводит в нуле на интервале . Поэтому (Р-п.н.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt{0) Jo
и, значит, С
Сделанное выше предположение, что X является адаптированным относительно потока = (&t)t^o, лает включение С \
Еще по теме § Зе. Стохастические дифференциальные уравнения:
- Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
- В начале 70-х годов Ф.Блэк и М.Шоулз разработали модель оценки премии европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Полученная формула явилась результатом решения ими дифференциального уравнения Блэка-Шоула. Данное уравнение мы рассматриваем в следующем параграфе.
- Часть II Математический анализ и дифференциальные уравнени
- 6. Уравнение, связывающее цену дериватива с рыночной ценой риска. Стохастические модели с непрерывным временем для краткосрочных ставок и расчеты цен облигаций
- ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 2,1. Дифференциальное уравнение для производного актива на акцию, по которой выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд
- Система взаимозависимых уравнений (система совместных одновременных уравнений)
- Инкрементные (приростные, или дифференциальные) затраты
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений -
