Цели урока:
- образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
- развивающая : развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
- воспитательная: развитие коммуникативных навыков.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Используемые технологии обучения:
- работа в группах;
- проектный метод.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения
.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения
.
Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.
I. Мотивация учебной деятельности учащихся
Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:
- симметрические системы уравнений;
- системы уравнений, одно из которых однородное.
II. Изучение нового материала
Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.
1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1) .
2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.
Отчёт учащихся I варианта.
1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2) .
Учащиеся записывают в тетради:
2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.
III. Закрепление изученного материала
Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.
Определить вид системы и решить её:
Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.
а) система
симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v
б) система
содержит однородное уравнение.
Пара чисел (0;0) не является решением системы.
IV . Контроль знаний учащихся
Самостоятельная работа по вариантам.
Решите систему уравнений:
Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.
V. Домашнее задание
1. Выполняют все учащиеся.
Решите систему уравнений:
2.Выполняют «сильные» учащиеся.
Решите систему уравнений:
VI. Итог урока
Вопросы:
С какими видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?
Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.
− 4 1+ 4 | −6 | 27≡ 0, |
|||||||||||
−4 x +4 y +27 | |||||||||||||
+(y +6 ) | x = 1, x | ||||||||||||
(x − 1 ) | = −6. | ||||||||||||
y = −6 | |||||||||||||
Заметим, что решение второго уравнения – это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.
Ответ: (1, – 6).♦
§5. Однородные уравнения и системы | ||||
Функция f (x ,y ) | называется | однородной | k , если |
|
f (tx, ty) = tk f(x, y) . | Например, функция f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 |
|||
является однородной степени 4, т. к. | f (tx, ty) = 4 | (tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 + |
||
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . Уравнениеf (x ,y ) = 0, где | f (x, y) – |
|||
однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравне-
нию с одним неизвестным, если ввести новую переменную t = x y .
f (x, y) = a,
Система с двумя переменными g (x , y ) = b , гдеf (x ,y ) ,g (x ,y ) –
однородные функции одной и той же степени, называется однородной. Если ab ≠ 0 , умножим первое уравнение наb , второе – наa и вы-
чтем одно из другого – получим равносильную систему
bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.
Первое уравнение заменой переменных t = | (или t = | ) сведётся к |
||||||||||
уравнению с одним неизвестным. | ||||||||||||
Если a = 0 | (b = 0) , то уравнениеf (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) заменой |
|||||||||||
переменных t = | (или t = | ) сведётся к уравнению с одним неизвест- |
||||||||||
− xy +y | 21 , |
|||||||||||
Пример 20. (МГУ, 2001, химфак) Решите систему | − 2xy + 15= 0. |
|||||||||||
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
− xy +y 2 =21, | − xy +y 2 | y2 − 2 xy | |||||||||||||||||||||||||||||
−2 xy = −15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
2xy = − 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
x ≠ 0,y ≠ 0; | |||||||||||||||||||||||||||||||
19 ± 11 | |||||||||||||||||||||||||||||||
5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5 | − 19 | 12 = 0 | |||||||||||||||||||||||||||||
−2 xy = −15 | |||||||||||||||||||||||||||||||
x = 3 y, | |||||||||||||||||||||||||||||||
y = ±5. | |||||||||||||||||||||||||||||||
3 ) , | (− 3 3;− | 3 ) ,(4; 5) , | (− 4;− 5) .♦ | ||||||||||||||||||||||||||||
§6. Симметрические системы | |||||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) | называется | симметрической, | |||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) = f(y, x) . | |||||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) = a | |||||||||||||||||||||||||||||||
Система уравнений вида | где f (x ,y ) ,g (x ,y ) – симмет- |
||||||||||||||||||||||||||||||
g (x, y) = b, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
рические, называется симметрической системой. Такие системы реша-
ются чаще | всего с помощью введения новых | переменных |
x + y= u, xy |
x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,
Пример 21. Решите систему уравнений
x + xy+ y= 5 .
♦ Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменойx + y = u ,xy = v . Заметив, что
x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=
= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,
перепишем систему в виде
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
− 3 uv+ v | u = 5 − v, | |||||||||||||||
6 =0 | ||||||||||||||||
V =5 | −5 v | v = 3, u= 2 |
||||||||||||||
(в старых переменных) | ||||||||||||||||
x + y= 2, | x =2 −y , | |||||||||||||||
xy = 3, | y 2 − 2y + 3= 0 | |||||||||||||||
x + y= 3, | x = 3 − y, | x = 2,y = 1, | ||||||||||||||
y −3 y +2 =0 | x = 1,y = 2. | |||||||||||||||
xy = 2, | ||||||||||||||||
Ответ: (2;1 ) , | (1; 2) .♦ | |||||||||||||||
Литература
1. С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс;
2. «Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2011;
3. Журнал «Потенциал» №№1 –2 за 2005 г – статьи С. И. Колесниковой «Иррациональные уравнения» и «Иррациональные неравенства»;
4. С. И. Колесникова «Иррациональные уравнения», Москва, 2010,
ООО«Азбука»;
5. С. И. Колесникова «Иррациональные неравенства », Москва, 2010, ООО«Азбука»;
6. С. И. Колесникова «Уравнения и неравенства, содержащие модули», Москва, 2010, ООО«Азбука».
Контрольные вопросы
1(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все решения неравенства 5x + 1≥ 2(x − 1) .
2(2). Решите неравенствоx 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (не требуется решать кубическое уравнение, т. к. справа и слева есть множительx − 2).
3(2). Решите неравенство 2− x ≥ x − 3.
4(2). Найдите наименьшую длину промежутка, которому принадле-
жат все решения неравенства | x2 + 5 x− 84 | ≤ 0 . |
(x + 13 )(x + 14 ) |
5(3). Найдите сумму квадратов целочисленных решений неравенства
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
4 −x −8 +x ≤x +6 .
6(3). Решите неравенство 5+ x − 8− x ≤ 3− x .
7(3). Решите неравенство | − x 3 −x −1 | ≤ x . | |||||
9 − 4x − (x + 3) ) | |||||||
8(3). Решите неравенство | 4 −x −(x +2 ) )( | ≤ 0. |
|||||
(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 ) |
|||||||
9(4). Найдите наименьшую длину промежутка, которому принадле-
жат все решения неравенства | |||||||||||
x + 5 | x + 2 | 144 − x < 0. |
|||||||||
X −2 | 4 x −5 | 6x − 6 | |||||||||
10(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все решения неравенства 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 .
11(4). Найдите сумму квадратов всех целочисленных решений нера-
2(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит |
||||||||||
(x − 1 )3 (x + 3 ) |
||||||||||
все решения неравенства | ≤ 0 . |
|||||||||
2x − 1 | x − 2 | ) (x − 1 ) |
||||||||
3(2). Решите неравенство | 4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 . |
|||||||||||
4(4). Решите неравенство | x2 + 3 x− 4 | x 2− 16 | 2x 2 + 3x − 20 | |||||||||
5(3). Решите неравенство(x 2 | X +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2 | ≥ 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
венства 4 − 2x − 1≤ 3. | Задачи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 5x + 6+ 9− 2x − 5 2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
11(3). Три гонщика стартуют одновременно из одной точки круговой трассы и едут с постоянными скоростями в одном направлении. Первый гонщик впервые догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной старту, а через полчаса после этого он вторично, не считая момента старта, догнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй проходит круг не менее, чем за двадцать минут? © 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Введение
Симметрия… является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.
Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки.
Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л.Н.Толстой говорил: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?»
Действительно, симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.
Симме́три́я (др.-греч. συμμετρία - «соразмерность»), в широком смысле - неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.
С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке и кленовому листу, симметрию автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.
Цели:
Рассмотреть виды и типы симметрий;
Проанализировать как и где используется симметрия;
Рассмотреть, как симметрия используется в школьном курсе алгебры
Симметрия.
Слово «симметрия» имеет двойственное толкование. В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей Природы - закономерности о ее двойственности.
Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:
1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д.
2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами.
3)изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии;
4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.
Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.
Асимметрия
Асимметрия - отсутствие или нарушение симметрии.
В архитектуре - симметрия и асимметрия - два противоположных метода закономерной организации пространственной формы. Асимметричные композиции в процессе развития архитектуры возникли как воплощение сложных сочетаний жизненных процессов и условий окружающей среды.
Диссимметрия
Нарушенную, частично расстроенную симметрию мы называем диссимметрией
.
Диссимметрия - явление, широко распространенное в живой природе. Она характерна и для человека. Человек диссимметричен, несмотря на то, что очертания его тела имеют плоскость симметрии. Диссимметрия сказывается в
лучшем владении одной из рук, в несимметричном расположении сердца и многих других органов, в строении этих органов.
Диссимметрии человеческого тела подобны и отклонения от точной симметрии в архитектуре. Обычно они вызываются практической необходимостью, тем, что многообразие функций не укладывается в пределы жестких закономерностей симметрии. Иногда такие отклонения дают основу острого эмоционального эффекта.
^ Типы симметрий, встречающиеся в математике и в естественных науках:
Двусторонняя симметрия - симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести или почти полной идентичности левой и правой половин тела. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении и более существенные различия между правой и левой половиной тела в расположении внутренних органов. Например, сердце у млекопитающих обычно размещено несимметрично, со смещением влево.
У животных появление билатеральной симметрии в эволюции связано с ползанием по субстрату (по дну водоема), в связи с чем появляются спинная и брюшная, а также правая и левая половины тела. В целом среди животных билатеральная симметрия более выражена у активно подвижных форм, чем у сидячихУ растений билатеральную симметрию имеет обычно не весь организм, а его отдельные части - листья или цветки. Билатерально симметричные цветки ботаники называют зигоморфными.
^ Симметрия n-го порядка - симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.
Аксиальная симметрия
(радиальная симметрия, лучевая симметрия) -форма симметрии, при которой тело (или фигура) совпадает само с собой при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром симметрии объекта, то есть той точкой, в которой
пересекается бесконечное количество осей двусторонней симметрии. Радиальной симметрией обладают такие геометрические объекты, как круг, шар, цилиндр или конус. Описывается группой SO(2).
^ Сферическая симметрия - симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. Описывается группой SO(3). Локальная сферическая симметрия пространства или среды называется также изотропией.
^ Вращательная симметрия - термин, означающий симметрию объекта относительно всех или некоторых собственных вращений m-мерного евклидова пространства.
^ Симметрия у животных и человека.
Симметрия является жизненно важным признаком, который отражает особенности строения, образа жизни и поведения животного. Симметричность формы необходима рыбе, чтобы плыть; птице, чтобы летать. Так что симметрия в природе существует неспроста: она еще и полезна, или, иначе говоря, целесообразна. В биологии центр симметрии имеют: цветы, медуза, морские звезды и т. д. Наличие форм симметрии прослеживается уже у простейших – одноклеточных (инфузории, амёбы).Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Мозг разделён на две половины. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого. Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону. Проведенные исследования показали, что симметричное лицо более привлекательно. Также исследователи утверждают, что лицо с идеальными пропорциями является признаком того, что организм его обладателя хорошо подготовлен для борьбы с инфекциями. Обычная простуда, астма и грипп с высокой вероятностью отступают перед людьми, у которых левая сторона в точности похожа на правую. И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина - левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). Но
подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.
Симметрия в искусстве
Симметрия в искусстве вообще и в изобразительном в частности берет свое начало в реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами.
Для симметричной организации композиции характерна уравновешенность ее частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости. Если точка схода смещена от центра, одна из частей более загружена по массам или изображение строится по диагонали, все это сообщает динамичность композиции и в какой-то мере нарушает идеальное равновесие.
Правилом симметрии пользовались еще скульпторы Древней Греции. Примером может служить композиция западного фронтона храма Зевса и Олимпии. В основу ее положена борьба лапифов (греков) с кентаврами в присутствии бога Аполлона. Движение постепенно усиливается от краев к центру. Оно достигает предельной выразительности в изображении двух юношей, которые замахнулись на кентавров. Нарастающее движение как бы сразу обрывается на подступах к фигуре Аполлона, спокойно и величественно стоящего в центре фронтона.
Представление об утраченных произведениях знаменитых живописцев V века до н. э. можно составить по античной вазописи и помпейским фрескам, навеянным, как полагают исследователи, произведениями греческих мастеров эпохи классики…
Симметричные композиции наблюдались и у греческих мастеров IV-III веков до н. э. Об этом можно судить по копиям фресок. В помпейских фрес ках главные фигуры находятся в центре пирамидальной композиции, отличающейся симметрией.
К правилам симметрии нередко прибегали художники при изображении торжественных многолюдных собраний, парадов, заседаний в больших залах и т.д.
Большое внимание правилу симметрии уделяли художники раннего Возрождения, о чем свидетельствует монументальная живопись (например, фрески Джотто). В эпоху Высокого Возрождения итальянская композиция достигла зрелости. Например, в картине «Святая Анна с Марией и младенцем Христом» Леонардо да Винчи компонует три фигуры в заостренный кверху треугольник. В правом нижнем углу он дает фигурку агнца, которого держит маленький Христос. Все скомпоновано таким образом, что этот треугольник только угадывается под объемно-пространственной группой фигур.
Симметричной композицией можно назвать и «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи. В этой фреске показан драматический момент, когда
Христос сообщил своим ученикам: «Один из вас предаст меня». Психологическая реакция апостолов на эти вещие слова связывает персонажей с композиционным центром, в котором находится фигура Христа. Впечатление целостности от этой центростремительной композиции усиливается еще и тем, что художник показал помещение трапезной в перспективе с точкой схода параллельных линий в середине окна, на фоне которого четко рисуется голова Христа. Таким образом, взор зрителя невольно направляется к центральной фигуре картины.
Среди произведений, демонстрирующих возможности симметрии, можно также назвать «Обручение Марии» Рафаэля, где нашли наиболее полное выражение приемы композиции, характерные для эпохи Возрождения.
Картина В. М. Васнецова «Богатыри» также построена на основе правила симметрии. Центром композиции является фигура Ильи Муромца. Слева и справа, как бы в зеркальном отражении, размещены Алеша Попович и Добрыня Никитич. Фигуры расположены вдоль картинной плоскости спокойно сидящими на конях. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам неодинаковы, что обусловлено идейным замыслом автора. Но обе они менее мощные по сравнению с фигурой Муромца и в целом придают полное равновесие композиции.
Устойчивость композиции вызывает у зрителя чувство уверенности в непобедимости богатырей, защитников земли русской. Мало того, в «Богатырях» передано состояние напряженного покоя на грани перехода в действие. А это значит, что и симметрия несет в себе зародыш динамического движения во времени и пространстве.
Симметрия в алгебре.
Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1:
Квадратное уравнение 
имеет корни и . Не решая этого уравнения, выразим через и суммы , . Выражение симметрическое относительно и . Выразим их через + и , а затем применим теорему Виета.
Рациональные уравнения и неравенства
I. Рациональные уравнения.
Линейные уравнения.
Системы линейных уравнений.
Возвратные уравнения.
Формула Виета для многочленов высших степеней.
Системы уравнений второй степени.
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
Однородные уравнения.
Решение симметрических систем уравнений.
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
Уравнения, содержащие знак модуля.
Основные методы решения рациональных уравнений
II. Рациональные неравенства.
Свойства равносильных неравенств.
Алгебраические неравенства.
Метод интервалов.
Дробно-рациональные неравенства.
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
Неравенства с параметрами.
Системы рациональных неравенств.
Графическое решение неравенств.
III. Проверочный тест.
Рациональные уравнения
Функция вида
P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,
где n - натуральное, a 0 , a 1 ,…, a n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.
Уравнение вида
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,
где P 1 (x), P 2 (x), … ,P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.
Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x) 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) 0.
Линейные уравнения.
Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.
Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.
Если прямая проходит через точку с координатами X 0 и Y 0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y 0 = aX 0 + b.
Пример 1.1 . Решить уравнение
2x – 3 + 4(x – 1) = 5.
Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Пример 1.2. Решить уравнение
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
Ответ: .
Пример 1.3 . Решить уравнение.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 – 9,
Ответ: Любое число.
Системы линейных уравнений.
Уравнение вида
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
где a 1 , b 1 , … ,a n , b -некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x 1 , x 2 , …, x n .
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
система не имеет решений;
система имеет ровно одно решение;
система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. решить систему уравнений
Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.Ответ: (1; 2).Пример 2.5. Решить систему уравнений
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).
Ответ: Решений нет.
Пример 2.6. решить систему уравнений
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
Пример 2.7. решить систему уравнений
x + y – z = 2,
2x – y + 4z = 1,
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y – z = 2,
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.Ответ: (1; 1; 0).Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
имеет бесконечно много решений? Решение. Из первого уравнения выражаем x:
x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y. Ответ: 3.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - некоторые числа (a0);
x - переменная, называется квадратным уравнением.
Формула решения квадратного уравнения.
Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
выделим в левой части полный квадрат
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2)).
Для краткости обозначим выражение (b 2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид
Возможны три случая:
если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (D) 2 . Тогда
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , потому тождество принимает вид
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .
По формуле разности квадратов выводим отсюда:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).
Теорема: Если выполняется тождество
ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 при X 1 X 2 имеет два корня X 1 и X 2 , а при X 1 = X 2 - лишь один корень X 1 .
В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
а тем самым и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:
X 1 =(-b + D) / 2a; X 2 = (-b - D) / 2a.
Таким образом x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Обычно эти корни записывают одной формулой:
где b 2 – 4ac = D.
если число D равно нулю (D = 0), то тождество
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
принимает вид x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X 1 = – b / 2a
3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант
D = b 2 – 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
b = 0; c 0; c / a <0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Корни квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:
x 2 + px + q = 0.
Теорема Виета.
Мы вывели тождество
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),
где X 1 и X 2 - корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2 .
Отсюда следует, что X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):
Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X 2 .
Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства
X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a,
то числа X 1 и X 2 являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
Замечание. Формулы X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень X 1 кратности 2, если положить в указанных формулах X 2 = X 1 . Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения
(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;
X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).
Пример 3.9. Решить уравнение 2x 2 + 5x – 1 = 0.
Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Ответ: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Пример 3.10. Решить уравнение x 3 – 5x 2 + 6x = 0
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x 2 – 5x + 6) = 0,
отсюда x = 0 или x 2 – 5x + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем X 1 = 2 , X 2 = 3.
Ответ: 0; 2; 3.
Пример 3.11.
x 3 – 3x + 2 = 0. Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируемx(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1.Ответ: x 1 = x 3 = 1, x 2 = – 2.Пример 3.12. Решить уравнение7
