ООЧЕНЬ ПРОСТАЯ ЗАДАЧА, ПОМОГИТЕ! При движении по горизонтальной поверхности на тело массой 10 кг действует сила трения-скольжения 50 Н. Какой станет сила трения-скольжения после уменьшения массы тела в 5 раз, если коэфициент трения не изменится?

Ответы:

в 5 раз менше трение, значит станет 10 Ньютон

Похожие вопросы

  • найти сумму чисел от 15 до 73
  • сокращенное ионное уравнение реакции Н + ОН = Н2О соответствует взаимодействию: 1) гидрооксида меди(2) и раствора серной кислоты 2)гидрооксиа натрия и раствора азотной кислоты 3)оксид меди(2) и солятной кислоты 4) цинка и раствора серной кислоты
  • ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ НАДО, ГЕОМЕТРИЮ ВООБЩЕ НЕ ПОНИМАЮ в четерехугольнике МРКН,угол РМК= углу НКМ, РК параллельно МН. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответственно. докажите что,АР=НВ
  • составить со словом степь три предложения так чтобы в 1 оно было подлежащим во 2 дополнением в 3 обстоятельством пожалуйста срочно
  • Найдите деепричастные и причастные обороты Создавая свои замечательные полотна, Константин Фёдорович Юон любуется сам и заставляет любоваться чарующей красотой покрытых инеем деревьев, заснеженными сверкающими на солнце равнинами. Рассматривая картины Юога, мы вспоминаем сказочную, русскую зиму с её пушистым снегом, каждый год одевающим землю, густым покровом. Вспоминается и лёгкая морозная дымка, окутывающая все предметы в ясные, студеные дни и весёлые стайки задорных мальчишек, радующихся снежному раздолью. Мастеру русского зимнего пейзажа удаётся серебристо-серый, жемчужный колорит, который прекрасно передаёт состояние морозного, зимнего дня. О своём творчестве художник говорил: «Мне хотелось написать картины, как пишутся песни о жизни, об истории русского народа, о природе, о древних русских городах». Всё творчество К. Ф. Юона, это гимн красоте, русской жизни, красоте родной природы, её жизнеутверждающей силе.

До сих пор мы рассматривали движение волчка с одной неподвижной точкой, наличием которой по сути дела, и вызывались прецессионные и нутационные движения. Как же поведет себя волчок, если такой точки не будет и он сможет свободно двигаться по горизонтальной поверхности? Такая задача рассмотрена в книгах , , где дается полукачественное объяснение характера движения волчка. Мы дадим свое объяснение, хотя тоже приближенное.
Разберем случай, рассмотренный в работе , когда волчок находится на абсолютно гладкой поверхности, т. е трение между поверхностью и волчком отсутствует. Если вращающийся волчок осторожно без толчка поставить на поверхность под углом к вертикали, то его конец, соприкасающийся с поверхностью, будет описывать фигуры, характерные для совокупности нутационного и прецессионного движений (рис. 1). Такой характер движения волчка можно объяснить следующими причинами.
1. На волчок действует активный момент сил G и N, равных по величине друг другу. Под действием этого момента, как и в предыдущих примерах, волчок начнет совершать прецессионное и нутационное движения с опорой на острие. Закон этого движения можно приближенно рассчитать, если вершину волчка считать неподвижной.
2. Поскольку между острием волчка и поверхностью трение отсутствует, движение центра масс волчка приведет к движению его вершины по отношению к поверхности, причем незначительные перемещения центра масс по вертикали, приведут к существенному изменению угла a (см. рис. 1,б). Произведем элементарные расчеты для определения отношения Dx/ Dz . Сперва найдем углы a1 иa2 . Из рисунка 1,б следует:
; (1)
, (2)
где ls - расстояние от точки касания до центра масс волчка, откуда получим:
(3)
(4)
Теперь найдем взаимозависимые изменения координат Dx и Dz :
(5)
(6)
Тогда отношение приращений D X / D Z определится выражением:
(7)
При угле a1= 100 отношение D x / D z изменяется в пределах от 5 до 3.5 при изменении D z /z 1 от 0.01 до 0.05. Кроме этого величина радиуса ОК1 составляет, примерно, 0.18 от длины координаты Z1 . В итоге незначительные колебания центра масс относительно его начального положения как бы усилятся и будут хорошо заметны на поверхности. В работе утверждается, что центр масс будет неподвижным, но этого быть не может, так как конец волчка должен тогда отрываться от поверхности.
3. Нутационные колебания волчка создают устойчивость его движения и не дают ему упасть на поверхность.
Картина движения волчка будет еще более сложной, если он будет двигаться по поверхности при наличии трения. Если вращающемуся волчку сообщить горизонтальную скорость путем толчка, он начнет двигаться по сходящейся спирали (см. рис. 2). Так будут двигаться легкие волчки по полированной поверхности. Через несколько оборотов по этой спирали волчок остановится в точке О и будет продолжать вращаться вокруг своей оси, находясь на одном месте.
Так какая же причина заставляет волчок двигаться по спирали, а не по прямой линии?
Рассмотрим этот вопрос в общих чертах, поскольку физическая картина будет достаточно сложной. Основной причиной такого поведения волчка является сила трения Fтр между волчком и поверхностью. Сила трения будет тормозить движение, в результате чего появится сила инерции, приложенная в центре масс волчка и направленная в сторону движения. Под действием силы инерции, создающей опрокидывающий момент My , ось вращения волчка наклонится вперед на некоторый угол a и займет положение Z’ , а центр масс S - положение S’ (см. рис. 3, а, б). При повороте вращающегося волчка в действие вступает гироскопический эффект, рассмотренный нами в §5, в результате чего возникает момент Mx , вращающий волчок вокруг оси X . Для определения направления момента Mx рассмотрим картину скоростей, возникающую при сложении скоростей вращающегося волчка Vr в любой его точке и равных произведению w на радиус r и скорости DVr от поворота волчка вокруг оси Y (см. рис. 3,в). В результате сложения скоростей в произвольном сечении волчка мгновенный центр скоростей Pv с оси волчка смещается в другую точку. Вследствие этого возникнет реактивная сила инерции F , которая заставит волчок двигаться к новому положению точки Pv , поэтому волчок начнет поворачиваться вокруг оси X против часовой стрелки, если смотреть с конца этой оси. Величина вращающего момента в соответствии с формулой (5.16) определится выражением:
, (8)
где Jx - момент инерции волчка относительно оси X, проходящей через центр масс волчка.
В результате поворота вокруг оси X центр масс волчка займет положение S’’ , а ось Z’ - положение Z’’ , повернувшись на угол b (см. рис. 3, а,б).Результирующее перемещение центра масс волчка определится отрезком DZ , равным геометрической сумме перемещений DX и DY . Таким образом, центр масс волчка сместится относительно системы координат X,Y,Z , начало которой находится в точке А , и будет лежать на прямой I-I , расположенной под углом g к оси X .
Под действием моментов My и Mx волчок должен был бы упасть, но здесь снова проявляет себя гироскопический эффект, обусловленный весом волчка G . Этот эффект мы подробно рассматривали в §§ 4-7, поэтому просто укажем направление возникающих периодических сил инерции и. Для этого покажем сечение I-I волчка вертикальной плоскостью, проходящей через ось Z (см. рис. 3,г), и затем сечение II-II плоскостью, перпендикулярной к оси Z’’ и проходящей через центр масс волчка (см. рис. 3,д) . Величина этих сил определится выражениями:
; (9)
, (10)
где y - угол между осями Z’’ и Z.
Эти силы окажут влияние на движение волчка, заставив его совершать дополнительные перемещения по поверхности. Эти перемещения определятся проекциями сил и на горизонтальное направление (см. рис. 3,г):
; (11)
(12)
Следует отметить, что по истечении одного оборота волчка вокруг его оси результирующее перемещение от действия силы будет равно нулю, а результирующее перемещение вдоль оси Y от силы определится ее проекцией на ось Y и будет равно:
(13)
т.е. на такую величину переместится волчок по поверхности в направлении оси Y за один свой оборот под действием инерционных сил.
В результате действия всех факторов: начального толчка и появившихся инерционных сил, волчок будет двигаться по криволинейной траектории, которую приближенно будем считать дугой окружности. На рисунке 4 показано перемещение волчка из начального нулевого в первое положение после первого оборота вокруг своей оси. Величина перемещения определяется по формуле (13), длина дуги S0S1 может быть найдена путем решения дифференциального уравнения движения волчка:
, (14)
где V - линейная скорость движения волчка по траектории.
Имея в виду, что начальная скорость движения волчка по траектории V0 , а перемещение S вдоль оси X равно нулю, получим следующие выражения:
; (15)
, (16)
где m - масса волчка.
Силу трения на основании закона Кулона представим в виде:
, (17)
где G - вес волчка, f - коэффициент трения скольжения для пары материалов волчок-опора.
Тогда выражения (15) и (16) преобразуются к виду:
; (18)
(19)
Так как время одного оборота волчка равно:
, (20)
то скорость и перемещение в первом положении соответственно будут равны:
; (21)
(22)
Найдем радиус кривизны траектории волчка, заменив дугу S0S1 хордой. Тогда получим:
(23)
Так как из рисунка 4 следует, что:
, (24)
выражение (23) примет вид:
(25)
После определения первого положения волчка можно переходить к определению его второго положения, приняв первое положение за начальное и введя новую систему координат. Так последовательно шаг за шагом можно найти всю траекторию движения волчка.
Для пошагового расчета траектории можно вывести более удобные формулы. Возьмем на траектории два соседних положения волчка, разделенных временем его одного оборота вокруг оси: положения i и i+1 (см. рис. 5). Значение скоростей и перемещений в этих точках можно найти с помощью выражений (18) и (19):
; (26)
; (27)
; (28)
(29)
Перемещение волчка по его траектории между этими двумя положениями определится разностью перемещений Si+1 и Si :
(30)
Здесь: D ti - время одного оборота волчка в i-ом положении, равное:
, (31)
где wi - угловая скорость вращения волчка в i-ом положении.
Угловая скорость вращения волчка при его движении по траектории непрерывно уменьшается из-за трения о поверхность и потерь энергии на инерционное движение за счет действия сил Fx и Fy .
Для определения угловой скорости волчка в любом его положении запишем уравнение энергетического баланса:
, (32)
где J - момент инерции волчка относительно его оси вращения, DAi - суммарные потери энергии за время движения до i -го положения.
Из выражения (32) следует:
(33)
Тогда радиус кривизны траектории определится выражением:
(34)
а угол mi с помощью формулы:
(35)
Поскольку траектория движения волчка является криволинейной на волчок будет действовать еще одна сила, которая также будет влиять на характер движения волчка - это центробежная сила инерции (рис. 6):
, (36)
где wi - угловая скорость вращения центра масс волчка вокруг оси Оi (мгновенного центра скоростей):
(37)
Под действием всех сил волчок будет двигаться по траектории с наклонённой по отношению к вертикали осью собственного вращения. А это приводит к тому, что при наличии трения волчок будет перекатываться по поверхности как тело конической формы в сторону, противоположную вращению вокруг точки О с угловой скоростью w . Вместе в этим движением будет перемещаться и точка А , лежащая на оси волчка, вследствие чего траектория будет отклоняться от окружности радиуса r (см. рис. 7). Это объясняется тем, что острие волчка затуплено и его можно рассматривать как часть сферической поверхности радиуса rсф . В результате перекатывания волчок будет удаляться от центра кривизны траектории, и ее радиус r соответственно будет увеличиваться. Это обстоятельство тоже окажет существенное влияние на характер движения волчка. На рисунке 7 rдоб - это увеличение радиуса кривизны траектории за счет наклона оси волчка. Эксперименты показывают, что при определенном начальном наклоне оси волчка от вертикали после толчка волчок может двигаться по прямой и даже по спирали закрученной в другую сторону.
Рассчитаем величину перемещения Sk за счет перекатывания волчка относительно точки О1 за один его оборот вокруг своей оси (см. рис. 8).
Линейная скорость перемещения точки касания Ak при перекатывании волчка за счет его вращения вокруг своей оси по поверхности, а также скорость и точки А (скорости этих точек будут одинаковы, так как они находятся на одном расстоянии от вертикальной оси Z1 , вокруг которой происходит перекатывание) будет равна:
, (38)
где rk - радиус конической части, который может быть найден по радиусу сферы (см. рис. 8):
(39)
Величина линейного перемещения точки Ak определится ее скоростью:
, (40)
где t - время движения. За один оборот волчка (tоб=2 p/ w ), перемещение Sk , будет равно:
(41)
Из-за этого перекатывания траектория волчка несколько изменится и точка Ak вместо положения попадет в положение (см. рис. 9), что изменит радиус кривизны траектории. В соответствии с рисунком 9 имеем:
(42)
откуда:
; (43)
Угол j’’ можно выразить через угол j’ , приравняв с некоторым допущением хорды и :
; (44)
где:
, (45)
откуда получим:
(46)
Здесь S - перемещение волчка по траектории за один его оборот.
Таким образом, мы рассмотрели в общих чертах характер движения волчка при его движении по горизонтальной поверхности с учетом влияния сил трения. Интересно отметить следующий экспериментальный факт: после прекращения движения по траектории ось вращения волчка принимает вертикальное положение. Это явление можно объяснить тем, что исчезает сила инерции, обусловленная сопротивлением со стороны сил трения.
Из рассмотренной задачи можно сделать следующие выводы:
1. Движение волчка после толчка происходит без воздействия активных внешних сил, за исключением его веса. Сила трения является пассивной силой, тормозящей движение.
2. Наблюдаемое движение волчка по траектории может быть объяснено только совместным действием силы трения и сил инерции после сообщения волчку линейной горизонтальной скорости V0 . Это еще один пример, подтверждающий реальность сил инерции.

    Мальчик массой 50 кг, скатившись на санках с горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 с. Найти силу трения и коэффициент трения.

    На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент трения между доской и грузом =0,1. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть?

    Два груза m 1 иm 2 связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности стола. С каким ускорением будут двигаться грузы, если к грузу m 1 приложить силуF = 1 Н, направленную параллельно плоскости стола? Какое натяжение будет испытывать при этом нить, связывающая тела? Масса грузовm 1 = 200 г,m 2 = 300 г. Определить, при каком значении силыF нить оборвется, если эта сила будет приложена: а) к грузуm 1 ; б) к грузуm 2 ? Нить может выдерживать наибольшую нагрузкуТ = 1 кг. Трением между телами и столом пренебречь. При расчетах принятьg = 10 м/с 2 .

    Два груза массами m =0,2 кг иМ =4 кг связаны нитью и лежат на гладком столе. К первому грузу приложена силаF 1 = 0,2 Н, ко второму в противоположном направлении – силаF 2 = 0,5 Н. С каким ускорением будут двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити?

    Четыре одинаковых бруса, массой m каждый, связаны нитями и лежат на гладком столе. К первому бруску приложена силаF . Определить силы натяжения всех нитей. Силой трения между брусками и столом пренебречь.

    Три груза массой по 1 кг соединены нерастяжимой нитью, движутся под действием силы 10 Н, приложенной к одному из крайних грузов и направленной под углом 30 0 к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити между грузами. Коэффициент трения между грузами и поверхностью 0,1.

    Брусок массы М лежит на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может двигаться без трения. На бруске лежит кубик массойm . Минимальное значение силы, приложенной к бруску, когда кубик начинает скользить по бруску, равнаF . Какую скорость будет иметь брусок в момент, когда кубик упадет с бруска, если сила тяги будет2 F ? Длина брускаL .

    Груз массой m 1 лежит на платформе массойm 2 . Наибольшее значение коэффициента трения между грузом и платформой. Между платформой и поверхностью земли трения нет. Найти минимальную силуF , при действии которой на платформу происходит сдвиг груза относительно платформы.

    На доске массой 4 кг лежит брусок массой 1 кг. Коэффициент трения между бруском и доской 1 = 0,2, между доской и столом 2 = 0,1. Определить с какой максимальной силойF max можно тянуть доску, чтобы брусок не соскользнул с нее.

    Тележка массой в 20 кг может катиться без трения по горизонтальному пути. На тележке лежит брусок массой в 2 кг. Коэффициент трения между бруском и тележкой 0,25. К бруску приложена сила один разF 1 = 2 Н, в другой разF 2 = 20 Н. Определить какова будет сила трения между бруском и тележкой и с какими ускорениями будут двигаться брусок и тележка в обоих случаях.

    На доске массой m 2 лежит тело массойm 1 , к которому привязана нить, перекинутая через блок (масса блока равна нулю). Ко второму концу нити привязан грузМ . Коэффициент трения между доской и телом - 1 , а между доской и столом - 2 . При какой максимальной массе груза тело не соскользнет с доски?

    На гладком горизонтальном столе лежит брусок массы М = 2 кг, на котором находится брусок массыm = 1 кг. Оба бруска соединены легкой нитью, перекинутой через невесомый блок. Какую силуF нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с постоянным ускорениема=g/ 2 ? Коэффициент трения между брускамиk = 0,5. Трением между нижним бруском и столом пренебречь.

    Тело массойm , движущееся с ускорениема , прикреплено к двум последовательно соединенным пружинам, жесткости которыхk 1 иk 2 , причем пружины расположены между телом и точкой приложения внешней силы. Каково суммарное удлинение пружин? Колебаний нет. Массами пружин пренебречь. Коэффициент трения.

    Тележка массы М =0,5 кг скреплена нитью с грузом массыm =0,2 кг, перекинутым через блок. В начальный момент тележка имела скорость 7 м/с и двигалась влево по горизонтальной плоскости. Определить величину и направление скорости тележки через 5 с.

    Сосуд с ртутью поставлен на легкую тележку. Сбоку сосуда на расстоянии 20 см от уровня жидкости сделано отверстие, площадь которого 16 мм 2 . Найти силу, которая будет двигать сосуд при вытекании ртути из отверстия. Плотность ртути 13,6 г/см 3 .

    Поезд движется по горизонтальному прямому участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,2 веса поезда. Через какое время поезд остановится, если его начальная скорость 20 м/с.

    К покоящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности телу приложена равномерно возрастающая сила, направленная под углом =30 0 к горизонту. Определить модуль ускорения тела в момент отрыва от поверхности.

    Бруски А и В массамиm 1 иm 2 находятся на столе. К бруску В приложена силаF , направленная под угломк горизонту. Найти ускорения движения брусков, если коэффициент трения брусков друг о друга и бруска А о стол 1 и 2 соответственно. Сила трения между поверхностями брусков больше.

    Материальная точка массой 4 кг движется по горизонтальной прямой. Через сколько секунд скорость точки уменьшится в 10 раз, если сила сопротивления движимого F сопр =0,8v ?

Cтраница 1


Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж.  

Полная кинетическая энергия всего механизма может быть определена как сумма кинетических энергий звеньев.  

Полная кинетическая энергия, следовательно, равна энергии движения, помноженной па некоторый множитель. Таким образом, энергия, сообщенная газу нагреванием его, распределяется в известной пропорции между энергией поступательного движения и энергией внутреннего движения каждой молекулы.  

Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж.  

Полная кинетическая энергия осколков должна равняться кинетической энергии снаряда плюс работа (энергия, превратившаяся в кинетическую энергию осколков), совершенная при взрыве, и, таким образом, она больше, чем первоначальная кинетическая энергия снаряда до взрыва.  

Полная кинетическая энергия молекул комнатного воздуха пропорциональна произведению числа молекул на температуру. Если воздух считать идеальным газом, то эта энергия молекул пропорциональна также произведению давления воздуха на объем комнаты. При нагревании воздуха в комнате объем последней, естественно, не изменяется. Менее очевидно, что не изменяется и давление. Однако, поскольку комната не изолирована и всегда сообщается с окружающим пространством, давление воздуха внутри нее равно внешнему атмосферному давлению. Таким образом, когда вы согреваете комнату, давление и объем воздуха внутри нее сохраняются прежними, соответственно не изменяется и полная энергия находящихся в комнате молекул воздуха. Это, конечно, возможно лишь потому, что по мере возрастания температуры часть молекул воздуха уходит из помещения.  

Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр тяжести.  

Если полная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одна и та же или точно указано, на сколько она изменяется в результате столкновения, то поставленная задача решается однозначно. Неизвестными являются шесть величин - шесть составляющих импульса обеих частиц. Законы сохранения дают четыре равенства: одно, соответствующее сохранению скалярной величины энергии (с учетом возможной потери ее, если столкновение неупругое) и три, выражающие сохранение векторной величины полного импульса.  

Диаграмма полной кинетической энергии, которой обладает механизм во время установившегося движения.  

Определить полную кинетическую энергию позитрона и электрона в момент их возникновения.  

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от этой температуры.  

Следовательно, полная кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее.  

Для подсчета полной кинетической энергии нужно знать, во-первых, положение мгновенной оси (от нее зависит У) и, во-вторых, угловую скорость вращения со. Определение этих величин в общем случае затруднительно, так как положение оси в теле может меняться. Однако в частном случае плоского движения эта задача упрощается, ибо ось вращения сохраняет постоянное направление в теле.  

Страница 1 из 3

129. Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии.

131. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

132. Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус r, внешний R.


133. Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с её осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.


134. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

135. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.


136. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой масса катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.


137. Полная кинетическая энергия T диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию T 1 поступательного и T 2 вращательного движения диска.

138. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v 1 = 1,4 м/с, после удара v` 1 = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка двигалась в течение t1 =15c со скоростью V1 =15м/с, t2 =10c со скоростью V2 =8м/с и t3 =6с со скоростью V3 =20м/с. Чему равна средняя скорость за все время движения?

Дано: t1 =15c; V1 =15м/с; t2 =10c; V2 =8м/с; t3 =6с; V3 =20м/с.

Найти: V ср.

Решение. Средняя скорость Vср = S t , где S=S1 +S2 +S3 =V1 t1 +V2 t2 +V3 t3 ,а t=t1 +t2 +t3 .

V ср = V 1 t 1 + V 2 t 2 + V 3 t 3 . t 1+ t 2+ t 3

Ответ: Vср =8,9м/с.

Задача 2. Первую половину пути тело прошло за время t1 =2c, вторую – за время t2 =8c. Чему равна средняя скорость на длине пути 20м?

Дано: t1 =2c; t2 =8c; S1 =S2 =S/2; S=20м.

Найти: V ср.

Решение. Средняя скоростьV ср = S t = t 1 + S t 2 .

Ответ: Vср =2,0м/с.

Задача 3. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 и x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 , где A1 =4м/с, B1 =8м/с2 , C1 =-16м/с3 , A2 =2м/с, B2 =-4м/с2 , C2 =1м/с3 . В какой момент времени ускорения этих тел

будут одинаковыми?

Дано: x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 ; x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 ; A1 =4м/с; B1 =8м/с2 ; C1 =-16м/с3 ; A2 =2м/с; B2 =-4м/с2 ; C2 =1м/с3 .

Решение. Найдем ускорения материальных точек как производные второго порядка от уравнений x(t):

a1 (t)=x1 ´´(t)=2B1 +6C1 t a2 (t)=x2 ´´(t)=2B2 +6C2 t.

Приравнивая правые части находим t:

2B1 +6C1 t=2B2 +6C2 t

Ответ: t=0,24c.

Задача 4. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью V0 =20м/с, остановилась через t=40с. Чему равно значение коэффициента трения шайбы о лед?

Дано: V0 =20м/с; t=40с.

m 1 V 1 =m 2 V 2 V 1 =

Решение. Ускорение, с которым движется шайба a=kg. С другой стороны V0 =at.

Отсюда a = V t 0 илиkg = V t 0 k = V gt 0 .

Ответ: k=0,05.

Задача 5. Конькобежец массой m2 =60кг, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m1 =5кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью V2 =1м/с. Чему равна работа, совершенная конькобежцем при бросании гири?

Дано: m2 =60кг; m1 =5кг; V2 =1м/с.

Решение. Используя закон сохранения импульса найдем скорость гири V1:

m 2 V 2 . V 1 = 60 * 1 = 12м/с. Работа, совершенная конькобежцем,m 1 5

равна сумме кинетических энергий, приобретенных конькобежцем и гирей:

Ответ: А=390Дж.

Задача 6. Линейная скорость V1 точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость V2 точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Найдите радиус диска.

Дано: V 1 =3V 2 .

Решение. Линейные скорости точки на ободе диска и точки, находящейся на 6см ближе к оси диска, равны соответственно

Ответ: R=0,9м.

Задача 7. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε=3рад/с2 . Через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5м/с2 .Найдите

радиус колеса.

Дано: ε=3рад/с2 ; t=1с; a=7,5м/с2 .

Задача 8. Тело массой m=2кг движется по закону S=A-Bt+Ct2 -Dt3 (C=2м/с2 , D=0,4м/с3). Найдите силу, действующую на тело в конце первой секунды.

Дано: m=2кг; S=A-Bt+Ct2 -Dt3 ; C=2м/с2 ; D=0,4м/с3 .

Решение. По второму закону Ньютона

F = ma= mdV dt . Скорость V= dV dt = -B+2Ct-3Dt2 .

Ускорение a = dV dt = 2C − 6Dt .

Сила, действующая на тело F=m(2C-6Dt).

Ответ: F=3,2Н.

Задача 9. Нить с подвешенным грузом массой m=500г поднимают с ускорением 2м/с2 . Чему равна при этом сила натяжения нити?

Дано: m=0,5кг; a=2м/с2 .

Решение. Согласно второму закону Ньютонаma r = T + mg r . В проекции на вертикальную осьma = T − mg . ОтсюдаT=ma+mg=m(a+g).

Ответ: T=6Н.

Задача 10. Снаряд массой m=5кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость V=300м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем большой осколок массой m1 =3кг полетел в обратном направлении со скоростью V1 =100м/с. Чему равна скорость второго осколка?

Дано: m=5кг; V=300м/с; m1 =3кг; V1 =100м/с.

горизонтальную ось mV = − m 1 V 1 + m 2 V 2 . Масса второго осколка m2 =m-m1 .

mV = − m 1 V 1 + (m − m 2)V 2 . Отсюда получаемV 2 = mV + m 1 V 1 .m − m 1

Ответ: V2 =900м/с.

Задача 11. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24Дж. Чему равны кинетические энергии поступательного и вращательного движения диска?

Дано: Т=24Дж.Найти: Т1 ; Т2 .

Решение. Полная кинетическая энергия диска равнаT =

Линейная

скорость V=ωR. Момент инерции диска I =

Кинетическая энергия

поступательного движения

Кинетическая энергия

вращательного движения T 2

3 m ω 2R 2m ω 2R 2= 4 T =

T 1 = 32 2 = 16Дж,T 2 = 32 4 = 8Дж.

Ответ: Т1 =16Дж, Т2 =8Дж.

Задача 12. Шар радиусом R=10см и массой m=5кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ=A+Bt2 +Ct3 (B=2рад/с2 , С=-0,5рад/с3). Чему равен момент сил для момента времени t=3c?

Дано: R=0,1м; m=5кг; φ=A+Bt2 +Ct3 ; B=2рад/с2 ; С=-0,5рад/с3 ; t=3c.

Ответ: M=-0,1Н·м.

Задача 13. Горизонтальная платформа (диск) массой m=25кг и радиусом R=0,8м вращается с частотой n1 =18мин-1 . Стоящий в центре человек, опустив руки, уменьшает свой момент инерции от I1 =3,5кг·м2 до I2 =1кг·м2 . Какое значение принимает при этом частота вращения платформы?

Дано: m=25кг; R=0,8м; n1 =18мин-1 ; I1 =3,5кг·м2 ; I2 =1кг·м2 .

Найти: n 2 .

Решение. Платформа с человеком составляет замкнутую систему, поэтому для него L=const. L=Iω=const, т.е. (I1 +I)ω1 =(I2 +I)ω2 .

Здесь момент инерции платформы I = mR 2 2 , ω1 =2πn1 , ω2 =2πn2 . Подставляя в

равенство получаем (I 1 + mR 2 2)n 1 = (I 2 + mR 2 2)n 2 . Отсюдаn 2 = 2 I 1 + mR 2 n 1 . 2I 2 + mR 2

Ответ: n2 =23мин-1 .

Задача 14. На какой высоте от поверхности Земли период обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите составляет 3ч?

Дано: Т=3ч. Найти:Н.

Решение. При движении искусственного спутника Земли по круговой орбите центростремительная сила равна гравитационной силе тяготения:

mV r 2 = GmM r 2 . Здесь r=Rз +H, V=ωr=2 T π r .Тогда r= 3 GMT 4 π 2 2 или H= 3 GMT 4 π 2 2 − Rз.

Ответ: H=4,2·106 м.

Дано: g´=0,25g.

Решение. Внутри Земли ускорение свободного падения прямо пропорционально

расстоянию от центра Земли. Поэтому g | = R З − h .g R з

Отсюда h = R з (1− g |)= (1− 0,25 g) Rз =0,75Rз.g g

Ответ: h=0,75Rз.

Задача 16. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите. Чему равно отношение его гравитационной потенциальной энергии к кинетической энергии?

Дано: r=R з.

Решение. Потенциальная гравитационная энергия спутника по модулю равна

То кинетическая энергия спутника равна

Задача 17. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=500км. Чему равна скорость его движения?

Дано: h=5·105 м.

S . Отсюда находим градиент скорости

Решение. Центростремительная сила, удерживающая спутник на круговой орбите, равна гравитационной силе притяжения:

Здесь r=Rз +h.

Ответ: V=7,62км/с.

Задача 18.

Самолет, летящий со скоростью V=360км/ч, описывает

вертикальную петлю Нестерова радиусом R=360м. Чему равна сила, прижимающая летчика к сидению в нижней точке этой петли?

Дано: V=100м/с; R=360м.

Решение. В нижней точке петли сила, прижимающая летчика к сидению, равна

F =mV 2 +mg =m (V 2 +g) . R R

Ответ: F=3·103 Н.

Задача 19. Чему равна работа, затрачиваемая на преодоление трения при перемещении воды объемом V=1,5м3 в горизонтальной трубе от сечения с давлением P1 =40кПа до сечения с давлением P2 =20кПа?

Дано: V=1,5м3 ; P1 =40кПа=40·103 Па; P2 =20кПа=20·103 Па.

Решение. При перемещении воды вдоль трубы на нее действует сила

F=(P1 -P2)S. Работа этой силы A=F·l=(P1 -P2)S·l=(P1 -P2)V. Ответ: A=30·103 Дж.

Задача 20. В текущей жидкости с динамической вязкостью η=10-3 Па·с между слоями площадью соприкосновения S=10см2 возникает сила трения

F=0,1мН. Чему равен градиент скорости?

Дано: η=10-3 Па·с; S=10-3 м2 ; F=10-4 Н.

Найти: dV dx .

Решение. Согласно закону Ньютона для вязких жидкостей сила трения между слоями жидкости равнаF = η dV dx

Ответ: dV dx =100с -1 .

Задача 21. Чему равно увеличение времени жизниt нестабильной частицыt 0

(по часам неподвижного наблюдателя) при движении со скоростью 0,9с?

Дано: V=0,9с.

Найти: t . t 0

Решение. Увеличение времени в релятивистской механике определяется

формулой ∆ t = ∆ t 0

Отсюда получаем

Задача 22. Чему равна относительная скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров составляет 10%?

Дано: ∆ l l = 0,1.

Решение. Релятивистское сокращение линейных размеров определяется

формулой∆ l = l

Или отсюда V = c 1

Ответ: V=1,31·108 м/с.

Задача 23. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью 0,5с. Чему равна при этом скорость сближения ракет?

Дано: V1 =V2 =0,5с.

Решение. Сложение скоростей в релятивистской механике определяется формулой

U = V1 + V2 . 1 + V c 1 V 2 2

Ответ: U=0,8с.

Задача 24. Чему равно отношение полной энергии частицы, движущейся со скоростью V=0,8с, к ее энергии покоя?

Дано: V=0,8с.

Решение. Полная кинетическая энергия частицы определяется формулой

Отсюда получаем

Ответ: E = 1,67.

Задача 25. Чему равен релятивистский импульс протона при его скорости

V=0,8с? Дано: V=0,8с.

Задача 26. Чему равна работа, которая необходима для увеличения скорости частицы от 0,5с до 0,7с?

Дано: V1 =0,5с; V2 =0,7c.

Решение. Работа равна увеличению кинетической энергии частицы: A=T2 -T1 ;

Ответ: A=0,245m0 c2 .

Задача 27. Найдите момент инерции материальной точки массой m=0,3кг относительно оси, отстоящей от точки на расстоянии r=20см.

Дано: m=0,3кг; r=0,2м.

Решение. Момент инерции материальной точки определяется формулой I=mr2 .

Ответ: I=0,012кг·м2 .

Задача 28. Чему равна работа, совершаемая при равноускоренном подъеме груза m=100кг на высоту h=4м за время t=2с?

Дано: m=100кг; h=4м, t=2с.

Решение. При равноускоренном подъеме груза сила, приложенная к грузу, равна

F=ma+mg . Ускорениеa найдем из уравненияh = at 2 2 a = 2 t h 2 .

Найти линейную скорость Земли v при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R =1,5·10 8 км.

Ответ и решение

v ≈ 30 км/с.

v = 2πR /(365·24·60·60).

Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин -1 , посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки?

Ответ и решение

v ≈ 317 м/с. Точка на конце пропеллера описывает винтовую линию с шагом h ≈ 1,35 м.

Пропеллер самолета вращается с частотой:

λ = 2000/60 с -1 = 33,33 с -1 .

Линейная скорость точки на конце пропеллера:

v лин = 2πRλ ≈ 314 м/с.

Скорость самолета при посадке v = 45 м/с.

Результирующая скорость точки на конце пропеллера равна сумме векторов линейной скорости при вращении пропеллера и скорости самолета при посадке:

v рез = ≈ 317 м/с.

Шаг винтовой траектории равен:

h = v /λ ≈ 1,35 м.

Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v . Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v .

Ответ

Геометрическим местом точек на диске, имеющих скорость v в данный момент, является дуга радиуса R , центр которой лежит в точке касания диска с плоскостью, т.е. в мгновенном центре вращения.

Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 .

Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны.

Ответ

; .

По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью v c обруч радиусом R . Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно Земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

Ответ

v A = 2v C cosα . Ускорение точек обода содержит только центростремительную составляющую, равную a ц = v 2 /R .

Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

Ответ

n ≈ 8,84 с -1 ; a ц ≈ 926 м/с 2 .

На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью v 0 вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости?

Ответ

v = v 0 /2.

Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

Ответ

Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k . При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ

Две точечные массы m 1 и m 2 прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны l 1 и l 2 соответственно.

Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец, с угловой скоростью ω . Найти силы натяжения участков нити Т 1 и Т 2 .

Ответ

T 1 = (m 1 l 1 + m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R =4 м. С какой частотой n должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения k =0,27?

Ответ

n = 6,75 мин -1 .

Тело массой m находится на горизонтальном диске на расстоянии r от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При каком значении угловой скорости диска начнется соскальзывание тела?

Ответ

Камень массой m =0,5 кг, привязанный к веревке длиной l =50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит низшую точку окружности, Т =44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?

Ответ

h ≈ 2 м.

Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние l =70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m =5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R =1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ

T ≈ 2205 Н.

Автомобиль массой М =3*10 3 кг движется с постоянной скоростью v =36 км/ч: а) по горизонтальному мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях R =60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α =10° с вертикалью?

Ответ

а) F 1 ≈ 29 400 Н; б) F 2 ≈ 24 000 Н; в) F 3 ≈ 34 000 Н.

По выпуклому мосту, радиус кривизны которого R = 90 м, со скоростью v = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α , автомобиль давит с силой F = 14 400 Н. Определить угол α .

Ответ

α ≈ 8,5º.

Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l =1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. При этом угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика.

Ответ

A ≈ 1,23 Дж.

С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления R = 150 м, чтобы его не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42?

Ответ

v ≈ 89 км/ч.

1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч?

2. Автомобиль со всеми ведущими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности α = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю k = 0,3.

Ответ

1. k ≈ 0,4.

2. v ≈ 14,5 м/с.

Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью v = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м.

Ответ

Δh ≈ 7,65 см.

Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

Ответ

1. С какой максимальной скоростью v может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения k = 0,4?

2. На какой угол φ от вертикального направления он должен при этом отклониться?

3. Чему будет равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона α = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения?

4. Каким должен быть угол наклона трека α 0 для того, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?

Ответ

1. v ≈ 18,8 м/с. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v макс ≈ 33,5 м/с. 4. α 0 = arctg(1/k ).

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернут вокруг направления полета на угол α = 10°.

Ответ

R ≈ 5780 м.

На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v , при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Ответ

v ≈ 26,1 м/с.

Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону?

Ответ

Затормозить.

В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со скоростью v = 12 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу натяжения пружины Т ).

Ответ

T ≈ 51 Н.

Найти силу F ед.об. , отделяющую сливки (плотность ρ с = 0,93 г/см 3) от снятого молока (ρ м = 1,03 г/см 3) в расчете на единицу объема, если отделение происходит: а) в неподвижном сосуде; б) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин -1 , если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

Ответ

а) F ед.об. ≈ 980 Н/м 3 ;

б) F ед.об. ≈ 3,94·10 5 Н/м 3 ;

Самолет делает «мертвую петлю» с радиусом R = 100 м и движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой F тело летчика массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли?

Ответ

F в ≈ 4030 Н, F н ≈ 5630 Н.

Определить силу натяжения Т каната гигантских шагов, если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол α = 45°. С какой угловой скоростью со будут вращаться гигантские шаги, если длина подвеса l = 5 м?

Ответ

T ≈ 990 Н; ω ≈ 1,68 рад/с.

Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l . Угол, образуемый нитью с вертикалью, α .

Ответ

.

Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h . Найти частоту и вращения груза, считая ее неизменной.

Ответ

Результат не зависит от длины подвеса.

Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h , на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качениях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н.

Ответ

h ≈ 2,5 м.

Шарик массой m подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол α мин надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5 mg ?

Ответ

α мин ≈ 41,4°.

Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. При каком угле α с вертикалью сила натяжения нити будет равна по величине действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим.

Ответ

α = arccos(⅓).

Груз массой m , привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжений нити.

Ответ

Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста m . Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке.

Ответ

Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной l , а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости?

Ответ

Для нити v мин = ; для стержня v мин = .

Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения нити Т от угла α , который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить выведенную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через положение равновесия, при α = 90°.

Ответ

T = 3Mg sinα ; T = 3Mg .

Математический маятник длиной l и массой М отвели на угол φ 0 от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v 0 , направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения нити маятника Т в зависимости от угла φ нити с вертикалью.

Ответ

.

Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует пить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

Ответ

Одинаковые упругие шарики массой m , подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол α и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила F , действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей деформации шариков?

Ответ

а) F = 2mg cos 2 α ;

б) F = 2mg (3 - 2cosα );

в) F = 2mg .

Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной l сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость v 0 . Определить максимальную высоту его подъема h при движении по окружности, если v 0 2 = 3gl . По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достиг максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту H , достигаемую при этом движении маятника.

Ответ

; по параболе; .

Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной l . В точке О на расстоянии l /2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

Ответ

На l /6 ниже точки подвеса; по параболе; на 2l /27 ниже точки подвеса.

Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна D = 20 см и углом наклона стенок α = 60°, вращается вокруг вертикальной оси 00 1 . При какой угловой скорости вращения сосуда ω маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать.

Ответ

ω > ≈13 рад/с.

Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин -1 . Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту h , соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и реакцию сферы N .

Ответ

h ≈ 1 м; N ≈ 0,4 Н.

Внутри конической поверхности, движущейся с ускорением a , вращается шарик по окружности радиусом R . Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2α .

Ответ

.

Небольшое тело массой m соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R .

Трение ничтожно мало. Определить: а) какова должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какое давление F при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол α с вертикалью.

Ответ

а) h = 2,5R ; б) F = 3mg (1 - cosα ).

Лента конвейера наклонена к горизонту под углом α . Определить минимальную скорость ленты v мин, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R .

Ответ

v мин = .

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы радиусом R ? Трением пренебречь.

Ответ

h = R /3.

Найти кинетическую энергию обруча массой m , катящегося со скоростью v . Проскальзывания нет.

Ответ

K = mv 2 .

Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R , радиус обруча r .

Ответ

h = (R - r )/2.

Маленький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обод к нижней точке полусферы. Масса обруча равна m , радиус полусферы R .

Ответ

а) K = mgR ; б) 50%; в) 2mg .

Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает М = 300 т воды.

Ответ

p = 1,2·10 5 Па.

Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки A и В один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой. Обе дуги имеют одинаковую кривизну и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же.

В каком случае скорость тела в точке B больше?

Ответ

В случае движения по выпуклой дуге.

Стержень ничтожной массы длиной l с двумя маленькими шариками m 1 и m 2 (m 1 > m 2) на концах может вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия.

Ответ

; .

На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой m . Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет n полных витков? Радиус витка R , расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h ≪ R .

Ответ

.

Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладхом горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина l = 20 см и цепочка вращается с частотой n = 20 с -1 .

Ответ

T ≈ 12 Н.

Реактивный самолет m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. На сколько изменится подъемная сила, действующая на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад?

Ответ

ΔF под ≈ 1,74·10 3 Н.