Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

|x i (k)-x i (k-1) |

Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв x i (k-1) = x i (k)

Алгоритм метода Гаусса-Зейделя

n-количество уравнений; e-точность; a(n,n)-массив коэффициентов; b(n)-массив свободных членов; x(n)-массив решения. Вводится начальное приближение x(n).

Листинг программ

Sub metod_g()

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

a(i, j) = Worksheets("Лист2").Cells(i, j).Value

b(i) = Worksheets("Лист2").Cells(i, 5).Value

For k = 1 To n - 1

For i = k + 1 To n

If Abs(a(i, k)) > Abs(a(g, k)) Then g = i

z = a(g, j): a(g, j) = a(k, j): a(k, j) = z

z = b(g): b(g) = b(k): b(k) = z

For i = k + 1 To n

m = a(i, k) / a(k, k)

For j = k + 1 To n

a(i, j) = a(i, j) - m * a(k, j)

b(i) = b(i) - m * b(k)

x(n) = b(n) / a(n, n)

For i = n - 1 To 1 Step -1

For j = i + 1 To n

s = s + a(i, j) * x(j)

x(i) = (b(i) - s) / a(i, i)

Worksheets("Лист2").Cells(i, 9).Value = x(i)

Sub MPI_SLAY()

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

x2 = (b(2) - a(2, 1) * x10 - a(2, 3) * x30) / a(2, 2)

x3 = (b(3) - a(3, 1) * x10 - a(3, 2) * x20) / a(3, 3)

Loop While c > e

With Worksheets("Лист2")

Range("J1").Value = x1

Range("J2").Value = x2

Range("J3").Value = x3

Range("J5").Value = k

Sub GausZeid()

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

a(i, j) = Worksheets("Лист3").Cells(i, j).Value

b(i) = Worksheets("Лист3").Cells(i, 5).Value

x10 = 0: x20 = 0: x30 = 0

x1 = (b(1) - a(1, 2) * x20 - a(1, 3) * x30) / a(1, 1)

x2 = (b(2) - a(2, 1) * x1 - a(2, 3) * x30) / a(2, 2)

x3 = (b(3) - a(3, 1) * x1 - a(3, 2) * x2) / a(3, 3)

c = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20) + Abs(x3 - x30)

Loop While c > e

With Worksheets("Лист2")

Range("K1").Value = x1

Range("K2").Value = x2

Range("K3").Value = x3

Range("K5").Value = k

Для запуска программ нажать на кнопку или на Run .

Полученный результат находится на Листе 2.

Результаты

Выводы

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций.

В данной работе мы рассмотрели 5 методов решения линейных алгебраических уравнений: метод обратной матрицы, Крамера, Гаусса, простой итерации и Гаусса-Зейделя. Первые 3 метода составляют группу прямых методов. Это аналитические методы, в них отсутствует погрешность метода, но погрешность вычислений неизбежна. Тем не менее, методы обратной матрицы и Крамера достаточно просты в алгоритме, тем более нами было найдено решение трехмерной матрицы (небольшая размерность), значения неизвестных сошлись. Что касается метода Гаусса, алгоритм данного метода достаточно громоздкий. Каждая следующая формула вычисления коэффициентов при преобразовании матрицы содержит результат предыдущей формулы, а значит и ее ошибку при вычислении. Наибольшее влияние на эту ошибку оказывает величина знаменателя (коэффициенты главной диагонали) – она не должна быть равна 0 и малой по абсолютной величине. В нашем случае таких предпосылок нет, метод Гаусса был осуществлен с выбором главного элемента, что дает малые невязки.

1. Преобразовать систему к виду одним из описанных способов.

2. Задать начальное приближение решения произвольно или положить , а также малое положительное число (точность). Положить .

3. Произвести расчеты по формуле (1)или (2) и найти .

(1)

4. Если выполнено условие окончания , процесс завершить и в качестве приближенного решения задачи принять . Иначе положить и перейти к пункту 3.

Решение систем нелинейных уравнений (СНУ).

Запишем систему n нелинейных уравнений с n неизвестными (СНУ) в общем виде:

f 1 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

f 2 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0 (5.1)

f n (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

Эту систему можно записать в компактной, операторной форме:

вектор-функция

вектор неизвестных

Решением системы называется набор значений ,(векторX *), при которых все функции f i равны 0 (система (5.1) обращается в тождество.)

СНУ могут иметь единственное решение, множество решений или вообще не иметь его. Поэтому численное решение СНУ проводят в два этапа:

1 этап – отделение решений.

2 этап – уточнение всех или только нужных решений.

Отделить решения – значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Задача отделения решений достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

f 1 (x 1 , x 2) = 0

f 2 (x 1 , x 2) = 0

Для этого необходимо в координатах (x 1 , x 2) построить кривые

f 1 (x 1 ,х 2) = 0, f 2 (x 1 ,х 2) = 0.

Точки пересечения этих кривых являются решениями системы . Так как координаты точек пересечения определяются приближенно, целесообразно говорить об области существования решения D. Эта область задается интервалами по каждой координате, внутри которых находятся искомые значения неизвестных.

Имеется два решения.

D 1 – область существования первого решения.

D 1 = {a 1 < x 1 < b 1 , a 2 < x 2 < b 2 }.

Графическое отделение решений СНУ.

Для систем с большим числом неизвестных (n  3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.

Отделение решений позволяет:

Выявить число решений и область существования каждого из них.

Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

Выбрать начальное приближение решения X (0) из области его существования, так что X (0) D.

При отсутствии информации об области существования решения СНУ выбор начального приближения X (0) проводиться методом проб и ошибок (методом “тыка”).

Постановка задачи.

Требуется решить систему нелинейных уравнений . В координатном виде эту задачу можно записать так: , где 1 ≤ k ≤ n .

Убедиться в существовании решения и количестве корней, а также выбрать нулевое приближение в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными можно, построив графики функций в удобных координатах. В случае сложных функций можно посмотреть поведение аппроксимирующих их полиномов. Для трех и более неизвестных, а также для комплексных корней, удовлетворительных способов подбора начального приближения нет.

Метод простых итераций.

Как и в случае одного уравнения, метод простых итераций заключается в замене исходной системы уравнений

f 1 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

f 2 (x 1 , x 2 , …, x n) = 0

f n (x 1 , x 2 , …, x n) = 0 (5.1)

эквивалентной системой X=Φ(X) –(5.3) и построении итерационной последовательности

(5.4)-X (k) = Φ(X (k -1)) , где k=1,2,3,… - номер итерации,которая при k→∞ сходится к точному решению.

Здесь - итерирующая вектор-функция, X (0) D – начальное приближение решения.

В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид:

x i. (k) = φ i (x 1 (k-1) , x 2 (k-1) , … , x n (k-1)), .(5.5)

Условие окончания расчета

δ≤ε (5.6)

где ε  заданная точность решения;

δ = (5.7)

Итерационный процесс (5.5) сходиться к точному решению, если в окрестности решения соблюдаются условия сходимости:

Таким образом, для уточнения решения СНУ методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование (5.1) в (5.3), чтобы в области существования решения выполнялись условия (5.9) или (5.10).

В простейшем случае эквивалентную систему можно получать как.

Метод итераций и метод Зейделя

Метод итераций позволяет получить последовательность приближенных значений, сходящуюся к точному решению системы линейных уравнений. В отличие от метода Гаусса, метод итераций не требует контроля промежуточных вычислений, так как отдельные ошибки на каком-либо шаге итерации не искажают окончательных результатов, хотя и удлиняет процесс счета. Иначе говоря, метод итераций решения систем линейных уравнений является самоисправляющимся. Кроме того, метод итераций легко запрограммировать для ЭВМ. Пусть имеем систему

или, короче,

. (3.8)

Предположим, что определитель системы отличен от нуля и что диагональные коэффициенты

Выразим из первого уравнения , из второго , и т. д. Тогда получим эквивалентную систему:

где

Полученную систему запишем так:

(3.9)

и назовем ее системой нормального вида.

Будем решать ее методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем, например, столбец свободных членов

Подставив в правую часть системы (3.9) значения , получим первое приближение:

.

Затем аналогично второе: и т.д.

Таким образом, зная - e приближение, ()-е приближение вычисляют по формуле:

(3.10)

Если последовательность приближений имеет предел

то является точным решением системы нормального вида, а значит, и исходной системы. В самом деле, переходя к пределу при в (3.10), имеем:

Описанный метод последовательных приближений называется методом итераций. Рабочие формулы метода итераций имеют вид:

(3.11)

Существование предела

гарантирует теорема о достаточном признаке сходимости процесса итераций.

Достаточным условием сходимости итерационных методов является условие

(3.12)

При методе Зейделя итерационный процесс подобен описанному для метода простых итераций, однако уточненные значения сразу подставляются в последующие уравнения. Формула итерационного процесса имеет вид:

Контрольные вопросы

1. К какому виду преобразуют исходную систему для применения метода итераций?

2. В чем преимущество метода итераций перед другими методами?

3. Каковы условия применимости данного метода?

4. Какова скорость сходимости последовательности векторов к решению?

5. Сформулируйте условие окончания вычислений в методе простых итераций?

6. Какова общая постановка задачи решения систем линейных уравнений?

7. Что такое ранг матрицы?

8. Сформулируйте условие существования решения и условие единственности решения.

9. Что такое эквивалентное преобразование системы? Какие они бывают?

10. Почему при добавлении к строке линейной комбинации других строк решение не меняется?

11. С чем связана необходимость переставлять местами уравнения системы при решении?

12. Когда целесообразно применять метод Гаусса?

13. Какова цель прямого хода в методе Гаусса?

14. Как выполняется обратный ход метода Гаусса?

15. На каком ходе, прямом или обратном, необходимо учитывать условия применения метода Гаусса?

16. Объясните алгоритм схемы единственного деления.

17. Объясните алгоритм схемы с частичным выбором ведущего коэффициента по столбцу.

18. Расскажите о достоинствах и недостатках схемы с полным выбором ведущего коэффициента.

19. Объясните зависимость временных затрат от размера системы.

20. Объясните зависимость ошибок от размера системы.

21. Когда система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?

22. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?

23. Охарактеризуйте точные и приближенные численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

24. Опишите метод Гаусса с выбором главного элемента.

25. Почему метод простой итерации называется самоисправляющимся?

26. Дайте определение сходимости итерационного процесса.

27. Опишите метод Зейделя.

28. Точные методы решения систем линейных уравнений

29. Приближенные методы решения систем линейных уравнений

30. Правило Крамера.