Рассмотренный выше пример позволяет сделать вывод, что значения, используемые для анализа зависят от случайных причин, поэтому такие переменные величины называются случайными . В большинстве случаев они появляются в результате наблюдений или экспериментов, которые сводятся в таблицы, в первой строке которой записываются различные наблюдаемые значения случайной величины Х, а во второй – соответствующие частоты. Поэтому такая таблица называется эмпирическим распределением случайной величины Х или вариационным рядом . Для вариационного ряда мы находили среднее значение , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .
непрерывной , если ее значения целиком заполняют некоторый числовой промежуток.
Случайная величина называется дискретной , если все ее значения можно занумеровать (в частности, если оно принимает конечное число значений).
Следует отметить два характерных свойства таблицы распределения дискретной случайной величины:
Все числа второй строки таблицы положительны;
Их сумма равна единице.
В соответствие с проведенными исследованиями можно предположить, что при увеличении числа наблюдений эмпирическое распределение приближается к теоретическому, заданному в табличной форме.
Важной характеристикой дискретной случайное величины является ее математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей значения , , …, .с вероятностями , , …, называется число:
Математическое ожидание также называют средним значением.
К другим важным характеристикам случайной величины относятся дисперсия (8) и среднее квадратическое отклонение (9).
где: математическое ожидание величины X.
.
(9)
Графическое представление информации значительно нагляднее, чем табличное, поэтому возможность электронных таблиц MS Excel представлять размещенные в них данные в виде различных диаграмм, графиков и гистограмм используется очень часто. Так, помимо таблицы, распределение случайной величины изображают также с помощью многоугольника распределения . Для этого на координатной плоскости строят точки с координатами , , … и соединяют их прямыми отрезками.
Для получения прямоугольника распределения посредством MS Excel необходимо:
1. Выбрать на панели инструментов закладу «Вставка» ® «Диаграмма с областями».
2. Активизировать появившуюся на листе MS Excel область для диаграммы правой кнопкой мыши и в контекстном меню воспользоваться командой «Выбрать данные».
Рис. 6. Выбор источника данных
Сначала определим диапазон данных для диаграммы. Для этого в соответствующую область диалогового окна «Выбор источника данных» введем диапазон C6:I6 (в нем представлены значения частот под названием Ряд1, рис. 7).
Рис. 7. Добавление ряда 1
Для изменения названия ряда необходимо выбрать кнопку изменить область «Элементы легенды (ряды)» (см. рис. 7) и назвать его .
Для того, чтобы добавить подпись оси X необходимо воспользоваться кнопкой «Изменить» области «Подписи горизонтальной оси (категории)»
(рис. 8) и указать значения ряда (диапазон $C$6:$I$6).
Рис. 8. Окончательный вид окна диалога «Выбор источника данных»
Выбор кнопки в окне диалога «Выбор источника данных»
(рис. 8) позволит получить требуемый многоугольник распределения случайной величины (рис. 9).
Рис. 9. Многоугольник распределения случайной величины
Внесем некоторые изменения в дизайн полученной графической информации:
Добавим подпись оси Х;
Отредактируем подпись оси Y;
- 
добавим заголовок для диаграммы «Многоугольник распределения».
Для этого выберем в области панели инструментов закладку «Работа с диаграммами» закладку «Макет» и в появившейся панели инструментов соответствующие кнопки: «Название диаграммы», «Названия осей» (рис. 10).
Рис. 10. Итоговый вид многоугольника распределения случайной величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее. Случайные величины бывают прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин заранее могут быть перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Пример дискретных случайных величин:
1) Число появления герба при трех бросаниях монеты. (возможны значения 0;1;2;3)
2) Частота появления герба в том же опыте. (возможные значения )
3) Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. (Возможные значения величин 0;1;2;3;4;5)
Примеры непрерывных случайных величин:
1) Абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле.
2) Расстояние от точки попадания до центра мишени.
3) Время безотказной работы прибора (радиолампы).
Случайны величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, X – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: X 1 =0,Х 2 =1, Х 3 =2, Х 4 =3.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями Х 1 , Х 2 , … , Х n . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий.
Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:
Так как несовместные события образуют полную группу, то
то есть сумма вероятности всех возможных значений случайной величины равна 1. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, то есть в точности укажем какой вероятностью обладает каждое из событий. (Этим мы установим так называемый закон распределения случайных величин.)
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующей им вероятности. (Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения)
Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Таблица 1.
| X i | X 1 | X 2 | … | X n |
| P i | P 1 | P 2 | … | P n |
Такую таблицу называют рядом распределения случайных величин.
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. (Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.)
Рисунок 1 – многоугольник распределения
Такая фигура называется многоугольником распределения . Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.
Пример:
производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А=0,3. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в данном опыте. Необходимо построить ряд и многоугольник распределения величины Х.
Таблица 2.
| X i | ||
| P i | 0,7 | 0,3 |
Рисунок 2 - Функция распределения
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и не прерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.
Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X Функцию распределения F(x) иногда также называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Свойства функции распределения случайной величины 1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, то есть при ; 2. На минус бесконечности : 3. На плюс бесконечности : Рисунок 3 – график функции распределения График функции распределения
в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1. Зная ряд распределения случайной величины, можно построить функцию распределения случайной величины. Пример:
для условий предыдущего примера построить функцию распределения случайной величины. Построим функцию распределения X: Рисунок 4 – функция распределения Х Функция распределения
любой прерывной дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна 1
. По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними, число скачков становится больше, а сами скачки – меньше: Рисунок 5 Ступенчатая кривая становится более плавной: Рисунок 6 Случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения к непрерывной функции. Также существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной. И в отдельных точках терпит разрыв. Такие случайные величины называются смешенными. Рисунок 7 На
первый взгляд может показаться, что для
задания дискретной случайной величины
достаточно перечислить все ее возможные
значения. В действительности это не
так: случайные величины могут иметь
одинаковые перечни возможных значений,
а вероятности их – различные. Поэтому
для задания дискретной случайной
величины недостаточно перечислить все
возможные ее значения, нужно еще указать
их вероятности. Законом
распределения дискретной случайной
величины
называют
соответствие между возможными значениями
и их вероятностями; его можно задать
таблично, аналитически (в виде формулы)
и графически. Определение.
Любое правило (таблица, функция, график),
позволяюшее находить вероятности
произвольных событий A
S
(S
– -алгебра
событий пространства ),
в частности, указывающее вероятности
отдельных значений случайной величины
или множества этих значений, называется
законом
распределения случайной величины
(или
просто: распределением
).
Про с.в. говорят, что «она подчиняется
данному закону распределения». Пусть
Х
– д.с.в., которая принимает значения х
1 ,
х
2 ,
…, x
n
,…
(множество этих значений конечно или
счетно) с некоторой вероятностью p
i
,
где i
= 1,2,…, n
,…
Закон распределения д.с.в. удобно задавать
с помощью формулы p
i
= P
{X
= x
i
}где
i
= 1,2,…, n
,…,
определяющей вероятность того, что в
результате опыта с.в. Х
примет значение x
i
.
Для д.с.в. Х
закон распределения может быть задан
в виде таблицы
распределения
: x
n
р
n
При
табличном задании закона распределения
дискретной случайной величины первая
строка таблицы содержит возможные
значения, а вторая – их вероятности.
такую таблицу называют рядом
распределения
. Приняв
во внимание, что в одном испытании
случайная величина принимает- одно и
только одно возможное значение, заключаем,
что события X
= x
1 ,
X
= x
2 ,
..., X
= x
n
образуют полную группу; следовательно,
сумма вероятностей этих событий, т.е.
сумма вероятностей второй строки
таблицы, равна единице, то есть
. Если
множество возможных значений X
бесконечно (счетно), то ряд р
1
+ р
2
+ ... сходится и его сумма равна единице. Пример.
В денежной лотерее выпущено 100 билетов.
Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и
десять выигрышей по 1 руб. Найти закон
распределения случайной величины X
– стоимости возможного выигрыша для
владельца одного лотерейного билета. Решение.
Напишем возможные значения X
:
х
1
= 50, х
2
= 1, х
3
= 0. Вероятности этих возможных значений
таковы: р
1
= 0,01, р
2
= 0,01, р
3 =
1 – (р
1
+ р
2)=0,89. Напишем
искомый закон распределения: Контроль:
0,01 + 0,1 + 0,89 =1. Пример.
В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные
– черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара.
Найти закон распределения числа белых
шаров в выборке. Решение.
Возможные значения с.в. Х
– числа белых шаров в выборке есть х
1
= 0, х
2
= 1, х
3
= 2, х
4
= 3. Вероятности их соответственно будут Закон распределения
запишем в виде таблицы. Контроль:
Закон
распределения д.с.в. можно задать
графически, если на оси абсцисс отложить
возможные значения с.в., а на оси ординат
– вероятности этих значений. ломаную,
соединяющую последовательно точки (х
1 ,
р
1),
(х
2 ,
р
2),…
называют многоугольником
(или полигоном
)
распределения
(см. рис. 5.1). Рис.
5.1. Полигон распределения Теперь можно дать
более точное определение д.с.в. Определение.
Случайная
величина Х
дискретна
,
если существует конечное или счетное
множество чисел х
1 ,
х
2 ,
… таких, что P
{X
= x
i
}
=
p
i
> 0 (i
= 1,2,…) и p
1
+ p
2
+ р
3
+… = 1. Определим
математические операции над дискретными
с.в. Определение.
Суммой
(разностью
,
произведением
)
д.с.в. Х
,
принимающей значения x
i
с вероятностями p
i
=
P
{X
= x
i
},
i
= 1, 2, …, n
,
и д.с.в. Y
,
принимающей значения y
j
с вероятностями
p
j
=
P
{Y
= y
j
},
j
= 1, 2, …, m
,
называется д.с.в. Z
=
X
+ Y
(Z
= X
–
Y
,
Z
=
X
Y
),
принимающая значения z
ij
= x
i
+ y
j
(z
ij
= x
i
–
y
j
,
z
ij
= x
i
y
j
)
с вероятностями p
ij
=
P
{X
= x
i
,
Y
= y
j
}
для всех указанных значений i
и j
.
В случае совпадения некоторых сумм x
i
+ y
j
(разностей
x
i
–
y
j
,
произведений x
i
y
j
)соответствующие
вероятности складываются. Определение.
Произведение
д.с.в. на
число с
называется д.с.в. сХ
,
принимающая значения с
x
i
с вероятностями p
i
=
P
{X
= x
i
}. Определение.
Две д.с.в. Х
и Y
называются независимыми
,
если события {X
= x
i
}
= A
i
и {Y
= y
j
}
= B
j
независимы для любых i
= 1, 2, …, n
,
j
= 1, 2, …, m
,
то есть В
противном случае с.в. называют зависимыми
.
Несколько с.в. называют взаимно
независимыми, если закон распределения
любой из них не зависит от того, какие
возможные значения приняли остальные
величины. Рассмотрим
несколько наиболее часто употребляемых
законов распределения. В разделе курса, посвященном основным понятиям теории вероятностей, мы уже ввели в рассмотрение чрезвычайно важное понятие случайной величины. Здесь мы дадим дальнейшее развитие этого понятия и укажем способы, с помощью которых случайные величины могут быть описаны и характеризованы. Как уже было сказано, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Мы условились также различать случайные величиныпрерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток. Примеры прерывных случайных величин: 1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3); 2) частота появления герба в том же опыте (возможные значения ); 3) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможнее значения 0, 1, 2, 3, 4, 5); 4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, …, n, …); 5) число самолетов, сбитых в воздушном бою (возможные значения 0, 1, 2, …, N, где – общее число самолетов, участвующих в бою). Примеры непрерывных случайных величин: 1) абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле; 2) расстояние от точки попадания до центра мишени; 3) ошибка измерителя высоты; 4) время безотказной работы радиолампы. Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: . Рассмотрим прерывную случайную величину с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий: Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами: Так как несовместные события (5.1.1) образуют полную группу, то т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятностькаким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий (5.1.1). Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения. Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины . Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значенияслучайной величины и соответствующие им вероятности: Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины . Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 5.1.1). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения. Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в отдельных точках сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс. Рассмотрим несколько примеров прерывных случайных величин с их законами распределения. Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Рассматривается случайная величина – число появлений события в данном опыте (т.е. характеристическая случайная величина события , принимающая значение 1, если оно появится, и 0, если не появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения величины . Решение. Величина имеет всего два значения: 0 и 1. Многоугольник распределения изображен на рис. 5.1.2. Пример 2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Решение. Обозначим число выбитых очков. Возможные значения величины : . Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов: Ряд распределения величины имеет вид: Многоугольник распределения изображен на рис. 5.1.3. Пример 3. Вероятность появления события в одном опыте равна . Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до первого появления события , после чего опыты прекращаются. Случайная величина – число произведенных опытов. Построить ряд распределения величины . Решение. Возможные значения величины : 1, 2, 3, … (теоретически они ничем не ограничены). Для того, чтобы величина приняла значение 1, необходимо, чтобы событие произошло в первом же опыте; вероятность этого равна . Для того, чтобы величина приняла значение 2, нужно, чтобы в первом опыте событие не появилось, а во втором – появилось; вероятность этого равна , где , и т.д. Ряд распределения величины имеет вид: Первые пять ординат многоугольника распределения для случая показаны на рис. 5.1.4. Пример 4. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятностьпопадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным. Решение. Случайная величина – число неизрасходованных патронов – имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно: Ряд распределения величины имеет вид: Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.5. Пример 5. Техническое устройство может применяться в различных условиях и в зависимости от этого время от времени требует регулировки. При однократном применении устройства оно может случайным образом попасть в благоприятный или неблагоприятный режим. В благоприятном режиме устройство выдерживает три применения без регулировки; перед четвертым его приходится регулировать. В неблагоприятном режиме устройство приходится регулировать после первого же применения. Вероятность того, что устройство попадет в благоприятный режим, - 0,7, что в неблагоприятный, - 0,3. Рассматривается случайная величина – число применений устройства до регулировки. Построить её ряд распределения. Решение. Случайная величина имеет три возможных значения: 1, 2 и 3. вероятность того, что , равна вероятности того, что при первом же применении устройство попадет в неблагоприятный режим, т.е. . Для того, чтобы величина приняла значение 2, нужно, чтобы при первом применении устройство попало в благоприятный режим, а при втором – в неблагоприятный; вероятность этого Ряд распределения величины имеет вид: Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.6. Функция распределения
В предыдущем n° мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывнойслучайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величинаимеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной. Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться невероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятностьэтого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается : Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризуетслучайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при . 2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: . 3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: . Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси Ох (рис. 5.2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения естьвероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки . Будем увеличивать , т. е. перемещать точку вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка попадет левее , не может уменьшиться; следовательно, функция распределения с возрастанием убывать не может. Чтобы убедиться в том, что , будем неограниченно перемещать точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, чтовероятность этого события стремится к нулю, т.е. . Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку вправо, убеждаемся, что , так как событие становится в пределе достоверным. График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы). Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно, где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше . Когда текущая переменная проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины , функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Случайная величина – число появлений события в опыте (характеристическая случайная величина события ). Построить её функцию распределения.
5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
;
;
.
.
. Чтобы величина приняла значение 3, нужно, чтобы два первых раза устройство попало в благоприятный режим (после третьего раза его все равно придется регулировать). Вероятность этого равна 
.
. (5.2.1)
,
