Сложение неравенств. Сложение и умножение числовых неравенств

Урок по теме "Сложение и умножение числовых неравенств"

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цель: рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.

Оборудование : проектор, учительский компьютер, интерактивная доска, компьютеры для учеников.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка домащнего задания

Решение показывается на интерактивной доске с помощью проектора и компьютера. (слайды № 3-5)

3. Устная работа

1. Если x > – 3, то (слайд 6)

x + 2		– 1
x – 5		– 8
		– 6
2 x + 5		– 1
– 4x
– 4 x – 1

2. Если – 2 x 4, то (слайд 7)

– 10
– 7	– 5 + x	– 1
	– 5 x	– 20
–11	3 x – 5
	– 3 x + 5	– 7
	5 – 3 x	– 7

4. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств. (слайд № 8)

Теорема 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если a b и c d , то a + c b + d

Доказательство (проводится с помощью обучающихся на интерактивной доске).
a b число c , получим a + c b + c
Прибавим к обеим частям неравенства c d число b , получим b + c b + d
Из неравенств a + c b + c и b + c b + d следует, что a + c b + d.

Пример 1.

3 +
6
9

Теорема 6. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если a b и c d , где a , b, c , d – положительные числа, то aс bd .

Доказательство (проводится с помощью обучающихся на интерактивной доске)

a b на положительное число c , получим aс bd. Умножим обе части неравенства c d на положительное число b , получим bс bd . Из неравенств ac bc и bc , следует, что aс bd

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

3 x
6 18

Следствие. Если a > b и a , b – положительные числа, то > , где n – натуральное число.

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a > b и c > d, то a + c > b + d ;
если a > b, c > d и a, b, c, d – положительные числа, то ac > bd ;
если a > b и a, b – положительные числа, то, где n – натуральное число .

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы , между которыми находится точное значение.
Пусть, например, в результате измерения ширины x и длины y прямоугольника было установлено, что 2,5 см x y

2,5 см x х
4,1 см y 10,25 см 2 xy 2 .

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

5. Физкультминутка (видеофизкультминутка)

6. Закрепление изученного материала

Обучающиеся решают на доске с комментариями.
Задания из дидактического материала: С-34, стр.84

1. Сложите почленно неравенства:

А) 2

________

A) -7.3 > -8 и 7.3 > 4

7.3 > -8

7.3 > 4

___________

> - 4

Б) 0 > - 3 и 6 > 5

0 > - 3

6 > 5

___________

6 > 2

Б) - 1 и

Конспект урока по математике (8 класс).

Тема: «Сложение и умножение числовых неравенств».(2 урок)

Тип урока: повторение пройденного и закрепление опорных знаний.

Цели:

1) образовательная: закрепить теоремы о свойствах числовых неравенств, почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения теорем о почленном сложении и умножении числовых неравенств к решению простейших задач, связанных с оценкой значений выражений.

2) развивающая: развивать умения и навыки при сложении и умножении числовых неравенств; развивать математическое мышление.

3) воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду; воспитывать внимательность.

Оборудование: учебник «Алгебра 8» под редакцией С.А. Теляковского, 2007 г.,

мултимедийный проектор, индивидуальные карточки для самостоятельной

План урока:

Орг. момент (2 мин.)

Проверка домашнего задания (5 мин.)

Повторение опорных знаний (15 мин.)

а) работа у доски,

б) индивидуальная работа с учётом уровневой дифференциации,

в) самостоятельная работа в парах,

г) самостоятельная работа в группах (у доски).

Постановка домашнего задания (2 мин.)

Итог урока (2 мин.)

Выставление оценок (2 мин.)

Ход урока:

1 . Войти в класс, проверить готовность класса к уроку: спросить кто дежурит, кто отсутствует; настроить детей на работу на уроке. Объяснить значимость темы.

2 . а) Проверить письменные задания, при помощи мультимедийного проектора. Если у кого–то есть ошибки, они в процессе этой работы их исправляют.

б) Теоретический материал о свойствах числовых неравенств проверяем с помощью мультимедийного проектора. На экране проецируется задание:

1. Известно, что c > d . Объясните, на основании каких теорем можно утверждать, что верны следующие неравенства:

а) – 7 c < - 7d ; (если а < в и с - отрицательное число, то ас > вс ) Т4: если обе части верного неравенства неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

б) c /8 > d /8 (если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство).

в) 2c +11 > 2d +11 (если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство: и еще если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство).

г) 0,01 c - 0,7> 0,01d - 0,7 (если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и тоже число, то получится верное неравенство: и еще если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство)

д)- c +1 <- d +1(если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число,

то получится верное неравенство и ещё если обе части верного неравенства

умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак

е) 2 - c /2 < 2 - d /2 (если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже

число, то получится верное неравенство и ещё, если обе части верного неравенства

умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак

неравенства на противоположный, то получится верное неравенство)

отвечая на задания а) – е), ученики проговаривают теоремы о свойствах числовых неравенств.

3. Теперь мы: повторим «Сложение и умножение числовых неравенств».

Т5: если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Чтобы было понятно, рассмотрим это на конкретном примере: дано 2 < a < 5 и 1 < b < 3, требуется оценить a + b .

Решение: 2 < a < 5

1 < b < 3

3 < a+b < 8

Т6: Если а < b и c < d , где a , b , c , d – положительные числа, то ac < bd .

если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые част которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Чтобы было понятно, рассмотрим это на конкретном примере: дано 5 < a < 8 и 2 < b < 4 требуется оценить – ab .

Решение: 5 < a < 8

2 < b < 4

10 < ab < 32

А сейчас приступим к решению упражнений, где необходимо практическое применение сформулированных теорем. Сначала выполним несколько устных упражнений для простых неравенств (задания с помощью мультимедиа проектора)

Верны ли утверждения:

1. если x > 2 и y > 14 , то x + y > 16 (+)

2. если x > 2 и y > 14 , то x + y > 15 (-)

3. если x > 2 и y > 14 , то x + y > 17 (-)

4. если x > 2 и y > 14 , то x y > 28 (+)

5. если x > 2 и y > 14 , то x - y > -12 (+)

6. если x > 2 и y > 14 , то x y > 27 (-)

7. если x < 2 и y < 14 , то x y < 28 (+)

А теперь выполним письменные задания № 765, .766.

5. Ученики решают у доски по очереди .

Сложите почленно неравенства:

а) 12 > -5 и 9 > 7 б) -2,5 < -0,7 и -6,5 < -1,3

12 > -5 -2,5 < -0,7 2,5 > 0,7

9 > 7 - 6,5 < -1,3 6,5 > 1,3

21 > 2 9 > 2

Перемножьте почленно неравенства:

а) 5 > 2 и 4 > 3

4 > 3

б) 8 < 10 и ¼ < 1/2

¼ < ½

Чтобы вы немного отдохнули, Физ. минутка

6. Самостоятельная, индивидуальная работа с учётом уровневой дифференциации

(всем детям раздаются карточки, где задания поделены по уровням и количеством баллов)

1)Число а больше числа в, если……………………………………………………… (1балл)

2)Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство: (3 балла)

(а – 8)(а + 7) < а(а – 1)

3)Сравнить эти числа. (1балл)

а) 36,581 и 36,573; б) 13/18 и 17/18;

в) -6 и -10; г) -5,5 и 4/9

4)Записать данные неравенства, обозначив левые числа буквой “а”, а правые – буквой “в”. (2 балл)

36,581>36,573;

5)Определить, что больше: яблоко или вишня. Записать без слов, на математическом языке. 1 (балл)

Яблоко больше вишни.

Вишня меньше яблока.

7. № 768 самостоятельно в тетрадях (самопроверка по мультимедиа проектору)

8. А теперь работа в группах (класс делится на две группы и от каждой группы к доске выходит ученик решать УПР № 773 а) и б) группа может помогать своему представителю)

9 . А теперь открыли все дневники и записали домашнее задание (№.769,774). После этого учитель поясняет домашнее задание.

10 . Подведем итог урока: что вы узнали сегодня на уроке?

этапах урока. Если нет вопросов, урок окончен.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цель: рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.

Оборудование : проектор, учительский компьютер, интерактивная доска, компьютеры для учеников.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка домащнего задания

Решение показывается на интерактивной доске с помощью проектора и компьютера. (слайды № 3-5)

1. Если x > – 3, то (слайд 6)






– 4x – 1

2. Если – 2 < x < 4, то (слайд 7)

– 10
		– 5 + x

		3x – 5
		– 3x + 5
		5 – 3x

4. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств. (слайд № 8)

Теорема 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если a < b и c < d , то a + c < b + d

Доказательство (проводится с помощью обучающихся на интерактивной доске).
a < b число c , получим a + c < b + c
Прибавим к обеим частям неравенства c < d число b , получим b + c < b + d
Из неравенств a + c < b + c и b + c < b + d следует, что a + c < b + d.

Пример 1.

3 < 7
+
6 < 9
9 < 16

Теорема 6. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если a < b и c < d , где a , b, c , d – положительные числа, то aс < bd .

Доказательство (проводится с помощью обучающихся на интерактивной доске)

a < b на положительное число c , получим a с < bd . Умножим обе части неравенства c < d на положительное число b , получим b с < b d . Из неравенств ac < bc и bc < bd , следует, что a с < bd

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

3 < 7
x
6 < 9
18 < 63

Следствие. Если a > b и a , b – положительные числа, то > , где n – натуральное число.

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a > b и c > d, то a + c > b + d ;
если a > b, c > d и a, b, c, d – положительные числа, то ac > bd ;
если a > b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число .

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы , между которыми находится точное значение.
Пусть, например, в результате измерения ширины x и длины y прямоугольника было установлено, что 2,5 см < x < 2,7 см и 4,1 см < y < 4,3 см. Тогда с помощью теоремы 6 можно оценить площадь прямоугольника. Имеем:

2,5 см < x < 2,7 см
х
4,1 см < y < 4,3 см
10,25 см 2 < xy < 11,61 см 2 .

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

5. Физкультминутка (видеофизкультминутка)

6. Закрепление изученного материала

Обучающиеся решают на доске с комментариями.
Задания из дидактического материала: С-34, стр.84

1. Сложите почленно неравенства: