Название: ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2.

Пособия по математике серии «ЕГЭ 2011. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С2.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по стереометрии.


СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3
Диагностическая работа. 5
Решения задач 1.1-1.3 диагностической работы. 11
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми. 14
Решения задач 2.1-2.3 диагностической работы. 17
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью. 19
Решения задач 3.1-3.3 диагностической работы. 22
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями. 24
Решения задач 4.1-4.3 диагностической работы. 27
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой. 29
Решения задач 5.1-5.3 диагностической работы. 32
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости. 35
Решения задач 6.1-6.3 диагностической работы. 38
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми. 40
Диагностическая работа 1. 43
Диагностическая работа 2. 49
Диагностическая работа 3. 55
Ответы . 61


Введение .
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
- показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;
- проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;
- развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения;
- повышение вычислительной культуры учащихся.

Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.

Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ.

Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Смирнов В.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике - только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

Так ли это?

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых - уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

И главное - для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя - чем отличаются определение и признак . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости - и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Программа по стереометрии .

  1. Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через...

    (Дайте четыре варианта ответа).

  2. Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они...
  3. Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
  4. Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
  5. Угол между прямой и плоскостью.
  6. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
  7. Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
  8. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
  9. Параллельность плоскостей. Определение и признак.
  10. Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
  11. Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью...

    б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями...

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый - классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй -

Примеры решения задач С 2 на ЕГЭ по математике.

Задача С2 относится к задачам повышенного уровня сложности с развернутым ответом.

При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно. Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение задачи С2 оценивается 2 баллами.

Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),

Дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,

Определить зависимости между элементами,

Рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

В последние годы при решении задач С2 часто требуется найти расстояние:

От точки до прямой;

От точки до плоскости;

Между скрещивающимися прямыми, или найти угол между:

Прямой и плоскостью;

Плоскостями.

Нахождение расстояний при решении задач С2

    DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В до прямой F 1 E 1.

Решение.

Точка В лежит на прямой АВ, АВ║D 1 Е 1 . Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. Построим его.

Т.к. призма прямая, ВD (DD 1 Е 1), DD 1 D 1 Е 1 , тогда ВD 1 D 1 Е 1 , значит, искомое расстояние от точки В до прямой D 1 Е 1 равно отрезку ВD 1.

Рассмотрим Δ АD Е, ∟D = 90º, D Е = 4, ВЕ = 8 (в правильном 6-угольнике главная диагональ равна удвоенной стороне) ВD =

Из прямоугольного Δ АDD 1 по теореме Пифагора ВD 1 = 7.

    В правильной 6-угольной призме АВС DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найти расстояние от точки В до прямой С 1 D 1.

В правильной 6-угольной призме в основаниях лежат правильные 6-угольники, сторона равна 4, боковые ребра перпендикулярны основаниям, основания параллельны.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем плоскость через точку В и прямую С 1 D 1, В сечении призмы плоскостью мы получим равнобедренную трапецию ВС 1 D 1 Е, высота этой трапеции С 1 К – искомое расстояние.

Из Δ ВС 1 С ВС 1 = 5

Рассмотрим Δ ВС 1 К, ∟К = 90º,

Ответ:

3. Длина ребра куба АС 1 равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСД 1 .

АС 1 – куб, значит, все грани квадраты со стороной 1.

Плоскость АСD 1 – правильный треугольник со стороной

Искомое расстояние – это высота пирамиды ВАСD 1 , опущенная из точки В на плоскость АD С 1 = d .

Найдем объем этой пирамиды двумя способами.

,
или

Ответ:

    В правильной 3-угольной пирамиде сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π/3.

Решение.

Т.к. пирамида SABCD правильная, в основании лежит правильный треугольник АВС, АВ = 12см, высота SO пирамиды проектируется в центр основания. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники, образующие равные двугранные углы при основании.

Построим линейный угол двугранного угла при основании. Проведем ВК АС,

SK AC , тогда ∟SKB линейный угол двугранного угла при основании пирамиды,

∟SKB = π/3 . ОК – радиус вписанной окружности в правильный Δ АВС,

ОК =
.

Плоскость SKO перпендикулярна плоскости ASB , т.к. она проходит через две прямые, SK и КВ, перпендикулярные прямой АС, лежащей в плоскостиASB .

Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями СДВ и АВС. Проведем ДК перпендикулярно ВС, к – середина СВ (Δ СD В равнобедренный с основанием СВ), тогда КА перпендикулярно СВ (Δ САВ равнобедренный с основанием СВ), ∟АКD – линейный угол двугранного угла.

В плоскости АКD проведем КМ перпендикулярно АD , КМ – искомое расстояние от D А до СВ.

Т.к. Δ САВ = Δ СD В по трем сторонам, АК = D К. т.е. Δ АD К равнобедренный с основанием АD , значит, КМ – высота и медиана Δ АD К.

АМ = МD = 3см, (из Δ АСК)

Из Δ АМК .

МОУ «СОШ № 34 с углубленным изучением художественно-эстетических предметов»

«Школьник - школьнику»

В.В. Леваков

Решение заданий С2

ЕГЭ по математике

координатно-

векторным методом

Вячеслав Леваков

Решение заданий С2

ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

МОУ «СОШ № 34 с УИП»

ЕЩЕ ОДИН ШАГ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ!

Серия «Школьник - школьнику»

В.В. Леваков

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом. Методические рекомендации.

Представленный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

© Все права защищены.

Автор выражает огромную благодарность своим учителям математики Айвазян Карене Арташовне, Беляковой Елене Анатольене, Хренниковой Наталье Игоревне, которые сыграли большую роль в формировании его знаний умений и навыков при изучении предмета. Отдельные слова благодарности – Ларисе Анатольевне Денисовой, председателю методического объединения учителей математики Заводского района г. Саратова, которая приняла участие в составлении данной брошюры.

Уважаемый читатель!

Если у ученика 11 класса имеются серьезные проблемы с пониманием

определений, с чтением или построением сложного стереометрического

рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные

построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-

векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи,

когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца. Данный курс не претендует на

научность, а является своеобразным методическим пособием при подготовки

к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче экзамена.

Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто

встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-

измерительных материалах.

Алгебра - не что иное как записанная в символах геометрия, а геометрия - это просто алгебра, воплощенная в фигурах.

Софий Жермен (1776-1831)

§1. Основные понятия.

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом.

Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.

Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная,

полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная,

сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них - прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач нашего курса.

Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

o Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.

o Находим координаты необходимых для нас точек.

o Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.o Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Для начала разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим что же представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве –

совокупность точки О (называемой началом координат ), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямыхOx, Oy иOz (называемыхосями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат ), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. ПлоскостихОу, уОz иzOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых еёкоординатами .

Перед решением стереометрических задач координатно-векторным методом стоит запомнить следующие формулы:

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

Где d=AB, A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

2. Нахождение координаты серединыС(x; y; z) отрезкаАВ,

A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где а {x 1 ;y 1 ;z 1 },b {x 2 ;y 2 ;z 2 }.

4. Координаты x, y, z точкиМ , которая делит отрезок,

ограниченный точками (,,) и(,,), в отношении, определяется по формулам

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников , помещенных в систему координат.

1. Единичный куб A...D1

Координаты вершин:

А (0,0,0), А1 (0,0,1), В(1,0,0), В1 (1,0,1), D(0 ,1 ,0), D1 (0,1,1), С(1,1,0),

С1 (1,1,1).

2. Правильная треугольная призма A…C1 ,все ребра, которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),А 1 (0,0,1),В(1,0,0),В1 (1,0,1), С(0,5;√ ,0),С1 (0,5;√ ,1).

3. Правильная шестиугольная призма A...F1 , все ребра которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),А 1 (0,0,1),В(1,0,0),В1 (1,0,1), С(1,5;√ ,0),С1 (1,5;√ ,1), D(1,√ (1,√ Е(0,√ , (0,√ , F(-05, √ 0),

(-05, √ 1).

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),В(1,0,0),С(0,5;√ ,0), D(0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.