Обобщим теперь предыдущее рассмотрение на случай, который является более реальным, т. е. экспериментально реализуемым. Для этого скажем несколько слов о том, как распространяется свет. Оптическое поле распространяется в соответствии с волновым уравнением

где вторая частная производная по пространственным координатам, а с - скорость света. В случае когерентного света можно воспользоваться выражением (4); подставляя его в уравнение (17а), мы получим волновое уравнение (уравнение Гельмгольца), описывающее распространение комплексной амплитуды:

где длина волны света. Существенную роль играют следующие решения этого волнового уравнения:

1) плоская волна, распространяющаяся вдоль оси

где А - постоянная;

2) сходящаяся (отрицательная экспонента) и расходящаяся (положительная экспонента) сферические волны

где радиус сферической волны.

Идеальный точечный источник излучает расходящуюся сферическую волну; расположенный на бесконечности, он будет давать плоскую волну. В качестве первого примера рассмотрим сложение двух плоских волн.

2.2.2.1. Сложение двух плоских волн

Мы будем рассматривать два идеальных точечных источника одинаковой интенсивности, расположенных на бесконечности и создающих две плоские волны, сходящиеся под углом 20 друг к другу. Иными словами, два плоских волновых фронта образуют углы ±0 относительно плоскости, в которой мы будем записывать интенсивность, создаваемую в результате их взаимодействия (рис. 1).

Рис. 1. Сложение двух плоских волн, расположенных симметрично относительно оптической оси.

Будем предполагать, что в точке обе эти волны имеют одинаковые фазы. Тогда результирующая комплексная амплитуда запишется в виде [см. выражение (14)]

а интенсивность если угол мал дается выражением

где - постоянная интенсивность, связанная с каждой отдельной плоской волной. Наконец, заметим, что

Для голографических исследований выражение (21) полезно записать в виде выражения (15):

Если делается фотографическая запись интенсивности и затем негатив освещается когерентной волной то второй и третий члены выражения (23) воссоздадут первоначальную и сопряженную ей волну.

В соответствии с (22) результирующая интенсивность представляет собой серию интерференционных полос с профилем в виде квадрата косинуса, что иллюстрируется на рис. 2, б. Естественно, что в случае, когда две волны некогерентны, складываются их интенсивности, что и дает результирующую интенсивность, равную 21 (рис. 2, а). Наконец, рис. 2, в иллюстрирует частично-когерентное сложение двух пучков (см. разд. 2.3.2, в котором обсуждается этот результат).

Рис. 2. Суммарная нормализованная интенсивность, образуемая двумя волнами, которые складываются некогерентно (а), когерентно (б) и частично-когерентно (в),

2.2.2.2. Сложение цилиндрической (или сферической) и плоской волн

Будем предполагать, что плоская волна распространяется вдоль оптической оси системы (рис. 3) и что в точке разность хода (а следовательно, и разность фаз) плоской и цилиндрической волн равна нулю. Тогда в предположении малых углов разность хода между этими двумя волнами равна где радиус сферической волны. Следовательно, разность фаз равна При этом результирующая амплитуда в плоскости х запишется в виде

а результирующая интенсивность

Рис. 3. Сложение плоской и цилиндрической волн.

Профиль результирующей интенсивности имеет вид и представляет собой серию интерференционных полос, причем аргумент косинуса зависит от квадрата пространственной координаты. Это иллюстрируется на рис. 4. Если бы задача решалась для сферической и плоской волн, то мы имели бы решение, описываемое

выражением (26) и соответствующее кривой на рис. 4, а, за исключением лишь того, что вместо линейной координаты появилась бы радиальная координата и картина стала бы радиально-симметричной.

Рис. 4. Распределение интенсивности при интерференции плоской и цилиндрической волн, а - кривая профиля интенсивности; б - фотография интерференционной картины.

2.2.2.3. Сложение цилиндрических (или сферических) волн

Эта задача решается аналогично рассмотренным двум предыдущим случаям. Пусть радиусы двух цилиндрических волн (рис. 5, а); тогда результирующая интенсивность дается выражением

в котором мы приняли, что в точке на оптической оси, определяющей начало координаты х плоскости, в которой записывается интенсивность, обе цилиндрические волны имеют нулевую разность фаз.

Рис. 5. Сложение двух цилиндрических волн, распространяющихся в одном и том же направлении (а) и под некоторым углом друг к другу

Если нормали к волновым фронтам двух распространяющихся цилиндрических волн не параллельны оптической оси (рис. 5, б), то в выражениях для результирующих амплитуды и интенсивности

появляются линейный и квадратичный члены относительно х:

Последнее выражение представляет собой комбинацию выражений (22) и (27).

Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя в интерференции и дифракции . Эти явления характерны для волн любой природы и сравнительно просто наблюдаются на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию и дифракцию световых волн можно лишь при определенных условиях. Свет, испускаемый обычными (нелазерными) источниками, не бывает строго монохроматическим. Поэтому для наблюдения интерференции свет от одного источника нужно разделить на два пучка и затем наложить их друг на друга.

Интерференционный микроскоп.

Существующие экспериментальные методы получения когерентных пучков из одного светового пучка можно разделить на два класса .

В методе деления волнового фронта пучок пропускается, например, через два близко расположенных отверстия в непрозрачном экране (опыт Юнга). Такой метод пригоден лишь при достаточно малых размерах источника.

В другом методе пучок делится на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Этот метод деления амплитуды может применяться и при протяженных источниках. Он обеспечивает большую интенсивность и лежит в основе действия разнообразных интерферометров. В зависимости от числа интерферирующих пучков различают двулучевые и многолучевые интерферометры. Они имеют важные практические применения в технике, метрологии и спектроскопии.

Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления:

; ,

где под x понимаем напряженность электрического E и магнитного H полей волны, которые подчиняются принципу суперпозиции (см. п. 6).

Амплитуду результирующего колебания при сложении колебаний, направленных вдоль одной прямой, найдем по формуле (2.2.2):

Если разность фаз колебаний , возбужденных волнами в некоторой точке пространства , остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными.

В случае некогерентных волн разность фаз непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение равно нулю (изменяется от –1 до +1). Поэтому .

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды: . Отсюда можно сделать вывод, что для некогерентных источников интенсивность результирующей волны всюду одинакова и равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности :

. (8.1.1)

В случае когерентных волн (для каждой точки пространства), так что

. (8.1.2)

Последнее слагаемое в этом выражении называется интерференционным членом .

В точках пространства, где , (в максимуме ), где , интенсивность (в минимуме ). Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света .

Устойчивая интерференционная картина получается лишь при сложении когерентных волн. Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Фазы каждого цуга волны никак не связаны друг с другом. Атомы излучают хаотически.

Периодическая последовательность горбов и впадин волн , образующихся в процессе акта излучения одного атома , называется цугом волн или волновым цугом .

Процесс излучения одного атома длится примерно с. При этом длина цуга .

В одном цуге укладывается примерно длин волн.

Условие максимума и минимума интерференции

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис. 8.1).

До точки Р первая волна проходит в среде с показателем расстояние , а вторая в среде с показателем преломления расстояние . Если в точке О фаза колебаний (), то первая волна возбждает в точке Р колебание

, а вторая ,

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеется не один, а несколько источников волн (осцилляторов). Излучаемые ими волны в некоторой области пространства будут оказывать совокупное действие. Прежде чем начать анализ того, что может произойти в результате, остановимся сначала на очень важном физическом принципе, которым неоднократно будем пользоваться в нашем курсе, - принципе суперпозиции. Суть его проста.

Предположим, что имеется не один, а несколько источников возмущения (ими могут быть механические осцилляторы, электрические заряды, и др.). Что будет отмечать прибор, регистрирующий одновременно возмущения среды от всех источников? Если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности независимо от наличия остальных - это и есть принцип суперпозиции, т.е. наложения. Этот принцип един для многих явлений, но его математическая запись может быть разной в зависимости от характера рассматриваемых явлений - векторного или скалярного.

Принцип суперпозиции волн выполняется не во всех случаях, а только в так называемых линейных средах. Среду, например, можно считать линейной, если ее частицы находятся под действием упругой (квазиупругой) возвращающей силы. Среды, в которых принцип суперпозиции не выполняется, называются нелинейными. Так, при распространении волн большой интенсивности линейная среда может становиться нелинейной. Возникают чрезвычайно интересные и технически важные явления. Это наблюдается при распространении в среде ультразвука большой мощности (в акустике) или лазерных лучей в кристаллах (в оптике). Научные и технические направления, занимающиеся изучением этих явлений, получили название нелинейной акустики и нелинейной оптики, соответственно.

Будем рассматривать только линейные эффекты. Применительно к волнам принцип суперпозиции утверждает, что каждая из них?,(х, t) распространяется независимо от того, есть ли в данной среде источники других волн или нет. Математически, в случае распространения N волн вдоль оси х, он выражается так

где с(х, 1) - суммарная (результирующая) волна.

Рассмотрим наложение двух монохроматических волн одинаковой частоты со и поляризации, распространяющихся по одному направлению (ось х) из двух источников



Будем наблюдать результат их сложения в определенной точке М, т.е. зафиксируем координату х = х м в уравнениях, описывающих обе волны:

При этом мы устранили двойную периодичность процесса и превратили волны в колебания, совершающиеся в одной точке М с одним временным периодом Т= 2л/со и различающиеся начальными фазами Ф, = к г х м и ф 2 = крс м, т.е.

и

Теперь для нахождения результирующего процесса t{t) в точке М мы должны сложить 2,! и q 2: W) = ^i(0 + с 2 (0- Мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее в подразделе 2.3.1. Используя формулу (2.21), получим амплитуду суммарного колебания А, выраженную через А, ф! и А 2 , фг, как

Значение А м (амплитуда суммарного колебания в точке М) зависит от разности фаз колебаний Аф = ф 2 - ф). Что происходит в случае разных значений Дф, подробно рассмотрено в подразделе 2.3.1. В частности, если эта разность Аф остается все время постоянной, то в зависимости от ее значения может получиться так, что в случае равенства амплитуд А = А 2 = А результирующая амплитуда А м будет равной нулю или 2А.

Чтобы явление увеличения или уменьшения амплитуды при наложении волн (интерференции) можно было наблюдать, необходимо, как уже говорилось, чтобы разность фаз Дф = ф 2 - ф! оставалась постоянной. Это требование означает, чтобы колебания были когерентными. Источники колебаний называются когерентными ", если разность фаз возбуждаемых ими колебаний не изменяется с течением времени. Волны, порожденные такими источниками, также являются когерентными. Кроме того, необходимо, чтобы складываемые волны были одинаково поляризованными, т.е. чтобы смещения частиц в них происходили, например, в одной плоскости.

Видно, что осуществление интерференции волн требует соблюдения нескольких условий. В волновой оптике это означает создание когерентных источников и реализации способа сложения возбуждаемых ими волн.

1 Различают когерентность (от лат. cohaerens - «находящийся в связи») временную, связанную с монохроматичностью волн, о которой и идет речь в данном разделе, и пространственную когерентность, нарушение которой характерно для протяженных источников излучения (нагретых тел, в частности). Особенности пространственной когерентности (и некогерентности) мы не рассматриваем.

1. Сложение однонаправленных волн. Пусть на оси ОХ находятся два источника S 1 и S 2 в точках с координатами х 1 и х 2 (рис.81). В момент времени t = 0 источники начали излучать две монохроматические одинаковой частоты w линейно поляризованные в одной плоскости световые волны.

, (10.1)

, (10.2)

Здесь v - скорость распростране-ния волны.

Электрическое и магнитное поля подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому при наложении волн в любой точке А их напряженности складываются. . (10.3)

Здесь j = w(х 2 – х 1 )/v - сдвиг фаз между волнами. Помимо параметров волны w и v на него влияет расстояние между источниками D = х 2 – х 1 .

Сдвиг фаз определяет амплитуду Е а суммарной волны .(10.4)

Если разность фаз в данной точке пространства постоянна, то амплитуда результирующего колебания в этой точке постоянна. В зависимости от разности фаз j в точке будет наблюдаться или усиление интенсивности света (j = 0, Е а = Е а1 + Е а2), или ослабление (j = p , Е а = Е а1 – Е а2). При равенстве амплитуд Е а1 = Е а2 и при j = p , Е а = Е а1 – Е а2 = 0. Происходит полное гашение света.

2. Интерференционная картина. В реальных случаях складываемые волны сходятся обычно под некоторым углом друг к другу (рис.82). В результате в разных точках пространства А 1 , А 2 , А 3 … разность фаз j оказывается разной. Возникает пространственное распределение интенсивности света в виде чередующихся светлых и темных полос. Это так называемая интерференционная картина .

Явление сложения волн с одинаковой частотой и постоянной во времени, достаточном для наблюдения, разностью фаз, при котором происходит перераспределение интенсивности в пространстве, называется интерференцией. Интерференционная картина наиболее контрастна, когда амплитуды складываемых волн одинаковы.

3. Когерентность (от лат. cohaerens – находящийся в связи) – согласованность во времени нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющаяся при их сложении . Естественные источники света состоят из огромного количества хаотически вспыхивающих и потухающих излучателей – атомов и молекул. Через каждую точку оптически прозрачной среды, окружающей источник, проходят друг за другом цуги волн, испущенные разными атомами и имеющие разные амплитуды, фазы и частоты. Поэтому сделать два не лазерных источника света когерентными принципиально невозможно.

Получение когерентных лучей от естественных источников возможно путем расщепления луча от одного источника и создания между ними постоянного сдвига фаз. В этом случае лучи повторяют себя во всех деталях и потому могут интерферировать между собой.

Но при создании разности фаз надо помнить, что цуг волн, испущенный отдельным атомом, имеет конечную протяженность вдоль луча. При длительности испускания 10 –11 ¸ 10 –8 с эта протяженность не превышает 1 ¸ 3 м. Поэтому можно сказать, что через каждые 10 -8 с волна, излучаемая даже одним атомом меняется.


Но даже отдельный цуг не есть отрезок синусоиды. Фаза колебания вектора Е на его протяжении непрерывно изменяется. Поэтому «голова» цуга не когерентна его «хвосту».

Время t , в течение которого фаза колебаний в световой волне, измеряемая в постоянной точке пространства, изменяется на p , называется временем когерентности . Расстояние сt , где с – скорость света, измеренное вдоль направления распространения волны, называется длиной когерентности . Свет разных источников имеет длину когерентности от нескольких микрометров до нескольких километров:

– солнечный свет, сt » 1 ¸ 2 мкм,

– спектры разреженных газов, сt » 0,1 м,

– лазерное излучение, сt » 1 ¸ 2 км.

Для описания когерентных свойств волны в плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, применяют термин простран-ственная когерентность . Она определяется площадью круга диаметром l , во всех точках которого разность фаз не превышает величины p .

Пространство когерентности у точечного источника естественного света приближается к объему усеченного конуса длинной несколько мкм и диаметром основания несколько мм (рис.83). С удалением от источника оно увеличивается.

4. Построение интерференционной картины методом Юнга. Первую схему двух-лучевой интерференции предложил в 1802 г. Томас Юнг. Он первый в ясной форме установил принципы сложения амплитуд и дал объяснение интерференции в волновой модели света. Суть схемы Юнга сводится к следующему.

Нормально лучам от естественного источника света устанавливается экран Э 1 с узкой щелью S . Эта щель играет роль точечного источника света S . Распространяющаяся от S цилиндрическая волна возбуждает в щелях S 1 и S 2 экрана Э 2 когерентные колебания. Поэтому волны, распростра-няющиеся от щелей S 1 и S 2 , при взаимо-действии дают на экране Э 3 интер-ференционную картину в виде системы параллельных щелям полос (рис.84).

Хотя на практике метод Юнга не применяется из-за слабой освещенности экрана Э 3 , он удобен для теоретического изучения двухлучевой интерференции с целью получения количественных оценок. Для этого представим схему Юнга в виде, показанном на рис.85.

Если S 1 и S 2 – когерентные источники света, излучающие в одинаковой фазе, то в любую произвольную точку А экрана Э 3 будут приходить волны с разностью хода D = l 2 – l 1 . Полагая на рисунке а<, из приближенного условия D/а = yçL получаем величину разности хода, D = аyçL . Она набегает тем больше, чем дальше точка наблюдения А от оси симметрии ОХ интерференционной картины (координата y ), чем больше расстояние между щелями и чем ближе экран Э 3 к щелям (расстояние L ).

Максимум освещенности будет в тех точках экрана, где D составляет целое число волн, а минимум освещенности - где D составляет нечетное число полуволн.

Рис.85

, k = 0, 1, 2, 3, (max), (10.5)

, k = 1, 2, 3,(min), (10.6)

Здесь k – номер полосы. При малых углах j полосы располагаются равномерно. Расстояние между соседними темными или соседними светлыми полосами равно

. (10.7)

Оно тем больше, чем меньше расстояние а между источниками и чем больше расстояние L от источников до экрана.

При а = 1 мм, L = 1 м, Dу = 0,5×10 –6 ×1ç 10 –3 = 0,5 мм для зеленых лучей.

5. Контрастность интерференционной картины зависит от протяженности источника света S и от степени монохроматичности света .

а. Влияние немонохроматичности света. В том случае, когда интерферируют немонохроматичные волны, максимумы на экране для разных длин волн не совпадают. В результате интерференционная картина размывается. Она полностью смазывается, когда на k -ый максимум волны с длиной l + Dl приходится k + 1-й максимум волны с длиной l .

Все пространство минимума для волны l занято максимумами с длинами от l до l + Dl .

Критерий монохроматичности ограничивает число наблюдаемых полос. Например для солнечного света с l от 0,4 до 0,8 мкм весь спектральный диапазон можно представить в виде: l = l 0 ± Dl = 0,6± 0,2 мкм. Максимальный порядок наблюдающейся интерференционной полосы k max = l 0 / Dl = 0,6/ 0,2 = 3. Значит, могут наблюдаться 6 темных полос, соответствующих k = –3, –2, –1, +1, +2, +3.

Сжимая с помощью светофильтров спектральный интервал, можно увеличить число и контрастность наблюдаемых полос.

б. Влияние протяженности источника. Пусть ширина щели S равна b (рис.86). Чтобы щели S 1 и S 2 излучали в одной фазе, нужно, чтобы лучи, приходящие в каждую щель от разных точек источника S , имели малую разность хода D, не более четверти длины волны. . (10.9)

Угол w обычно не больше 1°. Поэтому ограничение по ширине щели можно записать так: . Но w = аç2d , где а - расстояние между щелями S 1 и S 2 , d - расстояние от щели S до S 1 и S 2 . Тогда b (10.10)

При а = 1 мм, d = 1 м, l = 0,6×10 –6 м, b< 0,6×10 –6 ×1ç 2×10 –3 = 0,3×10 –3 м = 0,3 мм. Для получения хорошей контрастности эта величина должна быть уменьшена еще в 3-4 раза.

6. Практические методы наблюдения интерференции.

а. Бизеркала Френеля, 1816 г. (рис.87). Свет от источника, заключенного в светонепроницаемый кожух, через отверстие в нем попадает расходящимся пучком на два плоских зеркала. Угол между зеркалами a » 179°.

Рис.88

Достоинство метода – хорошая освещен-ность, недостаток – сложность юстировки зеркал на оптической скамье.

б. Бипризма Френеля, 1819 г. (рис.88). Достоинства – хорошая освещенность и простота юстировки, недостаток – требуется специальная бипризма, изделие оптической промышленности.

Здесь S 1 и S 2 – мнимые изображения источника света S.

в. Билинза Бийе, 1845 г. (рис.89). Собирающая или рассеивающая линза разрезается (раскалывается) по диаметру, и обе половины слегка раздвигаются в стороны.

Чем дальше раздвинуты друг от друга полулинзы, тем сильнее сжата интерференцион-ная картина, тем уже полосы. Здесь S 1 и S 2 – действительные изображения источника света S.

г. Зеркало Ллойда, 1837 г. (рис.90). Прямой пучок от источника S интерферирует с пучком, отраженным от зеркала.

Здесь S – освещенная щель, S 1 – ее мнимое изображение.

1. Сложение световых волн от естественных источников света.

2. Когерентные источники. Интерференция света.

3. Получение двух когерентных источников из одного точечного источника естественного света.

4. Интерферометры, интерференционный микроскоп.

5. Интерференция в тонких пленках. Просветление оптики.

6. Основные понятия и формулы.

7. Задачи.

Свет имеет электромагнитную природу, и распространение света - это распространение электромагнитных волн. Все оптические эффекты, наблюдаемые при распространении света, связаны с колебательным изменением вектора напряженности электрического поля Е, который называют световым вектором. Для каждой точки пространства интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора волны, приходящей в эту точку: I ~ Е m 2 .

20.1. Сложение световых волн от естественных источников света

Выясним, что происходит в том случае, когда в данную точку приходят две световые волны с одинаковыми частотами и параллельными световыми векторами:

При этом для интенсивности света получается выражение

При получении формул (20.1) и (20.2) мы не рассматривали вопроса о физической природе источников света, создающих колебания Е 1 и Е 2 . По современным представлениям, элементарными источниками света являются отдельные молекулы. Излучение света молекулой происходит при ее переходе с одного энергетического уровня на другой. Длительность такого излучения очень мала (~10 -8 с), а момент излучения есть событие случайное. При этом образуется ограниченный во времени электромагнитный импульс протяженностью около 3 м. Такой импульс называется цугом.

Естественными источниками света являются тела, нагретые до высоких температур. Свет такого источника представляет собой совокупность огромного числа цугов, испущенных различными молекулами в различные моменты времени. Поэтому среднее значение cosΔφв формулах (20.1) и (20.2) получается равным нулю, и эти формулы принимают следующий вид:

Интенсивности естественных источников света в каждой точке пространства складываются.

Волновая природа света в данном случае не проявляется.

20.2. Когерентные источники. Интерференция света

Результат сложения световых волн будет иным, если разность фаз для всех цугов, приходящих в данную точку, будет иметь постоянное значение. Для этого необходимо использовать когерентные источники света.

Когерентными называются источники света одинаковой частоты, обеспечивающие постоянство разности фаз для волн, приходящих в данную точку пространства.

Световые волны, испущенные когерентными источниками, также называют когерентными волнами.

Рис. 20.1. Сложение когерентных волн

Рассмотрим сложение двух когерентных волн, испущенных источниками S 1 и S 2 (рис. 20.1). Пусть точка, для которой рассматривается сложение этих волн, удалена от источников на расстояния s 1 и s 2 соответственно, а среды, в которых распространяются волны, имеют различные показатели преломления n 1 и n 2 .

Произведение длины пути, пройденного волной, на показатель преломления среды (s*n) называется оптической длиной пути. Абсолютная величина разности оптических длин называется оптической разностью хода:

Мы видим, что при сложении когерентных волн величина разности фаз в данной точке пространства остается постоянной и определяется оптической разностью хода и длиной волны. В тех точках, где выполняется условие

cosΔφ = 1, и формула (20.2) для интенсивности результирующей волны принимает вид

В этом случае интенсивность принимает максимально возможное значение.

Для точек, в которых выполняется условие

Таким образом, при сложении когерентных волн происходит пространственное перераспределение энергии - в одних точках энергия волны увеличивается, а в других уменьшается. Это явление называется интерференцией.

Интерференция света - сложение когерентных световых волн, в результате которого происходит пространственное перераспределение энергии, приводящее к образованию устойчивой картины их усиления или ослабления.

Равенства (20.6) и (20.7) являются условиями максимума и минимума интерференции. Их удобнее записывать через разность хода.

Максимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн (четному числу полуволн).

Целое число k называется порядком интерференционного максимума.

Аналогично получается условие минимума:

Минимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.

Интерференция волн проявляется особенно отчетливо, когда интенсивности волн близки. В этом случае в области максимума интенсивность в четыре раза превышает интенсивность каждой волны, а в области минимума интенсивность практически равна нулю. Получается интерференционная картина из ярких светлых полос, разделенных темными промежутками.

20.3. Получение двух когерентных источников из одного точечного источника естественного света

До изобретения лазера когерентные источники света создавали путем расщепления световой волны на два пучка, которые интерферировали между собой. Рассмотрим два таких метода.

Метод Юнга (рис. 20.2). На пути волны, идущей от точечного источника S, установлена непрозрачная преграда с двумя небольшими отверстиями. Эти отверстия и являются когерентными источниками S 1 и S 2 . Так как вторичные волны, исходящие из S 1 и S 2 , принадлежат одному волновому фронту, то они являются когерентными. В области перекрытия этих световых пучков наблюдается интерференция.

Рис. 20.2. Получение когерентных волн методом Юнга

Обычно отверстия в непрозрачной преграде делают в виде двух узких параллельных щелей. Тогда интерференционная картина на экране представляет собой систему светлых полос, разделенных темными промежутками (рис. 20.3). Светлая полоса, соответствующая

Рис. 20.3. Интерференционная картина, соответствующая методу Юнга, k - порядок спектра

максимуму нулевого порядка, располагается в центре экрана таким образом, что расстояния до щелей одинаковы. Справа и слева от нее располагаются максимумы первого порядка и т.д. При освещении щелей монохроматическим светом светлые полосы имеют соответствующий цвет. При использовании белого света максимум нулевого порядка имеет белый цвет, а остальные максимумы имеют радужную окраску, так как максимумы одного порядка для разных длин волн образуются в разных местах.

Зеркало Ллойда (рис. 20.4). Точечный источник S находится на небольшом расстоянии от поверхности плоского зеркала М. Интерферируют прямой и отраженный лучи. Когерентными источниками являются первичный источник S и его мнимое изображение в зеркале S 1 . В области перекрытия прямого и отраженного пучков наблюдается интерференция.

Рис. 20.4. Получение когерентных волн с использованием зеркала Ллойда

20.4. Интерферометры, интерференционный

микроскоп

На использовании интерференции света основано действие интерферометров. Интерферометры предназначены для измерения показателей преломления прозрачных сред; для контроля формы, микрорельефа и деформации поверхностей оптических деталей; для обнаружения примесей в газах (используются в санитарной практике для контроля чистоты воздуха в помещениях и шахтах). На рисунке 20.5 показана упрощенная схема интерферометра Жамена, который предназначен для измерения показателей преломления газов и жидкостей, а также для определения концентрации примесей в воздухе.

Лучи белого света проходят через два отверстия (метод Юнга), а затем через две одинаковые кюветы К 1 и К 2 , заполненные веществами с различными показателями преломления, один из которых известен. Если бы показатели преломления были одинаковы, то белый интерференционный максимум нулевого порядка располагался бы в центре экрана. Различие в показателях преломлений приводят к появлению оптической разности хода при прохождении кювет. В результате максимум нулевого порядка (его называют ахроматическим) смещается относительно центра экрана. По величине смещения определяют второй (неизвестный) показатель преломления. Приведем без вывода формулу для определения разности между показателями преломления:

где k - число полос, на которое сместился ахроматический максимум; l - длина кюветы.

Рис. 20.5. Ход лучей в интерферометре:

S - источник, узкая щель, освещенная монохроматическим светом; Л - линза, в фокусе которой находится источник; К - одинаковые кюветы длины l ; Д - диафрагма с двумя щелями; Э -экран

С помощью интерферометра Жамена можно определять разницу в показателях преломления с точностью до шестого десятичного знака. Столь высокая точность позволяет обнаруживать даже небольшие загрязнения воздуха.

Интерференционный микроскоп представляет собой сочетание оптического микроскопа и интерферометра (рис. 20.6).

Рис. 20.6. Ход лучей в интерференционном микроскопе:

М - прозрачный объект; Д - диафрагма; О - окуляр микроскопа для

наблюдения интерферирующих лучей; d - толщина объекта

В связи с разницей показателей преломления объекта М и среды лучи приобретают разность хода. В результате между объектом и средой образуется световой контраст (при монохроматическом свете) или объект станет окрашенным (при белом свете).

Этот прибор применяется для измерения концентрации сухого вещества, размеров прозрачных неокрашенных микрообъектов, которые неконтрастны в проходящем свете.

Разность хода определяется толщиной d объекта. Оптическую разность хода можно измерить с точностью до сотых долей длины волны, что дает возможность количественно исследовать структуру живой клетки.

20.5. Интерференция в тонких пленках. Просветление оптики

Хорошо известно, что пятна бензина на поверхности воды или поверхность мыльного пузыря имеют радужную окраску. Радужную окраску имеют и прозрачные крылья стрекоз. Возникновение окраски объясняется интерференцией световых лучей, отраженных

Рис. 20.7. Отражение лучей в тонкой пленке

от передней и задней сторон тонкой пленки. Рассмотрим это явление подробнее (рис. 20.7).

Пусть луч 1 монохроматического света падает из воздуха на переднюю поверхность мыльной пленки под некоторым углом α. В точке падения наблюдаются явления отражения и преломления света. Отраженный луч 2 возвращается в воздушную среду. Преломленный луч отражается от задней поверхности пленки и, преломившись на передней поверхности, выходит в воздушную среду (луч 3) параллельно лучу 2.

Пройдя через оптическую систему глаза, лучи 2 и 3 пересекаются на сетчатке, где и происходит их интерференция. Расчеты показывают, что для мыльной пленки, находящейся в воздушной среде, разность хода между лучами 2 и 3 вычисляется по формуле

Различие связано с тем, что при отражении света от оптически более плотной среды его фаза изменяется на π, что равносильно изменению оптической длины пути луча 2 на λ/2. При отражении от менее плотной среды изменения фазы не происходит. У пленки бензина на поверхности воды отражение от более плотной среды происходит дважды. Поэтому добавка λ/2 появляется у обоих интерферирующих лучей. При нахождении разности хода она уничтожается.

Максимум интерференционной картины получается для тех углов зрения (α), которые удовлетворяют условию

Если бы мы смотрели на пленку, освещенную монохроматическим светом, то мы бы видели несколько полос соответствующего цвета, разделенных темными промежутками. При освещении пленки белым светом мы видим интерференционные максимумы различных цветов. Пленка при этом приобретает радужную окраску.

Явление интерференции в тонких пленках используется в оптических устройствах, уменьшающих долю световой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличивающих (вследствие закона сохранения энергии), следовательно, энергию, поступающую к регистрирующим системам - фотопластинке, глазу.

Просветление оптики. Явление интерференции света находит широкое применение в современной технике. Одним из таких применений является «просветление» оптики. В современных оптических системах используются многолинзовые объективы с большим числом отражающих поверхностей. Потери света при отражении могут достигать 25 % в объективе фотоаппарата и 50 % в микроскопе. Кроме того, многократные отражения ухудшают качество изображения, например, возникает фон, уменьшающий его контрастность.

Для уменьшения интенсивности отраженного света объектив покрывают прозрачной пленкой, толщина которой равна 1 / 4 длины волны света в ней:

где λ П - длина световой волны в пленке; λ - длина световой волны в вакууме; n - показатель преломления вещества пленки.

Обычно ориентируются на длину волны, соответствующую середине спектра используемого света. Материал пленки подбирают так, чтобы его показатель преломления был меньше, чем у стекла объектива. В этом случае для вычисления разности хода используется формула (20.11).

Основная доля света падает на объектив под малыми углами. Поэтому можно положить sin 2 α ≈ 0. Тогда формула (20.11) принимает следующий вид:

Таким образом, лучи, отраженные от передней и задней поверхностей пленки, находятся в противофазе и при интерференции почти полностью гасят друг друга. Это имеет место в средней части спектра. Для других длин волн интенсивность отраженного пучка также уменьшается, хотя и в меньшей степени.

20.6. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

20.7. Задачи

1. Какова пространственная протяженность L цуга волн, образующегося за время t высвечивания атома?

Решение

L = c*t = 3х10 8 м/сх10 -8 с = 3 м. Ответ: 3 м.

2. Разность хода волн от двух когерентных источников света равна 0,2 λ. Найти: а) чему равна при этом разность фаз, б) каков результат интерференции.

3. Разность хода волн от двух когерентных источников света в некоторой точке экрана равна δ = 4,36 мкм. Каков результат интерференции, если длина волны λ равна: а) 670; б) 438; в) 536 нм?

Ответ: а) минимум; б) максимум; в) промежуточная точка между максимумом и минимумом.

4. На мыльную пленку (n = 1,36) падает белый свет под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки h она приобретет желтоватый оттенок (λ = 600 нм) при рассматривании ее в отраженном свете?

5. Мыльная пленка толщиной h = 0,3 мкм освещается белым светом, падающим перпендикулярно ее поверхности (α = 0). Пленка рассматривается в отраженном свете. Показатель преломления мыльного раствора равен n = 1,33. Какого цвета будет при этом пленка?

6. Интерферометр освещается монохроматическим светом с λ = 589 нм. Длина кювет l = 10 см. Когда воздух в одной кювете заменили на аммиак, ахроматический максимум сместился на k = 17 полос. Показатель преломления воздуха n 1 = 1,000277. Определить показатель преломления аммиака n 1 .

n 2 = n 1 + kλ/l = 1,000277 + 17*589*10 -7 /10 = 1,000377.

Ответ: n 1 = 1,000377.

7. Для просветления оптики применяют тонкие пленки. Какой толщины должна быть пленка, чтобы пропускать без отражения свет длины волны λ = 550 нм? Показатель преломления пленки n = 1,22.

Ответ: h = λ/4n = 113 нм.

8. Как по внешнему виду отличить просветленную оптику? Ответ: Так как нельзя одновременно погасить свет всех длин

волн, то добиваются гашения света, соответствующего середине спектра. Оптика приобретает фиолетовую окраску.

9. Какую роль выполняет покрытие с оптической толщиной λ/4, нанесенной на стекло, если показатель преломления вещества покрытия больше показателя преломления стекла?

Решение

В этом случае происходит потеря полуволны только на границе пленка-воздух. Поэтому разность хода получается равной λ вместо λ/2. При этом отраженные волны усиливают, а не гасят друг друга.

Ответ: покрытие является отражающим.

10. Лучи света, падающие на тонкую прозрачную пластинку под углом α = 45°, окрашивают ее при отражении в зеленый цвет. Как будет меняться цвет пластинки при изменении угла падения лучей?

При α = 45° условия интерференции соответствуют максимуму для зеленых лучей. При увеличении угла левая часть уменьшается. Следовательно, должна уменьшаться и правая часть, что соответствует увеличению λ.

При уменьшении угла λ будет уменьшаться.

Ответ: при увеличении угла окраска пластинки будет постепенно меняться в сторону красного цвета. При уменьшении угла окраска пластинки будет постепенно меняться в сторону фиолетового цвета.