Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений .

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений .

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7 :

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4 . Ответ: (1; -4) , записывается в скобках, на первой позиции значение x , на второй - y .

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными . Умножим первое уравнение системы на "3".

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным


Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

1 . Ф.И.О. учителя: ____Ткачук Наталья Петровна _________________________________________________________________________________________________

2. Класс: _8 Дата: .11.03________Предмет_-математика, №71 урока по расписанию:

3. Тема урока Решение систем способом подстановки 4 . Место и роль урока в изучаемой теме :. Урок закрепления знаний . Цель урока :

Образовательная: развить знания решения систем уравнений способом подстановки. Знать/понимать: если графики имеют общие точки, то система имеет решения; если у графиков нет общих точек, то система решений не имеет; алгоритм решения систем уравнений. Уметь решать системы способом подстановки Содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных (типовых) условиях Развивающая: Способствовать развитию умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы. Содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных и типовых условиях. Воспитательная: Способствовать развитию творческого отношения к учебной деятельности

Характеристика этапов урока

Деятельность

учеников

Самоопределение.

Активизировать познавательную активность

Решить систему

словесный

Фронтальная

Приветствие учащихся. проведение. Создание ситуации готовности к уроку, успеха на предстоящем уроке.

Проверяют готовность к уроку.

2.Актуализация знаний.

Выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по теме

Выяснить, является ли пара чисел решением системы. х=5 у=9

Какие операции можно производить с уравнениями?

(умножать обе части уравнения на одно и тоже число, делить на число не равное нулю ….)

Работа в группе

Фронтальная. Гупповая-разбор алгоритмов решения задач;

При необходимости задает наводящие вопросы.

Отвечают на поставленные вопросы.

3.Постановка учебной задачи, целей урока.

Формирование

и развитие умения

определять и формулировать

проблему, цель и тему

для изучения линий

Как решается система уравнений способом сложения, способом подстановки.

Какой способ целесообразно применить при решении. данной системы?

Работа в группе.

Индивидуальная.

Фронтальная.

Какие действия мы проделали, чтобы узнать стоимость покупки?

Какую тему мы будем изучать?

Высказываются.

4. Этап актуализации знаний по теме

Содействовать развитию умений различать и сопоставлять линии. Обеспечить условия для развития умений грамотно, чётко и точно выражать свои мысли.

№ 621

Выяснить взаимное расположение прямых

2х+0.5у= 1,2 и х- 4у=0

Можно ли определить пересекаются прямые или нет по их коэффициентам?

2. составь уравнения прямых которые параллельны между собой.

Работа с учнбником

Работа в парах с самопроверкой

Фронтальная, индивидуальная. практикум по решению задач

При необходимости задает наводящие вопросы. Проводит параллель с ранее изученным материалом.

Обеспечивает мотивацию выполнения предложенных задач.

Подводит обучающихся к выводу о существованию формул.

Решают задачи, отвечают на вопросы учителя при необходимости Выполняют упражнение в тетради.

По очереди комментируют, анализируют, определяют причины и способы решения.

5.Работа по самостоятельному

применению полученных знаний. Актуализация знаний и умений в решении задач.

Формирование и развитие умений чтения чисел.Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, само регуляция

1 вар –

2 вар

Самостоятельная работа. Проверка соседа.

«мозговой штурм»,

Контролирует выполнение работы.

Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль.

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Решают задачи. Осуществляют: самооценку;взаимопроверку; выставляют предварительную оценку.

6.Оценка урока, самооценка.

Формирование и развитие умения анализировать и осмысливать свои достижения.

Умение определять уровень овладения учебным материалом.

Оценка промежуточных результатов и само регуляция для повышения мотивации учебной деятельности

Оценка на каждом этапе

1. умеешь ли ты строить графики линейных уравнений?

2.Умеешь ли ты определять, пересекаются они или нет.

3.знаешь ли ты алгоритм решения систем уравнений?

4. какие способы ты знаешь решения систем уравнений?

Работа в группе.

Групповая и индивидуальная..

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Осуществляют: самооценку и оценку товарища.

7.Итоги урока. Домашнее задание.

Умение соотносить цели и результаты собственной дея-тельности. Под-держание здоро-вого духа сопер-ничества для под-держания мотива-ции учебной дея-тельности; участие в коллективном обсуждении проблем.

п п. 4.4 №623

Работа в группе.

Фронтальная-Выделение и формулиров-ание поз-навательной цели рефлексия способов и условий действия

Анализ и синтез объектов

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Дает комментарий к домашнему заданию; задание на поиск в тексте особенностей...

Дети участвуют в дискуссии, анализируют, проговаривают. Осмысливают и фиксируют свои достижения.

Сегодня на уроке я узнал…

Сегодня на уроке я научился…

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.

Алгоритм решения способом подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Пример

Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18

Решение:

1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);

2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.

{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.