1. Задача.
При каких значениях параметра a
уравнение
(a
- 1)x
2 + 2x
+ a
- 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a
№
1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a
2 - 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откуда
2. Ответ:
a О (-Ґ ; 1 – | Ц
7 2 |
) И (1 + | Ц
7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
4. Задача.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.
6. Ответ: a О ∪{8}∪∪{8}∪∪{8}∪∪{8}∪∪{8}∪.
Подводим итоги. Ограничение на параметр даёт только второе условие из ОДЗ: a ∈[−4; 4], а требование о несовпадении корней выполняется, если исключить из этого промежктка a = ±3.
Ответ: a ∈[−4;−3)∪(−3; 3)∪(3; 4]
Как видите, коэффициенты здесь подобраны так, что алгебраические операции не сложны и не занимают много времени. Но, если вы забыли об особенностях квадратных корней и упустили из виду именно условие 2) из ОДЗ, то решения не получите вообще.
Надеюсь, что многие выпускники всё-таки справились с этой задачей, и желаю им дальнейших успехов на экзаменах по выбору.
Задача 2
Найдите все значения а , при каждом из которых уравнение
x − 2a _____ x + 2 + x − 1 ____ x − a = 1
Имеет единственный корень.
Решение.
Начинаем, конечно, с ОДЗ: x
≠ −2 и x
≠ a
.
Преобразуем:
Привели дроби к общему знаменателю и сразу отбросили знаменатель. Новое уравнение будет равносильно заданному только с учётом ограничений ОДЗ.
Почему можно так делать?
- Потому что дроби с равными знаменателями равны тогда, когда равны их числители.
Когда нельзя так делать?
- Когда не проверено неравенство знаменателя нулю или забыли предварительно записать ОДЗ.
Кому можно, а кому нельзя так делать?
- Аккуратным и вдумчивым ученикам можно, невнимательным нельзя. Последним надо переносить всё в левую часть равенства, упрощать выражение в виде полной дроби, затем переходить к совокупности условий: "дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю".
После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим
x 2 − 2ax + 2a 2 − x − 2 = −2a .
Окончательно приведём к виду, характерному для квадратного уравнения:
x 2 − (2a + 1)·x + (2a 2 + 2a − 2) = 0.
Дискриминант этого уравнения
D = (2a + 1) 2 − 4·(2a 2 + 2a − 2) = −4a 2 − 4a + 9.
Заданное в условии задачи уравнение может иметь единственное решение в двух случаях. Во-первых, когда дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю, а его единственный корень не совпадает с ограничениями ОДЗ. Иначе его нужно будет отбросить и решений не останется совсем. Во-вторых, когда квадратное уравнение имеет два разных корня (дискриминант больше нуля), но один и только один из них не удовлетворяет ОДЗ.
Случай I. D = 0.
−4a 2 − 4a + 9 = 0 при a = (−1 ± √10__ )/2.При этом корень уравнения x
= (2a
+ 1)/2 = a
+ 0,5
. Очевидно, что при полученных значениях a
он не совпадает ни с a
, ни с −2.
Таким образом, получены два искомых значения параметра.
Случай II.
Определим те значения a x = а .
a
2 − (2a
+ 1)·a
+ (2a
2 + 2a
− 2) = 0.
a
2 + a
− 2 = 0.
a
= 1 и a
= −2.
Определим те значения a , при которых корнем квадратного уравнения является x = −2.
(−2) 2 − (2a
+ 1)·(−2) + (2a
2 + 2a
− 2) = 0.
a
2 + 3a
+ 2 = 0.
a
= −1 и a
= −2.
При этих значениях параметра а можно продолжить исследование дискриминанта и второго корня квадратного уравнения. Но проще проверить их подстановкой в исходное уравнения условия задачи.
a = 1x − 2·1 _______ x + 2 + x − 1 ____ x − 1 = 1; x − 2 _____ x + 2 + 1 = 1; x − 2 _____ x + 2 = 0; x = 2.
a = −1x − 2·(−1) _________ x + 2 + x − 1 _______ x − (−1) = 1; x + 2 ____ x + 2 + x − 1 ____ x + 1 = 1; 1 + x − 1 ____ x + 1 = 1; x − 1 ____ x + 1 = 0; x = 1.
a = −2x − 2·(−2) _________ x + 2 + x − 1 _______ x − (−2) = 1; x + 4 ____ x + 2 + x − 1 ____ x + 2 = 1; x + 4 + x − 1 = x + 2; x = −1.
Таким образом все три значения удовлетворяют условию задачи.
Ответ: a ∈{(−1 − √10__ )/2; −2; −1; 1; (−1 + √10__ )/2.}
Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
Запишем 1-ое уравнение системы в виде: x 2 + 5x + y 2 -y -52 = |x-5y +5|. (*)
1) Так как правая часть равенства неотрицательна, то и левая часть равенства должна быть таковой, а именно: x 2 + 5x + y 2 -y-52 ≥ 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 5x) и (y 2 - y) полные квадраты двучленов.
x 2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,5 2 -2,5 2 + y 2 -2∙y∙0,5 + 0,5 2 -0,5 2 -52 ≥ 0;
(x 2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,5 2) + (y 2 -2 ∙ y ∙ 0,5 + 0,5 2) ≥ 52 + 2,5 2 + 0,5 2 ;
(х + 2,5) 2 + (у-0,5) 2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25;
(х + 2,5) 2 + (у-0,5) 2 ≥ 58,5. ОДЗ : решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5) и радиусом
2) Раскроем модульные скобки в уравнении (*), считая, что выражение под знаком модуля неотрицательно, т.е. х-5у +5 ≥ 0 или 5у ≤ х + 5, отсюда у ≤ 0,2х+1. Тогда равенство (*) запишется в виде:
x 2 + 5x + y 2 -y-52 = x-5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.
x 2 + 5x + y 2 -y-52-x + 5y-5 = 0;
x 2 + 4x + y 2 + 4у-57 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 4x) и (y 2 + 4y) полные квадраты двучленов.
x 2 + 4x + 4-4 + y 2 + 4у +4-4-57 = 0;
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 + 4у +4) = 57 + 4 + 4;
(х + 2) 2 + (у + 2) 2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О 1 (-2; -2) и радиусом
Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии, что х-5у +5 ≥ 0, т.е. при у ≤ 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие ниже прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.
3) Теперь раскроем модульные скобки в уравнении (*), считая, что выражение под знаком модуля отрицательно, т.е. х-5у +5 < 0 или 5у > х + 5, отсюда у>0,2х+1. Тогда равенство (*) запишется в виде:
x 2 + 5x + y 2 -y-52 = -x + 5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.
x 2 + 5x + y 2 -y-52 + x-5y + 5 = 0;
x 2 + 6x + y 2 -6у-47 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x 2 + 6x) и (y 2 -6y) полные квадраты двучленов.
x 2 + 6x + 9-9 + y 2 -6у + 9-9-47 = 0;
(x 2 + 6x + 9) + (y 2 -6у +9) = 47 + 9 + 9;
(х + 3) 2 + (у-3) 2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О 2 (-3; 3) и радиусом
Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат выше прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии х-5у +5 < 0, т.е. при условии у > 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие выше прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.
4) Найдем точки пересечения окружностей с центрами в точках О 1 и О 2 . Это также точки пересечения любой из этих окружностей с прямой х-5у +5 = 0. Для определенности возьмем уравнение первой из окружностей и решим систему:
Из 2-го уравнения выразим х через у и подставим в 1-ое уравнение.
Упростим и решим 2-ое уравнение полученной системы.
(5у-3) 2 + (у + 2) 2 = 65;
25у 2 -30у + 9 + у 2 +4у + 4-65 = 0;
26у 2 -26у-52 = 0;
у 2 -у-2 = 0. По теореме Виета у 1 + у 2 =1, у 1 ∙ у 2 = -2. Отсюда у 1 = -1, у 2 = 2.
Тогда х 1 = 5 ∙ у 1 -5 = 5 ∙ (-1)-5 = -10; х 2 = 5 ∙ у 2 -5 = 5 ∙ 2-5 = 2.
Точки пересечения окружностей с центрами О 1 и О 2 лежат на прямой х-5у +5 = 0, и это точки Т(-10; -1) и А(5; 2).
5) Разберемся, что представляет собой прямая у-2 = а(х-5). Запишем это уравнение в виде у = а(х-5) + 2 и вспомним, как получается график функции y = f (x- m ) + n из графика функции y = f (x ). Он получается переносом графика функции y = f (x ) на m единичных отрезков вдоль оси Ох и на n единичных отрезков вдоль оси Оу. Следовательно, график функции у = а(х-5) + 2 можно получить из графика функции у = ах переносом на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Другими словами, прямая пройдет через точку А(5; 2) и должна иметь такой угловой коэффициент а , чтобы пересечь наши окружности с центрами в точках О 1 и О 2 ровно в двух точках. Это произойдет только в тех случаях, когда прямая, проходя через точку А, общую для обеих окружностей, далее будет пересекать только одну из них. Предельными положениями нашей прямой (с параметром а ) будут касательные к окружностям в точке А. Нам понадобятся не сами уравнения касательных, но их угловые коэффициенты. Как мы их получим?
6) Радиус О 1 А, проведенный в точку касания будет перпендикулярен касательной. Угловые коэффициенты k 1 и k 2 двух взаимно перпендикулярных прямых y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 подчиняются закону: k 1 ∙ k 2 = -1. Составим уравнения прямой О 1 А и прямой О 2 А, определим угловой коэффициент каждой прямой, а затем найдем угловые коэффициенты касательных, являющихся предельными положениями прямой у = а(х-5) + 2. Промежуток между найденными значениями параметра а и будет ответом задачи.
Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки (х 1 ; у 1) и (х 2 ; у 2). Эта формула имеет вид:
Составим уравнение прямой, проходящей через точки О 1 (-2; -2) и А(5; 2). У нас х 1 = -2, у 1 = -2, х 2 = 5, у 2 = 2. Подставляем эти значения в формулу:
Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О 1 имеет вид.